數學建模整數規劃2023/2/12第一頁，共七十八頁，2022年，8月28日數學建模2023/2/12第二頁，共七十八頁，2022年，8月28日第三部分整數規劃應用實例分析整數規劃問題的幾種求解方法分枝界定法隱枚舉法匈牙利法

蒙特卡洛法實驗準備2023/2/12第三頁，共七十八頁，2022年，8月28日例1整數規劃問題某廠擬購進甲、乙兩類機床生產新產品。已知甲、乙機床進價分別為2萬元和3萬元；安裝占地面積分別為4m2和2m2；投后的收益分別為300元/日和200元/日。廠方目前僅有資金14萬元，安裝面積18m2。為使收益最大，廠方應購進甲、乙機床各多少臺？實例一整數規劃問題甲型乙型現有量進價（萬元）2315占地面積（m2）4218利潤（百元）32第四頁，共七十八頁，2022年，8月28日設設應購進甲、乙機床臺數分別為x1和x2，工廠的收益為z。整數規劃(IP)1.模型建立s.t.實例一整數規劃問題第五頁，共七十八頁，2022年，8月28日formatshortc=[-3;-2];a=[2,3;4,2];b=[14;18];lb=[0;0];[x,Fval]=linprog(c,a,b,[],[],lb)先不考慮解的整數限制，問題B的最優解：x1=3.25，x2=2.5，

最優值：z=14.75。2.模型求解設整數規劃問題為A，與它相應的線性規劃為問題B，先來求解問題B。1）舍去小數：取x1=3，x2=2，算出目標函數值z=13。2）試探：如取x1=4，x2=1時，z=14，如取x1=3，x2=3時，不滿足約束條件，通過比較得到模型的最優整數解。解法一：實例一整數規劃問題第六頁，共七十八頁，2022年，8月28日1）不考慮解的整數限制，問題B的最優解：x1=3.25，x2=2.5，

最優值：z=14.752.模型求解

解法二：設整數規劃問題為A，與它相應的線性規劃為問題B實例一整數規劃問題第七頁，共七十八頁，2022年，8月28日

2.模型求解因為2與3之間無整數，故這兩個子集的整數解必與原可行集合整數解一致，這一步驟稱為分枝。對問題A分枝構成兩個子問題稱為B1和B2。問題B1數學模型：s.t.問題B2數學模型：s.t.實例一整數規劃問題第八頁，共七十八頁，2022年，8月28日2.模型求解B2最優解：

x1=4，x2=1，z2=14

B1最優解：

x1=3，x2=8/3，z1=43/3圖解法（單純形法）求得的最優解分別為：實例一整數規劃問題第九頁，共七十八頁，2022年，8月28日4）對問題B1在進行分枝，得問題B11和B122.模型求解

問題B11數學模型：s.t.問題B12數學模型：s.t.實例一整數規劃問題第十頁，共七十八頁，2022年，8月28日求解問題B11和B12

得到：2.模型求解

5）此時由于所有子問題的目標值均小于或等于z2，故問題A的目標函數最優值z*=z2=14，最優解為x1=4，x2=1。B11最優解：

x1=3，x2=2，z11=13B12最優解：

x1=2.5，x2=3，z12=13.5實例一整數規劃問題第十一頁，共七十八頁，2022年，8月28日整數規劃整數規劃（IntegerProgramming）數學規劃中的變量（部分或全部）限制為整數時，稱為整數規劃。若在線性規劃模型中，變量限制為整數，則稱為整數線性規劃。整數規劃分類：（1）變量全限制為整數時，稱純（完全）整數規劃。（2）

變量部分限制為整數的，稱混合整數規劃。2023/2/12第十二頁，共七十八頁，2022年，8月28日整數規劃整數規劃特點（i）原線性規劃有最優解，當自變量限制為整數后，其整數規劃解出現下述情況：①原線性規劃最優解全是整數，則整數規劃最優解與線性規劃最優解一致。②整數規劃無可行解。③有可行解（當然就存在最優解），但最優解值變差。（ii）整數規劃最優解不能按照實數最優解簡單取整而獲得。2023/2/12第十三頁，共七十八頁，2022年，8月28日整數規劃整數規劃求解方法分類（1）分枝定界法—可求純或混合整數線性規劃。（2）割平面法—可求純或混合整數線性規劃。（3）隱枚舉法—求解“0-1”整數規劃：①過濾隱枚舉法；②分枝隱枚舉法。（4）匈牙利法—解決指派問題（特殊“0-1”規劃）。（5）蒙特卡洛法—求解各種類型規劃。2023/2/12第十四頁，共七十八頁，2022年，8月28日分枝定界法（1）分枝：通常，把全部可行解空間反復地分割為越來越小的子集，稱為分枝；（2）定界：并且對每個子集內的解集計算一個目標下界（對于最小值問題），這稱為定界。（3）剪枝：在每次分枝后，凡是界限超出已知可行解集目標值的那些子集不再進一步分枝，這樣，許多子集可不予考慮，這稱剪枝。求解生產進度問題、旅行推銷員問題、工廠選址問題、背包問題及分配問題。分枝定界法2023/2/12第十五頁，共七十八頁，2022年，8月28日分枝定界法步驟（1）求解整數規劃問題A對應的線性規劃問題B（松弛問題）；（2）分枝，在松弛問題B的最優解中任選一個不符合整數條件的變量xj，其值為bj，以[bj]表示小于bj的最大整數，構造兩個約束條件

將這兩個約束條件，分別加入問題B，求兩個后繼規劃問題B1和B2。分枝定界法2023/2/12第十六頁，共七十八頁，2022年，8月28日

分枝定界法2023/2/12第十七頁，共七十八頁，2022年，8月28日···············1234567·松弛問題的可行域增加x1≤3增加x1≥4L1L2分枝定界法例2第十八頁，共七十八頁，2022年，8月28日x1≤3x1≥4父問題子問題結論1：（IP）的最優解一定在某個子問題中父問題的最優值≤3：子問題中的整數解都是（IP）的可行解子問題的最優解2：子問題的可行域父問題的可行域∩第十九頁，共七十八頁，2022年，8月28日x1≤3x1≥4x2≤2x2≥3x1≤2x1≥3···············1234567·4x1+x2=16.52x1+3x2=14.5z=30x1+20x2第二十頁，共七十八頁，2022年，8月28日某公司擬在市東、西、南三區建立門市部，擬議中有7個位置Ai(i=1,2,…,7)可供選擇。規定在東區，由A1，A2，A3三個點中至多選兩個；在西區，由A4，A5兩個點中至少選一個；在南區，由A6，A7兩個點中至少選一個。如選用Ai點，設備投資估計為bi元，每年可獲利潤估計為ci元，但投資總額不能超過B元。問應選擇哪些點可使年利潤最大？0-1變量例3投資場所的選定—0-1變量第二十一頁，共七十八頁，2022年，8月28日s.t.1.模型建立目標函數：約束條件：在東區，由A1，A2，A3三個點中至多選兩個；在西區，由A4，A5兩個點中至少選一個；在南區，由A6，A7兩個點中至少選一個。0-1變量第二十二頁，共七十八頁，2022年，8月28日0-1型整數規劃0-1型整數規劃決策變量只能取0或1的整數規劃，叫做0-1整數規劃。決策變量稱為0-1變量(二進制變量、邏輯變量)。0-1變量作為邏輯變量，常被用來表示系統是否處于某個特定狀態，或者決策時是否取某個特定方案。在實際問題中引入0-1變量，可以把各種情況需要分別討論的數學規劃問題統一在一個問題中討論了。2023/2/12第二十三頁，共七十八頁，2022年，8月28日

某廠擬用集裝箱托運甲乙兩種貨物，每箱的體積、重量、可獲利潤以及托運所受限制如表格所示。問兩種貨物各托運多少箱，可使獲得利潤為最大?貨物甲乙托運限制體積每箱（米3）5424重量每箱（百公斤）2513利潤每箱（百元）20100-1型整數規劃例4—互相排斥的計劃第二十四頁，共七十八頁，2022年，8月28日0-1型整數規劃

1.模型建立+(1-y)M+yM假設現在有車運和船運兩種運輸方式，但只能選擇一種運輸方式，如用車運時關于體積的限制條件為5x1+4x2≤24(車)。如用船運時關于體積的限制條件為7x1+3x2≤45(船)。（這兩條件互相排斥）。設甲、乙兩種貨物的托運箱數分別為x1，x2，可獲得的利潤為z。設變量y表示運貨的方式，當y為1時，用車運，y為0時，用船運。M是充分大的數2023/2/12第二十五頁，共七十八頁，2022年，8月28日0-1型整數規劃

模型分析有多個相互排斥的約束條件2023/2/12第二十六頁，共七十八頁，2022年，8月28日相互排斥的約束條件如果有m個互相排斥的約束條件（<=型）：為了保證這個約束條件只有一個起作用，我們引入m個0-1變量和一個充分大的常數M，下面這一組m+1個約束條件符合上述要求。0-1型整數規劃第二十七頁，共七十八頁，2022年，8月28日有三種自然資源被用于生產三種產品，資源量、產品單件可變費用及售價、資源單位消耗量及組織三種產品生產的固定費用如下表。要求制訂一個生產計劃，使總收益最大。－12108單位售價－200150100固定費用－654

單位可變費用100321C300432B500842A資源量IIIIII

單耗量資源產品例5—固定費用問題0-1型整數規劃第二十八頁，共七十八頁，2022年，8月28日解：設xj是第j種產品的產量，j=1，2，3；再設若生產第j種產品（即xj>0）若不生產第j種產品（即xj=0）j=1，2，3則問題的模型為s.t.

如果生產第j種產品，則其產量xj＞0，由xj≤Mjyj知，yj＝1。因此，相應的固定費用在目標函數中將被考慮。

同理，如果不生產第j種產品，則其產量xj=0，只有yj為0才有意義，因此，相應的固定費用不應在目標函數中被考慮。0-1型整數規劃2023/2/12第二十九頁，共七十八頁，2022年，8月28日0-1型整數規劃解法只檢查變量取值的組合的一部分的方法。

：求解下列問題隱枚舉法(a)(b)(c)(d)例62023/2/12第三十頁，共七十八頁，2022年，8月28日0-1型整數規劃解法解法一：隱枚舉法(x1,x2,x3)z值abcd過濾條件(0,0,0)0√√√√Z≥0(0,0,1)5√√√√Z≥5(0,1,0)-2(0,1,1)3(1,0,0)3Z≥8(1,0,1)√√√√(1,1,0)81(1,1,1)6所以，最優解(x1，x2，x3)T=(1，0，1)T，maxz=8。2023/2/12第三十一頁，共七十八頁，2022年，8月28日0-1型整數規劃解法為了使最優解盡可能早出現，可先將目標函數中各變量的順序按其系數大小重新排列，這樣可進一步減少計算量。隱枚舉法按目標函數中各變量系數的大小重新排列各變量最大化問題：由小到大最小化問題：由大到小2023/2/12第三十二頁，共七十八頁，2022年，8月28日解法二（優化）：重新排列xj的順序(系數遞減)0-1型整數規劃解法第三十三頁，共七十八頁，2022年，8月28日0-1型整數規劃計算表目標函數z＝3x1－2x2＋5x3＝5x3＋3x1－2x2

最大值的上限是8，第二大的值是5…5x3＋3x1－2x2≥8⑤點(x3,x1,x2)約束條件滿足條件?是∨否×z值⑤①②③④(1,1,0)8∨∨∨∨∨8隱枚舉法：共計算5次(均滿足約束條件)。（最優解為1，0，1，最優值8）可根據計算逐漸改變過濾條件(該例因最大值的點滿足其他四個約束，即找到最大化問題的最好的整數解。就不需驗證計算第二大值的點是否滿足約束條件)0-1型整數規劃解法過濾隱枚舉法第三十四頁，共七十八頁，2022年，8月28日步驟1：將問題轉化為如下標準形式：其中cj≥0，且c1≤c2≤…≤cn。例7求解0-1整數規劃（選學-分枝隱枚舉法）0-1型整數規劃解法第三十五頁，共七十八頁，2022年，8月28日⑵如約束條件為≤，兩邊同乘(-1)；如約束條件為等式，可令變量，代入目標函數和其它約束條件中，將xn消掉。⑶按目標函數中系數由小到大的順序重新排列變量，并將約束條件中的排列順序做相應改變。

⑴如目標函數為maxz，令，可化為。如某個變量的系數為負，令，使系數變正。0-1型整數規劃解法步驟1：將問題轉化為標準形式：第三十六頁，共七十八頁，2022年，8月28日調整后的0-1規劃問題變為：(a)(b)

步驟2：令所有變量取0，求出目標函數值，并代入約束條件中檢查是否可行，如果可行即為問題的最優解；否則轉下一步。

令，得＝-10，但不滿足兩個約束條件。0-1型整數規劃解法第三十七頁，共七十八頁，2022年，8月28日

步驟3：分支和定界。依次令各變量分別取0或1，將問題劃分為兩個子問題，分別檢查解是否可行，如不可行繼續對邊界值較小的子問題分支，直到找出一個可行解為止，這時得到值的一個上界。分支過程見下圖所示：0-1型整數規劃解法第三十八頁，共七十八頁，2022年，8月28日步驟4：考察所有子問題，有以下四種情況：

⑴若某個子問題的邊界值對應原問題的可行解，則將它的邊界值與保留的值作比較，并取較優的一個作為新的值。如所有子問題都已考察完畢，則保留下來的值及其對應的解即為0-1整數規劃問題的最優解。⑵若某個子問題的邊界值大于保留下來的值，不管其是否可行，則將這一分支剪掉。⑶若某個子問題不可行（在該分支中的上級變量的值已經確定的情況下，其余變量不管取什么值都無法滿足所有約束時，該枝的分枝已無可行解），則將這一分支剪掉。⑷若某個子問題可行且邊界值優于值，但該邊界值對應的解不是可行解，則該問題待考察。如有多個問題待考察，優先對其中最優值最大的一個子問題進行考察，轉步驟3。0-1型整數規劃解法第三十九頁，共七十八頁，2022年，8月28日

分支③邊界值=-6＜-4，但相應的解不可行，需繼續分支。過程如上圖所示。0-1型整數規劃解法第四十頁，共七十八頁，2022年，8月28日上述求解過程也可用表格表示：(0，1，0，1，0)(0，1，1，0，0)(0，0，1，0，0)(1，0，1，0，0)(1，1，0，0，0)(0，1，0，0，0)(1，0，0，0，0)(0，0，0，0，0)

＞-4，剪枝1⑨

＞-4，剪枝-1⑧不可行，剪枝×-5⑦

＞-4，剪枝-3⑤可行≤-4√√-4④×-6③×√-8②×-10①ba備注約束條件z值序號0-1型整數規劃解法第四十一頁，共七十八頁，2022年，8月28日所以，最優解：即原問題的最優解為：分枝隱枚舉法0-1型整數規劃解法第四十二頁，共七十八頁，2022年，8月28日指派問題（0-1型）一、指派問題擬派n人去做n項工作，由于每人的專長不同，各人完成不同任務效率也不同。于是產生應指派哪個人去完成哪項任務，使完成n項任務的總效率最高的問題，這類問題稱為指派問題(分派問題、分配問題)B1B2BnA1c11c12c1nA2c21c22c2nAncn1cn2cnn人任務cij表示第i個人完成第j項任務的效率。第四十三頁，共七十八頁，2022年，8月28日二、指派問題的數學模型=(Cij)指派問題系數矩陣B1B2BnA1c11c12c1nA2c21c22c2nAncn1cn2cnn人任務解：設指派問題（0-1型）第四十四頁，共七十八頁，2022年，8月28日某單位現在Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四項工作需完成，現在甲、乙、丙、丁四個人均可完成這四項任務。每人完成各項任務所用的時間如右表所示，問應指派何人去完成何項任務，使所需時間最少？甲215134乙1041415丙9141613丁78119ABCD任務人員滿足所有約束條件的可行解xij也可寫成表格或矩陣形式，稱為解矩陣(xij)=本例的一個可行解矩陣(cij)=例8指派問題指派問題（0-1型）第四十五頁，共七十八頁，2022年，8月28日指派問題數學模型的性質：若從指派問題的系數的系數矩陣（cij）的一行（列）各元素中分別減去該行（列）的最小元素，得到新矩陣（bij），那么以（bij）為系數矩陣求得的最優解和用原系數矩陣求得的最優解相同。獨立的0元素：位于不同行不同列的0元素稱為獨立的0元素。結論：若能在系數矩陣(bij)中找出n個獨立的0元素；則令解矩陣(xij)中對應這n個獨立的0元素取值為1，其它元素取值為0。將其代入目標函數中得到zk=0，它一定是最小。這就是以(bij)為系數矩陣的指派問題的最優解，也就得到了問題的最優解。指派問題（0-1型）第四十六頁，共七十八頁，2022年，8月28日三、指派問題的解法（匈牙利法）第一步:使指派問題的系數矩陣經變換，在各行各列都出現０元素。（１）從系數矩陣的每行元素減去該行的最小元素；（２）再從所得系數矩陣的每列元素中減去該列的最小元素。2497min24min指派問題（0-1型）第四十七頁，共七十八頁，2022年，8月28日經第一步變換后，系數矩陣中每行每列都已有了0元素；只需找出n個獨立的0元素，若能找出，就以這些獨立的0元素對應解矩陣中的元素為1，其它作為0，這就得到最優解。找獨立0元素的步驟如下：第二步：進行試指派，以尋求最優解。0（1）從只有一個0元素的行開始，給這個0元素加圈，記作◎.然后再劃去◎所在列的其它0元素，記作。（2）給只有一個0元素的列的0元素加圈，記作◎；然后劃去◎所在行的0元素，記作。0指派問題（0-1型）第四十八頁，共七十八頁，2022年，8月28日（3）反復(1),(2)兩步，直到所有0元素都被圈出和劃掉為止。（4）若各行各列均有多于2個的0元素未被圈出或劃掉，任選其中任意一個0元素加圈。（5）若◎元素的數目m等于矩陣的階數n，那么指派問題的最優解已得到，若m<n，則轉入下一步。第二步：進行試指派，以尋求最優解。指派問題（0-1型）第四十九頁，共七十八頁，2022年，8月28日min76746指派問題（0-1型）第五十頁，共七十八頁，2022年，8月28日第三步：作最少的直線覆蓋所有0元素，以確定該系數矩陣中能找到最多的獨立0元素數。（5）對沒有打√號的行畫一橫線，有打√號的列畫一縱線，這就得到覆蓋所有0元素的最少直線。（1）對沒有◎的行打√號；（2）對已打√號的行中所有含劃0元素的列打√號；（3）再對打有√號的列中含◎元素的行打√號；（4）重復(2)、(3)直到得不出新的打√號的行、列為止；√√√指派問題（0-1型）第五十一頁，共七十八頁，2022年，8月28日第四步：對第三步所得矩陣進行變換，目的是增加0元素。在沒有被直線覆蓋的部分中找出最小元素。然后在打√行各元素中都減去該最小元素，而在打√列的各元素都加上該最小元素（以保證原來的0元素不變）。這樣得到新系數矩陣。重復第二步。指派問題（0-1型）√√√第五十二頁，共七十八頁，2022年，8月28日第五步：系數矩陣(bij)中找出n個獨立的0元素；則令解矩陣(xij)中對應這n個獨立的0元素取值為1，其它元素取值為0。∵獨立0元素的個數等于系數矩陣的階數∴得到了最優解最優解矩陣為：指派問題（0-1型）第五十三頁，共七十八頁，2022年，8月28日練習：有4個工人，要指派他們分別完成4項工作，每人做各項工作所消耗的時間如下表：ABCD甲乙丙丁15192619182317212122162324181917工作工人指派問題（0-1型）第五十四頁，共七十八頁，2022年，8月28日解：用匈牙利法求解過程如下：min15181617√√√min1√√√√√指派問題（0-1型）第五十五頁，共七十八頁，2022年，8月28日四、非標準形式的指派問題（選學）1、最大化指派問題2、人數和事數不等的指派問題3、一個人可做幾件事的指派問題4、某事一定不能由某人做的指派問題指派問題（0-1型）第五十六頁，共七十八頁，2022年，8月28日1、求最大化的指派問題令bij=M-cij其中：M是足夠大的常數（cij中最大元素）用匈牙利法求解（bij）即可。所得最小解就是原問題的最大解。指派問題（0-1型）第五十七頁，共七十八頁，2022年，8月28日2、人數和任務數不等的指派問題若人少任務多，則添上一些虛擬的“人”。這些虛擬的“人”完成各任務的費用系數可取0，理解為這些費用實際上不會發生。若人多任務少，則添上一些虛擬的“任務”，這些虛擬的“任務”由各人完成的費用系數同樣也取0。指派問題（0-1型）第五十八頁，共七十八頁，2022年，8月28日3、一個人可做幾件事的指派問題若某個人可完成幾項任務，則可將人化作相同的幾個“人”，來接受指派，這幾個“人”完成同一項任務的費用系數都一樣。4、某項任務一定不能由某人完成的指派問題若某項任務一定不能由某個人完成，則可將相應的費用系數取作足夠大的數M。指派問題（0-1型）第五十九頁，共七十八頁，2022年，8月28日例9：分配甲、乙、丙、丁四個人去完成五項任務。每人完成各項任務時間如下表所示。由于任務數多于人數，故規定其中有一個人可兼完成兩項任務，其余三人每人完成一項。試確定總花費時間為最少的指派方案。ABCDE甲2529314237乙3938262033丙3427284032丁2442362345指派問題（0-1型）第六十頁，共七十八頁，2022年，8月28日1、m約束條件中只有k個起作用設m個約束條件可表示為：定義又M為任意大的正數，得指派問題（0-1型）第六十一頁，共七十八頁，2022年，8月28日2、約束條件的右端項可能是r個值中的某一個即定義指派問題（0-1型）第六十二頁，共七十八頁，2022年，8月28日3、兩組條件中滿足其中一組若x1≤4，則x2≥1；否則（即x1>4）,x2≤3又M為任意大正數，則問題可表達為：指派問題（0-1型）第六十三頁，共七十八頁，2022年，8月28日4、用以表示固定費用的函數生產費用函數：引入變量yj指派問題（0-1型）第六十四頁，共七十八頁，2022年，8月28日例10東方大學計算機實驗室聘用4名大學生（代號1、2、3、4）和2名研究生（代號5、6）值班答疑。已知每人從周一至周五每天最多可安排的值班時間及每人每h值班的報酬如下表學生代號報酬（元/h)每天最多可安排的值班時間周一周二周三周四周五12345610109.99.810.811.306070606083055604048006063應用舉例第六十五頁，共七十八頁，2022年，8月28日該實驗室開放時間是上午8點至晚上10點，開放時間內須有且僅需一名學生值班，規定大學生每周值班不少于8h，研究生每周不少于7h，每名學生每周值班不超過3次，每次值班不少于2h，每天安排值班的學生不超過3人且其中必須有一名研究生，試為該實驗室安排一張人員的值班表，使總支付的報酬最少解：設xij為學生i在周j的值班時間，安排學生i在周j值班否則用aij代表學生i在周j最多可安排的值班時間，ci為學生i的每h的報酬，則其數學模型為應用舉例第六十六頁，共七十八頁，2022年，8月28日不超過可安排時間大學生每周值班不少于8h研究生每周值班不少于7h實驗室每天開放14h每名學生一周值班不超過3次每天值班不超過3人每天有一名研究生值班應用舉例第六十七頁，共七十八頁，2022年，8月28日學生代號一二三四五123456674685622263最優結果為總支付報酬每周727.5元值班方案為：應用舉例第六十八頁，共七十八頁，2022年，8月28日蒙特卡洛法—整數規劃蒙特卡洛法(MonteCarlomethod)也稱為隨機取樣法，進行大統計量（N→∞）的統計實驗方法或計算機隨機模擬方法。當所求解問題是某種隨機事件出現的概率，或者是某個隨機變量的期望值時，通過某種“實驗”的方法，以這種事件出現的頻率估計這一隨機事件的概率，或者得到這個隨機變量的某些數字特征，并將其作為問題的解。大數定理：均勻分布的算術平均收斂于真值中心極限定理：置信水平下的統計誤差

2023/2/12第六十九頁，共七十八頁，2022年，8月28日MonteCarlo方法的基本思想很早以前就被人們所發現和利用。早在17世紀，人們就知道用事件發生的“頻率”來決定事件的“概率”。19世紀人們用投針試驗的方法來決定圓周率π。本世紀40年代計算機的出現、特別是近年來高速計算機的出現，使得用數學方法在計算機上大量、快速地模擬這樣的試驗成為可能。使用蒙特卡羅方法估算π值.放置30000個隨機點后,π的估算值與真實值相差0.07%.蒙特卡洛法—整數規劃第七十頁，共七十八頁，2022年，8月28日蒙特卡洛法—整數規劃求解問題可以分為兩類:確定性問題和隨機性問題。

解題步驟：

1.根據提出的問題構造一個簡單、適用的概率模型或隨機模型，使問題的解對應于該模型中隨機變量的某些特征（如概率、均值和方差等），所構造的模型在主要特征參量方面要與實際問題或系統相一致

2.根