河北省張家口市趙家蓬區黃金坎中學2023年高三數學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若函數y=f（x）的圖象上存在兩個點A，B關于原點對稱，則對稱點（A，B）為y=f（x）的“孿生點對”，點對（A，B）與（B，A）可看作同一個“孿生點對”，若函數f（x）=恰好有兩個“孿生點對”，則實數a的值為（）A．4 B．2 C．1 D．0參考答案：D【考點】5B：分段函數的應用．【分析】求出函數關于原點對稱的函數，函數f（x）=恰好有兩個“孿生點對”，轉化為x＜0時，函數的極大值為2，即可得出結論．【解答】解：由題意，x≥0，f（x）=﹣x3+6x2﹣9x+2﹣a，關于原點對稱的函數為f（x）=﹣x3﹣6x2﹣9x﹣2+a（x＜0），∵函數f（x）=恰好有兩個“孿生點對”，∴x＜0時，函數的極大值為2，f′（x）=﹣3（x+3）（x+1），函數在（﹣∞，﹣3），（﹣1，0）單調遞減，（﹣3，﹣1）單調遞增，∴x=﹣1時取得極大值，即1﹣6+9﹣2+a=2，∴a=0，故選D．【點評】本題主要考查新定義題目，讀懂題意，確定x＜0時，函數的極大值為2是解決本題的關鍵．2.數列是首項的等比數列，且，，成等差數列，則其公比為（

）

A．

B.

C.

或

D.參考答案：C3.定義一種運算符號“”，兩個實數a，b的“ab”運算原理如圖所示，若輸人，，則輸出P＝

（）、

、

、

、—參考答案：【知識點】算法與程序框圖.

L1

【答案解析】A

解析：因為輸入的a=1,b=2所以不成立，所以P=b(a+1)=2=4，故選A.【思路點撥】由已知得輸入的a,b值依次為1,2，不滿足，所以輸出P＝4.4.若

與

在區間上都是減函數，則的取值范圍是（

）A．（-1,0）（0,1）

B.（-1,0）

C.（0,1）

D.參考答案：D略5.命題“，”的否定是（

）． A．， B．，C．， D．，參考答案：A特稱命題的否定將改為，故選．6.已知i為虛數單位，復數z滿足：，則z在復平面內對應點的坐標為（

）A.(0,1) B.(0,－1) C.(1,0) D.(－1,0)參考答案：B【分析】把已知等式變形，利用復數代數形式的乘除運算化簡即可．【詳解】由，得，∴復數z在復平面內對應的點為（0，﹣1），故選：B．【點睛】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的代數表示法及其幾何意義，屬于基礎題．7.不等式組的解集記為,若,則的最大值是(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：A8.已知函數，若，則（

）

參考答案：A，，所以解得9.數列{an}滿足：存在正整數T，對于任意正整數n都有an＋T＝an成立，則稱數列{an}為周期數列，周期為T.已知數列{an}滿足a1＝m(m＞0)，則下列結論中錯誤的是()A．若m＝，則a5＝3 B．若a3＝2，則m可以取3個不同的值C．若m＝，則數列{an}是周期為3的數列 D．?m∈Q且m≥2，使得數列{an}是周期數列參考答案：D10.已知集合A={0，1}，B={z|z=x+y，x∈A，y∈A}，則B的子集個數為（）A．8 B．2 C．4 D．7參考答案：A【考點】16：子集與真子集．【分析】根據B={z|z=x+y，x∈A，y∈A}，求出集合B中的元素個數，含有n個元素的集合，其子集個數為2n個．【解答】解：集合A={0，1}，B={z|z=x+y，x∈A，y∈A}，當x=0，y=0時，z=0，當x=0，y=1或x=1，y=0時，z=1，當x=1，y=1時，z=2，∴集合B含有3個元素，其子集個數為23=8個．故選A．【點評】本題主要考查利用集合子集個數判斷集合元素個數的應用，含有n個元素的集合，其子集個數為2n個．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某校有三個興趣小組，甲、乙兩名學生每人選擇其中一個參加，且每人參加每個興趣小組的可能性相同，則甲、乙不在同一興趣小組的概率為．參考答案：

【考點】列舉法計算基本事件數及事件發生的概率．【分析】先求出基本事件總數n=3×3=9，再求出甲、乙不在同一興趣小組包含的基本事件個數m=3×2=6，由此能求出甲、乙不在同一興趣小組的概率．【解答】解：∵某校有三個興趣小組，甲、乙兩名學生每人選擇其中一個參加，且每人參加每個興趣小組的可能性相同，∴基本事件總數n=3×3=9，甲、乙不在同一興趣小組包含的基本事件個數m=3×2=6，∴甲、乙不在同一興趣小組的概率p=．故答案為：．12.若，則=

．參考答案：13.在鈍角△ABC中，∠A為鈍角，令=，=，若=x+y（x，y∈R）．現給出下面結論：①當x=時，點D是△ABC的重心；②記△ABD，△ACD的面積分別為S△ABD，S△ACD，當x=時，；③若點D在△ABC內部（不含邊界），則的取值范圍是；④若=λ，其中點E在直線BC上，則當x=4，y=3時，λ=5．其中正確的有

（寫出所有正確結論的序號）．參考答案：①②③【考點】向量的線性運算性質及幾何意義．【分析】①設BC的中點為M，判斷是否與相等即可；②設，，將△ABD，△ACD的面積轉化為△APD，△AQD的面積來表示；③求出x，y的范圍，利用線性規劃知識求出的范圍；④用表示出，根據共線定理解出λ．【解答】解：①設BC的中點為M，則=，當x=y=時，=，∴D為AM靠近M的三等分點，故D為△ABC的重心．故①正確．②設，，則S△APD=S△ABD，S△AQD=S△ACD，∵，∴S△APD=S△AQD，即S△ABD=S△ACD，∴，故②正確．③∵D在△ABC的內部，∴，作出平面區域如圖所示：令=k，則k為過點N（﹣2，﹣1）的點與平面區域內的點（x，y）的直線的斜率．∴k的最小值為kNS=，最大值為kNR=1．故③正確．④當x=4，y=3時，，∵，∴=，∵E在BC上，∴=1，λ=7，故④錯誤．故答案為：①②③．14.程序框圖(即算法流程圖)如圖所示，其輸出結果是_________;參考答案：3115.如圖，已知一塊半徑為1的殘缺的半圓形材料MNQ，O為半圓的圓心，.現要在這塊材料上裁出一個直角三角形.若該三角形一條邊在MN上，則裁出三角形面積的最大值為

．參考答案：要裁出三角形面積的最大如圖:令則三角形面積，令解得當，時取得最值，則

16.已知函數．如下定義一列函數：，，，……，，……，，那么由歸納推理可得函數的解析式是

．參考答案：17.如圖正四面體ABCD，E為棱BC上的動點，則異面直線BD和AE所成角的余弦值的范圍為_______．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分12分）復數，（其中，為虛數單位）.在復平面上，復數、能否表示同一個點，若能，指出該點表示的復數；若不能，說明理由．參考答案：【測量目標】數學基本知識和基本技能/理解或掌握初等數學中有關數與運算的基本知識.【知識內容】數與運算/復數初步/復平面；函數與分析/三角比/二倍角及半角的正弦、余弦、正切.【參考答案】設復數，能表示同一個點，則,

……3分解得或.

………………7分當時，得，此時.

……………9分當時，得，此時.

……………11分綜上，復平面上該點表示的復數為或．

……………12分19.(14分)已知函數.(1)當時,求函數的單調區間;(2)若函數有兩個極值點,且,求證:;(3)設,對于任意時,總存在,使成立,求實數的取值范圍.參考答案：(1)當時,,令或,,的遞增區間為和,遞減區間為.(2)由于有兩個極值點,則有兩個不等的實根,設,在上遞減,,即.(3),,,在遞增,,在上恒成立令,則在上恒成立,又當時，,在(2,4)遞減,,不合;當時,,①時,在(2,)遞減,存在,不合;②時,在(2,4)遞增,,滿足.綜上,實數的取值范圍為.20.（本小題滿分12分）已知集合A為函數的定義域，集合.（I）若，求a的值；（II）求證是的充分不必要條件.參考答案：21.已知函數，.（Ⅰ）證明：，直線都不是曲線的切線；（Ⅱ）若，使成立，求實數的取值范圍.參考答案：（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）.試題分析：（Ⅰ）設出切點，分別用函數的導數值和直線的兩點表示斜率，得方程，發現方程的解為，與定義域矛盾；（Ⅱ）原問題轉化為，令，,則，使成立，討論函數的最小值即可.（Ⅱ）即，令，，則，使成立，，（1）當時，，在上為減函數，于是，由得，滿足，所以符合題意；（2）當時，由及的單調性知在上為增函數，所以，即，①若，即，則，所以在上為增函數，于是，不合題意；②若，即則由，及的單調性知存在唯一，使，且當時，，為減函數；當時，，為增函數；所以，由得，這與矛盾，不合題意.綜上可知，的取值范圍是.【方法點睛】利用導數解決不等式有解問題的“兩種”常用方法(1)