PAGEPAGE5題型專項(九)四邊形的簡單證明與計算1．(2022·陜西)如圖，在?ABCD中，連接BD，在BD的延長線上取一點E，在DB的延長線上取一點F，使BF＝DE，連接AF，CE，求證：AF∥CE.證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC.∴∠ADB＝∠CBD.∵BF＝DE，∴BF＋BD＝DE＋BD，即DF＝BE.在△ADF和△CBE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝BC，,∠ADB＝∠CBD，,DF＝BE，))∴△ADF≌△CBE(SAS)．∴∠AFD＝∠CEB.∴AF∥CE.2．(2022·長春)如圖，在?ABCD中，點E在邊BC上，點F在邊AD的延長線上，且DF＝BE，EF與CD交于點G.(1)求證：BD∥EF；(2)假設eq\f(DG,GC)＝eq\f(2,3)，BE＝4，求EC的長．解：(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC.∵DF＝BE，∴四邊形BEFD是平行四邊形．∴BD∥EF.(2)∵四邊形BEFD是平行四邊形．∴DF＝BE＝4.∵DF∥EC，∴△DFG∽△CEG.∴eq\f(DG,CG)＝eq\f(DF,CE).∴CE＝eq\f(DF·CG,DG)＝4×eq\f(3,2)＝6.3．(2022·南充二診)如圖，E，F分別是矩形ABCD的邊AD，AB上的點，EF＝EC，且EF⊥EC.(1)求證：△AEF≌△DCE；(2)假設DC＝eq\r(2)，求BE的長．解：(1)證明：在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，∴∠AFE＋∠AEF＝90°.∵EF⊥EC，∴∠FEC＝90°.∴∠AEF＋∠CED＝90°.∴∠AFE＝∠CED.在△AEF和△DCE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠D，,∠AFE＝∠CED，,EF＝EC，))∴△AEF≌△DCE(AAS)．(2)∵△AEF≌△DCE，∴AE＝DC＝eq\r(2).在矩形ABCD中，AB＝CD＝eq\r(2).在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，即(eq\r(2))2＋(eq\r(2))2＝BE2，∴BE＝2.4．(2022·蘇州)如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，過點D作對角線BD的垂線交BA的延長線于點E.(1)證明：四邊形ACDE是平行四邊形；(2)假設AC＝8，BD＝6，求△ADE的周長．解：(1)證明：∵四邊形ABCD是菱形．∴AB∥CD，AC⊥BD.∴AE∥CD，∠AOB＝90°.又∵DE⊥BD，即∠EDB＝90°.∴∠AOB＝∠EDB.∴DE∥AC.∴四邊形ACDE是平行四邊形．(2)∵四邊形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6.∴AO＝4，DO＝3，AD＝CD＝eq\r(DO2＋CO2)＝5.又∵四邊形ACDE是平行四邊形，∴AE＝CD＝5，DE＝AC＝8.∴△ADE的周長為AD＋AE＋DE＝5＋5＋8＝18.5．(2022·綿陽中江模擬四)如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點O，O是AC的中點，AE＝CF，DF∥BE.(1)求證：△BOE≌△DOF；(2)假設OD＝eq\f(1,2)AC，那么四邊形ABCD是什么特殊四邊形？請證明你的結論．解：(1)證明：∵DF∥BE，∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO.∵O為AC的中點，∴OA＝OC.∵AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF.在△BOE和△DOF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠FDO＝∠EBO，,∠DFO＝∠BEO，,OE＝OF，))∴△BOE≌△DOF(AAS)．(2)假設OD＝eq\f(1,2)AC，那么四邊形ABCD是矩形．證明：∵△BOE≌△DOF，∴OB＝OD.∵OD＝eq\f(1,2)AC，∴OA＝OB＝OC＝OD，且BD＝AC.∴四邊形ABCD為矩形．6．(2022·攀枝花)如圖，在矩形ABCD中，點F在邊BC上，且AF＝AD，過點D作DE⊥AF，垂足為點E.(1)求證：DE＝AB；(2)以A為圓心，AB長為半徑作圓弧交AF于點G，假設BF＝FC＝1，求扇形ABG的面積．(結果保存π)解：(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD＝BC，AD∥BC.∴∠DAE＝∠AFB.∵DE⊥AF，∴∠AED＝90°＝∠B.在△ABF和△DEA中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AFB＝∠DAE，,∠B＝∠DEA，,AF＝AD，))∴△ABF≌△DEA(AAS)．∴DE＝AB.(2)∵BC＝AD，△ABF≌△DEA，∴AD＝AF，BC＝AF＝2.∵BF＝1，∠ABF＝90°，∴由勾股定理得AB＝eq\r(22－12)＝eq\r(3).∴∠BAF＝30°.∴扇形ABG的面積為eq\f(30π×〔\r(3)〕2,360)＝eq\f(π,4).7．(2022·婁底)如圖，將等腰△ABC繞頂點B逆時針方向旋轉α度到△A1BC1的位置，AB與A1C1相交于點D，AC與A1C1，BC1分別交于點E，F.(1)求證：△BCF≌△BA1D；(2)當∠C＝α度時，判定四邊形A1BCE的形狀并說明理由．解：(1)證明：∵△ABC是等腰三角形，∴AB＝BC，∠A＝∠C.∵將等腰△ABC繞頂點B逆時針方向旋轉α度到△A1BC1的位置，∴A1B＝AB＝BC，∠A＝∠A1＝∠C，∠A1BD＝∠CBC1.在△BCF與△BA1D中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠C＝∠A1，,BC＝A1B，,∠CBF＝∠A1BD，))∴△BCF≌△BA1D.(2)四邊形A1BCE是菱形．理由：∵將等腰△ABC繞頂點B逆時針方向旋轉α度到△A1BC1的位置，∴∠A1＝∠A.∵∠ADE＝∠A1DB，∴∠AED＝∠A1BD＝α.∴∠DEC＝180°－α.∵∠C＝α，∴∠A1＝α.∴∠A1BC＝360°－∠A1－∠C－∠A1EC＝180°－α.∴∠A1＝∠C，∠A1BC＝∠A1EC.∴四邊形A1BCE是平行四邊形．∵A1B＝BC.∴四邊形A1BCE是菱形．8．(2022·濟寧)如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，延長CB至點F，使CF＝CA，連接AF，∠ACF的平分線分別交AF，AB，BD于點E，N，M，連接EO.(1)EO＝eq\r(2)，求正方形ABCD的邊長；(2)猜測線段EM與CN的數量關系并加以證明．解：(1)∵四邊形ABCD是正方形，∴AO＝OC，△ABC是等腰直角三角形．在△ACF中，AC＝CF，CE平分∠ACF，∴AE＝EF.∴EO為△AFC的中位線．∴CF＝2EO＝2eq\r(2).∴AC＝2eq\r(2).∴AB＝eq\f(AC,\r(2))＝2.(2)EM＝eq\f(1,2)CN.證明：∵CF＝CA，CE是∠ACF的平分線，∴CE⊥AF.∴∠AEN＝∠CBN＝90°.∵∠ANE＝∠CNB，∴∠BAF＝∠BCN.在△ABF和△CBN中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BAF＝∠BCN，,AB＝BC，,∠ABF＝∠CBN＝90°，))∴△ABF≌△CBN(ASA)．∴AF＝CN.∵∠BAF＝∠BCN，∠ACN＝∠BCN，∴∠BAF＝∠OCM.∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.∴∠ABF＝∠COM＝90°.∴△ABF∽△COM.∴eq\f(CM,AF)＝eq\f(OC,BA).∴eq\f(CM,CN