專題一核心考點(diǎn)速查練考點(diǎn)10概率與統(tǒng)計(jì)核心考點(diǎn)呈現(xiàn)1.隨機(jī)事件的概率與頻率2.互斥事件與對(duì)立事件的判定及其概率3.相互獨(dú)立事件的概率4.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布5.正態(tài)分布及其應(yīng)用方法6.離散型隨機(jī)變量的均值和方差7.均值與方差性質(zhì)的應(yīng)用8.超幾何分布、離散型隨機(jī)變量的期望、方差的應(yīng)用9.樣本的數(shù)字特征10.頻率分布直方圖及其應(yīng)用方法11.利用回歸直線方程對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)的方法12.獨(dú)立性檢驗(yàn)的解題方法1．下列說法錯(cuò)誤的是（）A．回歸直線一定經(jīng)過樣本點(diǎn)中心B．兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值就越接近1C．對(duì)分類變量與，若越大，則“與有關(guān)的把握程度越小”D．在回歸方程中，每當(dāng)隨機(jī)變量每增加1個(gè)單位時(shí)，預(yù)報(bào)變量就平均增加個(gè)單位【答案】C【解析】根據(jù)相關(guān)定義分析知A、B、D正確；C中對(duì)分類變量與的隨機(jī)變量的觀測(cè)值來說，越大，“與有關(guān)系”的招把握程度越大，故C不正確，故選C．2．某商場(chǎng)進(jìn)行購物摸獎(jiǎng)活動(dòng)，規(guī)則是：在一個(gè)封閉的紙箱中裝有標(biāo)號(hào)分別為1，2，3，4，5的五個(gè)小球，每次摸獎(jiǎng)需要同時(shí)取出兩個(gè)球，每位顧客最多有兩次摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，并規(guī)定：若第一次取出的兩球號(hào)碼連號(hào)，則中獎(jiǎng)，摸獎(jiǎng)結(jié)束；若第一次未中獎(jiǎng)，則將這兩個(gè)小球放回后進(jìn)行第二次摸球.若與第一次取出的兩個(gè)小球號(hào)碼相同，則為中獎(jiǎng).按照這樣的規(guī)則摸獎(jiǎng)，中獎(jiǎng)的概率為().A． B． C． D．【答案】C【解析】分兩種情況，第一種第一次摸到連號(hào)，則概率為，第二種情況對(duì)應(yīng)概率為，所以概率為，故選C。3．已知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率是40％．現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定l，2，3，4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果．經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下10組隨機(jī)數(shù)：907966191925271431932458569683．該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為：（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意知模擬三次投籃的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了10組隨機(jī)數(shù)，在10組隨機(jī)數(shù)中表示三次投籃恰有兩次命中的有：191、932、271、共3組隨機(jī)數(shù)，故所求概率為：.故答案為C.4．設(shè)隨機(jī)變量的分布列為，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于，故，所以選C。5．已知一袋中有標(biāo)有號(hào)碼、、的卡片各一張，每次從中取出一張，記下號(hào)碼后放回，當(dāng)三種號(hào)碼的卡片全部取出時(shí)即停止，則恰好取次卡片時(shí)停止的概率為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由于第5次停止抽取，所以前四次抽卡片中有且只有兩種編號(hào)，所以總的可能有種；所以恰好第5次停止取卡片的概率為.本題選擇B選項(xiàng).6．將7個(gè)相同的小球投入甲、乙、丙、丁4個(gè)不同的小盒中，每個(gè)小盒中至少有1個(gè)小球，那么甲盒中恰好有3個(gè)小球的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】將7個(gè)相同的小球投入甲、乙、丙、丁4個(gè)不同的小盒中，每個(gè)小盒中至少有1個(gè)小球有種放法，甲盒中恰好有3個(gè)小球有種放法，結(jié)合古典概型計(jì)算公式可得題中問題的概率值為.7．有5本不同的書，其中語文書2本，數(shù)學(xué)書2本，物理書1本，若將其隨機(jī)地并排擺放到書架的同一層上，則同一科目的書卻不相鄰的概率是()．A．15B．25C．3【答案】B【解析】法一、（將位置固定）英語在第一或第五個(gè)位置，共有：2!×2!×2×2=16種；英語在第二或第四個(gè)位置，共有：2!×2!×2×2=16種；英語在第三個(gè)位置，共有：種；所以p=48法二、（不固定位置）首先排英語和數(shù)學(xué)，有兩類：數(shù)學(xué)不相鄰“數(shù)英數(shù)”，數(shù)學(xué)相鄰“數(shù)數(shù)英或英數(shù)數(shù)”.數(shù)學(xué)不相鄰，則語文來插空，有種；數(shù)學(xué)相鄰，則必先選一本語文插在數(shù)學(xué)中間，共有種。所以p=485!=8．命題：①為了了解800名學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)某項(xiàng)教改試驗(yàn)的意見，打算從中抽取一個(gè)容量為40的樣本，考慮用系統(tǒng)抽樣，則分段的間隔為40；②線性回歸方程恒過樣本中心，且至少過一個(gè)樣本點(diǎn)；③在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果服從正太分布，若在內(nèi)取值的概率為0．1，則在內(nèi)取值的概率為0．4；其中真命題的個(gè)數(shù)為（）A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】①由題意知本題是一個(gè)系統(tǒng)抽樣，總體中個(gè)體數(shù)是800，樣本容量是40，根據(jù)系統(tǒng)抽樣的步驟，得到分段的間隔，故①是假命題；②線性回歸直線方程恒過樣本中心，但不一定過樣本點(diǎn)，故②是假命題；③由于服從正態(tài)分布，則正態(tài)分布圖象的對(duì)稱軸為，故在內(nèi)取值的概率為，又由在內(nèi)取值的概率為，則在內(nèi)取值的概率為，故在內(nèi)取值的概率為，故③是真命題；故選：B．9．在二項(xiàng)式的展開式，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，把展開式中所有的項(xiàng)重新排成一列，有理數(shù)都互不相鄰的概率為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】展開式通項(xiàng)為（），由題意，．所以當(dāng)時(shí)為整數(shù)，相應(yīng)的項(xiàng)為有理數(shù)，因此題二項(xiàng)式展開式中共有9項(xiàng)，其中有3項(xiàng)是有理數(shù)，6項(xiàng)是無理數(shù)，所求概率為．故選D．10．將3個(gè)相同的紅色玩偶和3個(gè)相同的黃色玩偶在展柜中自左向右排成一排，如果滿足：從任何一個(gè)位置（含這個(gè)位置）開始向右數(shù)，數(shù)到最末一個(gè)玩偶，紅色玩偶的個(gè)數(shù)大于或等于黃色玩偶的個(gè)數(shù)，就稱這種排列為“有效排列”，則出現(xiàn)“有效排列”的概率為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意6個(gè)玩偶由3個(gè)相同的紅色玩偶和3個(gè)相同的黃色玩偶組成，自左向右排成一排全部的排法有種，構(gòu)成“有效排列”的有：（黃黃黃紅紅紅），（黃紅黃紅黃紅），（黃黃紅紅黃紅），（黃黃紅黃紅紅），（黃紅黃黃紅紅）共5種，所以出現(xiàn)“有效排列”的概率為，故選B．11．位于數(shù)軸原點(diǎn)的一只電子兔沿著數(shù)軸按下列規(guī)則移動(dòng)：電子兔每次移動(dòng)一個(gè)單位，移動(dòng)的方向向左或向右，并且向左移動(dòng)的概率為，向右移動(dòng)的概率為，則電子兔移動(dòng)五次后位于點(diǎn)的概率是 （） A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意，質(zhì)點(diǎn)P移動(dòng)五次后位于點(diǎn)（-1，0），其中向左移動(dòng)3次，向右移動(dòng)2次；其中向左平移的3次有C53種情況，剩下的2次向右平移；則其概率為C53×（）2×（）3=，故選D．12．已知隨機(jī)變量滿足，，其中.令隨機(jī)變量，則（）A． B．C． D．【答案】D【解析】隨機(jī)變量滿足,,其中.則隨機(jī)變量的分布列為:所以隨機(jī)變量,所以當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),所以隨機(jī)變量的分布列如下表所示(當(dāng)時(shí),只有一個(gè)情況,概率為1):則當(dāng)即,解得.所以A、B錯(cuò)誤.恒成立.所以C錯(cuò)誤,D正確故選:D13．國(guó)際羽毛球比賽規(guī)則從2022年5月開始，正式?jīng)Q定實(shí)行21分的比賽規(guī)則和每球得分制，并且每次得分者發(fā)球，所有單項(xiàng)的每局獲勝分至少是21分，最高不超過30分，即先到21分的獲勝一方贏得該局比賽，如果雙方比分為時(shí)，獲勝的一方需超過對(duì)方2分才算取勝，直至雙方比分打成時(shí)，那么先到第30分的一方獲勝.在一局比賽中，甲發(fā)球贏球的概率為，甲接發(fā)球贏球的概率為，則在比分為，且甲發(fā)球的情況下，甲以贏下比賽的概率為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)雙方20：20平后的第k個(gè)球甲獲勝為事件Ak（k＝1，2，3，…），則P（甲以贏）＝P（A2A3A4）+P（）＝P（）P（A2）P（A3）P（A4）+P（A1）P（）P（A3）P（A4）＝（）+（）＝．14．隨機(jī)變量的分布列如下表所示,在的前提條件下,不等式對(duì)恒成立的概率為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】,結(jié)合可得根據(jù)得故解得:要保證不等式對(duì)恒成立,需滿足解得:則不等式對(duì)恒成立的概率為:故選:B.15．已知隨機(jī)變量，其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，若向長(zhǎng)方形中隨機(jī)投擲1點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好落在陰影部分的概率為（）附：若隨機(jī)變量，則，.A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，根據(jù)正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性，可得：，故所求的概率為.故選D.16．設(shè)同時(shí)拋擲兩個(gè)質(zhì)地均勻的四面分別標(biāo)有1，2，3，4的正四面體一次.記事件{第一個(gè)四面體向下的一面出現(xiàn)偶數(shù)}；事件{第二個(gè)四面體向下的一面出現(xiàn)奇數(shù)}；{兩個(gè)四面體向下的一面或者同時(shí)出現(xiàn)奇數(shù)或者同時(shí)出現(xiàn)偶數(shù)}.給出下列說法：①；②；③；④，其中正確的有（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】D【解析】故①④對(duì)，故②對(duì)，事件不可能同時(shí)發(fā)生，，故③錯(cuò)故選：D。17．現(xiàn)有一條零件生產(chǎn)線，每個(gè)零件達(dá)到優(yōu)等品的概率都為.某檢驗(yàn)員從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽檢個(gè)零件，設(shè)其中優(yōu)等品零件的個(gè)數(shù)為.若，，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，∴，化簡(jiǎn)得，即，又，解得或，∴，故選C．18．設(shè)X-NμA．P(Y≥C．對(duì)任意正數(shù)t，P(X≤t)【答案】C【解析】P(Y≥μ2)=1219．甲乙兩人進(jìn)行乒乓球賽，現(xiàn)采用三局兩勝的比賽制度，規(guī)定每局比賽都沒有平局（必須分出勝負(fù)），且每一局甲贏的概率都是，隨機(jī)變量表示最終的比賽局?jǐn)?shù)，若，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】隨機(jī)變量可能的取值為..，故的分布列為：23故因?yàn)椋剩蔄、B錯(cuò)誤.而，令，因?yàn)椋剩藭r(shí)，必成立，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：D.20．有甲、乙兩個(gè)盒子，甲盒子里有個(gè)紅球，乙盒子里有個(gè)紅球和個(gè)黑球，現(xiàn)從乙盒子里隨機(jī)取出個(gè)球放入甲盒子后，再從甲盒子里隨機(jī)取一球，記取到的紅球個(gè)數(shù)為個(gè)，則隨著的增加，下列說法正確的是（）A．增加，增加 B．增加，減小C．減小，增加 D．減小，減小【答案】C【解析】由題意可知，從乙盒子里隨機(jī)取出個(gè)球，含有紅球個(gè)數(shù)服從超幾何分布，即，其中，其中，且，.故從甲盒中取球，相當(dāng)于從含有個(gè)紅球的個(gè)球中取一球，取到紅球個(gè)數(shù)為.故，隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，所以，隨著的增大，減小；，隨著的增大，增大.故選：C.21．設(shè)，隨機(jī)變量的分布列如下：則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)（）A．減小，減小 B．增大，增大C．增大，減小 D．減小，增大【答案】B【解析】,當(dāng)在內(nèi)增大時(shí),增大，當(dāng)在內(nèi)增大時(shí),增大故答案選B22．己知甲盒中有2個(gè)紅球，1個(gè)藍(lán)球，乙盒中有1個(gè)紅球，2個(gè)籃球，從甲乙兩個(gè)盒中各取1球放入原來為空的丙盒中，現(xiàn)從甲盒中取1個(gè)球，記紅球的個(gè)數(shù)為，從乙盒中取1個(gè)球，記紅球的個(gè)數(shù)為，從丙盒中取1個(gè)球，記紅球的個(gè)數(shù)為，則下列說法正確的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】隨機(jī)變量可取值，其中，，故，.隨機(jī)變量可取值，，，故，.隨機(jī)變量可取值，當(dāng)時(shí)，丙盒中無紅球或有一個(gè)紅球，無紅球的概率為，有一個(gè)紅球的概率為，故，，故，.綜上，，故選C.23．已知隨機(jī)變量ξ的分布列，則下列說法正確的是()A．存在x，y∈(0，1)，E(ξ)> B．對(duì)任意x，y∈(0，1)，E(ξ)≤C．對(duì)任意x，y∈(0，1)，D(ξ)≤E(ξ) D．存在x，y∈(0，1)，D(ξ)>【答案】C【解析】依題意可得，因?yàn)樗约垂剩e(cuò)誤；即，故成立；故錯(cuò)誤故選：24．有下列說法：①一支田徑隊(duì)有男女運(yùn)動(dòng)員98人，其中男運(yùn)動(dòng)員有56人．按男、女比例用分層抽樣的方法，從全體運(yùn)動(dòng)員中抽出一個(gè)容量為28的樣本，那么應(yīng)抽取女運(yùn)動(dòng)員人數(shù)是12人；②在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果X服從正態(tài)分布N（1，σ2）（σ＞0），若X在（0，1）內(nèi)取值的概率為，則X在（0，2）內(nèi)取值的概率為．③廢品率x%和每噸生鐵成本y（元）之間的回歸直線方程為2x+256，這表明廢品率每增加1%，生鐵成本大約增加258元；④為了檢驗(yàn)?zāi)撤N血清預(yù)防感冒的作用，把500名未使用血清和使用血清的人一年中的感冒記錄作比較，提出假設(shè)H0：“這種血清不能起到預(yù)防作用”，利用2×2列聯(lián)表計(jì)算得K2的觀測(cè)值k≈，經(jīng)查對(duì)臨界值表知P（K2≥3841）≈，由此，得出以下判斷：在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為“這種血清能起到預(yù)防的作用”，正確的有（）A．①②④ B．①②③ C．①③ D．③④【答案】A【解析】①∵田徑隊(duì)有男女運(yùn)動(dòng)員98人,其中男運(yùn)動(dòng)員有56人,

∴這支田徑隊(duì)有女運(yùn)動(dòng)員98-56=42人,

用分層抽樣的方法從該隊(duì)的全體運(yùn)動(dòng)員中抽取一個(gè)容量為28的樣本,

∴每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是,

∵田徑隊(duì)有女運(yùn)動(dòng)員42人,

∴女運(yùn)動(dòng)員要抽取.故①正確；

②根據(jù)正態(tài)分布的規(guī)律,測(cè)量結(jié)果X服從正態(tài)分布N（1,σ2）（σ＞0）,若X在（0,1）內(nèi)取值的概率為,則X在（0,2）內(nèi)取值的概率為.故②正確；

③廢品率和每噸生鐵成本（元）之間的回歸直線方程為這表明廢品率每增加,生鐵成本每噸大約增加2元,故③不正確；

④根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法與結(jié)論可知,④正確．

故選：A．25．某中學(xué)2022年的高考考生人數(shù)是2022年高考考生人數(shù)的倍，為了更好地對(duì)比該校考生的升學(xué)情況，統(tǒng)計(jì)了該校2022年和2022年的高考情況，得到如圖柱狀圖：則下列結(jié)論正確的是（）A．與2022年相比，2022年一本達(dá)線人數(shù)減少B．與2022年相比，2022二本達(dá)線人數(shù)增加了倍C．2022年與2022年藝體達(dá)線人數(shù)相同D．與2022年相比，2022年不上線的人數(shù)有所增加【答案】D【解析】設(shè)2022年該校參加高考的人數(shù)為，則2022年該校參加高考的人數(shù)為.對(duì)于選項(xiàng)年一本達(dá)線人數(shù)為.2022年一本達(dá)線人數(shù)為，可見一本達(dá)線人數(shù)增加了，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，2022年二本達(dá)線人數(shù)為，2022年二本達(dá)線人數(shù)為，顯然2022年二本達(dá)線人數(shù)不是增加了倍，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，2022年和2022年.藝體達(dá)線率沒變，但是人數(shù)是不相同的，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，2022年不上線人數(shù)為.2022年不上線人數(shù)為.不達(dá)線人數(shù)有所增加.故選D.26．為了節(jié)能減排，發(fā)展低碳經(jīng)濟(jì)，我國(guó)政府從2022年起就通過相關(guān)扶植政策推動(dòng)新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展.下面的圖表反映了該產(chǎn)業(yè)發(fā)展的相關(guān)信息：2022年2月份新能源汽車銷量結(jié)構(gòu)圖根據(jù)上述圖表信息，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．2022年4月份我國(guó)新能源汽車的銷量高于產(chǎn)量B．2022年3月份我國(guó)新能源汽車的產(chǎn)量不超過萬輛C．2022年2月份我國(guó)插電式混合動(dòng)力汽車的銷量低于1萬輛D．2022年我國(guó)新能源汽車總銷量超過70萬輛【答案】C【解析】由圖表可知：對(duì)于選項(xiàng)A中，2022年4月份我國(guó)新能源汽車的銷量為萬輛，產(chǎn)量為萬輛，所以是正確的；對(duì)于選項(xiàng)B中，2022年3月份我國(guó)新能源汽車的產(chǎn)量為萬輛，所以是正確的；對(duì)于選項(xiàng)C中，2022年2月份我國(guó)插電混合動(dòng)力汽車的銷量為萬輛，所以不正確；對(duì)于D中，2022年我國(guó)新能源汽車總銷量為萬輛，所以是正確的，故選C．27．某公司生產(chǎn)的某種產(chǎn)品，如果年返修率不超過千分之一，則其生產(chǎn)部門當(dāng)年考核優(yōu)秀，現(xiàn)獲得該公司2022-2022年的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：年份20222022202220222022202220222022年生產(chǎn)臺(tái)數(shù)（萬臺(tái)）2345671011該產(chǎn)品的年利潤(rùn)（百萬元）36年返修臺(tái)數(shù)（臺(tái)）2122286580658488部分計(jì)算結(jié)果：，，，，注：（Ⅰ）從該公司2022-2022年的相關(guān)數(shù)據(jù)中任意選取3年的數(shù)據(jù)，以表示3年中生產(chǎn)部門獲得考核優(yōu)秀的次數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）根據(jù)散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)2022年數(shù)據(jù)偏差較大，如果去掉該年的數(shù)據(jù)，試用剩下的數(shù)據(jù)求出年利潤(rùn)（百萬元）關(guān)于年生產(chǎn)臺(tái)數(shù)（萬臺(tái)）的線性回歸方程（精確到）.附：線性回歸方程中，，.【答案】（1）見解析；（2）【解析】（1）由數(shù)據(jù)可知，，，，，五個(gè)年份考核優(yōu)秀的所有可能取值為，，，，，，故的分布列為：則數(shù)學(xué)期望（2）解法一：故去掉年的數(shù)據(jù)之后：，所以，從而回歸方程為：解法二：因?yàn)椋匀サ裟甑臄?shù)據(jù)后不影響的值所以而去掉年的數(shù)據(jù)之后，從而回歸方程為：28．為了應(yīng)對(duì)日益嚴(yán)重的交通壓力和空氣質(zhì)量問題，某城市準(zhǔn)備出臺(tái)新的交通限行政策，為了了解市民對(duì)“汽車限行”的態(tài)度，在當(dāng)?shù)厥忻裰须S機(jī)選取100人進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查情況如表：年齡段[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75]調(diào)查人數(shù)51520n2010贊成人數(shù)3121718162（Ⅰ）求出表格中n的值，并完成參與調(diào)查的市民年齡的頻率分布直方圖；（Ⅱ）從這100人中任選1人，若這個(gè)人贊成汽車限行，求其年齡在[35，45）的概率；（Ⅲ）若從年齡在[45，55）的參與調(diào)查的市民中按照是否贊成汽車限行進(jìn)行分層抽樣，從中抽取10人參與某項(xiàng)調(diào)查，然后再從這10人中隨機(jī)抽取3人參加座談會(huì)，記這3人中贊成汽車限行的人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】（I）見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）由題意知，，填寫頻率分布表如下；年齡段調(diào)查人數(shù)51520302010頻率畫出頻率分布直方圖如下（Ⅱ）從這100人中任選1人，則這個(gè)人贊成汽車限行，且年齡在的概率為；（Ⅲ）從年齡在中按分層抽樣抽取10人，贊成的抽取（人），不贊成的抽取4人，再從這10人中隨機(jī)抽取3人，則隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，3；計(jì)算，，，；∴X的分布列為：X0123P數(shù)學(xué)期望值為．29．為增強(qiáng)市民的節(jié)能環(huán)保意識(shí)，鄭州市面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者，從符合條件的500名志愿者中隨機(jī)抽取100名，其年齡頻率分布直方圖如圖所示，其中年齡分組區(qū)是：．（Ⅰ）求圖中的值，并根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這500名志愿者中年齡在歲的人數(shù)；（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年齡采用分層抽樣的方法抽取10名參加中心廣場(chǎng)的宣傳活動(dòng)，再從這10名志愿者中選取3名擔(dān)任主要負(fù)責(zé)人．記這3名志愿者中“年齡低于35歲”的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】（Ⅰ），人；（Ⅱ）的分布列見解析，．【解析】（Ⅰ）∵小矩形的面積等于頻率，∴除外的頻率和為，∴500名志愿者中，年齡在歲的人數(shù)為（人）（Ⅱ）用分層抽樣的方法，從中選取10名，則其中年齡“低于35歲”的人有6名，“年齡不低于35歲”的人有4名，故的可能取值為．，，，．故的分布列為0123所以．30．為弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化，某校舉行詩詞大賽.經(jīng)過層層選拔,最終甲乙兩人進(jìn)入總決賽,爭(zhēng)奪冠軍.決賽規(guī)則如下：①比賽共設(shè)有五道題；②雙方輪流答題，每次回答一道，兩人答題的先后順序通過抽簽決定；③若答對(duì)，自己得1分；若答錯(cuò)，則對(duì)方得1分；④先得3分者獲勝.已知甲、乙答對(duì)每道題的概率分別為和，且每次答題的結(jié)果相互獨(dú)立.（Ⅰ）若乙先答題，求甲3:0獲勝的概率；（Ⅱ）若甲先答題，記乙所得分?jǐn)?shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（I）；（II）分布列見解析，期望為.【解析】（Ⅰ）分別記“甲、乙回答正確”為事件，“甲3:0獲勝”為事件,則,.由事件的獨(dú)立性和互斥性得:,.（Ⅱ）的所有可能取值為.0,1,2,3.,,,.(或.)的分布列為：.31．（本小題滿分10分）甲、乙、丙三名射擊運(yùn)動(dòng)員射中目標(biāo)的概率分別為12,a,a（1）求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）在概率P(ξ=i)(i【答案】（1）4a+ξ

0

1

2

3

P

12(1－a)212(1－a2)12(2a－a2)a（2）(解析(1)P(ξ)是“ξ個(gè)人命中，3－ξ個(gè)人未命中”的概率．其中ξ的可能取值為0、1、2、3.P(ξ＝0)＝C10(1-12)CP(ξ＝1)＝C11·12C20(1－a)2＋C10(1-P(ξ＝2)＝C11·12C21a(1－a)＋C10(1-12P(ξ＝3)＝C11·12C22所以ξ的分布列為ξ0123P12(1－a)12(1－a212(2a－a2aξ的數(shù)學(xué)期望為E(ξ)＝0×12(1－a)2＋1×12(1－a2)＋2×12(2a－a2)＋3×a(2)P(ξ＝1)－P(ξ＝0)＝12[(1－a2)－(1－a)2P(ξ＝1)－P(ξ＝2)＝12[(1－a2)－(2a－a2)]＝1-2aP(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝12[(1－a2)－a2]＝1-2由a(1-a)≥0,1-2a2≥0,1-2a32．某鋼鐵加工廠新生產(chǎn)一批鋼管，為了了解這批產(chǎn)品的質(zhì)量狀況，檢驗(yàn)員隨機(jī)抽取了件鋼管作為樣本進(jìn)行檢測(cè)，將它們的內(nèi)徑尺寸作為質(zhì)量指標(biāo)值，由檢測(cè)結(jié)果得如下頻率分布表和頻率分布直方圖：分組頻數(shù)頻率合計(jì)（1）求，；（2）根據(jù)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：鋼管內(nèi)徑尺寸大于等于或小于為不合格，鋼管內(nèi)徑尺寸在或?yàn)楹细瘢摴軆?nèi)徑尺寸在為優(yōu)等.鋼管的檢測(cè)費(fèi)用為元/根，把樣本的頻率分布作為這批鋼管的概率分布.（i）若從這批鋼管中隨機(jī)抽取根，求內(nèi)徑尺寸為優(yōu)等鋼管根數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望；（ii）已知這批鋼管共有根，若有兩種銷售方案：第一種方案：不再對(duì)該批剩余鋼管進(jìn)行檢測(cè)，扣除根樣品中的不合格鋼管后，其余所有鋼管均以元/根售出；第二種方案：對(duì)該批鋼管進(jìn)行一一檢測(cè)，不合格鋼管不銷售，并且每根不合格鋼管損失元，合格等級(jí)的鋼管元/根，優(yōu)等鋼管元/根.請(qǐng)你為該企業(yè)選擇最好的銷售方案，并說明理由.【答案】（1）,（2）（i）分布列見解析，期望為（ii）當(dāng)時(shí)，按第一種方案，時(shí)，第一、二種方案均可，時(shí)，按第二種方案.【解析】（1）由題意知：，所以，所以.（2）（i）由（1）知，鋼管內(nèi)徑尺寸為優(yōu)等的概率為，所有可能的取值為，，，，，，，，故的分布列為（ii）按第一種方案：，按第二種方案：，，若時(shí)，，則按第一種方案，若時(shí)，，則第一、第二方案均可，若時(shí)，，則按第二種方案，故當(dāng)時(shí)，按第一種方案，時(shí)，第一、二種方案均可，時(shí)，按第二種方案.33．某地區(qū)為貫徹習(xí)近平總書記關(guān)于“綠水青山就是金山銀山”的精神，鼓勵(lì)農(nóng)戶利用荒坡種植果樹.某農(nóng)戶考察三種不同的果樹苗、、，經(jīng)引種試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，引種樹苗的自然成活率為，引種樹苗、的自然成活率均為.（1）任取樹苗、、各一棵，估計(jì)自然成活的棵數(shù)為，求的分布列及；（2）將（1）中的取得最大值時(shí)的值作為種樹苗自然成活的概率.該農(nóng)戶決定引種棵種樹苗，引種后沒有自然成活的樹苗中有的樹苗可經(jīng)過人工栽培技術(shù)處理，處理后成活的概率為，其余的樹苗不能成活.①求一棵種樹苗最終成活的概率；②若每棵樹苗引種最終成活后可獲利300元，不成活的每棵虧損50元，該農(nóng)戶為了獲利不低于20萬元，問至少引種種樹苗多少棵？【答案】（1）詳見解析；（2）①；②700棵.【解析】（1）依題意，的所有可能值為0，1，2，3.則；，即，，；的分布列為：0123所以.（2）當(dāng)時(shí)，取得最大值.①一棵樹苗最終成活的概率為.②記為棵樹苗的成活棵數(shù)，為棵樹苗的利潤(rùn)，則，，，，要使，則有.所以該農(nóng)戶至少種植700棵樹苗，就可獲利不低于20萬元.34．“工資條里顯紅利,個(gè)稅新政人民心”.隨著2022年新年鐘聲的敲響,我國(guó)自1980年以來,力度最大的一次個(gè)人所得稅(簡(jiǎn)稱個(gè)稅)改革迎來了全面實(shí)施的階段.2022年1月1日實(shí)施的個(gè)稅新政主要內(nèi)容包括：（1）個(gè)稅起征點(diǎn)為5000元；（2）每月應(yīng)納稅所得額(含稅)＝收入－個(gè)稅起征點(diǎn)－專項(xiàng)附加扣除；（3）專項(xiàng)附加扣除包括住房、子女教育和贍養(yǎng)老人等.新舊個(gè)稅政策下每月應(yīng)納稅所得額(含稅)計(jì)算方法及其對(duì)應(yīng)的稅率表如下：舊個(gè)稅稅率表(個(gè)稅起征點(diǎn)3500元)新個(gè)稅稅率表(個(gè)稅起征點(diǎn)5000元)繳稅級(jí)數(shù)每月應(yīng)納稅所得額(含稅)＝收入－個(gè)稅起征點(diǎn)稅率(%)每月應(yīng)納稅所得額(含稅)＝收入－個(gè)稅起征點(diǎn)-專項(xiàng)附加扣除稅率(%)1不超過1500元部分3不超過3000元部分32超過1500元至4500元部分10超過3000元至12000元部分103超過4500元至9000元的部分20超過12000元至25000元的部分204超過9000元至35000元的部分25超過25000元至35000元的部分255超過35000元至55000元部分30超過35000元至55000元部分30···············隨機(jī)抽取某市1000名同一收入層級(jí)的從業(yè)者的相關(guān)資料,經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析,預(yù)估他們2022年的人均月收入24000元.統(tǒng)計(jì)資料還表明,他們均符合住房專項(xiàng)扣除；同時(shí),他們每人至多只有一個(gè)符合子女教育扣除的孩子,并且他們之中既不符合子女教育扣除又不符合贍養(yǎng)老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合贍養(yǎng)老人扣除、只符合贍養(yǎng)老人扣除但不符合子女教育扣除、即符合子女教育扣除又符合贍養(yǎng)老人扣除的人數(shù)之比是2:1:1:1；此外,他們均不符合其他專項(xiàng)附加扣除.新個(gè)稅政策下該市的專項(xiàng)附加扣除標(biāo)準(zhǔn)為：住房1000元/月,子女教育每孩1000元/月,贍養(yǎng)老人2000元/月等。假設(shè)該市該收入層級(jí)的從業(yè)者都獨(dú)自享受專項(xiàng)附加扣除,將預(yù)估的該市該收入層級(jí)的從業(yè)者的人均月收入視為其個(gè)人月收入.根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想,解決如下問題：（1）設(shè)該市該收入層級(jí)的從業(yè)者2022年月繳個(gè)稅為元,求的分布列和期望；（2）根據(jù)新舊個(gè)稅方案,估計(jì)從2022年1月開始，經(jīng)過多少個(gè)月,該市該收入層級(jí)的從業(yè)者各月少繳交的個(gè)稅之和就超過2022年的月收入？【答案】（1）見解析（2）經(jīng)過12個(gè)月，該收入層級(jí)的從業(yè)者少繳交的個(gè)稅的總和就超過2022年的月收入【解析】（1）既不符合子女教育扣除也不符合贍養(yǎng)老人扣除的人群每月應(yīng)納稅所得額為，月繳個(gè)稅；只符合子女教育扣除但不符合贍養(yǎng)老人扣除的人群每月應(yīng)納稅所得額為，月繳個(gè)稅；只符合贍養(yǎng)老人扣除但不符合子女教育扣除的人群每月應(yīng)納稅所得額為，月繳個(gè)稅；既符合子女教育扣除又符合贍養(yǎng)老人扣除的人群每月應(yīng)納稅所得額為，月繳個(gè)稅；所以的可能值為2190，1990，1790，1590,依題意，上述四類人群的人數(shù)之比是2:1:1:1，所以，，，.,所以的分布列為2190199017901590所以..（2）因?yàn)樵谂f政策下該收入層級(jí)的從業(yè)者2022年每月應(yīng)納稅所得額為，其月繳個(gè)稅為,因?yàn)樵谛抡呦略撌杖雽蛹?jí)的從業(yè)者2022年月繳個(gè)稅為1950，所以該收入層級(jí)的從業(yè)者每月少繳交的個(gè)稅為.,設(shè)經(jīng)過個(gè)月，該收入層級(jí)的從業(yè)者少繳交的個(gè)稅的總和就超過24000，則，因?yàn)椋?所以經(jīng)過12個(gè)月，該收入層級(jí)的從業(yè)者少繳交的個(gè)稅的總和就超過2022年的月收入.35．2022年3月5日，國(guó)務(wù)院總理李克強(qiáng)作出的政府工作報(bào)告中，提到要“懲戒學(xué)術(shù)不端，力戒學(xué)術(shù)不端，力戒浮躁之風(fēng)”．教育部2022年印發(fā)的《學(xué)術(shù)論文抽檢辦法》通知中規(guī)定：每篇抽檢的學(xué)術(shù)論文送3位同行專家進(jìn)行評(píng)議，3位專家中有2位以上（含3位）專家評(píng)議意見為“不合格”的學(xué)術(shù)論文，將認(rèn)定為“存在問題學(xué)術(shù)論文”．有且只有1位專家評(píng)議意見為“不合格”的學(xué)術(shù)論文，將再送另外2位同行專家（不同于前3位專家）進(jìn)行復(fù)評(píng)，2位復(fù)評(píng)專家中有1位以上（含1位）專家評(píng)議意見為“不合格”的學(xué)術(shù)論文，將認(rèn)定為“存在問題學(xué)術(shù)論文”．設(shè)每篇學(xué)術(shù)論文被每位專家評(píng)議為“不合格”的概率均為，且各篇學(xué)術(shù)論文是否被評(píng)議為“不合格”相互獨(dú)立．（1）若，求抽檢一篇學(xué)術(shù)論文，被認(rèn)定為“存在問題學(xué)術(shù)論文”的概率；（2）現(xiàn)擬定每篇抽檢論文不需要復(fù)評(píng)的評(píng)審費(fèi)用為900元，需要復(fù)評(píng)的總評(píng)審費(fèi)用1500元；若某次評(píng)審抽檢論文總數(shù)為3000篇，求該次評(píng)審費(fèi)用期望的最大值及對(duì)應(yīng)的值．【答案】(1)(2)最高費(fèi)用為萬元．對(duì)應(yīng)．【解析】（1）因?yàn)橐黄獙W(xué)術(shù)論文初評(píng)被認(rèn)定為“存在問題學(xué)術(shù)論文”的概率為，一篇學(xué)術(shù)論文復(fù)評(píng)被認(rèn)定為“存在問題學(xué)術(shù)論文”的概率為，所以一篇學(xué)術(shù)論文被認(rèn)定為“存在問題學(xué)術(shù)論文”的概率為．∴時(shí)，所以抽檢一篇的學(xué)術(shù)論文被認(rèn)定為“存在問題學(xué)術(shù)論文”的概率為．（2）設(shè)每篇學(xué)術(shù)論文的評(píng)審費(fèi)為元，則的可能取值為900，1500．，，所以．令，，．當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減．所以的最大值為．所以評(píng)審最高費(fèi)用為（萬元）．對(duì)應(yīng)．36．某產(chǎn)品自生產(chǎn)并投入市場(chǎng)以來，生產(chǎn)企業(yè)為確保產(chǎn)品質(zhì)量，決定邀請(qǐng)第三方檢測(cè)機(jī)構(gòu)對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，并依據(jù)質(zhì)量指標(biāo)來衡量產(chǎn)品的質(zhì)量.當(dāng)時(shí)，產(chǎn)品為優(yōu)等品；當(dāng)時(shí)，產(chǎn)品為一等品；當(dāng)時(shí)，產(chǎn)品為二等品.第三方檢測(cè)機(jī)構(gòu)在該產(chǎn)品中隨機(jī)抽取500件，繪制了這500件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)的條形圖.用隨機(jī)抽取的500件產(chǎn)品作為樣本，估計(jì)該企業(yè)生產(chǎn)該產(chǎn)品的質(zhì)量情況，并用頻率估計(jì)概率.（1）從該企業(yè)生產(chǎn)的所有產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1件，求該產(chǎn)品為優(yōu)等品的概率；（2）現(xiàn)某人決定購買80件該產(chǎn)品.已知每件成本1000元，購買前，邀請(qǐng)第三方檢測(cè)機(jī)構(gòu)對(duì)要購買的80件產(chǎn)品進(jìn)行抽樣檢測(cè).買家、企業(yè)及第三方檢測(cè)機(jī)構(gòu)就檢測(cè)方案達(dá)成以下協(xié)議：從80件產(chǎn)品中隨機(jī)抽出4件產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，若檢測(cè)出3件或4件為優(yōu)等品，則按每件1600元購買，否則按每件1500元購買，每件產(chǎn)品的檢測(cè)費(fèi)用250元由企業(yè)承擔(dān).記企業(yè)的收益為元，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（3）商場(chǎng)為推廣此款產(chǎn)品，現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎(jiǎng)”活動(dòng).客戶可根據(jù)拋硬幣的結(jié)果，操控機(jī)器人在方格上行進(jìn)，已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是，方格圖上標(biāo)有第0格、第1格、第2格、……、第50格.機(jī)器人開始在第0格，客戶每擲一次硬幣，機(jī)器人向前移動(dòng)一次，若擲出正面，機(jī)器人向前移動(dòng)一格（從到），若擲出反面，機(jī)器人向前移動(dòng)兩格（從到），直到機(jī)器人移到第49格（勝利大本營(yíng)）或第50格（失敗大本營(yíng)）時(shí)，游戲結(jié)束，若機(jī)器人停在“勝利大本營(yíng)”，則可獲得優(yōu)惠券.設(shè)機(jī)器人移到第格的概率為，試證明是等