2021-2022學年新教材人教B版選擇性必修第三冊6.3利用導數解決實際問題作業一、選擇題1、已知定義在上的函數的圖像關于直線對稱，且當時，.若是函數圖像上的兩個動點，點，則當的最小值為0時，函數的最小值為（）A． B． C． D．2、已知奇函數的定義域為，其導函數為，當時，，且，則使得成立的的取值范圍是（）A．B．C．D．3、已知函數的圖象上存在關于直線對稱的不同兩點，則實數的取值范圍是（）A． B．C． D．4、已知函數有兩個零點，分別為，且，則a的取值范圍為（）A． B．C． D．5、對任意，不等式恒成立，則下列不等式成立的是（）A． B．C． D．6、設是偶函數（且）的導函數，，當時，，則使成立的的取值范圍是（）A． B．C． D．7、若，則下列不等式恒成立的是()A.B.C.D.8、如圖是函數的導函數的圖象，下列說法正確的是（）A．函數在上是增函數B．函數在上是減函數C．是函數的極小值點D．是函數的極大值點9、若恒成立，則滿足條件的是（）A． B． C． D．10、已知定義域為的函數滿足（為函數的導函數），則不等式的解集為（）A． B． C． D．11、已知，為的導函數，則的圖像是（）12、下面四個圖象中，有一個是函數的導函數的圖象，則（）A．或 B．或 C．或 D．或二、填空題13、已知函數，若函數有兩個極值點，，且，則實數的取值范圍為_____.14、若存在實數，對任意實數，使不等式恒成立，則實數的取值范圍為________.15、已知函數，當時，，實數a的取值范圍是________.16、若函數在上單調遞增，則實數的取值范圍是____________________三、解答題17、（本小題滿分10分）已知函數（,是自然對數的底數）.（1）若是上的單調遞增函數，求實數的取值范圍；（2）當時，證明：函數有最小值，并求函數最小值的取值范圍.18、（本小題滿分12分）已知函數，.（1）討論的單調性；（2）若函數在上單調遞增，求的取值范圍.19、（本小題滿分12分）已知函數在上單調遞減．（1）求實數的取值范圍；（2）當實數取最大值時，方程恰有二解，求實數的取值范圍；（3）若，求證:．（注：為自然對數的底數）參考答案1、答案B解析首先根據數量積最小值為0，得到相切且垂直，再利用切點導數為斜率，入手求得值,問題得解．詳解解：如圖，顯然的模不為0，故當最小值為0時,只能是圖中的情況，此時，，且,與函數圖象相切，根據對稱性，易得，設，，當時，，，，即，，，當時，，遞增，故其最小值為：，根據對稱性可知，函數在上最小值為．故選：．點睛此題考查了數量積，導數,指數函數單調性等，綜合性較強，難度適中．2、答案A解析構造函數，由于為奇函數，所以為偶函數，畫出函數草圖如圖所示，由圖可知的取值范圍是.考點：函數導數與不等式．，可構造函數.形如，可構造函數.本題中，為奇函數，所以為偶函數，結合題意就可以畫出函數圖象，分段討論函數值即可求得的取值范圍.3、答案B解析依題意，函數的圖象上存在關于對稱的不同兩點，則存在，，且，使得，則，因此，設，，故問題轉化為存在，使得函數與有交點，又在上恒成立，，∴函數在上單調遞增，故，因此，為使函數與有交點，只需.故選：B.4、答案D解析解：令，得，當時，無解，，則，令，因為有兩個零點，等價于與的圖象有兩個不同的交點，，當時，，當時，，則在上單調遞增，在上單調遞減，因此，，令，有，得．則，，即時，滿足條件，故的取值范圍為．故選：．5、答案C解析構造函數，則，∵，∴，即在上為增函數，由，即，即，即，故A錯誤；由，即，即，即，故B錯誤．，即，即，，故C正確；，即，即，故D錯誤；故選：C．6、答案D解析先令，由已知條件得到奇偶性及單調性，再由得或，分別解不等式即可.詳解：令，由為偶函數，，得，故為奇函數，且，又當時，，所以在上單調遞減，又為奇函數，所以在上單調遞減，令得或，解得或.故選：D.點睛本題考查構造函數，利用所構造函數的導數解決不等式的問題，涉及到函數單調性、奇偶性等性質，是一道中檔題.7、答案C解析對,取，則；對，取不等式不成立對,構造函數，則，，在單調遞增，在單調遞增，，即；對，取不等式不成立8、答案A解析由圖象可知，當時，；當時，，在上單調遞增，在上單調遞減，可知B錯誤，A正確；是極大值點，沒有極小值，和不是函數的極值點，可知C，D錯誤．故選：A9、答案A解析解：令，則，當時恒成立，所以在定義域上單調遞增，又，所以當時，故時不恒成立，故舍去；當時，令，得，所以當時，當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增，要使恒成立，只需即可，令，則，令解得，當時，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，又，所以，所以時，恒成立，故選：A10、答案D解析構造函數，根據條件判斷在上的單調性，然后將所求不等式分、和三種情況得到不等式的解集．詳解令，則，定義域為的函數滿足，，函數在上單調遞增，當時，由，知，當時，顯然不等式成立.當時，則，所以，整理得，即，所以，，得，則；當時，則，所以，整理得，即，所以，，得，則.綜上所述，原不等式的解集為.故選：D．點睛本題考查了利用函數的單調性解不等式和利用導數研究函數的單調性，考查了分類討論思想和函數思想，屬中檔題．11、答案A解析由題意得，，所以，所以函數為奇函數，即函數的圖象關于原點對稱，當時，，當時，恒成立，故選A.12、答案A解析由，得到，開口向上，排除，若為，即對稱軸為軸，有，解得，此時，所以；若為，有，既有，當時，，不合題意；當時，，符合題意，，此時故選A.點睛：三次函數的導函數為二次函數，利用特殊點結合二次函數的性質是解決本題的關鍵，二次函數性質的研究必需抓住的幾個特征為：開口，對稱軸，零點.13、答案解析對函數求導，函數有兩個極值點，，則，化簡得到，利用換元法令，則，構造函數，利用導數求出，結合將參數分離出來，構造函數，即可得出.詳解所以，令，所以令，則令，則所以在上單調遞減，所以所以在上單調遞減，所以令，則恒成立所以在上單調遞增，即點睛已知函數有零點，求參數取值范圍常用的方法和思路(1)直接法:直接根據題設條件構建關于參數的不等式;再通過解不等式確定參數范圍.(2)分離參數法:先將參數分離，轉化成求函數值城問題加以解決.(3)數形結合法:先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數的圖像，然后數形結合求解14、答案解析不等式可化為不等式，等價于存在實數a，b，對任意，不等式成立，等價于存在實數a，b，不等式成立，分別討論，，的情況，注意由任意性和存在性可知需先求出，再求即可解決.詳解不等式可化為不等式，原題等價于存在實數a，b，對任意，不等式成立，等價于存在實數a，b，不等式成立，令，則，（1）在上，當，即時，函數單調遞減，此時，當時，，且，則，當時，，且，則，從而當時，設，則在單調遞減，在單調遞增，所以時，取最小值，最小值為；（2）當時，由可得，y在上單調遞減，在上單調遞增，①在時，，則，同理可得，當時，，則在單調遞減，在單調遞增，故當時，取最小值，最小值為；②在時，，則，同理可得，當時，，則在單調遞減，在單調遞增，故當時，取最小值，最小值為，根據對勾函數的性質可得，.綜上所述，，即，.故答案為：.點睛本題考查函數綜合，考查了函數任意性和存在性問題的綜合，難度較大，關鍵在于根據任意性先對a進行討論求出，再對b進行分段得到分段函數，結合單調性和存在性的特點求出的最小值，屬難題.15、答案詳解：當時，，即，即，所以，令，則，①當時，，函數在上單調遞增，所以，不等式恒成立；②當時，令，解得，令，解得，所以函數在上單調遞減；在上單調遞增.所以，令，則，所以在上單調遞減，且，所以，所以.所以當時，不等式不成立.所以實數a的取值范圍是.故答案為：16、答案解析，由題意知在上恒成立且不恒為0，顯然時，恒成立，所以只需在上恒成立且不恒為0，即在上恒成立且不恒為0，所以只需當時，又當時，有，所以，即有最大值，所以，即.故答案為：.17、答案（Ⅰ）（Ⅱ）試題解析:（Ⅰ），依題意：當時，函數恒成立，即恒成立，記，則，所以在上單調遞增，所以，所以，即；（Ⅱ）因為，所以是上的增函數，又，，所以存在使得且當時，當時，所以的取值范圍是．又當，，當時，，所以當時，．且有∴．記，則，所以，即最小值的取值范圍是．解析18、答案（1）答案不唯一，具體見解析（2）（2）根據條件即求在恒成立的取值范圍，求出，即，分離參數，在恒成立，構造函數，只需，通過二次求導判斷的正負，進而判斷的單調性，求出；或，則至少有，，然后求，求出單調區間，進而求出，解不等式，即可得出結論.詳解（1）的定義域為，，當時，在上恒成立，所以在上遞減；當時，令，當時，，當時，，則在上遞減，在上遞增.（2）在恒成立，所以，即令，則有，令，則有在上恒成立.故在上為減函數，所以在上為減函數，則，故.另解令，則至少有.當時，則有，令，開口向上，對稱軸，故在上為增函數，所以在上為增函數，則，故.點睛本題考查導數在研究函數中的綜合應用，涉及到單調區間、最值，解題的關鍵要注意等價轉化構造函數，考查分類討論思想，屬于較難題.解析19、答案（1）；（2