考點56不等式選講【考綱要求】1.理解絕對值的幾何意義，并了解以下不等式成立的幾何意義及取等號的條件：①|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)．②|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)．2.會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≥a．3.通過一些簡單問題了解證明不等式的根本方法：比擬法、綜合法、分析法．【命題規律】不等式選講近幾年高考中是在解答題中第23題考查，一般設計絕對值不等式的解法、不等式恒成立問題以及不等式的證明問題，難度中等.【典型高考試題變式】〔一〕絕對值不等式的解法例1.【2023新課標1】函數，.〔1〕當a=1時，求不等式的解集；〔2〕假設不等式的解集包含[–1，1]，求實數a的取值范圍.【分析】〔1〕將代入，不等式等價于，對按，，討論，得出不等式的解集；〔2〕當時，.假設的解集包含，等價于當時.那么在的最小值必為與之一，所以且，從而得.〔2〕當時，.所以的解集包含，等價于當時.又在的最小值必為與之一，所以且，得.所以的取值范圍為.【名師點睛】零點分段法是解答絕對值不等式問題常用的方法，也可以將絕對值函數轉化為分段函數，借助圖象解題.【變式1】【2023陜西山大附中等晉豫名校聯考】函數〔1〕求不等式的解集；〔2〕設，假設關于的不等式的解集非空，求實數的取值范圍.【解析】〔1〕原不等式可化為：，即或，由得或，由得或，綜上原不等式的解為或.〔2〕原不等式等價于的解集非空，令，即，由，所以，所以.【變式2】【2023湖北省荊州市質檢】函數.〔1〕當時，求的解集；〔2〕假設的解集包含集合，求實數的取值范圍.【解析】(1)當時，，，上述不等式可化為或或解得或或所以或或，所以原不等式的解集為〔二〕不等式的證明例2.【2023年新課標2】．證明：〔1〕；〔2〕．【分析】〔1〕展開所給的式子，然后結合題意進行配方即可證得結論，注意向靠攏；〔2〕利用均值不等式的結論結合題意證得即可得出結論．【解析】〔1〕〔2〕因為所以，因此．【名師點睛】利用根本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，證明思路是從已證不等式和問題的條件出發，借助不等式的性質和有關定理，經過逐步的邏輯推理最后轉化為需證問題．假設不等式恒等變形之后與二次函數有關，可用配方法．【變式1】假設a>0，b>0，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\r(ab)．〔1〕求a3＋b3的最小值；〔2〕是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并說明理由【變式2】【2023河北邯鄲聯考】設．〔1〕求的解集；〔2〕當時，求證：．【解析】〔1〕由得：或或，解得，所以的解集為.〔2〕當，即時，要證，即證.因為，所以，即.〔三〕絕對值不等式的恒成立、參數范圍問題例3.【2023新課標3】函數f〔x〕=│x+1│–│x–2│.〔1〕求不等式f〔x〕≥1的解集；〔2〕假設不等式的解集非空，求m的取值范圍.【分析】〔1〕將函數零點分段然后求解不等式即可；〔2〕由題意結合絕對值不等式的性質有，那么m的取值范圍是.【解析】〔1〕，當時，無解；當時，由得，，解得；當時，由解得.所以的解集為.〔2〕由得，而，且當時，.故實數m的取值范圍為.【名師點睛】絕對值不等式的解法有三種：法一：利用絕對值不等式的幾何意義求解，表達了數形結合的思想；法二：利用“零點分段法〞求解，表達了分類討論的思想；法三：通過構造函數，利用函數的圖象求解，表達了函數與方程的思想.【變式1】【2023河南中原名校質檢】關于的不等式.〔1〕當時，解不等式；〔2〕如果不等式的解集為空集，求實數的取值范圍.【解析】〔1〕原不等式變為.當時，原不等式化為，解得，所以當時，原不等式化為，所以.當時，原不等式化為，解得，所以.綜上，原不等式解集為.【變式2】函數f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|.〔1〕求不等式f(x)≤6的解集；〔2〕假設關于x的不等式f(x)<|a－1|的解集不是空集，求實數a的取值范圍．【解析】〔1〕原不等式等價于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>\f(3,2)，,〔2x＋1〕＋〔2x－3〕≤6))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)≤x≤\f(3,2)，,〔2x＋1〕－〔2x－3〕≤6))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x<－\f(1,2)，,－〔2x＋1〕－〔2x－3〕≤6，))解得eq\f(3,2)<x≤2或－eq\f(1,2)≤x≤eq\f(3,2)或－1≤x<－eq\f(1,2).所以原不等式的解集為{x|－1≤x≤2}．〔2〕因為f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|≥|(2x＋1)－(2x－3)|＝4，所以|a－1|>4，所以a<－3或a>5，所以實數a的取值范圍為(－∞，－3)∪(5，＋∞)．【數學思想】①數形結合思想．②分類討論思想．③轉化與化歸思想.④函數方程思想.【溫馨提示】①絕對值不等式中含參數時，通常要進行分類探求，注意分類要做到不重不漏；注意在分段時不要遺漏區間的端點值．②分析法證明不等式是“執果索因〞，要注意書寫的格式和語言的標準．③用綜合法證明不等式時，應注意觀察不等式的結構特點，選擇恰當的公式作為依據，其中均值不等式是最常用的.【典例試題演練】1.【2023遼寧鞍山中學二模】函數.〔1〕求不等式的解集；〔2〕假設關于的不等式有解，求實數的取值范圍.【解析】〔1〕當時，無解；當時，；當時，.綜上，實數的取值范圍為.〔2〕函數的最小值為，，所以.2.【2023廣西賀州桂梧高中聯考】函數的一個零點為2.〔1〕求不等式的解集；〔2〕假設直線與函數的圖象有公共點，求的取值范圍.【解析】〔1〕由，，得，所以，所以或或，解得，故不等式的解集為.〔2〕，作出函數的圖象，如下圖，直線過定點，當此直線經過點時，；當此直線與直線平行時，.故由圖可知，.3.【2023四川省涼山州檢測】函數．〔1〕假設不等式的解集為空集，求實數的取值范圍；〔2〕假設方程有三個不同的解，求實數的取值范圍．【解析】〔1〕令，那么，作出函數的圖象，由圖可知，函數的最小值為，所以，即，綜上，實數的取值范圍為.〔2〕在同一坐標系內作出函數圖象和的圖象如以下圖所示，由題意可知，把函數的圖象向下平移1個單位以內〔不包括1個單位〕與的圖象始終有3個交點，從而．4.【20236廣西柳州市模擬】函數．〔1〕假設，解不等式；〔2〕如果，，求的取值范圍．〔2〕假設，的最小值為；假設，的最小值為．所以，，所以實數的取值范圍是．5.設a，b，c均為正數，且a＋b＋c＝1，證明：〔1〕ab＋bc＋ca≤eq\f(1,3)；〔2〕2eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥1．【證明】〔1〕由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca．由題設得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1．所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤eq\f(1,3)．〔2〕因為eq\f(a2,b)＋b≥2a，eq\f(b2,c)＋c≥2b，eq\f(c2,a)＋a≥2c，故eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥a＋