2022-2023學年廣州市高二上期末考試數學模擬試卷

一.選擇題（共8小題）

1.（2021?乃東區校級一模）在復平面內，復數z對應的點的坐標是（1,1）,則孑=（）

i

A.1-zB.-1-zC.-HzD.1+i

2.（2011?云南模擬）已知直線〃7,〃和平面a,在下列給定的四個結論中〃的一個必要

但不充分條件是（）

A.tn//afn//aB.mJ_a,n.La

C.tn//a,〃uaD.加，〃與a所成的角相等

3.（2020秋?番禺區期末）如果。V0,6>0,那么下列不等式中正確的是（）

A.B.C.a2<b2D.|tz|<|A|

ab

22

4.（2020秋?海珠區期末）已知橢圓江上=i，則該橢圓的離心率為（）

2516

A.AB.也C.3D.且

525525

5.（2020秋?越秀區期末）函數/（x）的導函數/（x）的圖象如圖所示，則（）

A.x=2是極小值點

B.x=l是最小值點

C.x=0是極小值點

D.函數/（x）在（1,2）上單調遞增

6.（2020秋?荔灣區期末）己知向量Z=（1,1,o）,b=（-l,0,2），且短（4,6,4）與

kz+E平行，則%的值是（）

A.2B.3C.-3D.3

55

7.（2019秋?越秀區期末）為了研究某班學生的腳長X（單位：厘米）和身高y（單位：厘

米）的關系，從該班隨機抽取10名學生，根據測量數據的散點圖可以看出y與x之間有

第1頁共27頁

AAA1010*

線性相關關系，設其回歸直線方程為丫=出+軟，已知￡為=220,￡勿=1610,b=%

i=li=l

該班某學生的腳長為25,據此估計其身高為（）

A.165B.168C.173D.178

8.（2019秋?天河區期末）如圖所示，一艘海輪從N處出發，測得8處的燈塔在海輪的正北

方向20海里處，海輪按西偏南15°的方向航行了10分鐘后到達C處，此時測得燈塔在

海輪的北偏東30°的方向，則海輪的速度為（）

A.里/分B.2海里/分C.愿海里/分D.揚5里/分

二.多選題（共4小題）

9.（2020秋?番禺區期末）某電子商務公司對10000名網絡購物者2019年度的消費情況進

行統計，發現消費金額（單位：萬元）都在區間［0.3,0.9］內，其頻率分布直方圖如圖所

示，則（）

A.直方圖中的a=3

B.用直方圖估計這些消費金額的中位數為0.55

C.用直方圖估計這些消費金額的眾數為0.50

D.消費金額在區間［0.5,0刈內的購物者人數為6000人

10.（2020秋?天河區期末）下列敘述正確的是（）

第2頁共27頁

A.若a,b,cGR,且a>6,貝!jac2>b02

B.若實數OVxV工，則x（l-2x）的最大值為工

48

C.已知5ax+6>o的解集為國工>4或x<l｝,則a+b=5

D.對于VxCR,渥+4x22/-1恒成立，則實數。的取值范圍是⑹+°°）

11.（2020秋?海珠區期末）已知橢圓C的中心為坐標原點，焦點Fi，3在y軸上，短軸長

等于2,離心率為逅，過焦點Fi作〉軸的垂線交橢圓C于P、Q兩點，則下列說法正確

3

的是（）

2

A.橢圓C的方程為，+f=l

3

2

B.橢圓C的方程為2_+f=l

3

C.|PQ|=_^1

3

D.△尸尸2。的周長為4愿

12.（2020秋?荔灣區期末）設S”為數列｛小｝的前〃項和，且$=門2-1，若數列｛瓦｝滿

112n

足：bn=n（1-an）,且7〃="+歷+…+6”，則以下說法正確的是（）

A.數列｛a〃-1｝是等比數列B.數列｛加｝是遞增數列

C.T=2^^-D.Sn^Tn

112n

三.填空題（共4小題）

13.（2020秋?越秀區期末）有一機器人的運動方程為s=t2T?（/是時間，s是位移），則

該機器人在時刻t=2時的瞬時速度為.

x-y+l）O

14.（2020秋?海珠區期末）已知工,〉滿足條件一+7-340,則工二一的最小值為_____.

,y>l2

15.（2020秋?荔灣區期末）如圖，已知正三棱柱/8C-481。的各條棱長均為2,P是

的中點，則異面直線4G與PC所成角的余弦值等于.

第3頁共27頁

16.在等差數列｛劭｝中，2（°1+°4+。7）+3（。9+。11）=24,則此數列的前13項之和等于.

四.解答題（共6小題）

17.（2020秋?廣州期末）共享單車是指由企業在校園、公交站點、商業區、公共服務區等

場所提供的自行車單車共享服務，由于其依托“互聯網+”，符合“低碳出行”的理念，

已越來越多地引起了人們的關注.某部門為了對該城市共享單車加強監管，隨機選取了

50人就該城市共享單車的推行情況進行問卷調查，并將問卷中的這50人根據其滿意度評

分值（百分制）按照［50,60）,［60,70）,???,［90,100］分成5組，請根據下面尚

未完成并有局部污損的頻率分布表和頻率分布直方圖（如圖所示）解決下列問題：

頻率分布表

組別分組頻數頻率

第1組[50,60)80.16

第2組[60,70)a■

第3組[70,80)200.40

第4組[80,90)■0.08

第5組[90,100]2b

合計■■

（1）求a,6,x,y的值；

（2）根據以上問卷調查估計：若80%的受調查者滿意度評分值不超過，值，求，的最小

值；

（3）若在滿意度評分值為［80,100］的人中隨機抽取2人進行座談，求所抽取的2人中至

少一人來自第5組的概率.

第4頁共27頁

(1)若/(x)>0對一切x€R恒成立，求實數機的取值范圍；

(2)若函數/GO在區間(0,1)上有且只有一個零點，求實數”的取值范圍.

19.(2020秋?天河區期末)已知數列｛斯｝的前n項和S,滿足4an-3Sn=3,其中"9N*.

(1)證明：數列｛%｝為等比數列；

(2)設-4〃+1,求數列｛如｝的前〃項和T”.

3

20.(2020秋?海珠區期末)如圖，正三棱柱/BC-481cl中，。是4C的中點.

(1)求證：/以〃平面D8C1；

(2)若月8i_L8Ci，求二面角。-8。-C的余弦值.

21.(2020秋?荔灣區期末)某高科技企業生產產品Z和產品8需要甲、乙兩種新型材料.生

產一件產品Z需要甲材料1印,乙材料If,用50個工時；生產一件產品8需要甲材料

0.5/,乙材料0.3/,用30個工時，生產一件產品A的利潤為21萬元，生產一件產品B的

利潤為0.9萬元.該企業現有甲材料150f,乙材料90/,且規定不能超過6000個工時.設

生產x件產品/，y件產品8.

(1)寫出關于小y的線性約束條件，并在給出的坐標系中作出可行域;

第5頁共27頁

（2）如何安排生產，才能使得生產產品4產品8的利潤之和z取得最大？并求z的最

大值.

22

22.已知橢圓C：<J_=l（°>6>0）的兩個焦點是Q,點P（我,1）在橢圓C

2,2v

ab

上，且|PFI|+|PF2|=4

（I）求橢圓C的方程；

（II）設點尸關于x軸的對稱點為。，M是橢圓C上一點，直線加產和MQ與x軸分別

相交于點E,凡。為原點.證明：|。?］。尸］為定值.

第6頁共27頁

2022-2023學年廣州市高二上期末考試數學模擬試卷

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題）

1.（2021?乃東區校級一模）在復平面內，復數z對應的點的坐標是（1,1）,則孑=（）

i

A.I-zB.-1-zC.-1+zD.[+i

【考點】復數的運算.

【專題】方程思想；定義法；數系的擴充和復數：數學運算.

【分析】推導出z=i+t,從而生=2止，由此能求出結果.

ii

【解答】解：?.?在復平面內，復數z對應的點的坐標是（1,1）,

".z=\+i,

?z=1+i=i+i2=-l+i=i_j

iij2_]

故選：A.

【點評】本題考查復數的運算，考查復數性質、運算法則等基礎知識，考查運算求解能

力，是基礎題.

2.（2011?云南模擬）已知直線加，〃和平面a,在下列給定的四個結論中的一個必要

但不充分條件是（）

A.m//a,n//aB.w±a,n±a

C.m//a,ncaD.m,〃與a所成的角相等

【考點】空間中直線與平面之間的位置關系.

【專題】閱讀型.

【分析】利用線面平行與面面平行的性質定理逐個進行驗證即可得到答案.

【解答】解：A：m.〃可以都和平面垂直，不必要

B-.m.〃可以都和平面平行，不必要

C：〃沒理由一定要在平面內，不必要

D：平行所以成的角一定相等，但反之如果兩直線相交成等邊三角形之勢則不平行，所以

是必要非充分

第7頁共27頁

【點評】解決此類問題的關鍵是熟練掌握判斷空間中直線與平面位置關系（平行關系、

垂直關系）判斷定理與性質定理，并且能夠靈活的應用.

3.（2020秋?番禺區期末）如果。<0,b>0,那么下列不等式中正確的是（）

A.—B.C.42Vb2D.|^|<|/>|

ab

【考點】不等關系與不等式；不等式的基本性質.

【專題】轉化思想；定義法；不等式；邏輯推理.

【分析】根據aVO,b>0時上V0V工，判斷Z正確，再分析其他選項錯誤即可.

ab

【解答】解：由。<0,b>0,可知工<0<工，所以選項/正確；

ab

由。<0,得-a>Q,無法比較-a與6的大小，所以d工與企無法比較大小，選項8錯

誤；

由a<0,b>0,無法比較間與以的大小，所以不<廬不成立，選項。、。錯誤.

故選：A.

【點評】本題考查了不等式的性質與應用問題，是基礎題.

22

4.（2020秋?海珠區期末）已知橢圓三上=1，則該橢圓的離心率為（）

2516

A.AB.也C.3D.-L

525525

【考點】橢圓的性質.

【專題】計算題：轉化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程：數學運算.

【分析】先由橢圓的標準方程分別求出a,c,由此能求出該橢圓的離心率.

22

【解答】解：?.?桶圓幺上=1，

2516

，。=5,b=4,c=3,

該橢圓的離心率為e=&=3.

a5

故選：C.

【點評】本題考查橢圓的離心率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意橢圓的簡

單性質的合理運用.

5.（2020秋?越秀區期末）函數/（x）的導函數/（x）的圖象如圖所示，則（)

第8頁共27頁

/(?)

ONT7^

A.x—2是極小值點

B.x=l是最小值點

C.x=0是極小值點

D.函數/（x）在（1,2）上單調遞增

【考點】利用導數研究函數的單調性；利用導數研究函數的極值.

【專題】函數思想；轉化法；導數的概念及應用；數學運算.

【分析】根據導函數的圖象求出函數的單調區間和極值點即可.

【解答】解：由導函數圖象可知，

函數/（X）在（-8,0）,（2,+8）上遞增，

在（0,2）上遞減，

故x=0是極大值點，x=2是極小值點，

故選：A.

【點評】本題考查了函數的單調性，極值點問題，考查數形結合思想，轉化思想，是基

礎題.

6.（2020秋?荔灣區期末）已知向量Z=（1,1,o）,0,2），且3=（4,6,4）與

kZ+E平行，則％的值是（）

A.工B.3C.-3D.3

55

【考點】共線向量與共面向量.

【專題】轉化思想：定義法；空間向量及應用；數學運算.

【分析】利用已知向量，先求出kw+E的坐標，然后再利用向量共線定理，得到

再根據向量相等的坐標表示，列出方程組求解即可.

【解答】解：因為向量；=（1,1,0）,b=（-i,0,2），

所以ka+b=（4-1,k,2）,

第9頁共27頁

又3=（4,6,4）與ka+b平行，

所以存在實數入，使得

即（k-1,k,2）=入（4,6,4）,

%-1=4人

則,k=6入，解得左=3.

,2=4入

故選：D.

【點評】本題考查了空間向量的坐標運算，涉及了空間向量加法的坐標運算、空間向量

共線定理，屬于基礎題.

7.（2019秋?越秀區期末）為了研究某班學生的腳長x（單位：厘米）和身高y（單位：厘

米）的關系，從該班隨機抽取10名學生，根據測量數據的散點圖可以看出y與x之間有

***1010*

線性相關關系，設其回歸直線方程為丫=y+軟，已知￡為=220,￡勿=1610,b=4,

i=li=l

該班某學生的腳長為25,據此估計其身高為（）

A.165B.168C.173D.178

【考點】線性回歸方程.

【專題】方程思想：數學模型法：概率與統計：數學運算.

【分析】由已知求得彳，行的值，結合b=4求得a，可得線性回歸方程，取x=25求得y

值即可.

110_110

【解答】解：X」￡?=220=22,y—￡%=1610=161,

10i=110i=1

又丫=芳+1b=%

a=y-b^=161-4X22=7?

???y關于x的線性回歸方程為y=4x+73.

取x=25,得^=4X25+73=173（厘米）.

故選：C.

【點評】本題考查線性回歸方程的求法，是基礎的計算題.

8.（2019秋?天河區期末）如圖所示，一艘海輪從4處出發，測得8處的燈塔在海輪的正北

第10頁共27頁

方向20海里處，海輪按西偏南15°的方向航行了10分鐘后到達C處，此時測得燈塔在

海輪的北偏東30°的方向，則海輪的速度為（）

A.里/分B.2海里/分C.次海里/分D.如海里/分

【考點】三角函數模型的應用.

【專題】數形結合；數形結合法；解三角形；數學建模.

【分析】△ABC中，利用正弦定理求得4C的值，再計算海輪的航行速度.

【解答】解：△/8C中，48=20,ZJCB=90°-30°-15°=45°,

Z5=180°-45°-（90°+15°）=30°,

由正弦定理得，一^―=—邂k，

sin30sin45

.。20x4

4C=AB?sin30°=^_=io&；

sin45°返

2

所以海輪的航行速度為丫=型返=&（海里/分）.

10

故選：D.

【點評】本題考查了解三角形的應用問題，也考查了運算求解能力，是基礎題.

二.多選題（共4小題）

9.（2020秋?番禺區期末）某電子商務公司對10000名網絡購物者2019年度的消費情況進

行統計，發現消費金額（單位：萬元）都在區間［0.3,0.9］內，其頻率分布直方圖如圖所

示，則（）

第11頁共27頁

A.直方圖中的a=3

B.用直方圖估計這些消費金額的中位數為0.55

C.用直方圖估計這些消費金額的眾數為0.50

D.消費金額在區間［0.5,0.9］內的購物者人數為6000人

【考點】頻率分布直方圖.

【專題】數形結合；數形結合法；概率與統計；數學運算.

【分析】利用頻率分布直方圖的性質直接求解.

【解答】解：對于4由頻率分布直方圖的性質得：

（1.5+2.5+6Z+2.0+0.8+0.2）X0.1=1,解得a=3,故/正確；

對于8,［0.3,0.5）的頻率為：（1.5+2.5）X0.1=0.4,

［0.5,0.6）的頻率為：3X0.1=03,

用直方圖估計這些消費金額的中位數為：0.5+°?5-0-4xo.eo.53,故8錯誤；

0.3

對于C,用直方圖估計這些消費金額的眾數為：85+0.6=055,故C錯誤；

2

對于。，消費金額在區間［0.5,0.9］內的購物者人數為：

（3+2+0.8+0.2）X0.1X10000=6000人，故。正確.

故選：AD.

【點評】本題考查命題真假的判斷，考查頻率分布直方圖的性質等基礎知識，考查運算

求解能力，是基礎題.

10.（2020秋?天河區期末）下列敘述正確的是（）

A.若a,b,c￡R,且a>h,則ac2>bc2

B.若實數0<x〈工，則x（1-2x）的最大值為工

48

C.已知I，-5ax+6>0的解集為{x|x>4或x<1},貝!I"+b=5

D.對于Vx6R,ax2+4x22x2-1恒成立，則實數a的取值范圍是［6,+°°）

第12頁共27頁

【考點】全稱量詞和全稱命題；命題的真假判斷與應用；一元二次不等式及其應用.

【專題】整體思想：綜合法；簡易邏輯；邏輯推理.

【分析】由不等式的基本性質可以解選項/、8、D,再由一元二次不等式的解法可以判

斷選項C.

【解答】解：選項/中，若c=0,不等式不成立；

對于選項8,x（1-2x）=-2^+x=-2」，故取不到工，所以8選項錯誤；

IXJ88

不等式--5辦+6>0的解集為{小>4或x<l},所以1,4是方程--5辦+6=0的兩根,

即5a=5,8=4,所以a+b=5；故選項C正確；

，-2>0

對于VxWR,0x2+4x22x2-1可得，（。-2）pMx+l20恒成立，所以《,

L4-4（a-2）<0

解得故選項Z）正確；

故選：CD.

【點評】本題考查了不等式的解法，不等式恒成立，一元二次不等式的解法，屬于基礎

題.

11.（2020秋?海珠區期末）已知橢圓C的中心為坐標原點，焦點內，出在y軸上，短軸長

等于2,離心率為逅，過焦點Fi作y軸的垂線交橢圓C于尸、0兩點，則下列說法正確

3

的是（）

2

A.橢圓C的方程為匚+/=1

3

2

B.橢圓。的方程為—+/=1

3

c.?尸

D.尸2。的周長為4次

【考點】橢圓的性質.

【專題】計算題；方程思想；數形結合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；數學運算.

【分析】由已知求得6,再由離心率結合隱含條件求得。，可得橢圓方程，進一步求得通

徑及△尸尸2。的周長判斷得答案.

【解答】解：由已知得，26=2,b=l,3巫,

a3

又〃2=序+C2,解得Q2=3.

第13頁共27頁

2

橢圓方程為*2g=1.

3

如圖:

故選：ACD.

【點評】本題考查橢圓的簡單性質，考查數形結合的解題思想方法，是中檔題.

12.（2020秋?荔灣區期末）設S”為數列標“｝的前〃項和，且s=n-tJ—V若數列｛為｝滿

n2n

足：hn=n（1-an）9且歷+歷+…+仇，則以卜說法正確的是（）

A.數列1｝是等比數列B.數列｛兒｝是遞增數列

n+2

c[=2-D.Sn>Tn

2n

【考點】等比數列的性質；數列遞推式.

【專題】轉化思想；綜合法；等差數列與等比數列；邏輯推理；數學運算.

【分析】利用。〃與S,的關系求出即，再求出1,利用等比數列的定義即可判斷選項

A,求出加，再利用作差法判斷選項8,利用錯位相減法求出7；判斷選項C,利用作差

法即可判斷選項D.

【解答】解：因為s=n」--1，

112n

當心2時'5方式n-l+^rp-l'

兩式相減可得a=1」-，

n2n

當"=1時，a,=S,=!也適合上式，

al2

故a=1-1-,

nx2n

第14頁共27頁

_±_

-n

1anl21

貝Ua11-1=—n>因為一aA-TT1—=/

2n-l2

2n-1

故數列｛“"-1｝是等比數列，故選項A正確;

因為d=，7(1-a?),所以b4-，

n2n

故h_k=_n+ln=「n

n+1n2#12n2*1

當n>l時,bn+i-8jWO,所以bn+iWb”,

則數列｛加｝不是遞增數列，故選項8錯誤;

因為Tn=lx[+2X二?+…+n，~^7

2222n

所以11n=1、方…+缶-1)

yx(1-白)

兩式相減可得/T“=~—7TT=--------------777'=1",，,

2n2222n2*1]12*12*1

所以T=2旦2,故選項C正確;

11gn+2、_n+3

S-T=n(2-——)=n-3n—

nn222

當〃=1時,S[-Ti=l-3+/=0，則Si=Ti，

當〃=2時，So-To=2-3+-r>0-則&>為，

當〃23時，s-T=n-3+-^->0-則S”>T",

綜上可得，S“2T”,故選項。正確.

故選：ACD.

【點評】本題考查了數列的綜合應用，涉及了斯與S,的關系的應用、等比數列定義的應

用、數列單調性的判斷、錯位相減法求和的應用，綜合性強，對思維能力和運算能力都

有很高的要求，屬于中檔題.

三.填空題（共4小題）

13.（2020秋?越秀區期末）有一機器人的運動方程為s=f2總（/是時間，s是位移），則

第15頁共27頁

該機器人在時刻f=2時的瞬時速度為_晝_.

4

【考點】變化的快慢與變化率；導數的運算.

【專題】函數思想；定義法；導數的概念及應用；數學運算.

【分析】對5=t2守導數，再代入尸2求出對應s'的值即可.

【解答】解：機器人的運動方程為s=t2T■，

所以s'=2「&,

t2

f=2時，s'=2X2

44

則該機器人在時刻t=2時的瞬時速度為」旦.

4

故答案為：11.

4

【點評】本題考查了導數的幾何意義與應用問題，是基礎題.

x-y+l）O

14.（2020秋?海珠區期末）已知x,y滿足條件,乂刊-3<0,則z=-^x+y的最小值為一

y>l2

2.

【考點】簡單線性規劃.

【專題】數形結合；數形結合法；不等式的解法及應用；數學運算.

【分析】由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優

解，把最優解的坐標代入目標函數得答案.

x-y+l>0

【解答】解：由約束條件（x+y-340作出可行域如圖，

y>l

x-y-l=0

第16頁共27頁

聯立Jx+y-3=0,解得/⑵D,

,y=l

化目標函數z=-1x+y為尸?N+z，由圖可知，

當直線y=^x+z過/時，直線在V軸上的截距最小，z有最小值為-2.

故答案為：-2.

【點評】本題考查簡單的線性規劃，考查數形結合的解題思想，是中檔題.

15.（2020秋?荔灣區期末）如圖，已知正三棱柱N8C-4向。的各條棱長均為2,P是AiB

的中點，則異面直線/。與PC所成角的余弦值等于_返_.

8

【考點】異面直線及其所成的角.

【專題】轉化思想；向量法；空間角；數學運算.

【分析】建立合適的空間直角坐標系，求出點的坐標，再求出兩條異面直線的方向向量,

然后利用異面直線所成角的計算公式求解即可.

【解答】解：以力為坐標原點建立空間直角坐標系如圖所示，

正三棱柱為8C-/i81cl的各條棱長均為2,且P是小8的中點，

所以A(0,0,0),P(l,0,1),C(l,V3.0),Ci(1,E，2)，

所以西=(1,V3.2),PC=(0,V3)-D)

Aq-PC3-2近

則cos<記，pc>=-

|記||PC|=2^2X2-8(

故異面直線AC\與PC所成角的余弦值等于返.

8

故答案為：返.

8

第17頁共27頁

【點評】本題考查了空間角的求解，涉及了兩條異面直線所成角的求解，在求解空間角

的時候，一般會建立合適的空間直角坐標系，將空間角問題轉化為空間向量問題進行研

究，屬于中檔題.

16.在等差數列｛??｝中，2（01+44+07）+3）=24,則此數列的前13項之和等于26

【考點】數列的函數特性.

【專題】方程思想；轉化思想；等差數列與等比數列.

【分析】利用等差數列的性質與求和公式即可得出.

【解答】解：等差數列｛斯｝中，2（0+44+47）+3（〃9+。11）=24,

/.6。4+6。1o=24,

**?26f7=4?即a7=2.

,13（a1+a10）

則此數列的前13項之和Si3=——J一13L=13a7=26.

2

故答案為：26.

【點評】本題考查了等差數列的性質與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中

檔題.

四.解答題（共6小題）

17.（2020秋?廣州期末）共享單車是指由企業在校園、公交站點、商業區、公共服務區等

場所提供的自行車單車共享服務，由于其依托“互聯網+”，符合“低碳出行”的理念，

已越來越多地引起了人們的關注.某部門為了對該城市共享單車加強監管，隨機選取了

50人就該城市共享單車的推行情況進行問卷調查，并將問卷中的這50人根據其滿意度評

分值（百分制）按照[50,60）,[60,70）,???,[90,100]分成5組,請根據下面尚

未完成并有局部污損的頻率分布表和頻率分布直方圖（如圖所示）解決下列問題：

頻率分布表

第18頁共27頁

組別分組頻數頻率

第1組[50,60)80.16

第2組[60,70)a■

第3組[70,80)200.40

第4組[80,90)■0.08

第5組[90,100]2b

合計■■

（1）求a,b,x,y的值；

（2）根據以上問卷調查估計：若80%的受調查者滿意度評分值不超過，值，求才的最小

值；

（3）若在滿意度評分值為［80,100］的人中隨機抽取2人進行座談，求所抽取的2人中至

少一人來自第5組的概率.

【考點】頻率分布直方圖；列舉法計算基本事件數及事件發生的概率.

【專題】數形結合；數形結合法；概率與統計；數學運算：數據分析.

【分析】（1）由頻數分布表和頻率分布直方圖的性質列出方程組，能求出a,b,x,y的

值.

（2）由頻率分布直方圖求出［50,70）的頻率為0.48,［70,80）的頻率為0.4,再由80%

的受調查者滿意度評分值不超過t值，列方程能求出/的最小值.

（3）滿意度評分值為［80,90）的人數有4人，滿意度評分值為［90,100］的人數有2人,

在滿意度評分值為［80,100］的人中隨機抽取2人進行座談，求出基本事件總數和所抽取

第19頁共27頁

的2人中至少一人來自第5組包含的基本事件個數，由此能求出所抽取的2人中至少一

人來自第5組的概率.

【解答】解：(1)由題意得：

’0.16+lOx+O.4+0.08+10y=l

2

<b=10y=—，

t>u

a=50X10x

解得。=16,6=0.04,x=0.032,y=0.004.

(2)由頻率分布直方圖得：

［50,70)的頻率為:0.16+0.32=0.48,

［70,80)的頻率為0.4,

???80%的受調查者滿意度評分值不超過t值，

的最小值為：70+°?48x10=78.

0.4

(3)滿意度評分值為［80,90)的人數有：50X0.08=4人，

滿意度評分值為［90,100］的人數有：2人，

在滿意度評分值為［80,100］的人中隨機抽取2人進行座談，

基本事件總數n—「2=15,

所抽取的2人中至少一人來自第5組包含的基本事件個數w=c2+clcl=9.

，所抽取的2人中至少一人來自第5組的概率為尸=螞=9-=旦.

n155

【點評】本題考查頻率、頻率、概率的求法，考查頻率分布直方圖的性質、古典概型、

排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

18.(2020秋?番禺區期末)已知二次函數/(x)=x2-(M-1)x+2m.

(1)若/(x)>0對一切x€R恒成立，求實數機的取值范圍；

(2)若函數/(x)在區間(0,1)上有且只有一個零點，求實數w的取值范圍.

【考點】函數恒成立問題；二次函數的性質與圖象.

【專題】計算題；分類討論；分類法；函數的性質及應用；數學運算.

【分析】(1)由題意可知AV0,即可求出”的取值范圍.

(2)若△=(),求出機值，從而求得/(x)的零點，判斷是否符合題意；若△>(),由/

(0)?/(1)<0即可解出機的取值范圍.

第20頁共27頁

【解答】解：(1)因為/(X)>0對一切X6R恒成立，

所以△=(w-1)2-8w=zn2-10w+l<0,

解得5-2<5+2/^,

即實數m的取值范圍是(5-2戈，5+2國

(2)若^=加2-io〃?+i=o,gpm=5±2y[^),

則此時/(x)=0的解為x=2±倔(0,1)

若△=/-]0”7+]>0,即用<5-加>5+2

因為函數/(x)在區間(0,1)上有且只有一個零點，

所以/(0)<0,即2m2+4加<0,解得-2〈機VO.

綜上，加的取值范圍是(-2,0).

【點評】本題主要考查二次函數的性質以及函數恒成立問題，屬于中檔題.

19.(2020秋?天河區期末)已知數列｛斯｝的前〃項和S,滿足4°"-3S”=3,其中〃CN*.

(1)證明：數列｛斯｝為等比數列；

(2)設6"=L“-4〃+l,求數列｛為｝的前〃項和

3

【考點】數列的求和；數列遞推式.

【專題】轉化思想；綜合法；等差數列與等比數列；數學運算.

【分析】(1)運用數列的遞推式：”=1時，ai=Si，時，an=Sn-Sn.\,結合等比

數列的定義，即可得證；

(2)求得加=4"-4〃+1,結合數列的分組求和，以及等差數列和等比數列的求和公式,

計算可得所求和.

【解答】解：(1)證明：由4a”-3S”=3,其中”6N*,

可得〃=1時，4ai_3Si=4aj-3ai=3,解得ai=3,

-

麓22時,4an-13Sn-i=3,又4〃〃-3s般=3,

兩式相減可得4斯-4斯.1-3(Sn-Sn-i)=4a〃-j-3。〃=。〃--i=0,

即Cln=4即-1，

所以數列｛a〃｝首項為3,公比為4的等比數列；

(2)6"=工"-4〃+1=工*3*4"-1-4〃+1=4"-1-4〃+1,

33

所以(1+4+42+…+4廠1)-(3+7+

第21頁共27頁

=.1-4_-An(3+4〃-1)=A(4n-1)-2H2-n.

1-423

【點評】本題考查數列的遞推式的運用、等比數列的定義和通項公式、等差數列和等比

數列的求和公式的運用，以及數列的分組求和，考查轉化思想和運算能力，屬于中檔題.

20.(2020秋?海珠區期末)如圖，正三棱柱/8C-451。中，。是ZC的中點.

(1)求證：A8i〃平面OB。：

(2)若求二面角。-8。-C的余弦值.

【考點】直線與平面平行；二面角的平面角及求法.

【專題】數形結合；向量法；空間位置關系與距高；空間角；邏輯推理；數學運算.

【分析】(1)連接8C,交BCi于E,連接。E,推導出力囪〃。￡;由此能證明“囪〃平

面DBC\.

(2)設E、E分別為8C、8c的中點，連接EF,AF,推導出ZE_L8C,AF^EF,EF

-LBC,以尸為原點，分別以FB,EF,E4所在直線為x,y,z軸，利用向量法能求出二

面角。-8Cj-C的余弦值.

【解答】解：(1)證明：連接8C，交BCi于E,連接。E,

由已知得四邊形881cle為矩形，是51c中點，

在△/8C中，。為/C中點，：.AB\//DE,

；48反平面。8。，OEu平面。8。，

...481〃平面DBC\.

(2)設E、F分別為8iC、8c的中點，連接EF,AF,

由已知得4F_L8C,AFVEF,EFLBC,

以產為原點，分別以q，EF,E4所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，

設881=。，BC=2b,

則A(0,0,百b)，B(b,0,0),B\(b,-a,0),C(-b,0,0),C\-b,-a,

第22頁共27頁

0),

?，?AB]=(b,-a,-J^b),BC[=(-2b,-a,0),

A,

AB\-LBCif；?AB；,BC；=一2b2+°2=0,解得；?c〔g=(A/2。，0),

???。是NC中點,0,Vil),.\DB=(3&a,01_V6a_)(

4444

n=(0,0,1)是平面CBCi的法向量.

設平面。8cl的法向量ir=（x,y,z）,

,

mC1B=V2ax+ay=0

則一一如a娓a,取z=l，得>嘩，坐，1），

m>DB=r-x^r-z^33

，二面角D-BC\-C的余弦值為返.

2

【點評】本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線

面、面面間的位置關系等基礎知識,考查運算求解能力，是中檔題.

21.（2020秋?荔灣區期末）某高科技企業生產產品力和產品8需要甲、乙兩種新型材料.生

產