10/1009/10/§1數列1.1數列的概念學習目標1.通過實例了解數列的概念及其分類(重點)；2.了解數列的表示方法(列表法、通項公式法)及其應用(難點)．預習教材P3－6，完成下列問題：知識點一數列的概念及表示方法1．數列與數列的項按照一定次序排列的一列數叫作數列，數列中的每一個數叫做這個數列的項．數列中的每一項都和它的序號有關，排在第一位的數稱為這個數列的第1項(通常也叫做首項)，排在第二位的數稱為這個數列的第2項，……，排在第n位的數稱為這個數列的第n項．2．數列的表示方式數列的一般形式可以寫成a1，a2，…，an，…，簡記為{an}，an是數列的第n項，也叫通項．【預習評價】1．{an}與an是否相同？提示不同，它們是兩個不同的概念．{an}表示數列a1，a2，a3，…，an，…，而an只表示數列{an}的第n項．2.數列1，2，3，4和數列4，3，2，1是相同數列嗎？提示不是，數相同而順序不同時不是一個數列.知識點二數列的分類根據數列的項數可以將數列分為兩類：①有窮數列——項數有限的數列.②無窮數列——項數無限的數列.【預習評價】(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)數列1，2，3，4，…，2n是無窮數列.(×)(2)數列1，2，3，4和數列1，2，3，4，…是相同數列.(×)知識點三數列的通項公式如果數列{an}的第n項與序號n之間的關系可以用一個式子an＝f(n)來表示，那么這個式子叫做這個數列的通項公式.【預習評價】填表數列通項公式1，2，3，4，…an＝n1，3，5，7，…an＝2n－12，4，6，8，…an＝2n1，2，4，8，…an＝2n－11，4，9，16，…an＝n21，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，…an＝eq\f(1,n)題型一數列的概念及分類【例1】下列各式哪些是數列？若是數列，哪些是有窮數列？哪些是無窮數列？(1){0，1，2，3，4}；(2)0，1，2，3，4；(3)所有無理數；(4)1，－1，1，－1，1，－1，…；(5)6，6，6，6，6解(1)是集合，不是數列.(3)不能構成數列，因為無法把所有的無理數按一定順序排列起來.(2)(4)(5)是數列，其中(4)是無窮數列，(2)(5)是有窮數列.規律方法數列的判斷方法：(1)判定是否是數列的關鍵是抓住數列的定義，理解數列的表達形式.(2)判定一個數列是有窮數列還是無窮數列的關鍵是判斷數列中的項數是有限還是無限.【訓練1】有下列結論：①數列就是數的集合；②任何數列都有首項和末項；③項數無限的數列是無窮數列；④前若干項相同的兩個數列必相同.其中正確的序號是()A.①③ B.③④C.②④ D.③解析數列與數集不同，數列有順序要求，而集合無順序要求，①錯；無窮數列無末項，②錯；數列4，3，2，1，0與4，3，2，1，0，－1，－2，－3是不同的數列，④錯；③正確，故選D.答案D題型二由數列的前幾項寫通項公式【例2】寫出下列數列的一個通項公式，使其前幾項分別是下列各數.(1)eq\f(1,2)，2，eq\f(9,2)，8，eq\f(25,2)，…；(2)a，b，a，b，a，b，…；(3)eq\f(1,1×2)，－eq\f(1,2×3)，eq\f(1,3×4)，－eq\f(1,4×5)，…；(4)2，22，222，2222，….解(1)數列的項，有的是分數，有的是整數，可將各項都統一成分數再觀察：eq\f(1,2)，eq\f(4,2)，eq\f(9,2)，eq\f(16,2)，eq\f(25,2)，…，所以，它的一個通項公式為an＝eq\f(n2,2)，n∈N＋.(2)這是個擺動數列，原數列的一個通項公式為an＝eq\f(a＋b,2)＋(－1)n＋1eq\f(a－b,2)，n∈N＋，也可寫成an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，n為奇數；,b，n為偶數.))(3)這個數列的前4項的絕對值都等于序號與序號加1的積的倒數，且奇數項為正，偶數項為負，所以它的一個通項公式是an＝(－1)n＋1eq\f(1,n（n＋1）)，n∈N＋.(4)由9，99，999，9999，…的通項公式為an＝10n－1知2，22，222，2222，…的通項公式為an＝eq\f(2,9)×(10n－1).規律方法根據數列的前幾項寫通項公式的方法(1)統一項的結構，如都化成分數、根式等.(2)分析這一結構中變化的部分與不變的部分，探索變化部分的變化規律與對應序號間的函數關系式.(3)對于符號交替出現的情況，可觀察其絕對值，再以(－1)n或(－1)n＋1(n∈N＋)調節符號.(4)對于周期出現的數列，可考慮拆成幾個簡單數列和的形式，或者利用周期函數，如三角函數等求通項.【訓練2】寫出下列數列的一個通項公式：(1)3，5，9，17，33，…；(2)1eq\f(1,2)，2eq\f(2,3)，3eq\f(3,4)，4eq\f(4,5)，…；(3)7，77，777，7777，…；(4)eq\f(2,3)，－1，eq\f(10,7)，－eq\f(17,9)，eq\f(26,11)，….解(1)數列的前幾項可記為21＋1，22＋1，23＋1，24＋1，25＋1，…，故所求的數列的一個通項公式為an＝2n＋1.(2)此數列的整數部分1，2，3，4，…恰好是序號n，分數部分與序號n的關系為eq\f(n,n＋1)，故所求的數列的一個通項公式為an＝n＋eq\f(n,n＋1)＝eq\f(n2＋2n,n＋1).(3)將原數列改寫為eq\f(7,9)×9，eq\f(7,9)×99，eq\f(7,9)×999，…，易知數列9，99，999，…的通項為an＝10n－1，故所求的數列的一個通項公式為an＝eq\f(7,9)(10n－1).(4)偶數項為負，奇數項為正，故通項公式含有因式(－1)n＋1.觀察各項分母，把第2項－1改寫成－eq\f(5,5)后，則數列各項分母與序號n的關系可記為2n＋1，而各項分子與序號n的關系可記為n2＋1.故所求的數列的一個通項公式為an＝(－1)n＋1·eq\f(n2＋1,2n＋1).方向1由通項公式寫出數列的項【例3－1】根據下面數列{an}的通項公式，寫出它的前5項.(1)an＝eq\f(n2－1,n2＋1)；(2)an＝(－1)n·eq\f(n2－1,2n).解(1)∵an＝eq\f(n2－1,n2＋1)，∴a1＝eq\f(12－1,12＋1)＝0，a2＝eq\f(22－1,22＋1)＝eq\f(3,5)，a3＝eq\f(32－1,32＋1)＝eq\f(8,10)＝eq\f(4,5)，a4＝eq\f(42－1,42＋1)＝eq\f(15,17)，a5＝eq\f(52－1,52＋1)＝eq\f(24,26)＝eq\f(12,13).(2)∵an＝(－1)n·eq\f(n2－1,2n)，∴a1＝(－1)1·eq\f(11－1,21)＝0，a2＝(－1)2·eq\f(22－1,22)＝eq\f(3,4)，a3＝(－1)3·eq\f(32－1,23)＝－1，a4＝(－1)4·eq\f(42－1,24)＝eq\f(15,16)，a5＝(－1)5·eq\f(52－1,25)＝－eq\f(24,32)＝－eq\f(3,4).方向2判斷一個數是否是數列中的項【例3－2】已知數列{an}的通項公式an＝eq\f(n,n＋1).(1)eq\f(9,10)，eq\f(6,11)是不是該數列的項？如果是，是第幾項？(2)從第幾項開始，該數列的項大于eq\f(999,1000)？解(1)令eq\f(n,n＋1)＝eq\f(9,10)，得n＝9，所以eq\f(9,10)為數列{an}中的第9項.令eq\f(n,n＋1)＝eq\f(6,11)，則n無正整數解，故eq\f(6,11)不是數列中的項.(2)由eq\f(n,n＋1)>eq\f(999,1000)，得n>999，所以從第1000項開始，該數列的項大于eq\f(999,1000).規律方法(1)已知數列的通項公式，只要用項數代替公式中的n，就可求出相應的項.(2)判斷某數值是否為數列中的項，先假定它是數列的項，列關于n的方程求解.若方程的解為正整數，則該數值是數列的項，n的值即為該數在數列中的項數；若方程無解或解不是正整數，則該數值不是數列的項.課堂達標1.eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，eq\f(3,4)，eq\f(4,5)，…的第9項可能是()A.eq\f(8,9)B.eqB.eq\f(9,10)C.eq\f(10,11) D.以上均不對解析由題意可知an＝eq\f(n,n＋1)，故第9項為eq\f(9,10).答案B2.在數列eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，eq\f(3,4)，x，eq\f(5,6)，…中，x的值為()A.0.6 B.0.7C.0.8 D.0.9解析由題意可知an＝eq\f(n,n＋1)，故x＝eq\f(4,5)＝0.8.答案C3.給出數列：①1，1，1，1，1；②0，－1，2，－3，4，…；③0，eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，…，eq\f(n－1,n)；④0.2，0.22，0.23，0.24，…，0.2n，….其中，有窮數列是________，無窮數列是________.解析①只有5項，③共有n項，故①③是有窮數列，②④項數都是無限項，故②④是無窮數列.答案①③②④4.數列eq\f(22－1,2)，eq\f(32－1,3)，eq\f(42－1,4)，eq\f(52－1,5)，…的一個通項公式為________.解析由數列的前幾項可知an＝eq\f(（n＋1）2－1,n＋1).答案an＝eq\f(（n＋1）2－1,n＋1)5.已知無窮數列：1×2，2×3，3×4，…，n×(n＋1)，…，判斷420與421是否為這個數列的項？若是，是第幾項？解由an＝n(n＋1)＝420，得n2＋n－420＝0，解得n1＝－21(舍去)，n2＝20，故420是該數列的第20項.由an＝n(n＋1)＝421，得n2＋n－421＝0，此方程無正整數解，故421不是該數列中的項.課堂小結1.觀察法寫通項公式的注意事項據所給數列的前幾項求其通項公式時，需仔細觀察分析，抓住以下幾方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相鄰項的變化特征；③拆項后的特征；④各項的符號特征和絕對值特征.并對此進行聯想、轉化、歸納.2.并非每一個數列均有通項公式，如eq\r(2)的不同近似值，依不同的近似值，可得數列1，1.4，1.41，1.414，…，便無通項公式，有些數列通項公式也不唯一.3.通項公式的應用.基礎過關1.已知數列{an}的通項公式為an＝n2－n－50，則－8是該數列的()A.第5項 B.第6項C.第7項 D.非任何一項解析n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去).答案C2.數列{an}：－eq\r(3)，3，－3eq\r(3)，9，…的一個通項公式是()A.an＝(－1)neq\r(3n)(n∈N＋)B.an＝(－1)neq\r(3n)(n∈N＋)C.an＝(－1)n＋1eq\r(3n)(n∈N＋)D.an＝(－1)n＋1eq\r(3n)(n∈N＋)解析把前四項統一形式為－eq\r(3)，eq\r(9)，－eq\r(27)，eq\r(81)，可知它的一個通項公式為an＝(－1)n·eq\r(3n).答案B3.已知數列－1，eq\f(1,4)，－eq\f(1,9)，…，(－1)neq\f(1,n2)，…，則它的第5項的值為()A.eq\f(1,5) B.－eq\f(1,5)C.eq\f(1,25) D.－eq\f(1,25)解析易知，數列的通項公式為an＝(－1)n·eq\f(1,n2)，當n＝5時，該項為a5＝(－1)5·eq\f(1,52)＝－eq\f(1,25).答案D4.數列1，eq\f(2,2)，eq\f(3,4)，eq\f(4,8)，…的通項公式為________；數列2，eq\f(3,2)，1，eq\f(1,2)，0，…的通項公式為________.解析對于數列1，eq\f(2,2)，eq\f(3,4)，eq\f(4,8)，…，因為1可以寫成eq\f(1,1)，故其通項公式為an＝eq\f(n,2n－1)；對于數列2，eq\f(3,2)，1，eq\f(1,2)，0，…可寫成eq\f(4,2)，eq\f(3,2)，eq\f(2,2)，eq\f(1,2)，eq\f(0,2)，…，故其通項公式為an＝eq\f(5－n,2).答案an＝eq\f(n,2n－1)an＝eq\f(5－n,2)5.已知數列{an}對于任意p、q∈N＋，有ap＋aq＝ap＋q，若a1＝eq\f(1,9)，則a36＝________.解析由a1＝eq\f(1,9)，得a2＝a1＋a1＝eq\f(2,9)，a4＝a2＋a2＝eq\f(4,9)，a8＝a4＋a4＝eq\f(8,9)，a16＝2a8＝eq\f(16,9)，a32＝2a16＝eq\f(32,9)，a36＝a32＋a4＝eq\f(32,9)＋eq\f(4,9)＝eq\f(36,9)＝4.答案46.觀察下面數列的特點，用適當的數填空，并寫出每個數列的一個通項公式：(1)eq\f(3,4)，eq\f(2,3)，eq\f(7,12)，()，eq\f(5,12)，eq\f(1,3)，…(2)2，1，()，eq\f(1,2)，…(3)eq\f(3,2)，eq\f(9,4)，()，eq\f(65,16)，…解(1)根據觀察：分母的最小公倍數為12，把各項都改寫成以12為分母的分數，則序號↓↓↓↓↓↓數eq\f(9,12)eq\f(8,12)eq\f(7,12)()eq\f(5,12)eq\f(4,12)于是括號內填eq\f(6,12)，而分子恰為10減序號，故括號內填eq\f(1,2)，通項公式為an＝eq\f(10－n,12).(2)因為2＝eq\f(2,1)，1＝eq\f(2,2)，eq\f(1,2)＝eq\f(2,4)，所以數列缺少部分為eq\f(2,3)，數列的通項公式為an＝eq\f(2,n).(3)先將原數列變形為1eq\f(1,2)，2eq\f(1,4)，()，4eq\f(1,16)，…，所以應填3eq\f(1,8)，數列的通項公式為an＝n＋eq\f(1,2n).7.已知數列{n(n＋2)}.(1)寫出這個數列的第8項和第20項；(2)323是不是這個數列中的項？如果是，是第幾項？解(1)a8＝8×(8＋2)＝80，a20＝20×(20＋2)＝440.(2)由n(n＋2)＝323，得(n－17)(n＋19)＝0，得n＝17，或n＝－19(舍).∴323是這個數列中的項，是第17項.能力提升8.已知數列{an}的前4項分別為2，0，2，0，…，則下列各式不可以作為數列{an}的通項公式的一項是()A.an＝1＋(－1)n＋1B.an＝2sineq\f(nπ,2)C.an＝1－cosnπD.an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2，n為奇數，,0，n為偶數))解析將n＝1，2，3，4代入各選擇項，驗證得an＝2sineq\f(nπ,2)不能作為通項公式.答案B9.已知數列{an}中，an＝kn－5，且a8＝11，則a17等于()A.46 B.29C.25 D.20解析因為an＝kn－5，a8＝11，所以11＝8k－5，所以k＝2，所以an＝2n－5，所以a17＝2×17－5＝29.故選B.答案B10.已知數列{an}的通項公式是an＝3n－11，那么該數列中為負數的項一共有________項.解析令an<0，即3n－11<0，解得n<eq\f(11,3)，又因為n∈N＋，所以n＝1，2，3.故負數的項一共有3項.答案311.設