專題29動量觀點在電磁感應中的應用

目錄

題型一動量定理在電磁感應中的應用..............................................1

類型一單棒+電阻”模型......................................................1

類型2不等間距上的雙棒模型.................................................7

類型3"電容器+棒”模型..................................................11

題型二動量守恒定律在電磁感應中的應用.........................................16

類型1雙棒無外力...........................................................17

類型2雙棒有外力..........................................................21

題型一動量定理在電磁感應中的應用

【解題指導】導體棒或金屬框在感應電流所引起的安培力作用下做非勻變速直線運動時，當題目中涉及速

度。、電荷量外運動時間八運動位移x時常用動量定理求解.

類型1"單棒+電阻”模型

水平放置的平行光滑導軌，間距為L,左側接有電阻R,導體棒

初速度為。o,質量為，“，電阻不計，勻強磁場的磁感應強度為8,

情景示例I導軌足夠長且電阻不計，從開始運動至停下來

>rxxx

XXXX

---rc---

求電荷量4—BILNt—0—mv。，q—I△/,q—

DDLr

°—mv#

求位移X

RA/—0x—u拜仔

初、末速度已知的變加速運動，在動量定理列出的式子中q=7

應用技巧

Ar,x=vAr；若已知q或x也可求末速度

間距為乙的光滑平行導軌傾斜放置，傾角為仇由靜止釋放質量

為機、接入電路的阻值為R的導體棒，當通過橫截面的電荷量

為q或下滑位移為x時，速度達到。

情景示例2

求運動時間—BIL/^t+mgsinO\t=mv—Q,q=IAr

B2L2v_

RAr+zw^sin0-^t—mv0,x—vAr

用動量定理求時間需有其他恒力參與.若已知運動時間，也可求

應用技巧

q、X、。中的一個物理量

【例1】（多選）（2022?河北省選擇考模擬）如圖所示，間距為1m的足夠長平行導軌固定在水平面上，導軌

左端接阻值為2Q的電阻。導軌之間有豎直向下的勻強磁場，磁感應強度大小為1To一質量為1kg的金

屬桿從左側水平向右以2m/s的速度進入磁場，在水平外力控制下做勻減速運動，1s后速度剛好減為零。

桿與導軌間的動摩擦因數為0」，忽略桿與導軌的電阻，重力加速度g取10m/s2。桿從進入磁場到靜止過

程中，下列說法正確的是（）

!XXXXXXX

!XXXXXXX

][XXXXXXX

:XXXXXXX

1XXXXXXX

A.通過電阻的電荷量為0.5C

B.整個過程中安培力做功為一1J

C.整個過程中水平外力做功為零

D.水平外力對金屬桿的沖量大小為0.5N-s

【答案】AD

△厚

vE~BLx

【解析】導體棒在磁場中運動的位移為尸方=1m,通過電阻的電荷量為q=〃=?==0.5C,

R'~R

根據動能定理得Wp—W<-/.imgx=0—^mvz

A正確;

因為外力做功無法確定，所以安培力做功也無法確定，B、C錯誤；根據動量定理得。一〃W—w"gf=0—

f?iVi結合q="=0.5Cf解得IF=-0.5N,s,D正確。

【例2】（2022?首都師范大學附屬中學高三月考）水平面上放置兩個互相平行的足夠長的金屬導軌，間距為

d,電阻不計，其左端連接一阻值為R的電阻.導軌處于方向豎直向下的勻強磁場中，磁感應強度大小為

8.質量為辦長度為小阻值為R與導軌接觸良好的導體棒MN以速度物垂直導軌水平向右運動直到停下.不

計一切摩擦，則下列說法正確的是（）

M

XXXXXXXXXXX

XXXxxXXXx

RXXXXXXXXXXX

XXXXXXXXXXX

N

A.導體棒運動過程中所受安培力先做正功再做負功

B.導體棒在導軌上運動的最大距離步^

C.整個過程中，電阻R上產生的焦耳熱為5m)2

D.整個過程中，導體棒的平均速度大于￡

【答案】B

【解析】導體棒向右運動過程中一直受到向左的安培力作用，即安培力一直做負功，選項A錯誤；由動

量定理可知一/dBA/=O—m如，其中/?△/=￡■?△，=第，△①=Bdx,解得x=2黃片,故B正確；導體棒

的阻值與左端所接電阻的阻值相等，故電阻R上產生的焦耳熱應該為I四(A故c錯誤；根據&要=喘

可知，導體棒做的是加速度逐漸減小的減速運動，故其平均速度將小于做勻減速運動的平均速度，即小于

M故D錯誤.

【例3】如圖甲所示，固定放置在水平桌面上的兩根足夠長的光滑金屬導軌間的距離為工=1m.質量加=

1kg的直導體棒放在導軌上，且與導軌垂直.導軌左端與阻值R=4C的電阻相連，其余電阻不計，整個

裝置放在豎直向上的勻強磁場內，磁感應強度8=2T.在t=0時，一水平向右的恒定拉力尸垂直作用于

直導體棒，使直導體棒由靜止開始向右做直線運動，圖乙是描述導體棒運動過程的v-t圖像(設導軌足夠

長).求：

/(mf-i)

出

甲

(1)拉力尸的大小；

(2)f=1.6s時，導體棒的加速度大小公

(3)前1.6s內導體棒的位移大小x.

【答案】(1)1ON(2)2m/s2(3)8m

F

【解析】⑴導體棒的運動速度為V時產生的電動勢￡=8小，閉合回路中的感應電流/=萬

A

導體棒所受安培力FA=BIL=J?

由題圖乙可知，當速度y=IOm/s時拉力尸

得尸=ION.

/?2r2v

(2)由題圖乙知，，=1.6s時，v=8m/s,由牛頓第二定律有尸一一丁="也，得4=2m/s2.

(3)在導體棒的速度為任意值v的一段極短時間加內，發生位移Ar,安培力的沖量△/=

,B2L\

RA/=

則前1.6s內安培力的總沖量/=--

A

B2L?

由動量定理有B——萬F=/W—0,得x=8m.

【例4】（多選）（2022?山東濰坊市模擬）如圖所示，MV和PQ是兩根電阻不計的光滑平行金屬導軌，間距為

L,導軌水平部分處在磁感應強度大小為8的勻強磁場中，磁場方向與水平導軌平面夾角為37。，導軌右端

接一阻值為R的定值電阻，質量為〃八長度為L的金屬棒，垂直導軌放置，從導軌左端6高處靜止釋放,

進入磁場后運動一段距離停止。已知金屬棒電阻為R,與導軌間接觸良好，且始終與磁場垂直，sin37。=

0.6,8537。=0.8,則金屬棒進入磁場區域后（）

A.定值電阻兩端的最大電壓為煞蟀

B.金屬棒在水平導軌上運動時對導軌的壓力越來越大

c.金屬棒在磁場中運動的距離為券僻

D.定值電阻R產生的焦耳熱為品

【答案】BD

【解析】在金屬棒由靜止釋放運動到水平軌道過程中，根據機械能守恒定律可得利?力=當〃訶，解得vo=

痂，金屬棒剛進入磁場時，速度v=vo最大，電動勢E最大，電流/最大，此時電阻R兩端的電壓最大,

則有Un產/J?=^R=如泮=導產附好，A錯誤；金屬棒在導軌上運動過程中，對金屬棒受力分析,

如圖所示，在垂直于8的方向金屬棒受到的安培力為FA=3〃，則豎直方向有PACOS。+&="吆，水平方

向有&sin6=,w,金屬棒在磁場中做減速運動，速度丫變小，所以E變小，/變小，FA變小，則有尸N變

P~/.~vsin~0、At

大，B正確；由動量定理得一FAsinQA/=〃rAv,則有=，"小一0,則有金屬棒在磁場中運動的

Z；.:K

距離》=丫'=牌瘵，C錯誤；由能量守恒定律可得。也=〃%兒由放可得，定值電阻/?與金屬

棒產生的熱量相等，所以定值電阻R產生的焦耳熱為。氏=牛=/咫/7,D正確。

B

【例5】(2022?山東日照市模擬)如圖所示，光滑斜面體固定在水平地面上，斜面與地面間的夾角。=37。,

斜面上放置質量M=0.19kg的滑塊，滑塊上固定著一個質量機=0.01kg、電阻R=0.2。、邊長L=0.3m的

正方形單匝線圈場〃，其中線圈的一邊恰好與斜面平行，滑塊載著線圈無初速地進入一有界勻強磁場(磁場

邊界與斜面垂直，寬度"=2L),磁場方向與線圈平面垂直并指向紙內，磁感應強度大小8=2T。已知線圈

與滑塊之間絕緣，滑塊長度與線圈邊長相同，重力加速度g=10m/s2。

(1)求滑塊和線圈進入磁場的過程中流過線圈橫截面的電荷量q；

(2)若從線圈的gh邊進入磁場到④,邊進入磁場所用的時間為05s,求線圈的4,邊進入磁場前瞬間的加速度

大小；

(3)若滑塊和線圈完全穿出磁場時的速度W=2m/s,求在穿過磁場的整個過程中線圈產生的熱量Q。

【答案】(D0.9C(2)3.3m/s2(3)0.68J

￡

【解析】(1)滑塊進入磁場的過程中流過線圈橫截面的電荷量為q=l\t=^t

E=后，卜①=BS

代入數據得4=0.9C。

⑵線圈進入磁場的過程中，由動量定理得

(M+/n)gsin仇一/廣安=(M+m>—0

IF^=BE^i\t=BLq

代入數據得v=0.3m/s

E

E=BLv,/=￡

A

由牛頓第二定律得

(M+〃i)gsin0—ILB=(M+m)a

代入數據得。=3.3m/s2,

(3)滑塊及線圈穿過磁場過程中，根據能量守恒定律得

(Af+m)gsin

代入數據得。=0.68J。

【例6】(2022?天津紅橋區第二次質量調查)如圖所示，兩足夠長的光滑金屬導軌豎直放置，相距為L,-

理想電流表與兩導軌相連，勻強磁場與導軌平面垂直。一質量為〃?、有效電阻為R的導體棒在距磁場上邊

界處靜止釋放。導體棒進入磁場后流經電流表的電流逐漸減小，最終穩定為/。整個運動過程中，導體

棒與導軌接觸良好，且始終保持水平，不計導軌的電阻。求：

n__n

L

(1)導體棒的最大速度Vm和磁感應強度的大小B;

(2)電流穩定后，導體棒運動速度的大小V；

(3)若金屬棒進入磁場后恰經t時間達到穩定，求這段時間的位移x大小。

【答案］簧⑵鬻⑶(加/+用福一W)

【解析】(1)由題意得導體棒剛進入磁場時的速度最大，設為叫，由機械能守恒定律得

,1,

解得vm=y12gh

電流穩定后，導體棒做勻速運動，此時導體棒受到的重力和安培力平衡，有

mg=ILB

解得8=黃。

⑵感應電動勢E=8Lv

F

感應電流/=最

K

,PR

解得V=-O

mg

(3)感應電動勢最大值Em=BLvm

感應電流最大值/m=￡

解得中叫a

金屬棒進入磁場后，由動量定理有

BL

KPmgt-BLr^x=mv—mvm

___rRR

解得x=（mgt+nr廊1一下）磯^

類型2不等間距上的雙棒模型

【例1】（多選）如圖所示，光滑水平平行導軌置于勻強磁場中，磁感應強度大小為8,方向垂直水平面向下，

左側導軌間距為3右側導軌間距為23且導軌兩側均足夠長.質量為機的導體棒外和質量為2祖的導

體棒〃均垂直于導軌放置，處于靜止狀態.他的電阻為R,cd的電阻為2R,兩棒始終在對應的導軌部分

運動.現給cd—水平向右的初速度如,則（）

A.兩棒組成的系統動量守恒

B.最終通過兩棒的電荷量為猾

2

C.時棒最終的速度為1四

Q

D.從cd棒獲得初速度到二者穩定運動過程中產生的焦耳熱為新的2

【答案】BC

【解析】當cd棒向右運動時，受向左的安培力，油棒受向右的安培力，且F”=2F“b，可知兩棒組成的

系統合外力不為零，則系統動量不守恒，選項A錯誤；4棒獲得速度后，電路中產生感應電流，c4棒減

速，棒加速，當時，電路中磁通量不變，沒有感應電流，最終兩棒做勻速直線運動，由

——21一

動量定理得一28/Lt—2mvcd-2mvo,B1Lt—mvah，得%</+%/）=%，聯立解得力;1=可W，因4=/

/,可得4=簫，B、C正確；從cd棒獲得初速度到二者穩定運動，此過程系統產生的焦耳熱為

11,,2

2

—yinvab—^-2mvclr,解得。=Q〃m）2,D錯誤.

【例2】（多選）如圖所示，空間存在豎直向上的勻強磁場，磁感應強度大小為B,足夠長的光滑平行金屬

導軌水平放置，導軌左右兩部分的間距分別為/、2/；質量分別為〃?、2m的導體棒a、b均垂直導軌放

置，導體棒。接入電路的電阻為R，其余電阻均忽略不計；a、b兩棒分別以V。、2Vo的初速度同時向右

運動，兩棒在運動過程中始終與導軌垂直且保持良好接觸，?總在窄軌上運動，h總在寬軌上運動，直到

兩棒達到穩定狀態，從開始運動到兩棒穩定的過程中，下列說法正確的是（）

A.a棒加速度的大小始終等于人棒加速度的大小

B.穩定時a棒的速度為1.5%

C.電路中產生的焦耳熱為加m）2

D.通過導體棒a的某一橫截面的電荷量為翳

Z.DI

【答案】AC

【解析】分別計算。、8棒的加速度，由F女=8〃和F女=ma,可得a=等，。、。棒串聯，電流相等，

a、6棒長度分別為/、21,質量分別為，八2m,則“、/7棒加速度大小相等，故A正確；因為導軌光滑只

受到安培力作用，對〃棒，根據動量定理有入4=8//?/=〃?%一加加，同理，對人棒有一/一B/x2/?f=

=

2/7/v/?—2nr2vo，穩定時無電流，即Blva=BHvhy得a=2物，聯立解得va2vo,Vb=vo,故B錯誤；由能

量守恒可知，動能的損失等于焦耳熱，初動能22末動能，22

Ekovo+1X2AHX（2vo），￡k=|wx（2vo）+|x2wxvo,

則電路中產生的焦耳熱為Eko-Ek=|wvo2.故C正確；對a應用動量定理有B7/即，又q=7N,

v?—2v（）,解得q=B；，故D錯誤.

【例3】（多選）（2022?山東濰坊市期末）如圖所示，水平金屬導軌P、Q間距為LM,N間距為23P與M

相連，。與N相連，金屬棒a垂直于P、。放置，金屬棒6垂直于M、N放置，整個裝置處在磁感應強度

大小為8、方向豎直向上的勻強磁場中.現給棒。一大小為w的初速度，設兩部分導軌均足夠長，兩棒質量

均為〃?，在棒。的速度由w減小到0.8血的過程中，兩棒始終與導軌接觸良好.以下說法正確的是（）

A.俯視時感應電流方向為順時針

B力的最大速度為O.4vo

C.回路中產生的焦耳熱為0.1,“加2

D.通過回路中某一截面的電荷量為需

【答案】BC

【解析】a棒向右運動，速度由w減小到0.8物的過程中，穿過回路的磁通量減小，根據楞次定律知，俯

視時感應電流方向為逆時針，故A錯誤；“棒減速，〃棒加速，設“棒的速度為O.8vo時b棒的速度為u,

根據動量定理，對棒。有：-8/，”即，對棒人有：B1-2L^t=mv,聯立解得：v=O.4vo＞此

后回路中電流為0,a、b棒都做勻速直線運動，即6的最大速度為0.4%,故B正確；根據能量守恒定律

111—

WQ—^mv（）2—[TW（0.8vo）2+T/?（0.4vo）2]=0.1mvo2,故C正確；由23/得，通過回路中某一截面的

電荷量q=I故D錯誤.

【例4】(2022?山東日照市高三三模)如圖所示，寬度為2"與寬度為4的兩部分金屬導軌銜接良好，固定在

絕緣的水平面上，空間存在豎直向下的勻強磁場，導軌左、右側磁場的磁感應強度大小分別為B、2B.兩個

完全相同的導體棒甲和乙按如圖的方式置于左、右側的導軌上，已知兩導體棒的質量均為，小兩導體棒單

位長度的電阻均為“，現給導體棒甲一水平向右的初速度即.假設導軌的電阻忽略不計，導體棒與導軌之間

的摩擦忽略不計，且兩部分導軌足夠長，導體棒甲始終未滑過圖中的虛線位置.下列說法正確的是()

A.當導體棒甲開始運動的瞬間，甲、乙兩棒的加速度大小滿足〃甲=2“乙

B.運動足夠長的時間后，最終兩棒以相同的加速度做勻加速運動

C.最終兩棒均做勻速運動，速度大小滿足Vq＞=1v4

D.最終兩棒以相同的速度勻速運動，該過程甲棒中產生的焦耳熱為點"％2

【答案】D

【解析】導體棒甲剛開始運動時兩棒受到的安培力大小相等，則加速度大小也相等，運動過程中動量守

恒，最終兩棒均做勻速運動，速度大小滿足VM.=V系統產生的總熱量為系統扳失的動能，即Q總

Vo2—1x2w(y)2Vo2＞所以甲棒中產生的焦耳熱為Q單=不故D正確，A、B、C錯

誤.

【例5】如圖所示，兩根質量均為機=2kg的金屬棒垂直放在光滑的水平導軌上，左右兩部分導軌間距之

比為1：2,導軌間有大小相等但左、右兩部分方向相反的勻強磁場，兩棒電阻與棒長成正比，不計導軌電

阻.現用250N的水平拉力/向右拉CD棒，C￡＞棒運動s=0.5m時其上產生的焦耳熱為。2=30J,此時

兩棒速率之比為％：vc=l：2,現立即撤去拉力凡設導軌足夠長且兩棒始終在不同磁場中運動，求：

C____

_A__P<xxx

????XXxFx

????XXxx

BIxxXX

D

(1)在C￡＞棒運動0.5m的過程中，AB棒上產生的焦耳熱；

(2)撤去拉力F瞬間，兩棒的速度大小w和vc;

(3)撤去拉力F后，兩棒最終勻速運動的速度大小以和vc;

【答案】(1)15J(2)4m/s8m/s(3)6.4m/s3.2m/s

【解析】(1)設兩棒的長度分別為/和2/,所以電阻分別為R和2R,由于電路中任何時刻電流都相等，

根據焦耳定律。=尸放可知Qi：Q=1：2,則A8棒上產生的焦耳熱Q】=15J.

(2)根據能量守恒定律有Fs=^mvA1+^mvc1+Q]+Q2

又W：Vc=l:2,聯立兩式并代入數據得巾=4m/s,vc=8m/s.

(3)撤去拉力尸后，A3棒繼續向左做加速運動，而C。棒向右做減速運動，當兩棒切割磁感線產生的電動

勢大小相等時電路中電流為零，兩棒開始做勻速運動，此時兩棒的速度滿足B/次=H2"c'

即w'=2M

規定水平向左為正方向，對兩棒分別應用動量定理有

Fx-t=mv\—mv\,

—Fct=mvc'~mvc.

由乙可知了c=27A，故有"二

Vc~~V，c=2]

聯立以上各式解得VA'=6.4m/s,vc-3.2m/s.

【例6】(2022?福建龍巖市質量檢測)如圖所示，兩根足夠長且電阻不計的平行金屬導軌MNP。和MIMPIQI，

2

固定在傾角為夕的斜面上，MN與MiNi距離為L,PQ與PQ距離為更。金屬棒A、3質量均為加、阻值

均為R、長度分別為Z1與/L金屬棒4、B分別垂直放在導軌和PPi上，且恰好都能靜止在導軌上。

整個裝置處于垂直于導軌平面向上、磁感應強度大小為8。的勻強磁場中。現固定住金屬棒B,用沿導軌向

下的外力F作用在金屬棒A上，使金屬棒A以加速度a沿斜面向下做勻加速運動。此后A棒一直在MN

與上運動，8棒一直在PQ與PQi上靜止或運動，重力加速度為g,最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，

求：

(1)外力尸與作用時間f的函數關系式；

(2)當A棒的速度為外時，撤去尸并解除對8的固定，一段時間后A棒在MN與MM上勻速運動，求A

棒勻速運動的速度大小。

【答案】(I)4=嚕&+ma(2)各o

【解析】(1)金屬棒A、8剛好都能靜止在導軌上，對金屬棒，有mgsin。-R=0

金屬棒A沿斜面向下做勻加速運動，對金屬棒A,有尸+mgsin8一尸尸安="?”

由安培力公式有F^=/LB<)

對金屬棒與導軌構成的回路，根據歐姆定律，有/二萬E匕

AIA

金屬棒A切割磁感線，根據法拉第電磁感應定律，有E=BoLv

又因為。=〃，聯立解得尸=筆^+〃口。

(2)A棒勻速時，安培力為零，電流為零，兩棒產生的電動勢大小相等，有

2

在撤去F到A棒勻速的過程中，對A,根據動量定理，有

(/ngsin8-Ff-BolL)h=mvA-mv0

對8,根據動量定理，有

-2

(mgsin=mvn—O

4

聯立可解出辦二育0。

類型3"電容器+棒”模型

1.無外力充電式

、\^基本模型

「

規律X.

(導軌光滑，電阻阻值為R,電容器電容為。

電路特點導體棒相當于電源，電容器充電

安培力為阻力，棒減速，E減小,gjBL\Uc,電容器

電流特點

充電Uc變大，當B”=Uc時，/=0,產安=0,棒勻速運動

棒做加速度4減小的加速運動，最終做勻速運動，此時/

運動特點和最終特征

=0,但電容器帶電荷量不為零

電容器充電荷量：q=CU

最終電容器兩端電壓U=BLv

對棒應用動量定理：

最終速度

mv—mvo——BIL\t——BLq

mvp

V~m+B2L2C

V

5)

圖像

V-rV

0

【例1】(多選)如圖甲所示，水平面上有兩根足夠長的光滑平行金屬導軌MN和尸Q,兩導軌間距為/,電

阻均可忽略不計.在M和P之間接有阻值為R的定值電阻，導體桿油質量為機、電阻為r,與導軌垂直

且接觸良好.整個裝置處于方向豎直向上、磁感應強度為B的勻強磁場中.現給桿M一個初速度用，使

桿向右運動.貝4()

A.當桿如剛具有初速度吻時，桿岫兩端的電壓。=爛，且“點電勢高于b點電勢

B.通過電阻R的電流/隨時間t的變化率的絕對值逐漸增大

C.若將"和P之間的電阻R改為接一電容為C的電容器，如圖乙所示，同樣給桿外一個初速度出使

桿向右運動，則桿ab穩定后的速度為產〃二部

D.在C選項中，桿穩定后a點電勢高于b點電勢

【答案】ACD

【解析】當桿ab剛具有初速度w時，其切割磁感線產生的感應電動勢E=Blv0,桿ab兩端的電壓。=昔

Kt-r

=器，根據右手定則知，感應電流的方向為6到m桿時相當于電源，。相當于電源的正極，則a點電

印V

勢高于方點電勢，A正確；通過電阻R的電流/=墨，由于桿加速度減小，則電流減小，所受安培力減

R+r

小，所以桿而做加速度逐漸減小的減速運動，速度v隨時間f的變化率的絕對值逐漸減小，則通過電阻K

的電流/隨時間t的變化率的絕對值逐漸減小，B錯誤：當桿ab以初速度w開始切割磁感線時，電路開始

給電容器充電，有電流通過桿油，桿在安培力的作用下做減速運動，隨著速度減小，安培力減小，加速度

也減小，當電容器兩端電壓與感應電動勢相等時，充電結束，桿以恒定的速度做勻速直線運動，電容器兩

端的電壓0=8八，,而勺=(7(7,對桿油，根據動量定理得一B//mvo,聯立可得丫=“；,2r

C正確：桿穩定后，電容器不再充電，回路中沒有電流，根據右手定則知，a點的電勢高于b點電勢，D

正確.

【例2】(2021?福建福州市質檢)如圖甲所示，兩平行長直光滑金屬導軌水平放置，間距為L,左端連接一

個電容為C的電容器，導軌處在磁感應強度大小為8、方向垂直導軌平面向上的勻強磁場中.質量為m的

金屬棒垂直導軌放置，某時刻金屬棒獲得一個水平向右的初速度。°,之后金屬棒運動的。一f圖象如圖乙所

示.不考慮導軌的電阻.

(1)求金屬棒勻速運動時的速度大小5；

(2)求金屬棒勻速運動時電容器的電荷量q：

(3)已知金屬棒從開始到勻速運動的過程中，產生的焦耳熱為0,求電容器充電穩定后儲存的電能￡

”**?一.恤oCBLmvo1./n3?o2

[1=1木]⑴,"+C"L2(2)m+CB2L2G「一2(.+C/yy.Q

【解析】(1)金屬棒勻速運動切割磁感線產生的電動勢U=BLvt

電容器的電荷量口=(7。

金屬棒從開始到勻速運動的過程中，由動量定理有

一B1Lto=mvi--tnvo

電容器的電荷量夕=Ito

聯立解得。尸;行

,—ACBLmvo

(2)由(1)可知q=CU=C3L%=啟百可?

1

(3)在0?M時間內，金屬棒的速度由次)到v\9由能量守恒定律可得E+Q=J的()2—沙。/

解得

￡=?W-2(W+CB2L2)-0.

2.無外力放電式

LllE

、^基本模型

規儲

(電源電動勢為E,內阻不計，電容器電容為O

電路特點電容器放電，相當于電源；導體棒受安培力而運動

電容器放電時，導體棒在安培力作用下開始運動，同時阻礙放電，

電流的特點

導致電流減小，直至電流為零，此時Uc=BLVm

運動特點及最終特征做加速度a減小的加速運動，最終勻速運動，/=0

電容器充電電荷量：Qo=CE

放電結束時電荷量：

Q=CU=CBLvm

電容器放電電荷量：

最大速度vm^Q=Qo-Q=CE-CBLvm

對棒應用動量定理：

mvm—0=BIL\t—BL\Q

BLCE

Vm~m+B2L2C

vm

V-t圖像

0二t

【例2】（多選）圖中直流電源電動勢為E=1V,電容器的電容為C=1F.兩根固定于水平面內的光滑平行金

屬導軌間距為1=1m,電阻不計.一質量為，〃=1kg、電阻為R=1C的金屬棒MM垂直放在兩導軌間處于

靜止狀態，并與導軌接觸良好.開關S首先接1,使電容器完全充電.然后將S接至2,導軌間存在垂直于導

軌平面、磁感應強度大小為B=1T的勻強磁場（圖中未畫出），MN開始向右加速運動.當MN達到最大速度

時離開導軌，則（）

12

尸

可fI-

N

A.磁感應強度垂直紙面向外

B.MN離開導軌后電容器上剩余的電荷量為0.5C

C.MN的最大速度為1m/s

D.MN剛開始運動時加速度大小為1m/s2

【答案】BD

【解析】電容器上端帶正電，通過的電流方向向下，由于MN向右運動，根據左手定則知，磁場方

向垂直于紙面向里，A錯誤；電容器完全充電后，兩極板間電壓為E,當開關S接2時，電容器放電，設

剛放電時流經MN的電流為1,有

設MN受到的安培力為凡有：F=BIl②

由牛頓第二定律有：③

RFI

聯立①?③式：得片震=lm/s2④

1TIK

當電容器充電完畢時，設電容器上電荷量為佻，有：4o=CE⑤

開關S接2后，開始向右加速運動，速度達到最大值必皿時，設MN上的感應電動勢為E，，有：E'=

B/Vmax?

設MN離開導軌時電容器上剩余的電荷量為q,依題意有E'=

設在此過程中MN的平均電流為7,上受到的平均安培力為了，有7=B7/⑧

由動量定理，有下加=mn1rax-0⑨

又/Ar=q（）—q⑩

B212clE

聯立⑤⑥⑦⑧⑨⑩式得：q=~,-7,^=0.5C,vmax=0.5m/s,C錯誤，B、D正確.

［例3］（2022-1月江蘇新高考適應性考試，10）如圖所示，光滑的平行長導軌水平放置，質量相等的導體

棒L和心靜止在導軌上，與導軌垂直且接觸良好。已知心的電阻大于上的電阻，兩棒間的距離為"，不

計導軌電阻，忽略電流產生的磁場。將開關S從1撥到2,兩棒運動一段時間后達到穩定狀態，則（）

A.S撥到2的瞬間，心中的電流大于必

B.S撥到2的瞬間，心的加速度大于心

C.運動穩定后，電容器C的電荷量為零

D.運動穩定后，兩棒之間的距離大于"

【答案】D

【解析】S撥到1時，電源給電容器充電，S撥到2的瞬間，電容器放電（相當于“電源”），導體棒心、L2

并聯，則棒兩端電壓相等，根據/=,和知，/“</n，A錯誤；S撥到2的瞬間，導體棒受到的安培

力F=ILB,知尺/凱2，由于故牝2,B錯誤；運動穩定后，兩棒的速度相等，兩端的電壓

也相等，故電容器兩端的電壓等于棒兩端的電壓，此時電容器C的電荷量不為零，C錯誤；在兩棒向右運

動過程中“”〈牝2,且電路穩定時兩棒速度相等，則心的位移小于心的位移，故兩棒之間的距離大于d，D

正確。

【例4］電磁軌道炮利用電流和磁場的作用使炮彈獲得超高速度，其原理可用來研制新武器和航天運載

器.電磁軌道炮示意如圖，圖中直流電源電動勢為E,電容器的電容為C.兩根固定于水平面內的光滑平行

金屬導軌間距離為/,電阻不計.炮彈可視為一質量為〃八電阻為R的金屬棒垂直放在兩導軌間處于

靜止狀態，并與導軌良好接觸.首先開關S接1,使電容器完全充電.然后將S接至2,導軌間存在垂直

于導軌平面、磁感應強度大小為3的勻強磁場（圖中未畫出），開始向右加速運動.當MN上的感應電

動勢與電容器兩極板間的電壓相等時，回路中電流為零，達到最大速度，之后離開導軌.問：

(1)磁場的方向；

Q)MN剛開始運動時加速度a的大小；

(3)MN離開導軌后電容器上剩余的電荷量Q是多少.

BIEB2PC2E

【答案】(1)垂直于導軌平面向下(2)篙(3)；L

【解析】(1)將S接1時，電容器充電，上極板帶正電，下極板帶負電，當將S接2時，電容器放電，流

經MN的電流由M到N,又知MN向右運動，由左手定則可知磁場方向垂直于導軌平面向下.

(2)電容器完全充電后，兩極板間電壓為E,當開關S接2時，電容器放電，設剛放電時流經的電流為

I，有

設受到的安培力為F,有F=〃B②

由牛頓第二定律，有F=ma③

聯立①②③式得。=鬻④

(3)當電容器充電完畢時，設電容器上電荷量為Q。，有

Qo=CE(§)

開關S接2后,開始向右加速運動，速度達到最大值歷1ax時，設MN上的感應電動勢為E',有E'=Blvmm?

依題意有￡=§?

設在此過程中流經的平均電流為7,MN受到的平均安培力為了，有7=7/8⑧

由動量定理，有7'=加3—0⑨

又7Af=Qo一頌

B2PC2E

聯立⑤⑥⑦⑧⑨⑩式得Q=號

題型二動量守恒定律在電磁感應中的應用

1.在雙金屬棒切割磁感線的系統中，雙金屬棒和導軌構成閉合回路，安培力充當系統內力，如果它們不

受摩擦力，且受到的安培力的合力為0時，滿足動量守恒，運用動量守恒定律解題比較方便.

2.雙棒模型(不計摩擦力)

雙棒無外力雙棒有外力

XXXXXX

XXXXXXXXXXX

2*Xx^xJ

XXXXXX

2XxBxX1

示意圖XXXXXXX

XXXXXX

F為恒力

動力學觀點導體棒1受安培力的作用做加速度減導體棒1做加速度逐漸減小

小的減速運動，導體棒2受安培力的的加速運動，導體棒2做加

作用做加速度減小的加速運動，最后速度逐漸增大的加速運動，

兩棒以相同的速度做勻速直線運動最終兩棒以相同的加速度做

勻加速直線運動

動量觀點系統動量守恒系統動量不守恒

棒1動能的減少量=棒2動能的增加外力做的功=棒1的動能+

能量觀點

量+焦耳熱棒2的動能+焦耳熱

類型1雙棒無外力

【例1】（2021?重慶北培西南大學附中高三月考）（多選）如圖所示，兩電阻可以忽略不計的平行金屬長直導

軌固定在水平面上，相距為L,另外兩根長度為L、質量為機、電阻為R的相同導體棒垂直靜置于導軌上，

導體棒在長導軌上可以無摩擦地滑動，導軌間存在豎直向下的勻強磁場，磁感應強度大小為某時刻使

導體棒。獲得大小為W、水平向右的初速度，同時使導體棒b獲得大小為2W、水平向右的初速度，下列

結論正確的是（）

1"XflXX

LxX0攵X

B

|xXXX

A.該時刻回路中產生的感應電動勢為38Lvo

B.該時刻導體棒”的加速度為嗡2

C.當導體棒。的速度大小為竽時，導體棒人的速度大小也是苧

D.運動過程中通過導體棒a電荷量的最大值的=戰

【答案】BCD

【解析】根據右手定則可知兩根導體棒切割磁感線產生的感應電動勢方向相反，故該時刻回路中產牛.的

感應電動勢A錯誤；在該時刻，回路中的感應電流/=^=婚，導體棒a所受

安培力大小可得。=箋券，B正確；由于兩導體棒整體在水平方向動量守恒，當導體棒。

的速度大小為苧時，根據動量守恒定律得〃?。物+加再二%苧+川環，解得環=竽，C正確；由上解析知v

共=竽，對。由動量定理有下的=〃嗎一刖，而由安培力公式得了交通過導體棒。電荷量的最

大值qm=1RJ，D正確.

￡DL

【例2】（多選）如圖所示，一質