二次函數北師大版數學九年級下冊第二章二次函數1、什么是函數？2、什么叫做一次函數？3、函數有哪些表示方法？

在某一變化過程中，有兩個變量x

和y

，如果對于x的每一個可取的值，都有唯一一個y值與它對應，那么y稱為x的函數。形如y=kx+b(k、b為常數，k≠0)解析法列表法圖象法知識回顧在以往所學函數的基礎上，本節課我們學習一種新的函數形式——二次函數，二次函數的在日常生活中很常見，我們一定要學好它！情境引入

某果園有100棵橙子樹，平均每棵樹結600個橙子.現準備多種一些橙子樹以提高果園產量，但是如果多種樹，那么樹之間的距離和每一棵樹所接受的陽光就會減少.根據經驗估計，每多種一棵樹，平均每棵樹就會少結5個橙子.

（1）問題中有哪些變量？其中哪些是自變量？哪些是因變量？

（2）假設果園增種x棵橙子樹，那么果園共有多少棵橙子樹？這時平均每棵樹結多少個橙子？

（3）如果果園橙子的總產量為y個，那么請你寫出y與x之間的關系式.

(1)問題中有哪些變量?其中哪些是自變量?哪些是因變量?

(2)假設果園增種x棵橙子樹，那么果園共有多少棵橙子樹?這時平均每棵樹結多少個橙子?

(100+x)棵(600-5x)個

(3)如果果園橙子的總產量為y個，那么請你寫出y與x之間的關系式．y=(100+x)(600-5x)=-5x2+100x+60000新知探究總

結果園共有（100+x）棵樹，平均每棵樹結（600-5x）個橙子，因此果園橙子的總產量y=（600-5x）（100+x）=-5x2+100x+60000.1知識點二次函數的定義做一做銀行的儲蓄利率是隨時間變化的，也就是說，利率是一個變量.在我國，利率的調整是由中國人民銀行根據國民經濟發展的情況而決定的.

設人民幣一年定期儲蓄的年利率是x，一年到期后，銀行將本金和利息自動按一年定期儲蓄轉存.如果存款額是100元，那么請你寫出兩年后的本息和y（元）的表達式.（1）兩數和是20，設其中一個數是x，你能寫出中兩數之積y的表達式嗎？（2）已知矩形的周長為40cm，它的面積可能是100cm2嗎？可能是75cm2嗎？還可能是多少？你能表示這個矩形的面積與其一邊長的關系嗎？想一想1．定義：一般地，若兩個變量x，y之間的對應關系可以表示

成y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數，a≠0)的形式，則稱y是x

的二次函數；其中a是二次項系數，b為一次項系數，c為

常數項．要點精析：(1)二次函數必須滿足三個條件：①函數表達式為整式；②函數表達式有唯一的自變量；③自變量的最高次數是2且二次項系數不等于0.(2)二次函數中自變量的取值范圍是一切實數，函數值范圍不

是一切實數．2．判斷一個函數是否為二次函數的方法：(1)將函數表達式整理為右邊是含自變量的代數式，左邊是

因變量的形式；(2)判斷右邊含自變量的代數式是否為整式；(3)判斷自變量的最高次數是否為2；(4)判斷二次項系數是否為0.3．易錯警示：判斷一個函數是不是二次函數，化為一般形

式后當二次項系數包含字母時，一定要注意二次項的系

數不能為零這一條件．例1

下列函數中，哪些是二次函數？并指出二次函數

的二次項系數、一次項系數和常數項．(1)y＝7x－1；(2)y＝－5x2；(3)y＝3a3＋2a2；(4)y＝x－2＋x;(5)y＝3(x－2)(x－5);(6)y＝x2＋.解：(2)與(5)是二次函數．(2)y＝－5x2的二次項系數為

－5，一次項系數和常數項為0；(5)化為一般式，

得到y＝3x2－21x＋30，所以y＝3(x－2)(x－5)的

二次項系數為3，一次項系數為－21，常數項為30.導引：若是二次函數，則等號的右邊應是關于x的二次多項

式，故a－b＝0，2a＋b－3＝0，于是a，b可求．

例2已知函數y＝(a－b)x3＋2x2＋2＋

是y關

于x的二次函數，求a，b的值．解：由題意得

解得1、m取何值時，函數是y=(m+1)x+(m-3)x+m是二次函數？隨堂練習12、擬建中的一個溫室的平面圖如圖,如果溫室外圍是一個矩形，周長為12Om,室內通道的尺寸如圖,設一條邊長為x(m),種植面積為y(m2).1113x解：y=(60-x-4)(x-2)3、下列函數表達式中，一定為二次函數的是(

)A．y＝3x－1B．y＝ax2＋bx＋cC．s＝2t2－2t＋1D．y＝x2＋4、下列各式中，y是x的二次函數的是(

)A．y＝B．y＝x2＋

＋1C．y＝2x2－1D．y＝5、下列各式中，y是x的二次函數的是(

)A．y＝ax2＋bx＋cB．x2＋y－2＝0C．y2－ax＝2D．x2－y2＋1＝05、若函數y＝(m－2)x2＋4x－5(m是常數)是二次函數，

則(

)A．m≠－2B．m≠2C．m≠3D．m≠－36、若y＝(m－1)xm2＋1是二次函數，則m的值是(

)A．1B．－1C．1或－1D．27、下列結論中正確的是(

)A．二次函數中兩個變量的值是非零實數B．二次函數中變量x的值可以是所有實數C．形如y＝ax2＋bx＋c的函數叫二次函數D．二次函數y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的值均不能為零2知識點利用二次函數的表達式表示實際問題

1．根據實際問題列二次函數的關系式，一般要經歷以下

幾個步驟：(1)確定自變量與因變量代表的實際意義；(2)找到自變量與因變量之間的等量關系，根據等量關

系列出方程或等式．(3)將方程或等式整理成二次函數的一般形式．2．易錯警示：一般情況下，二次函數中自變量的取值范

圍是全體實數，但對實際問題的自變量的取值范圍必

須使實際問題有意義．

例3

填空：(1)已知圓柱的高為14cm，則圓柱的體積V(cm3)與底面半

徑r(cm)之間的函數關系式是_______________；(2)已知正方形的邊長為10，若邊長減少x，則面積減少y，y與x之間的函數關系式是_____________________．(1)根據圓柱體積公式V＝πr2×h求解；(2)有三種思路：如圖，①減少的面積y＝S四邊形AEMG＋S四邊形GMFD＋S四邊形MHCF＝x(10－x)

＋x2＋x(10－x)＝－x2＋20x，②減少的面積y＝S四邊形AEFD＋S四邊形GHCD－S四邊形GMFD＝10x＋10x－x2＝－x2

＋20x，③減少的面積y＝S四邊形ABCD－S四邊形EBHM＝102－(10

－x)2＝－x2＋20x.V＝14πr2(r＞0)y＝－x2＋20x(0≤x≤10)導引：總

結(1)求幾何問題中二次函數的關系式，除了根據有關面積、體積公式

寫出二次函數關系式以外，還應考慮問題的實際意義，明確自變

量的取值(在一些問題中，自變量的取值可能是整數或者是在一

定的范圍內)；(2)如果不能通過已知條件直接寫出函數關系式(直接法)，應適當考

慮通過割補法，將問題轉化為幾個圖形面積和差的問題(間接法)，

再尋求解答；判斷自變量的取值范圍，應結合問題，考慮全面，

不要漏掉一些約束條件．列不等式組是求自變量的取值范圍的常

見方法．(3)如果要作實際問題中的函數的圖象，注意其圖象應是在自變量取

值范圍內的部分圖象．例4〈易錯題〉在某市開展的環境創優活動中，某居民小區要

在一塊靠墻(墻長15m)的空地上修建一個矩形花園ABCD，

花園的一邊靠墻，另三邊用總長為40m的柵欄圍成，若設

花園平行于墻的一邊長為xm，花園的面積為ym2.(1)求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍．(2)滿足條件的花園的面積能達到200m2嗎？若能，求出此

時x的值，若不能，說明理由．導引：本例根據實際問題建立數學模型，轉化為幾何問題，

得出的有關結果要符合實際，因此列函數關系式時，

要求出自變量的取值范圍．解：(1)因為柵欄的總長為40m，如圖，

若BC的長為xm，則AB的長為m.

由

可得0<x≤15.

根據題意，得y＝x·，即y＝－

x2＋20x，

所以y＝－

x2＋20x(0<x≤15)．(2)不能．理由如下：當y＝200時，－

x2＋20x＝200，所

以x2－40x＋400＝0.解得x1＝x2＝20.因為0<x≤15，所以此

花園的面積不能達到200m2.總

結(1)此題將生活問題轉化為幾何問題，列生活中有關幾何

面積問題的函數關系式，一般先要根據題中條件求出

自變量的取值范圍，再由相關的面積公式求出函數關

系式．(2)求自變量的取值范圍，應結合問題，全面考慮，不要

漏掉一些約束條件(如本例中墻長15m)，列不等式組

是求自變量取值范圍的常用方法．(3)本例(2)中常常因不考慮自變量x的范圍而出現錯誤結

論．1、一臺機器原價60萬元，如果每年的折舊率為x，兩年后這臺機器的價格為y萬元，則y與x之間的函數表達式為(

)A．y＝60(1－x)2B．y＝60(1－x)C．y＝60－x2D．y＝60(1＋x)2隨堂練習22、如圖，∠AOB＝90°，在∠AOB的平分線ON上依次取點C，F，M，過點C作DE⊥OC，分別交OA，OB于點D，E，以FM為對角線作菱形FGMH，已知∠DFE＝∠GFH＝120°，FG＝FE.設OC＝x，圖中陰影部分的面積為y，則y與x