河北省承德市北窩鋪中學2021年高二數學理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在△ABC中，已知A=120°，b=1，c=2，則a=（）A．B．C．D．參考答案：C【分析】由A的度數求出cosA的值，利用余弦定理列出關于a的方程，求出方程的解即可求出a的值．【解答】解：由b=1，c=2，A=120°，根據余弦定理得：a2=b2+c2﹣2cbcosA=1+4+2=7，則c=．故選C．【點評】此題考查了余弦定理，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．2.“”是“”的（

）A.既不充分也不必要條件 B．充分不必要條件 C.充分必要條件 D.必要不充分條件參考答案：A3.黑白兩種顏色的正六邊形地面磚如圖的規律拼成若干個圖案，則第2011個圖案中，白色地面磚的塊數是(

)

A．8046

B．8042

C．4024

D．6033

參考答案：A略4.“a=1“是“函數f（x）=ax2﹣2x+1只有一個零點”的（）A．充要條件 B．必要而不充分條件C．充分而不必要條件 D．既不充分又不必要條件參考答案：C【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】求出函數f（x）=ax2﹣2x+1只有一個零點的充分必要條件，根據集合的包含關系判斷即可．【解答】解：若函數f（x）=ax2﹣2x+1只有一個零點，若a=0，f（x）=﹣2x+1，只有1個零點，符合題意，若a≠0，則△=4﹣4a=0，解得：a=1，故“a=1“是“函數f（x）=ax2﹣2x+1只有一個零點”充分不必要條件，故選：C．5.的展開式中的第7項是常數,則正整數n的值為(

)A.16 B.18 C.20 D.22參考答案：B【分析】利用通項公式即可得出．【詳解】的展開式的第7項﹣9，令＝0，解得n＝18．故選：B．【點睛】本題考查了二項式定理的應用、方程思想，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．6.5．直線相切于點(2，3)，則k的值為(

).

A．

5

B．

6

C．

4

D．

9參考答案：D直線相切于點（2，3），且7.已知兩函數y=x2﹣1與y=1﹣x3在x=x0處有相同的導數，則x0的值為（）A．0 B．﹣ C．0或﹣ D．0或1參考答案：C【考點】導數的運算．【分析】由y=x2﹣1，得=2x0，由y=1﹣x3，得，由此根據兩函數y=x2﹣1與y=1﹣x3在x=x0處有相同的導數，能求出x0的值．【解答】解：∵y=x2﹣1，∴y′=2x，=2x0，∵y=1﹣x3，∴y′=﹣3x2，，∵兩函數y=x2﹣1與y=1﹣x3在x=x0處有相同的導數，∴，解得x0=0或x0=﹣．故選：C．【點評】本題考查實數值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意導數性質的合理運用．8.若直線與雙曲線的右支交于不同的兩點，那么的取值范圍是（

）A.（）B.（）C.（）D.（）參考答案：D略9.下列求導數運算正確的是（

）Ks5u

A.

B.

C.

D．

參考答案：C略10.在△ABC中，AB=，AC=2，若O是△ABC內部一點，且滿足，則

等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設，若直線與直線垂直，則實數

.參考答案：

12.雙曲線的兩條漸近線的方程為____________.參考答案：略13.如果橢圓+=1的弦被點（4，2）平分，則這條弦所在的直線方程是．參考答案：x+2y﹣8=0【考點】橢圓的簡單性質．【分析】若設弦的端點為M（x1，y1）、N（x2，y2），代入橢圓方程得9x12+36y12=36×9①，9x22+36y22=36×9②；作差①﹣②，并由中點坐標公式，可得直線斜率k，從而求出弦所在的直線方程．【解答】解：設弦的端點為M（x1，y1）、N（x2，y2），代入橢圓方程+=1，得9x12+36y12=36×9①，9x22+36y22=36×9②；①﹣②，得9（x1+x2）（x1﹣x2）+36（y1+y2）（y1﹣y2）=0；由中點坐標=4，=2，代入上式，得36（x1﹣x2）+72（y1﹣y2）=0，∴直線斜率為k==﹣，所求弦的直線方程為：y﹣2=﹣（x﹣4），即x+2y﹣8=0．故答案為：x+2y﹣8=0．【點評】本題考查了圓錐曲線的中點坐標公式，通過作差的方法，求得直線斜率k的應用模型，屬于中檔題．14.棱長為1的正方體的外接球的表面積為．參考答案：3π【考點】球內接多面體．【分析】本題考查一個常識，即：由正方體的體對角線的長就是外接球的直徑的大小，因此可得到外接球的直徑，進而求得R，再代入球的表面積公式可得球的表面積．【解答】解：設正方體的棱長為a，正方體外接球的半徑為R，則由正方體的體對角線的長就是外接球的直徑的大小可知：2R=，即R===；所以外接球的表面積為：S球=4πR2=3π．故答案為：3π15.若數列{an}滿足a1=3，a2=4，且（n≥3），則a2007的值為

．參考答案：16.若點M在直線a上，a在平面α上，則M，a，α間的關系可用集合語言表示為__________．參考答案：17.已知f(n＋1)＝f(n)－(n∈N*)且f(2)＝2，則f(101)＝_______.

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分14分)如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是菱形，邊長為2，，點為的中點，四邊形的兩對角線交點為．（1）求證：；（2）求證：；（3）若，求點到平面的距離．參考答案：（1）證明：連結,在中,點為的中點，點為的中點，所以

1分，

3分

4分（2）證明：連接．因為四邊形是菱形，所以．

5分又因為平面，平面，所以．

6分而，

7分所以平面．

8分平面PBD，所以．

9分（3）設點到平面的距離為.由，是的中位線，則，故

正三角形的面積

平面，

11分，易求得，

13分所以

故點到平面的距離為．

14分19.黃岡中學學生籃球隊假期集訓，集訓前共有6個籃球，其中3個是新球（即沒有用過的球），3個是舊球（即至少用過一次的球）．每次訓練，都從中任意取出2個球，用完后放回．（1）設第一次訓練時取到的新球個數為，求的分布列和數學期望；（2）在第一次訓練時至少取到一個新球的條件下，求第二次訓練時恰好取到一個新球的概率．

參考答案：解：（1）的所有可能取值為0，1，2．

．．．．．．．

1分設“第一次訓練時取到個新球（即）”為事件（0，1，2）．因為集訓前共有6個籃球，其中3個是新球，3個是舊球，所以，

．．．．．．．3分，

．．．．．．．4分．

．．．．．．．5分所以的分布列為（注：不列表，不扣分）012的數學期望為．

．．．．．．．6分（2）設“從6個球中任意取出2個球，恰好取到一個新球”為事件．則“第二次訓練時恰好取到一個新球”就是事件．而事件、互斥，所以，．由條件概率公式，得 ．

所以，第二次訓練時恰好取到一個新球的概率為

那么在第一次訓練時至少取到一個新球的條件下，第二次訓練時恰好取到一個新球的概率

略20.（本小題滿分13分）已知（1）當時，求在定義域上的最大值；（2）已知在上恒有，求的取值范圍；（3）求證：參考答案：解：（1），所以在為增，在為減，所以時，取最大值。

（2）等價恒成立，設，設，所以是減函數，所以，所以是減函數，，所以（也可用構造函數利用數形結合解答）（3）要證，只證只證因為，所以略21.已知圓：，點，，點在圓上運動，的垂直平分線交于點.(1)求動點的軌跡的方程；(2)設分別是曲線上的兩個不同點，且點在第一象限，點在第三象限，若，為坐標原點，求直線的斜率；(3)過點，且斜率為的動直線交曲線于兩點，在軸上是否存在定點，使以為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出的坐標，若不存在，說明理由.

參考答案：(3)直線方程為，聯立直線和橢圓的方程得:

得……