5.1.1任意角新知初探·課前預習題型探究·課堂解透新知初探·課前預習課程標準(1)了解任意角的概念，區分正角、負角與零角．(2)理解象限角的概念．(3)理解并掌握終邊相同的角的概念，能熟練寫出終邊相同的角所組成的集合．教

材

要

點要點一任意角1．角的概念：角可以看成平面內一條

_______繞著它的端點旋轉所成的圖形．2．角的表示：如圖所示，角α可記為“α”或“∠α”或“∠AOB”，始邊：________，終邊：__________，頂點O.射線OAOB3.角的分類?：名稱定義圖示正角一條射線繞其端點按________方向旋轉形成的角負角?一條射線繞其端點按________方向旋轉形成的角零角一條射線_______做任何旋轉形成的角逆時針順時針沒有要點二角的加法與減法(1)如果角α和角β的旋轉方向相同且旋轉量相等，那么就稱α＝β.(2)設α，β是任意兩個角，把角α的終邊旋轉角β，這時終邊所對應的角是______．(3)相反角：把射線OA繞端點O按不同方向旋轉相同的量所成的兩個角叫做互為相反角，角α的相反角記為－α，于是有α－β＝_________．α＋βα＋(－β)要點三象限角?把角放在平面直角坐標系中，使角的頂點與原點重合，角的始邊與_____________重合，那么角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾________；如果角的終邊在________，就認為這個角不屬于任何一個象限．要點四終邊相同的角所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合S＝____________________?，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數個周角的和．x軸的非負半軸象限角坐標軸上{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}助

學

批

注批注?要注意由旋轉方向來確定角的符號．批注?正角、負角的引入是從正數、負數類比而來的，它們是用來表示具有相反意義的旋轉量的．批注?象限角只能反映角的終邊所在象限，不能反映角的大小．批注?

(1)角α為任意角，“k∈Z”不能省略．(2)k·360°與α中間要用“＋”連接，k·360°－α可理解成k·360°＋(－α).基

礎

自

測1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)第一象限角都是銳角．(

)(2)第二象限角是鈍角．(

)(3)終邊與始邊重合的角為零角．(

)(4)終邊相同的角有無數個，它們相差360°的整數倍.(

)×××√2．手表時針走1小時轉過的角度是(

)A．60°

B．－60°

C．30°

D．－30°答案：D

3．與53°角終邊相同的角是(

)A．127°

B．233°C．－307°

D．－127°答案：C解析：與53°角終邊相同的角是53°＋k·360°，k∈Z，當k＝－1時，角為－307°.故選C.4．2022°是第________象限角．三解析：∵2022°＝360°×5＋222°，180°<222°<270°.∴2022°是第三象限角．題型探究·課堂解透題型1任意角的概念例1

(1)(多選)下列說法，不正確的是(

)A．三角形的內角必是第一、二象限角B．始邊相同而終邊不同的角一定不相等C．鈍角比第三象限角小D．小于180°的角是鈍角、直角或銳角答案：ACD解析：A中90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故A不正確；B中始邊相同而終邊不同的角一定不相等，故B正確；C中鈍角是大于－100°的角，而－100°的角是第三象限角，故C不正確；D中零角或負角小于180°，但它既不是鈍角，也不是直角或銳角，故D不正確．故選ACD.(2)將表的分針撥慢30分鐘，則這個過程中時針轉過的角度是(

)A．10°

B．15°

C．30°

D．－30°

答案：B方法歸納解決與角的概念有關問題的策略鞏固訓練1

經過2個小時，鐘表的時針和分針轉過的角度分別是(

)A．60°，720°

B．－60°，－720°C．－30°，－360°D．－60°，720°答案：B

題型2終邊相同角的表示例2

(1)與－2022°終邊相同的最小正角是(

)A．138°B．132°C．58°D．42°解析：由－2022°＝－360°×6＋138°，所以與－2022°終邊相同的最小正角是138°.答案：A(2)寫出與60°終邊相同的角的集合S，并把S中適合不等式－360°≤β＜720°的元素β寫出來．解析：60°終邊所在的集合S＝{β|β＝k·360°＋60°，k∈Z}．k＝－1時，β＝－300°；k＝0時，β＝60°；k＝1時，β＝420°；S中適合不等式－360°≤β＜720°的元素β為－300°，60°，420°.方法歸納在某個范圍內找與已知角終邊相同的角的步驟鞏固訓練2

(1)與－460°角終邊相同的角可以表示成(

)A．460°＋k·360°，k∈ZB．100°＋k·360°，k∈ZC．260°＋k·360°，k∈ZD．－260°＋k·360°，k∈Z解析：因為－460°＝260°＋(－2)×360°，所以－460°可以表示成260°＋k·360°，k∈Z.答案：C(2)終邊落在x軸上的角的集合為____________________．{β|β＝k·180°，k∈Z}

答案：AC

(2)寫出終邊在下列各圖所示陰影部分內的角α的集合．解析：先寫出邊界角，再按逆時針順序寫出區域角，則得①{α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}．②{α|－210°＋k·360°<α<30°＋k·360°，k∈Z}．

2．表示區域角的一般步驟鞏固訓練3

(1)已知α是銳角，那么2