7.3.5已知三角函數(shù)值求角利用三角函數(shù)線求角在單位圓中，eq\o(MP,\s\up6(→))是正弦線，eq\o(OM,\s\up6(→))是余弦線，eq\o(AT,\s\up6(→))是正切線，作出三角函數(shù)線，即可求得角的大小．利用三角函數(shù)圖像求角用三角函數(shù)的圖像解sinx＞a(或cosx＞a)，－1≤a≤1，的方法：(1)作出直線y＝a，y＝sinx(或y＝cosx)的圖像；(2)確定sinx＝a(或cosx＝a)的x值；(3)選取一個(gè)合適周期寫(xiě)出sinx＞a(或cosx＞a)的解集，要盡量使解集為一個(gè)連續(xù)區(qū)間．已知三角函數(shù)值求角的符號(hào)表示1．任意給定一個(gè)y∈[－1，1]，當(dāng)sinx＝y(tǒng)且x∈[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]時(shí)，通常記作x＝__arcsin__y__.2．在區(qū)間[0，π]內(nèi)，滿足cosx＝y(tǒng)(y∈[－1，1])的x只有一個(gè)(參見(jiàn)圖或余弦曲線)，這個(gè)x記作arccosy，即x＝__arccos__y__．3．在區(qū)間(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))內(nèi)，滿足tanx＝y(tǒng)(y∈R)的x只有一個(gè)(參見(jiàn)圖或正切曲線)，這個(gè)x記作arctany，即x＝__arctan__y__．已知三角函數(shù)值求角1．若α是三角形的一個(gè)內(nèi)角，且sinα＝eq\f(1,2)，則α等于eq\a\vs4\al(（B）)A．30°B．30°或150°C．60°D．120°或60°解析：根據(jù)sinα＝eq\f(1,2)，因?yàn)槿籀潦侨切蔚囊粋€(gè)內(nèi)角，所以可得α等于30°或150°.故選B.2．函數(shù)y＝arccoseq\f(1,\r(x))的值域是eq\a\vs4\al(（A）)A．[0，eq\f(π,2))B．(0，eq\f(π,2)]C．[0，π)D．(0，π]解析：0＜eq\f(1,\r(x))≤1?0≤y＜eq\f(π,2).故選A.3．方程cos2x＝－eq\f(\r(3),2)的解集為_(kāi)_{x|x＝kπ±eq\f(5π,12)，k∈Z}__．解析：滿足方程cos2x＝－eq\f(\r(3),2)的解集為令2x＝2kπ±eq\f(5π,6)，k∈Z，解得x＝kπ±eq\f(5π,12)，k∈Z，故解集為{x|x＝kπ±eq\f(5π,12)，k∈Z}．4．(1)arcsineq\f(1,2)＝__eq\f(π,6)__；(2)arccos(－eq\f(1,2))＝__eq\f(2π,3)__；(3)arctan1＝__eq\f(π,4)__．解析：(1)sineq\f(π,6)＝eq\f(1,2)，∴arcsineq\f(1,2)＝eq\f(π,6).(2)∵coseq\f(2π,3)＝－eq\f(1,2)，∴arccos(－eq\f(1,2))＝eq\f(2π,3).(3)∵taneq\f(π,4)＝1，∴arctan1＝eq\f(π,4).5．已知sinx＝eq\f(\r(2),2)，且x∈[0，2π]，求x的取值集合．解：由正弦曲線可知y＝sinx在[0，eq\f(π,2)]上是增函數(shù)，且sineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)，y＝sinx在[eq\f(π,2)，eq\f(3π,2)]上是減函數(shù)，且sineq\f(3π,4)＝eq\f(\r(2),2)，也就是說(shuō)符合條件的角有且只有兩個(gè)，即第一象限角eq\f(π,4)或第二象限角eq\f(3π,4)，于是所求的x的集合是{eq\f(π,4)，eq\f(3π,4)}．解不等式6．在[0，2π]上滿足sinx≥eq\f(1,2)的x的取值范圍是eq\a\vs4\al(（B）)A．[0，eq\f(π,6)]B．[eq\f(π,6)，eq\f(5π,6)]C．[eq\f(π,6)，eq\f(2π,3)]D．[eq\f(5π,6)，π]解析：先畫(huà)出函數(shù)y＝sinx在[0，2π]上的圖像，并在圖像的“尖”(即圓弧頂)處找出滿足sinx＝eq\f(1,2)的兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的x的值，即eq\f(π,6)和eq\f(5π,6)，∴在[0，2π]上滿足sinx≥eq\f(1,2)的x的取值范圍是[eq\f(π,6)，eq\f(5π,6)]．故選B.7．當(dāng)0＜x＜π時(shí)，使tanx＜－1成立的x的取值范圍為_(kāi)_(eq\f(π,2)，eq\f(3π,4))__．解析：由正切函數(shù)的圖像知，當(dāng)0＜x＜π時(shí)，若tanx＜－1，則eq\f(π,2)＜x＜eq\f(3π,4)，即實(shí)數(shù)x的取值范圍是(eq\f(π,2)，eq\f(3π,4))．8．求不等式cosx＜eq\f(1,2)的解集．解：先畫(huà)出函數(shù)y＝cosx在[0，2π]上的圖像，在“底”處找出滿足cosx＝eq\f(1,2)的兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的x的值為eq\f(π,3)和eq\f(5π,3)，∴在[0，2π]上滿足cosx＜eq\f(1,2)的解是eq\f(π,3)＜x＜eq\f(5π,3)，∴在R上不等式cosx＜eq\f(1,2)的解集是{x|2kπ＋eq\f(π,3)＜x＜2kπ＋eq\f(5π,3)，k∈Z}．9．求不等式sin(2x＋eq\f(π,6))≥－eq\f(1,2)的解集．解：設(shè)2x＋eq\f(π,6)＝t，則原不等式化為sint≥－eq\f(1,2)，∴在[－eq\f(π,2)，eq\f(3π,2)]上滿足sint為－eq\f(1,2)的t為－eq\f(π,6)和eq\f(7π,6)，∴在[－eq\f(π,2)，eq\f(3π,2)]上sint≥－eq\f(1,2)的解是－eq\f(π,6)≤t≤eq\f(7π,6).∴在R上不等式sint≥－eq\f(1,2)的解是2kπ－eq\f(π,6)≤t≤2kπ＋eq\f(7π,6)(k∈Z)，∴2kπ－eq\f(π,6)≤2x＋eq\f