已知三角函數(shù)值求角示范教課設計整體設計教課剖析在課程標準中，沒有已知三角函數(shù)值求角的內(nèi)容，但相當多的內(nèi)容波及到這個問題(如立體幾何中求兩條異面直線的夾角、直線與平面所成的角、分析幾何中直線的傾斜角)，所以教材特意列出一小節(jié)解說，所以應當讓學生認識它們的意義，并學會正確使用反三角函數(shù)符號arcsinx、arccosx、arctanx.但必定要控制本小節(jié)的難度，只好依據(jù)單角的正弦、余弦、正切值求單角或單角的會合，不要增補一些較復雜的題目，只需使學生會由已知三角函數(shù)值求角就能夠了．已知角x的一個三角函數(shù)值求角x時，實質(zhì)上就是解最簡單的三角方程．因為三角函數(shù)不是從定義域R→值域[－1,1]上的一一映照，所以已知角x的一個三角函數(shù)值求角x時，所得的角不必定只有一個，角的個數(shù)要依據(jù)角的取值范圍來確立，這個范圍應當在題目中給定．假如在這個范圍內(nèi)已知三角函數(shù)值對應的角不只一個，能夠分為以下幾個步驟：第一步，確立角x可能是第幾象限角；第二步，假如函數(shù)值為正數(shù)，則先求出對應的銳角x1，假如函數(shù)值為負數(shù)，則先求出與其絕對值對應的銳角x1；第三步，假如函數(shù)值為負數(shù)，則依據(jù)角x可能是第幾象限角，得出[0,2π]內(nèi)對應的角；第四步，假如要求出[0,2π]之外的角，則可利用終邊相同的角有相同的三角函數(shù)值這一規(guī)律寫出結(jié)果．假如求得的角是特別角，最好用弧度表示，就不存在反三角符號了．本節(jié)的難點有三個，簡單地說就是確立角的個數(shù)，認識符號，寫出所求角的會合．戰(zhàn)勝難點的要點是拾級而上，分層次理解，弄清各層次的意義．但要注意表示形式上的不獨一．三維目標1．理解反正弦、反余弦、反正切的意義，并會用符號表示．2．會由已知角的正弦值、余弦值、正切值求出[0,2π]范圍內(nèi)的角，并能用反正弦、反余弦、反正切符號表示角或角的會合．3．能運用已知三角函數(shù)值求角，解決與其有關的一些簡單問題．要點難點教課要點：已知正弦、余弦、正切值求角．教課難點：對反正弦、反余弦、反正切的觀點及其符號的正確認識．課時安排課時教課過程導入新課思路1.(直接引入)我們知道，隨意給定一個角，只需這個角的三角函數(shù)值存在，就能夠求出這個三角函數(shù)值；反過來，已知一個三角函數(shù)值，也能夠求出與它對應的角．由此導入新課．思路2.(類比引入)前面我們學習函數(shù)時知道，給定一個函數(shù)值必有一個或多個自變量1的值與之對應．那么三角函數(shù)作為一類特別的函數(shù)，是否是也這樣呢？比方sinx＝，你怎2樣求出合適這個式子的x的值呢？在學生研究中引入新課．推動新課新知研究已知正弦值，求角．提出問題錯誤!活動：教師指引學生先復習正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，或用課件演示，指引學生得出：在函數(shù)y＝sinx的非單一區(qū)間上，關于已知的一個正弦值，有多個角和它對應，如在[0,2π]上有兩個角π和3π的正弦值都為2，在R上有無量多個角的正弦值為2.可是，在y＝sinx4422πππ的單一區(qū)間上，只有一個角和已知正弦值對應，比方在單一區(qū)間[－2，2]上，只有4的正2弦值等于2.也就是說，正弦函數(shù)在區(qū)間[0,2π]上不擁有單一性．但在[－π，π]上單一遞加．所22ππsinx＝a(－1≤a≤1)的x有且只有一個，而在[0,2π]上以在區(qū)間[－，]上，知足條件22知足條件sinx＝a(－1≤a≤1)的x一般有兩個．一般地，關于正弦函數(shù)y＝sinx，假如已知函數(shù)值y(y∈[－1,1])ππ，那么在[－，]22上有獨一的x值和它對應．記為ππx＝arcsiny(此中－1≤y≤1，－2≤x≤2)，ππ即arcsiny(|y|≤1)表示[－2，2]上正弦等于y的那個角．這個角叫做y的反正弦．ππ議論結(jié)果：(1)有無量多個；(2)表示為x＝arcsiny(此中－1≤y≤1，－≤x≤)．22應用示例2ππ例1(1)已知sinx＝2，且x∈[－2，2]，求x；2(2)已知sinx＝2，且x∈[0,2π]，求x的取值會合；2已知sinx＝2，且x∈R，求x的取值會合．解：由sinx＝2知x的正弦值是個正當，所以x是第一象限或第二象限的角，如圖1，2π＝23π2由sin，sin4＝422可知：圖1在[－π，π]上，x＝π；224(2)π3π；在[0,2π]上，x＝或x＝44(3)在R上切合條件的角是全部與π終邊相同的角和全部與3π終邊相同的角．所以x44的取值會合為{x|x＝2kπ＋π(k∈Z)}∪{x|x＝2kπ＋3π(k∈Z)}．44評論：本例解法沒波及到反正弦觀點，那么學習反正弦還有什么用呢？教師可就此點明，π23π2在本例(1)中，4＝arcsin2，4＝π－arcsin2.那么本例(2)中的答案也可寫成2222{arcsin2，π－arcsin2}．進一步領會－2≤arcsina≤2(此中－1≤a≤1)．同時強調(diào)，假如求得的角是特別角，則最好用特別角的弧度表示，假如不是特別角，則用反正弦表示，為書寫方便，一般地把x作為自變量，y是x的函數(shù)，記為y＝arcsinx.1ππ1π比如：假如sinx＝2，x∈[－2，2]，則x＝arcsin2＝6；假如sinx＝－3，x∈[－π，π]，則x＝arcsin(－3)＝－π；22223ππ假如sinx＝0，x∈[－2，2]，則x＝arcsin0＝0；假如sinx＝0.3458，x∈[－ππx值時，此中的x可記作，]，在不要求求出詳細的22arcsin0.3458，即x＝arcsin0.3458.變式訓練π3π函數(shù)y＝sinx，x∈[2，2]的反函數(shù)為()A．y＝arcsinx，x∈[－1,1]B．y＝－arcsinx，x∈[－1,1]C．y＝π＋arcsinx，x∈[－1,1]D.y＝π－arcsinx，x∈[－1,1]π3πππ]，且sin(π－x)＝sinx，分析：因為x∈[，]，所以π－x∈[－，2222所以y＝sinx＝sin(π－x)的反函數(shù)是π－y＝arcsinx，即y＝π－arcsinx(x∈[－1,1])．應選D.已知余弦值和正切值，求角．提出問題你能類比反正弦函數(shù)的觀點，給出反余弦、反正切函數(shù)的觀點嗎？2arccosa－1≤a≤1、arctana的范圍是多少？活動：教師指引學生復習余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得出函數(shù)y＝cosx在區(qū)間[0,2π)上，對y∈(－1,1)的隨意一個值，有兩個角x與之對應．假如觀察自變量x在整個定義域(－∞，∞)上取值，那么對區(qū)間[－1,1]上的隨意一個值y，有無量多個x值與之對應，為了使切合條件cosx＝a(－1≤a≤1)的角x有且只有一個，我們選擇閉區(qū)間[0，π]作為基本范圍．在這個閉區(qū)間上，切合條件cosx＝a(－1≤a≤1)的角x，叫做實數(shù)a的反余弦，記作arccosa，即x＝arccosa，此中x∈[0，π]且a＝cosx.相同，依據(jù)正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，為了使切合條件tanx＝a(a為隨意實數(shù))的角x有且只有一個，我們選擇開區(qū)間(－π，π)作為基本的范圍．在這個開區(qū)間內(nèi)，切合條件tanx22＝a(a∈R)的角x，叫做實數(shù)a的反正切，記作arctana，即x＝arctana，此中x∈(－ππ，)，22且a＝tanx.議論結(jié)果：(1)略．ππ(2)0≤arccosa≤π，－2<arctana<2.應用示例2例2已知cosx＝－2，且x∈[0,2π)，求x的取值會合．解：因為余弦函數(shù)值是負值，所以x是第二或第三象限的角(圖2)．由3ππ2cos4＝－cos4＝－2圖23π可知，所求切合條件的第二象限的角x＝4.ππ2又由cos(4＋π)＝－cos4＝－2可知，在區(qū)間[0,2π)內(nèi)切合條件的第三象限的角π5πx＝4＋π＝4.3π5π所以，所求角x的取值會合為{4，4}．評論：與例1相同，本解法仍沒用到反余弦符號，其道理同例1.所以本例中答案可寫2222成{arccos(－2)，π＋arccos2}或?qū)懗蓒π－arccos2，π＋arccos2}或{arccos(－223π5π2)，2π－arccos(－2)}．因為是特別角，所以寫{4，4}最簡短了然．如：1π2π12πarccos2＝3，arccos2＝4，arccos(－2)＝3.由此也看出，在用反三角符號表示角或角的會合時，形式上不獨一.變式訓練已知cosx＝－0.7660，且x∈[0，π]，求x.已知cosx＝－0.7660，且x∈[0,2π]，求x的會合．解：(1)由余弦函數(shù)在閉區(qū)間這個角為鈍角．

[0，π]上是減函數(shù)及已知條件知，

切合條件的角有且只有一個，x＝arccos(－0.7660)．∵cosx＝－0.7660<0，∴x是第二或第三象限角．若x為第二象限角，則x＝arccos(－0.7660)；若x為第三象限角，則x＝2π－arccos(－0.7660)．∴切合條件的角的會合為{arccos(－0.7660)，2π－arccos(－0.7660)}.3

ππ例3已知

tanx

＝－

3

，且

x∈(－

2，

2)，求

x的值．3解：∵tanx＝－3<0，∴x為第二或第四象限角．ππ又∵－2≤x≤2，3π∴切合條件的角只有一個，x＝arctan(－3)＝－6.變式訓練2ππ(1)已知tanx＝－2，且x∈(－2，2)，求x.2(2)已知tanx＝－2，且x∈[0,2π]，求x的取值會合．解：(1)∵tanx＝－2ππ)，<0，且x∈(－2，22∴切合條件的角有且只有一個，x＝arctan(－2．)22(2)∵tanx＝－2<0，且x∈[0,2π]，可知切合條件的角有兩個：在第二象限或第四象限．∴所求角的會合為{π＋arctan(2)，2π＋arctan(2－－)}.22講堂小結(jié)先讓學生回首本節(jié)課所學過的知識，波及到的數(shù)學思想方法．在此基礎上教師進行點睛之筆：在學完反正弦后，我們用類比的思想學習了反余弦、反正切．要求嫻熟掌握已知角α的三角函數(shù)值求α角的一般步驟．本教材只需求同學們會用arcsinx，arccosx，arctanx這三個符號表示角，關于這三個符號的其余知識不作進一步商討．作業(yè)課本本節(jié)練習A組1,3.設計感想本節(jié)教課設計設計主線是：一直抓住類比思想，數(shù)形聯(lián)合思想，讓學生在穩(wěn)固原有知識的基礎上，經(jīng)過類比，聯(lián)合圖形，由學生自己來對新知識進行剖析、猜想、考證、應用，使新舊知識點有機地聯(lián)合在一同；同時經(jīng)過多媒體教課，使學生經(jīng)過對圖象的察看，對知識點的理解更為直觀、形象，提升學生的學習興趣，教課過程流利，切合高中課程標準理念．本節(jié)教課設計設計理念是：堅持以學生為本，以學生的實質(zhì)狀況為教課出發(fā)點，經(jīng)過各樣數(shù)學思想的浸透，合理運用各樣教課課件，讓學生學會經(jīng)過對圖象的察看來整理相應的知識點，學會運用數(shù)學思想解決實質(zhì)問題的能力．這樣既增強了類比、數(shù)形聯(lián)合等重要數(shù)學思想的培育，也有益于學生綜合運用能力的提升，有益于學生把新舊知識前后聯(lián)系，舉一反三，提升教課成效．備課資料備用習題π1．知足cosx＝3(－2<x<0)的x的值是()1π1A．π－arccos3B.2－arccos3C．a(chǎn)rccos1D．－arccos1332．已知cosα＝－0.9，α∈(0，π)，則以下表示中正確的選項是()πA．α＝π－arccos0.9B．α＝2－arccos0.9C．α＝π＋arccos0.9D．α＝π＋arccos0.923．若sinx＝1，且x∈(0，π)，則以下表示中不正確的選項是()3