2022年湖南省婁底市中考數學試卷

一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，滿分36分，每小題給出的四個選項中，只

有一個選項是符合題目要求的，請把你認為符合題目要求的選項填涂在答題卡上相應題號

下的方框里）

1.（3分）2022的倒數是（）

A.2022B.-2022c.—D.-——

20222022

2.（3分）下列式子正確的是（）

A.a3*a2=a5B.(a2)3=a5C.(ab)2=ab2D.a3+a2=a5

3.（3分）一個小組10名同學的出生月份（單位：月）如下表所示:

編號12345678910

月份26861047887

這組數據（月份）的眾數是（）

A.10B.8C.7D.6

4.（3分）下列與2022年冬奧會相關的圖案中，是中心對稱圖形的是（）

5.（3分）截至2022年6月2日，世界第四大水電站——云南昭通溪洛渡水電站累計生產

清潔電能突破5000億千瓦時，相當于替代標準煤約1.52億噸，減排二氧化碳約4.16億

噸.5000億用科學記數法表示為（）

A.5OxlO8910*B.5x10"C.0.5x1012D.5xlO12

6.（3分）一條古稱在稱物時的狀態如圖所示，已知Nl=80。，則N2=（）

A.20°B.80°C.100°D.120°

f3-r1

7.（3分）不等式組一的解集在數軸上表示正確的是（）

2%>-2

A.-I012B.-1012

C.-1012D.-10I2

8.（3分）將直線y=2x+l向上平移2個單位，相當于（）

A.向左平移2個單位B.向左平移1個單位

C.向右平移2個單位D.向右平移1個單位

9.（3分）在古代，人們通過在繩子上打結來計數，即“結繩計數”.當時有位父親為了準

確記錄孩子的出生天數，在粗細不同的繩子上打結（如圖），由細到粗（右細左粗），滿七進

一，那么孩子已經出生了（）

,

m

_

A

B.516天C.435天D.54天

10.（3分）如圖，等邊A48c內切的圖形來自我國古代的太極圖，等邊三角形內切圓中的

黑色部分和白色部分關于等邊AABC的內心成中心對稱，則圓中的黑色部分的面積與AABC

的面積之比是（）

11.（3分）在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知點P（%1）、Q（l,機）（〃7>0且%#1）,

過點P、Q的直線與兩坐標軸相交于A、8兩點，連接OP、OQ,則下列結論中成立的有

（）

①點P、Q在反比例函數y='的圖象上；

X

②AAO8為等腰直角三角形；

③00<NPOQ<90°；

④NPO0的值隨機的增大而增大.

A.②③④B.①③④C.①②④D.①②③

12.（3分）若1O'=N,則稱x是以10為底N的對數.記作：x=lgN.

例如：lO=lOO,則2=/gl00；10°=1,則0=/gl.

對數運算滿足：當M>0,N>0時，IgM+IgN=lg（MN）.

例如：/g3+/g5=/gl5,則（/g5/+/g5x/g2+/g2的值為（）

A.5B.2C.1D.0

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分）

13.（3分）函數>=7片的自變量x的取值范圍是—.

14.（3分）已知實數X1,七是方程x?+了-1=。的兩根，則x/2=.

15.（3分）黑色袋子中裝有質地均勻，大小相同的編號為1?15號臺球共15個，攪拌均勻

后，從袋中隨機摸出1個球，則摸出的球編號為偶數的概率是—.

16.（3分）九年級融融陪同父母選購家裝木地板，她感覺某品牌木地板拼接圖（如實物圖）

比較美觀，通過手繪（如圖）、測量、計算發現點E是4）的黃金分割點，即D￡B0.61845.延

長HF與AD相交于點G,則EGQDE.（精確至lj0.001）

17.（3分）菱形ABCD的邊長為2,ZABC=45°，點P、。分別是BC、3。上的動點，CQ+PQ

的最小值為

18.（3分）如圖，已知等腰AABC的頂角44C的大小為。，點。為邊上的動點（與3、

。不重合），將AD繞點A沿順時針方向旋轉6角度時點。落在。處，連接30.給出下列

結論：

①A4CZ）三AABZ7；

②AACBSAADO；

③當8D=CD時，的面積取得最小值.

其中正確的結論有—（填結論對應的應號）.

C

三、解答題（本大題共2小題，每小題6分，共12分）

19.（6分）計算：（2022-萬）°+七尸+|1-6|—2sin60。.

2

3

20.（6分）先化簡，再求值：（x+2+二4一）+-Y-----其中x是滿足條件用,2的合適的

x—2x~—4x+4

非負整數.

四、解答題（本大題共2小題，每小題8分，共16分）

21.（8分）按國務院教育督導委員會辦公室印發的《關于組織責任督學進行“五項管理”

督導的通知》要求，各中小學校積極行動，取得了良好的成績.某中學隨機抽取了部分學生

對他們一周的課外閱讀時間（A:10//以上，8:8/??10〃，C:6h~Sh,￡>:6〃以下）進行問卷

調查，將所得數據進行分類，統計繪制了如下不完整的統計圖.請根據圖中的信息，解答下

列問題：

（1）本次調查的學生共一名;

（2）a=,b=;

（3）補全條形統計圖.

人數（單位：名）

120

100

100

80

60

60

40

20

01—

A

22.（8分）“體育承載著國家強盛、民族振興的夢想”.墩墩使用握力器（如實物圖所示）

鍛煉手部肌肉.如圖，握力器彈簧的一端固定在點P處，在無外力作用下，彈簧的長度為

3an,即PQ=3cm.開始訓練時，將彈簧的端點Q調在點8處，此時彈簧長P8=4c/n,彈

力大小是100N,經過一段時間的鍛煉后，他手部的力量大大提高，需增加訓練強度，于是

將彈簧端點。調到點C處，使彈力大小變為300N,已知NP3C=120。，求3c的長.

注：彈簧的彈力與形變成正比，即尸=k是勁度系數，Ax是彈簧的形變量，在無

外力作用下，彈簧的長度為4,在外力作用下，彈簧的長度為x,則△x=x-%.

五、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）

23.（9分）“綠水青山就是金山銀山”，科學研究表明：樹葉在光合作用后產生的分泌物能

夠吸附空氣中的懸浮顆粒物，具有滯塵凈化空氣的作用.已知一片銀杏樹葉一年的平均滯塵

量比一片國槐樹葉一年的平均滯塵量的2倍少4,咫，若一片國槐樹葉與一片銀杏樹葉一年

的平均滯塵總量為62mg.

（1）請分別求出一片國槐樹葉和一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量；

（2）婁底市雙峰縣九峰山森林公園某處有始于唐代的三棵銀杏樹，據估計三棵銀杏樹共有

約50000片樹葉.問這三棵銀杏樹一年的平均滯塵總量約多少千克？

24.（9分）如圖，以8C為邊分別作菱形和菱形8CFG（點C,D,尸共線），動點

A在以為直徑且處于菱形3CFG內的圓弧上，連接EF交于點O.設NG=6.

（I）求證：無論e為何值，砂與3c相互平分；并請直接寫出使歷，3c成立的e值.

（2）當，=90。時，試給出tanNABC的值，使得EF垂直平分AC,請說明理由.

六、綜合題（本大題共2小題，每小題10分，共20分）

25.（10分）如圖，已知班）是RtAABC的角平分線，點O是斜邊43上的動點，以點。為

圓心，03長為半徑的0。經過點。，與Q4相交于點E.

（1）判定AC與OO的位置關系，為什么？

3

(2)若8c=3,CD=~,

2

①求sinZD3C、sin/ABC的值；

②試用sinN￡)BC和8SN￡)BC表示sinNABC,猜測sin2a與sina、cosa的關系，并用

a=30。給予驗證.

（1）請直接寫出點A,B,C的坐標;

（2）點尸（成，“）（0＜機＜6）在拋物線上，當"?取何值時，APBC的面積最大？并求出AP8C

面積的最大值.

（3）點尸是拋物線上的動點，作FE//AC交x軸于點E,是否存在點尸，使得以A、C、

E、F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請寫出所有符合條件的點尸的坐標；若不

備用圖

2022年湖南省婁底市中考數學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，滿分36分，每小題給出的四個選項中，只

有一個選項是符合題目要求的，請把你認為符合題目要求的選項填涂在答題卡上相應題號

下的方框里）

1.（3分）2022的倒數是（）

c-盛D?-盛

A.2022B.-2022

【分析】根據倒數的定義即可得出答案.

【解答】解：2022的倒數是二一.

2022

故選：C.

2.（3分）下列式子正確的是（）

A.，.〃2=〃5B.（a2）3=a5C.=ab2D.a3+a2=a5

【分析】根據事的乘方與積的乘方，合并同類項，同底數事的乘法法則，進行計算逐一判斷

即可解答.

【解答】解：A、a3-a2=a5,故A符合題意；

B、（a2y=a6,故6不符合題意；

C、（ab）2=a2b2,故C不符合題意；

D、/與/不能合并，故。不符合題意；

故選：A.

3.（3分）一個小組10名同學的出生月份（單位：月）如下表所示：

編號12345678910

月份26861047887

這組數據（月份）的眾數是（）

A.10B.8C.7D.6

【分析】根據眾數的意義求出眾數即可.

【解答】解：這10名同學的出生月份出現次數最多的是8,共出現3次，因此眾數是8,

故選：B.

4.（3分）下列與2022年冬奧會相關的圖案中，是中心對稱圖形的是（）

【分析】根據中心對稱圖形的概念進行判斷即可.

【解答】解：A.不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

B.不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

C.不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

D.是中心對稱圖形，故此選項符合題意：

故選：D.

5.（3分）截至2022年6月2日，世界第四大水電站——云南昭通溪洛渡水電站累計生產

清潔電能突破5000億千瓦時，相當于替代標準煤約1.52億噸，減排二氧化碳約4.16億

噸.5000億用科學記數法表示為（）

A.50x10'°B.5x10"C.0.5xlO12D.5xl012

【分析】根據5000億=500000000000，再用科學記數法表示即可.

【解答】解：5000億=500000000000=5x10”,

故選：B.

6.（3分）一條古稱在稱物時的狀態如圖所示，己知Nl=80。，則N2=（）

12

A.20°B.80°C.100°D.120°

【分析】根據平行線的性質和平角的定義可得結論.

?.?N2+N3=180。，

.?.Z2=180°-80o=100°.

故選：C.

3—x..1

7.（3分）不等式組的解集在數軸上表示正確的是（

2x>-2

A.-1B.-1

【分析】先求出不等式組的解集，再確定符合條件的選項.

3—x..10

【解答】解:

2x>-2②

解①，得X,2,

解②，得x>-1.

所以原不等式組的解集為：-1〈內,2.

故符合條件的選項是C.

故選：C.

8.（3分）將直線y=2x+l向上平移2個單位，相當于（）

A.向左平移2個單位B.向左平移1個單位

C.向右平移2個單位D.向右平移1個單位

【分析】根據直線丫=區+〃平移k值不變，只有6發生改變解答即可.

【解答】解：將直線y=2x+l向上平移2個單位后得到新直線解析式為：y=2x+l+2,即

y=2x+3.

由于y=2x+3=2（x+l）+l,

所以將直線y=2x+l向左平移1個單位即可得到直線y=2x+3.

所以將直線y=2x+l向上平移2個單位，相當于將直線y=2x+l向左平移1個單位.

故選：B.

9.（3分）在古代，人們通過在繩子上打結來計數，即“結繩計數”.當時有位父親為了準

確記錄孩子的出生天數，在粗細不同的繩子上打結（如圖），由細到粗（右細左粗），滿七進

那么孩子已經出生了（）

A.1335天B.516天C.435天D.54天

【分析】由于從右到左依次排列的繩子上打結，滿七進一，所以從右到左的數分別為5,3x7,

3x7x7和Ix7x7x7,然后把它們相加即可.

【解答】解：孩子自出生后的天數是：

1x7x7x7+3x7x74-3x7+5

=343+147+21+5

=516,

答：那么孩子已經出生了516天.

故選：B.

10.（3分）如圖，等邊AABC內切的圖形來自我國古代的太極圖，等邊三角形內切圓中的

黑色部分和白色部分關于等邊AABC的內心成中心對稱，則圓中的黑色部分的面積與AABC

的面積之比是（）

BC

AR6c&D6

181899

【分析】根據題意和圖形，可知圓中的黑色部分的面積是圓的面積的一半，然后即可計算出

圓中的黑色部分的面積與AABC的面積之比.

【解答】解：作AD_LBC于點。，作比:_LAC于點￡,AD和交于點O,如圖所示，

設AB=2a,則=

*/ZA￡>B=90°,

AD=>JAB2-BD2=舊a,

i巧

:.OD=-AD=—a

33f

^-x(—a)2x—同

.??圓中的黑色部分的面積與AABC的面積之比是：——3

2a.\jia18

2

故選：A.

11.(3分)在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知點P(m,l)、Q(1,6)(m>0且帆wl),

過點P、。的直線與兩坐標軸相交于A、B兩點、,連接OP、OQ,則下列結論中成立的有

()

①點P、。在反比例函數>='的圖象上；

X

②AAOB為等腰直角三角形；

③00<NPOQ<90°；

④NPO。的值隨機的增大而增大.

A.②③④B.①③④C.①②④D.①②③

【分析】根據反比例函數圖象上點的坐標特征即可判斷①；根據P、Q點的坐標特征即可

判斷②③；求得直線。尸、OQ的解析式，根據正比例函數的系數即可判斷.

【解答】解：?.,點P(w,l)、Q(1，機)(，">0且/MH1),則%?1=1?，〃=〃？，

.?.點P、。在反比例函數丫='的圖象上，故①正確；

X

設直線PQ為y=fcv+6,則Wl解得廣T

[k+b=m[b=m+\

直線PQ為y=-x+m+\,

當y=0時，x=m+\;當x=0時；y=m+\,

A(m+l,0),B(O,/n+l),

:.OA=OB,

???NAO3=90。,

.?.AAO3為等腰直角三角形，故②正確；

???點P(m,1)>2(1,tn)(m>0且加w1),

:.P.Q都在第一象限，

.?.0°<ZPO(2<90°,故③正確；

??,直線OP為y=,工，直線OQ為y=〃/，

m

.?.當Ovmvl時，NPOQ的值隨機的增大而減小，當機>1時，NPOQ的值隨機的增大而增

大，

故④錯誤；

故選：D.

12.(3分)若1(T=N,則稱x是以10為底N的對數.記作：x=lgN.

例如：IO2=100,貝i]2=/gl00；10°=1,則O=/gl.

對數運算滿足：當M>0,N>0時，lgM+lgN=lg(MN).

例如：Ig3+lg5=lgl5,則(k5)2+這5乂建2+值2的值為()

A.5B.2C.1D.0

【分析】首先根據定義運算提取公因式，然后利用定義運算計算即可求解.

【解答】解：原式=卜5（卜5+值2）+值2

=/g5x/g（5x2）+/g2

=lg5lgW+lg2

=lg5+lg2

=/glO

=1.

故選：c.

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分）

1

13.（3分）函數y=的自變量X的取值范圍是x>\

Jx-1

【分析】根據G（a.o）,以及分母不能為0,可得x-1>0,然后進行計算即可解答.

【解答】解：由題意得：

%—1>0,

解得：X>\y

故答案為：x>\.

14.（3分）已知實數看,它是方程/+工一1=0的兩根，則王X2=_-1

【分析】根據根與系數的關系解答.

【解答】解：?.?方程幺+工一1=0中的。=人=1,c=—l,

C,

X^2=—=—1?

a

故答案是：-1.

15.（3分）黑色袋子中裝有質地均勻，大小相同的編號為1?15號臺球共15個，攪拌均勻

后，從袋中隨機摸出1個球，則摸出的球編號為偶數的概率是-.

一15一

【分析】根據題意和題目中的數據，可以得到一共有多少種可能性，其中摸出編號是偶數的

有多少種可能性，從而可以求得摸出的球編號為偶數的概率.

【解答】解：由題意可得,

從袋中隨機摸出1個球，一共有15種可能性，其中摸出編號是偶數的有7種可能性,

故摸出的球編號為偶數的概率是二，

15

故答案為：—

15

16.（3分）九年級融融陪同父母選購家裝木地板，她感覺某品牌木地板拼接圖（如實物圖）

比較美觀，通過手繪（如圖）、測量、計算發現點E是4）的黃金分割點，即.延

長所與AD相交于點G,則石G*0.618DE.（精確到0.001）

【分析】根據黃金分割的定義可得竺=竺。0.618,再根據題意可得EG=AE,即可解答.

ADDE

【解答】解：?.?點E是4）的黃金分割點，且QEaO.6184）,

”占。.618,

ADDE

由題意得:

EG=AE,

—?0.618,

DE

.-.EG?0.618E>￡,

故答案為:0.618.

17.（3分）菱形ABCD的邊長為2,ZABC=45°，點尸、Q分別是BC、8。上的動點，CQ+PQ

的最小值為_夜

AD

Q

BPC

【分析】連接AQ,作A/7_LBC于”，利用SAS證明A4BQMACB。，得A0=CQ,當點A、

Q、P共線，AQ+PQ的最小值為A4的長，再求出A/7的長即可.

【解答】解：連接AQ,作A”,8c于H,

:.AB=CB,ZABQ=4CBQ,

■：BQ=BQ,

:.^ABQ=^CBQ(SAS),

AQ=CQ,

當點A、Q、P共線，AQ+P。的最小值為的長,

?jAB=2,ZABC=45°.

AH=y/2,

.?.CQ+尸。的最小值為&，

故答案為：應.

18.（3分）如圖，已知等腰AA8C的頂角NS4c的大小為。，點。為邊8c上的動點（與3、

C不重合），將4）繞點A沿順時針方向旋轉。角度時點。落在Z7處，連接陰7.給出下列

結論：

②AACBSAA。。；

③當3￡>=C￡）時，AADZ7的面積取得最小值.

其中正確的結論有①②③（填結論對應的應號）.

c

4

D'

【分析】由題意可知AC=AB，AD=AD,NCAD二/BAD,即可根據5As判斷

74rAR

^ACD=^ABD；根據NBAC=NZ7AT>=6h—=——，即可判斷；由

ADAD1

AACB-AADZ7,得出屋也=（42尸，根據等腰三角形三線合一的性質，當BD=CD,則

S.Bm

4）_L8C時，4）最小，AAD。的面積取得最小值.

【解答】解：由題意可知AC=AB,AD=AD,ACAD=ABAD,

.\AACD=AABD,故①正確；

?,AC=AB,AD=AD,ZBAC=Z￡MD=6,

.AC_AB

「耘—而'

s.^ACB^^ADD,故②正確；

???AACBSAAD/7,

.SMDIT_（A3）2

^isACBA。

???當AO_L3C時，AD最小，AAD。的面積取得最小值.

而AB=AC,

BD—CD,

.?.當=時，AAD。的面積取得最小值，故③正確；

故答案為：①②③.

三、解答題（本大題共2小題，每小題6分，共12分）

19.（6分）計算：（2022-萬）°+（3-'+|1-6|-2sin60。.

2

【分析】先計算零次塞、負整數指數累，再化簡絕對值、代入特殊角的三角函數值算乘法,

最后算加減.

【解答】解：原式=1+2+6-l-2x且

2

=1+2+73-1-^

=2.

4x3

20.（6分）先化簡，再求值：（X+2+二一）土丁上——，其中x是滿足條件工,2的合適的

x-2x-4x+4

非負整數.

【分析】先根據分式的混合運算順序和運算法則化簡原式，再將犬的值代入計算即可.

【解答】解：原式=(《二士+--):上~

x-2x-2(x-2)

x2(X-2)2

X-2丁

x—2

-----,

x

,「xwO且x—2w0,

..?"0且工工2,

一.x=1,

則原式=上匚=-1.

1

四、解答題（本大題共2小題，每小題8分，共16分）

21.（8分）按國務院教育督導委員會辦公室印發的《關于組織責任督學進行“五項管理”

督導的通知》要求，各中小學校積極行動，取得了良好的成績.某中學隨機抽取了部分學生

對他們一周的課外閱讀時間（A:10〃以上,8:8〃?10/?,C:6h~Sh,0:6/?以下）進行問卷

調查，將所得數據進行分類，統計繪制了如下不完整的統計圖.請根據圖中的信息，解答下

歹！J問題:

（1）本次調查的學生共200名;

（2）a=，b=；

（3）補全條形統計圖.

人數（單位：名）

【分析】（1）根據。類人數以及所占的百分比即可求解;

（2）根據總數以及A類、3類的人數即可求解；

（3）根據C類所占的百分比，求出C類人數，即可補全條形統計圖.

【解答】解：（1）本次調查的學生共：10+5%=200（名），

故答案為：200；

(2)a=—xl00=30,=—xl(X)=50.

200200

故答案為：30,50；

（3）C類人數為200xl5%=30,

補全條形統計圖如圖：

人數（單位：名）

120-

22.（8分）''體育承載著國家強盛、民族振興的夢想”.墩墩使用握力器（如實物圖所示）

鍛煉手部肌肉.如圖，握力器彈簧的一端固定在點P處，在無外力作用下，彈簧的長度為

3cm,即=開始訓練時，將彈簧的端點Q調在點3處，此時彈簧長依=4a〃，彈

力大小是100W,經過一段時間的鍛煉后，他手部的力量大大提高，需增加訓練強度，于是

將彈簧端點。調到點C處，使彈力大小變為300N,已知NPBC=120。，求的長.

注：彈簧的彈力與形變成正比，即F=k是勁度系數，是彈簧的形變量，在無

外力作用下，彈簧的長度為七,在外力作用下，彈簧的長度為x,則△x=x-%.

【分析】由題意可以先求出k的值，然后即可求出PC的長，再根據勾股定理即可得到R4和

的長，由圖可知：BC=AC-AB,代入數據計算即可.

【解答】解：由題意可得，

毛=3cm,

100=%(4-3),

解得攵=100,

/.F=100Ax,

當尸=300時，300=100x(PC-3),

解得PC=6cm,

由圖可得，

NQ43=90。，NPBC=120。,

:.ZAPB=30°f

,：PB=4cm,

AB=2cm,PA=dPB。-AB。=2>/3(OM),

PC=5cm，

AC=VPC2-PA2=2瓜cm),

BC=AC-AB=(2>/6-2)c/n,

即3c的長是（2"-2）c〃i.

五、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）

23.（9分）“綠水青山就是金山銀山”，科學研究表明：樹葉在光合作用后產生的分泌物能

夠吸附空氣中的懸浮顆粒物，具有滯塵凈化空氣的作用.已知一片銀杏樹葉一年的平均滯塵

量比一片國槐樹葉一年的平均滯塵量的2倍少4,昭，若一片國槐樹葉與一片銀杏樹葉一年

的平均滯塵總量為62〃吆.

（1）請分別求出一片國槐樹葉和一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量;

（2）婁底市雙峰縣九峰山森林公園某處有始于唐代的三棵銀杏樹，據估計三棵銀杏樹共有

約50000片樹葉.問這三棵銀杏樹一年的平均滯塵總量約多少千克？

【分析】（1）設一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量為Xmg,一片國槐樹葉一年的平均滯塵量

為ymg,由題意：一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量比一片國槐樹葉一年的平均滯塵量的2

倍少4mg,一片國槐樹葉與一片銀杏樹葉一年的平均滯塵總量為62〃?g.列出二元一次方程

組，解方程組即可;

（2）由（1）的結果列式計算即可.

【解答】解：（1）設一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量為x儂，一片國槐樹葉一年的平均滯

塵量為ymg,

x+y=62

由題意得:

x=2y-4

x=40

解得:

y=22’

答：一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量為40mg,一片國槐樹葉一年的平均滯塵量為22/?g；

（2）50000*40=2000000（mg）=2kg,

答：這三棵銀杏樹一年的平均滯塵總量約2千克.

24.（9分）如圖，以為邊分別作菱形3CDE和菱形8CFG（點C,D,尸共線），動點

A在以BC為直徑且處于菱形3CFG內的圓弧上，連接防交BC于點O.設NG=，.

（1）求證：無論6為何值，成與相互平分；并請直接寫出使竹，3c成立的6值.

（2）當0=90。時，試給出tanNABC的值，使得砂垂直平分AC,請說明理由.

【分析】（1）證明四邊形DEGF是平行四邊形，可得結論；

（2）當tanZABC=2時，砂垂直平分線段AC.證明Q7//AC,可得結論.

【解答】（1）證明：?.?四邊形8C/P,四邊形8CDE都是菱形，

:.CF//BG,CD//BE,CB=CF=CD=BG=BE,

：D,C,尸共線，

:.G,B,E共線，

:.DF//EG,DF=GE,

：.四邊形DEGF是平行四邊形，

.?.EF與3c互相平分.

當EF上FG時，,GF=BG=BE,

:.EG=2GF,

.-.ZGEF=30°,

...（9=90。.30。=60。；

（2）解：當tan48C=2時，垂直平分線段AC.

理由：如圖（2）中，設AC交￡F于點J.

F

C

（2）E

?.?四邊形3bG是菱形，

.-.ZG=ZFCO=90°,

與3C互相平分，

/.OC=OB，

:.CF=BC,

:.FC=2OC,

tanZ.FOC=tanZABC,

:.ZABC=ZFOC,

/.OJ//AB,

??OC=OB,

/.CJ=AJ，

?.?8C是直徑，

.-.Zfi4C=ZOt/C=90°,

.?.E尸垂直平分線段AC.

六、綜合題（本大題共2小題，每小題10分，共20分）

25.（10分）如圖，已知3。是RtAABC的角平分線，點O是斜邊河上的動點，以點。為

圓心，08長為半徑的0O經過點D,與。4相交于點E.

（I）判定AC與。。的位置關系，為什么？

3

（2）若8c=3,CD=—,

2

①求sinNZ汨C、sin/A3c的值；

②試用sinNDBC和8SN￡>BC1表示sinZABC,猜測sin2a與sina、cose的關系，并用

a=30。給予驗證.

【分析】（1）連接OD,證明OD//3C,則NOZM=NC=90。，再根據圓的切線的判定定

理證明AC是OO的切線；

（2）①根據三角函數定義可得結論；

②計算cosZDBC的值，并計算2sinZDBC-cosZDBC的值，可得結論：

sinZABC=2sinZDBC-cosZDBC；并用a=30。可得結論.

【解答】解：（1）AC是。O切線，理由如下：

如圖，連接O/），

:.NODB=NOBD,

是AABC的角平分線,

:.NOBD=NDBC,

:.ZODB=ZDBC,

:.OD//BC,

,ZOZM=ZC=90°.

?8是OO的半徑，且AC_LO￡>,

；.AC是OO的切線;

3

(2)①在RtADBC中，?.BC=3,CD=~,

2

BD=J5+BC?=J(|>+32=孚,

3

:s"DBC嘏=氣瀉,

2

如圖2,連接￡>E,OD,過點O作OGL8C于G,

二NODC=NC=NCGO=90°,

.一.四邊形QXG是矩形，

3

/.OG=CD=-

2t

???8石是G)O的切線，

..ZBDE=90。,

cosZDBE=cosZ.CBD,

.BC_BD

~BD~~BE'

3x/5

.3.〒

??逋一定’

~2~

?M-15

..DLL-....>

;.OB=-BE=—

3

.OG24

/.sinZ.ABC=---=V=—；

OB155

8

②,/2sinZ.DBC-cosZDBC=2xx,