空間向量及其運算

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題(本大題共11小題，共55.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

1.如圖，正方形ABC。與矩形ACEF所在平面互相垂直，

AB=BAF=1.M在E/上，且AM〃平面BDE,則M

點的坐標為()

A.(1,1,1)

也受1)

C.(2'2')

D.

44

2.空間四邊形A8CZ)中，若向量麗=(一3,5,2),CD=(-7,-1,-4)

點E,尸分別為線段8C,A。的中點，則前的坐標為()

A.(2,3,3)

B.(-2,-3,-3)

C.(5-2,1)

D.(-5,2,-1)

3.已知三棱柱ABC-A4G的所有棱長相等，若乙34=NAAG=60°,則異面直線AC與

Ag所成角的余弦值是()

B亞

D.

3c?除3

4.如圖所示，二面角a-/一，為30°,Aea,D&/3,過點

A作AB_L/,垂足為B,過點。作CDJJ,垂足為C,若

AB=6,BC=\,CD=\,則AO的長度為（）

A.1

B.V2

C.6

D.2

5.在四面體ABC。中，AB=6,BC=3,BD=4,若NABD與/ABC互余，則而?（肥+礪）

的最大值為（）

A.20B.30C.40D.50

6.如圖，在正四棱柱43a>—AgGA中，A4,=2,AB=BC=1,

動點P、。分別在線段G。、AC上，則線段PQ長度的最小值是（）

.V2

A.——

3

B6

3

C.-

3

D.旦

3

7.如圖，在正方體ABC。—A4G2中，M,N分別是棱AB,

的中點，點尸在對角線CR上運動.當APMN的面積取

得最小值時，點尸的位置是（）

A.線段CA的三等分點，且靠近點4r-

1佚—5

B.線段CA1的中點獷

B'

c.線段CA的三等分點，且靠近點c

D.線段CA的四等分點，且靠近點c

8.向量的運算包含點乘和叉乘，其中點乘就是大家熟悉的向量的數量積.現定義向量的叉乘:

給定兩個不共線的空間向量方與5，MxB規定：①Mxb為同時與B垂直的向量；②

b,axb三個向量構成右手系(如圖1)；?\axb|=|a\\b\sin(a,b)；④若仁=&,加4),

h=(x2,y2,z.),則MxB=(+|X'4|,_盧'4|,+盧，X|),其中|"']=加一兒.如圖2,

々*2x2,y2c,d

在長方體中A8CO—44GA，AB=AD=2,44,=3,則下列結論正確的是()

A.\ABxAD\^AA^\

B.ABxAD-ADxAB

C.(福-拓)x麗=正隨-擊x麗

D.長方體ABCO-AgCQi的體積V=(A后XA/5).錄

9.已知三棱錐A—BCD中，底面BCD為等邊三角形，AB=AC=AD=3,BC=2百，點

E為CD的中點，點尸為BE的中點，若點是空間中的兩動點，且幽=也=2,肱V=2,

MFNF

則AA/?前=()

A.3B.4C.6D.8

10.7瓦［為三個非零向量，則①對空間任一向量下，存在唯一實數組(x,y,z),使

p=xa+yb+zc；②若方〃瓦5〃5，則M〃不；③若&?BB3,則江=三；④

(a-b)-c=a-(b-c),以上說法一定成立的個數()

A.0B.1C.2D.3

11.A,B,C是不共線的三點，。是平面ABC外一點，設用滿足條件。而=?方豆+■!■芯,

488

則直線40.()

A.與平面A8C平行B.是平面ABC的斜線C.是平面48c的垂線D.

在平面ABC內

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求)

12.在三棱錐P-4BC中，以下說法正確的有()

A.若2亞=福+麗，則麗=3而

B.若萬?恁=0,P&A4=0,則可小3二。

C.若P4=P3=PC=2,A3=AC=BC=20,M、N分別為PA、8c的中點，則|礪|=2

D.若T為AA8C的重心，則2行+標=P6+PC4

13.正方體ABC。—A4G。的棱長為2,且加=4萬瓦(0<2<1),過P作垂直于平面

8。￡>蜴的直線/,/交正方體45。。一44。19的表面于用，N兩點，下列說法不正確的是

()

A.8'，平面用N

B.四邊形OMqN面積的最大值為2指

C.若四邊形。MgN的面積為太，則

4

D.若；l=g,則四棱錐的體積為2夜

14.如圖，已知直四棱柱A3CD-EFG”的底面是邊長為4的正方形，CG=m，點、M為CG

的中點，點P為底面EFGH上的動點，貝立)

A.當機=4時，存在點P滿足。A+PM=8

JT

B.當機=4時，存在唯一的點尸滿足NAPM=—

2

C.當m=4時，滿足BP，AM的點尸的軌跡長度為2起

D.當加=生叵時，滿足NAPM=工的點P的軌跡長度為它叵力

329

15.以下四個命題中錯誤的是（）

A.空間的任何一個向量都可用其他三個向量表示

B.若他,無口為空間向量的一組基底，則他+瓦5+口5+萬｝構成空間向量的另一組基底

C.對空間任意一點。和不共線的三點A、B、C,若麗=2方一2麗—元，則P、A、B、

C四點共面

D.任何三個不共線的向量都可構成空間向量的一個基底

三、填空題（本大題共1小題，共5.0分）

16.如圖，四棱錐P—A3C。的底面ABCD為平行四邊形，

PH=HC,在線段A”上取一點G,使G,8,四點四面.

若正=%而+），前+z即（x,y,z為常數），則種=

D

答案和解析

1.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查空間中點的坐標的求法，是基礎題.

設4C、BO交于點。，連結0E,由己知推導出四邊形OAME是平行四邊形，從而M是EF的中

點，由此能求出點用的坐標.

【解答】

解：設AC、8。交于點。，連結0E,

AM//平面BDE,AMu平面ACEF,平面BDE^\平面ACEF=EO,

/.AMIIOE,又AO〃EM,.?.四邊形04WE是平行四邊形，

是EF的中點，

易得CEJ_平面ABC。、AF"平面ABCQ,

vE(O,O,1),F(V2,V2,1),

2.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查了向量的線性運算、向量坐標運算，屬于基礎題.

點E,F分別為線段BC,A。的中點，。為空間內任一點，可得麗=而—詼，赤=g(次+0D),

樂=((0月+阮)，代入計算即可得出.

【解答】

解：AB=(-3,5,2),_BA=(3,-5,—2),

???點、E,產分別為線段BC,A。的中點，。為空間內任一點，

^^^^^***II

:.EF=OF-OE,OF=-(OA+OD),0E=—(06+0C),

22

：.^EF=^OA+OD)-^(OB+OC)

=1(BA+C￡>)

=l[(3,-5,-2)+(-7-1-4)]

=^(-4,-6,-6)

2

=(-2,-3,-3).

故選：B.

3.【答案】A

【解析】

【分析】

本題主要考查的異面直線所成的角，空間向量的數量積運算，屬于中檔題.

設乖=%4瓦==設三棱柱ABC—AgG的棱長為如利用空間向量基本定理，

將電與A8；用〃,5忑表示出來，利用空間向量的運算求出COS<ACA6；>,即可得到異面直

線所成角的余弦值.

【解答】

解：設型=24瓦=反福=△設三棱柱ABC—ABC的棱長為加.

--19

則。?b=b?E=O?/=一加~.

2

又AC=4G+AA=M+｝，AB[=A4—AA=/?—a.

所以41d?ABi=(/+可)?—Z)=N飛-~S2+T=—/2,

|祝卜J（過+Z）2=，■產+".N+矛=575m.

A^-AE^

所以cos<_Aid,Ni^>=

雙幅x/Bzn?m6

則異面直線4c與AB1所成角的余弦值是—

故選A.

4.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查線段長的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用.

由題設知AZ5=A與+83+。力，故

---?2---?2---*2---?2---?--------------------

AD=A5+BC+CD+2AB-BC+2ABCD+2BCCD,由此能求出4。的長.

【解答】

解：?.?二面角a-/-/7的大小為30°,點B,C在棱/上，Aea,Dw。,

ABVI,CDVI,AB=6BC=1,CD=1

：.AD^AB+BC+CD,

----2---.2----2---?2------------------------

/.AD=AB+BC+CZ）+2AB-BC+2ABCD+2BCCD

=3+l+l+0+2x百xlxcos150+0

=2,

AD|="

故選B.

5.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查空間向量的數量積運算以及三角函數求最值，屬于中檔題.

n

設NA5O=a,可得=——a,利用空間向量數量積的定義以及輔助角公式，結合正弦函

2

數的值域可求得BA（BC+BD）的最大值.

【解答】

TT

解：設可得=a,則a為銳角，

2

在四面體A8CO中，AB=6,BC=3,BD=4,

則麗?（反+麗）=麗?前+麗?麗

=|函|?||cos(|-a)+\BA\\BD\cosa

=18sina+24cosa

4

=30sin（a+°）,其中°為銳角，且tan夕

3

?：0<a<—,則夕<a+e<：5+e，

所以，當a+e=時，荔?（耳d+而）取得最大值30.

故選：B.

6.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查了空間向量的模，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

設。戶=%反;，AQ^^AC,（A,//e[0,11）.

利用向量模的計算公式可得：

|PQH7（l-A）2+（A-/t）2+4A2,從而得解.

【解答】

解：建立如圖所示的空間直角坐標系,

41,0,0)，5(1,1,0),C(0,l,0),C,(0,l,2),

設赤=而屐，AQ=^AC,(A,/ze[0,l]).

.?.麗=〃()』,2)=((),422),

DQ=DA+JJ(DC-DA)

=(1,0,0)+〃(-1,1,0)=(1-0).

PQ-DQ-DP=(12,-2A),

■?.IPQ1=J(l_〃)2+(〃―4)2+4/l2

4_2

5（八針卡》守+99-3

5

當且僅當;1=幺,=

9-

5

即時取等號.

99

2

二線段PQ長度的最小值為

故選C.

7.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查點的位置判斷，考查空間中兩點之間的距離，考查運算求解能力，是中檔題.

以A為原點,AB為x軸,4。為y軸，A4為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出AAWV

的面積取得最小值時，P為C4的中點.

【解答】

解：以A為原點，A8為x軸，A。為y軸，A41為z軸，建立空間直角坐標系,

設正方體ABC。-%與GR的棱長為1，P為AC上的動點,

設PQ,九1一2),其中1,M(-,0,0),N(1,O,-),

22

|PM|=J(A-^)2+A2+(l-A)2=^322-32+1,

|PN|=^U-l)2+A2+(l-2-^)2=,2-34+：,

:]PM|=|PN|,APMN為等腰三角形，底邊|MN|=與-,

設底邊MN上的高為h,則有h=J|PM『一(可藥=JlPM『

-/3A2-32+-=3(2--)2+-,.-.2=-時&PMN的面積取得最小值,

4222

此時p為的中點.

故選：B.

8.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查空間向量的新定義，空間向量的數量積，屬于中檔題.

利用新定義，結合棱柱的體積公式逐個判斷即可；法二：建立空間直角坐標系，由向量法逐個進

行判斷.

【解答】

解：砥同時與A分，AZ5垂直，AA.,AB,三個向量構成右手系，

且|通xAD|=|而||而|sin〈麗，而＞=2x2xsin90°=4苗麗'|=3,所以選項4錯誤;

根據右手系知：A8xAD與AOxA3反向，所以ABxADHZ方xA耳，故選項8錯誤；

因為|(法—45“玉1=|方x3瓦|=20x3xsin9Oo=60,

且加*函=一而x甌與乙4同向共線，

又因為|4分*4(|=2*3*5m9()0=6,且也＞＜4＜與方同向共線，

|ZDxZ^|=2x3xsin90°=6,而x麗與。。同向共線，

所以—通x麗'|=6收，

且A^xA4t-如乂陽?與聲同向共線，

(AB-AD)xAAl=ABxAA^-ADxA^,故選項C正確；

所以長方體ABCD-45G。的體積為2x2x3=12,

又因為由右手系知向量而x而方向垂直底面向上，與京反向，

所以(的*45).束＜0,故選項。錯誤；

故選C

法二：如圖，建立空間直角坐標系，

通=(0,2,0),加=(—2,0,0),A4=(0,0,3),則而x而=(0,0,4),所以選項A錯誤;

束=(0,0,-3),貝ij(麗x拓)?束=一12,故選項￡＞錯誤；

而x而=((),(),-4),故選項B錯誤；

AB-AD=DB=(2,2,Q),KiJ(AB-AD)xA^=(6,-6,0),

ABxA^=(6,0,0),而x麗=(0,6,0),則荏x麗一亞x麗=(6,F,0),

所以(荏—而)*羽=刀、麗一蒞xZT，故選項C正確；

故選C.

9.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查平面向量數量積的性質及其應用，考查數學轉化思想方法與數形結合的解題思想方法，

屬難題.

由題意畫出圖形，建立空間直角坐標系，由己知說明點M,N在以。為球心，以1為半徑的球上，

結合MN=2,得MN為球的直徑，由向量的數量積，即可得到答案.

【解答】

解：設A在底面BCO的投影為O,

?.?A3=AC=A￡>=3,底面為等邊三角形，且BC=2百，

：.OD=2,AO=y/5,

以O為坐標原點，04為z軸，。。為y軸，以過點。且與BC平行的直線為z軸，建立如圖所示

空間直角坐標系.

則3(-后-1,0),￡>(0,2,0),C(水

又E為CZ)的中點，：.E(-丁3,0),

n1

點尸為BE的中點，F(------,----,0)?

44

、n-,MBNB

設M(x,y,z),由----

MF~NF

得|MB|=21M研,

y（#+w）+3+1尸+/

=、9+毛）+卜+；）+,

x2+y2+Z2=1,B[J\OM\=1,

二點何在以。為球心，以1為半徑的球上，同理N也在這個球上，

且MN=2,為球的直徑，

則麗?麗=須+兩（而+而）

-------2-------->2

=A0-0M=5-1=4.

故選：B.

10.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查命題的真假判斷與應用，考查空間向量基本定理、向量數量積的運算性質，屬于中檔題.

①利用空間向量基本定理可判斷：

②利用非零向量共線的性質可判斷；

③利用向量的數量積的運算性質可判斷；

④（無5）1=萬—（5￡）錯誤.

【解答】

解：因為25忑為三個非零向量，所以，

對于①，當2反0為三個非零共面向量時，對空間任一向量丑，不存在唯一實數組（x,y,z）,使

p-xa+yh+zc,故①錯誤；

對于②，???1,5,個為三個非零向量,a//b,b//c,:.a//c,故②正確；

對于③，若G下=6々,則5?（萬一/=0,即行工色一己，而不是M=/故③錯誤；

對于④，30）￡=萬《5?丹不一定成立，等號左端為（必萬）倍的1,等號右端為（5e）倍的

而萬與了不一定共線，故④錯誤.

綜上所述，以上說法一定成立的個數為1個，

故選：B.

11.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查空間向量中向量線性運算以及共面定理，屬于中檔題.

根據題中向量等式，將向量0A/進行拆分，移項整理可得就=-!耐雨，從而得到向量

66

MA.MB.就是共面向量，由此不難得到本題答案.

【解答】

----31——1

解：-：OM=-OM+-OM+-OM

488

——3—1—■1—?3——1——?1——.3—■1—■1—■

由OM=-OA+-OB+-OC,^-OM+-OM+-OM^-OA+-OB+-OC

488488488

移項，得：（0而一0印）=；（O方—OM）+^（OC-OM}

：.-AM=-MB+-MC,即加=百一'用3

48866

由此可得向量W、MB,是共面向量，由此可得直線AM在平面48c內

故選：D

12.【答案】BD

【解析】

【分析】

本題主要考查了空間向量的加法、減法以及數乘、數量積運算，考查了向量的模的計算.

根據空間向量的線性運算，逐項判斷每項的正誤即可.

【解答】

解：如圖：

對于A,因為2■方=麗+而，即加=,A月+,麗，所以。為BP的中點,

22

則麗=2加，故4錯誤；

對于8,因為西?衣=0,PAAB=Q,

所以西?阮=西?（衣—而）=西?/一百?麗=0,故B正確；

對于C,因為麗=麗一而=,（而+正）—J■麗=!（而+方—麗），

222

且PA=PB=PC=2,AB=AC=BC=2s/i,

根據勾股定理的逆定理可得PA,PB,PC兩兩垂直，

故|麗|=g|而+正—麗次+存+京2=百，故C錯誤；

對于O,因為T為AABC的重心，所以羽+而+而=6,

所以2萬+諉+而+元=2萬，2PT+fB+TC=2Pf-TA,

即（行+而）+（行+無）=2行+宿

所以故。正確.

故答案選：BD.

13.【答案】ACD

【解析】

【分析】

本題主要考查了線面垂直的判定，空間直角坐標系，空間向量的正交分解及坐標表示，空間向量

的模，夾角與距離求解問題，棱錐的體積，屬于較難題.

根據已知及線面垂直的判定，可知A是否正確，根據已知及空間直角坐標系，利用?表示出點M,

N的坐標，從而可求出四邊形OW四N的面積以及四棱錐的體積.

【解答】

解：因為BQ與鳥。不垂直，所以8。與平面0M4N不垂直，故A不正確.

如圖，以。為坐標原點，麻；,4方的方向分別為x,y,z軸的正方向，建立空間直角

坐標系-盯z,

則￡>(0,0,2),4(2,2,0),4(2,0,0),C,(0,2,0).

因為麗=2璃'，所以P(24242—2；1).

因為AG，平面8。。的，

所以設麗=麗=

則M(2A+2〃,2A-2〃,2—22),N(2A-2〃,2A+2〃,2—2A).

若Me平面A。。/,則4=〃，

即M(440,2-22),W,42,2-22),0<Z?-；

2

若Me平面A3B14，則;1+〃=1,

即加(2,4/1—2,2—2；1),N(4，-2,2,2-22),2<1.

2

因為所以四邊形￡>M8IN的面積

1f4vzs入,0<入W于

S==|BiZ>||MJV|=V3\MN\=(]/

I4x/6(l-A))^<A<L

當/l=；時，四邊形DM烏N的面積最大，且最大值為2#；

點B到直線BQ的距離為等變=巫,

2733

277

即點8到平面DMgN的距離為一]一,

1)FZo

故四棱錐3-OA/gN的體積V=1x2\/^x—--=—,故3正確，故。不正確.

若四邊形。MgN的面積為逐，

13

解得；1=乙或士，故C不正確.

44

故選ACD.

14.【答案】BCD

【解析】

【分析】

本題考查了向量的數量積，空間中的軌跡長度，多面體的結構特征，屬于較難題.

建立空間直角坐標系，對選項ABCD一一進行分析判斷即可得.

【解答】

777

解：建立如圖所示的空間直角坐標系，可知A(4,0,0),M(0,4,y),

設P(x,y,ni),

作點M關于EFGH的對稱點為M',

連接AM,交平面EFGH于點外，

當點P不在4處，PA+PM=PA+PM'>AM',

即PA+AM的最小值為AM',

A:當m=4H寸，/'(0,4,6),

所以AM'=山2+(0-4/+(0一歹=2717>8，故A錯誤;

B：言=(8一4e,4),融=(劭?—4,2),

若A?■Af/=(x-4)x+—4)+4x2=0>

rr

則尤=2,y=2,所以存在唯一的點滿足NAPM=2,故B正確；

2

C：AA?=(-4,4,2).提=5_4,。_4,4)滿足8P_LAW,即由二8戶=0,

團-4(?-4)+4(j-4)+4x2=0，

即y=x-2,

在平面EbG〃作出該直線y=x-2與四邊形EbG”的交線K。，即K(2,0,4),Q(4,2,4),

所以KQ=后標而=20,故C正確；

￡)：當機時，A(4,0,0),M(0,4,手)，尸(兌％殍)，

卜-4,y,竽)，凝=

則言二卜…,平)'

因為NAPM=生，則9,而池=(工一4)0?+孤4)+g=。，

23

即a—2產+⑨一2)2=與，與平面EF