第七章應力與應變分析、強度理論第一,二節應力狀態的概念

第三節平面應力狀態分析(解析法)

第四節平面應力狀態分析(圖解法)

第五節三向應力狀態簡介

第八節廣義虎克定律

第十一,十二節四種強度理論請看下列實驗現象：低碳鋼和鑄鐵的拉伸實驗低碳鋼和鑄鐵的扭轉實驗應力狀態概述問題的提出復習:低碳鋼拉伸實驗韌性材料-低碳鋼軸向拉伸時為什么會出現滑移線？滑移線鑄鐵扭轉實驗脆性材料-鑄鐵扭轉時為什么會沿450螺旋面斷開？以前的知識不能解釋這些現象

鋼筋混凝土簡支梁問題的提出軸向拉伸桿件斜截面應力：問題1：同一點處不同方位截面上的應力不相同；橫截面應力：梁彎曲的強度條件：z問題2

一點處應力該如何校核？

——有必要研究一點的應力狀態。一方面：研究通過一點各不同方位截面上應力的變化規律。一方面：需要探求材料破壞的規律。建立復雜受力時的強度條件研究在各種不同的復雜受力形式下：強度失效的共同規律假定失效的共同原因利用單向拉伸的實驗結果強度理論FPFP受力之前,表面的正方形受拉后，正方形變成了矩形，直角沒有改變。受力之前,表面斜置的正方形這表明：拉桿的斜截面上存在剪應力。

受拉后，正方形變成了菱形。FPFP拉伸表明，軸扭轉時，其斜截面上存在著正應力。圓變為一斜置橢圓，長軸方向伸長，短軸方向縮短。扭轉MxMx？一點的應力狀態：

過一點處，即一微元所有方位面上的應力集合，稱為該點的應力狀態。（1）什么是一點的應力狀態圍繞一點作一微小單元體，即微元為什么分析一點的應力狀態？找出一點處沿不同方向應力的變化規律，確定出最大應力，從而全面考慮構件破壞的原因，建立適當的強度條件。1.基本概念根據微元的局部平衡拉中有剪剪中有拉不僅橫截面上存在應力，斜截面上也存在應力；不僅要研究橫截面上的應力，而且也要研究斜截面上的應力。橫截面上的正應力分布應力的點的概念：同一面上不同點的應力不一定相同。橫截面上的剪應力分布應力的面的概念：同一點不同方向面上的應力也不一定相同。應力指明哪一個面上

哪一點？哪一個點上

哪一方向面？應力狀態分析(analysisofstress-state)是用平衡的方法，分析過一點、在不同方向面上的應力以及這些應力之間的相互關系，并確定這些應力中的極大值和極小值以及它們的作用面。

研究一點的應力狀態，可對一個包圍該點的微小正六面體——單元體進行分析在單元體各面上標上應力：應力單元體

應力狀態的分類yxz各邊邊長,,dxdydz2.兩個相互平行側面上的應力情況相同.3.代表點三個相互垂直方向上的應力情況.1.單元體各側面上的應力分布是均勻的.單元體的特點應力與應變分析PMeMePPMeMec)同b)但從上表面截取Ctssb)橫截面，周向面，直徑面各一對Ba)一對橫截面，兩對縱截面As=P/Ast=Me/WnABC幾種受力情況下截取單元體方法：

（1）應力分量的角標規定：第一角標表示應力作用面(法線)，第二角標表示應力平行的軸，兩角標相同時，只用一個角標表示。

（2）面的方位用其法線方向表示單元體上的應力分量應力與應變分析

根據材料的均勻連續假設，微元體各微面上的應力均勻分布，相互平行的兩個側面上應力大小相等、方向相反；互相垂直的兩個側面上剪應力服從剪切互等關系:

正負號規定：正應力以拉應力為正，壓為負；剪應力以對微元體內任意一點取矩為順時針者為正，反之為負。xOzydzdxdyXYZOsysyszsztyxtyxtxytxysxsxtzxtxztzxtxz應力與應變分析應力角標規定：第一角標表示應力作用面(法線表示)，第二角標表示應力平行的軸，角標相同時只用一個角標表示.二、應力狀態分類(按主應力)

基本概念主平面：單元體上剪應力為零的面；

主應力：主平面上作用的正應力，用s1、s2、s3表示，按s1≥s2≥s3(根據大小排列).應力與應變分析旋轉y'x'z's2s3s1xyzsxsztxytxztzxtzytyztyxsy

2、應力狀態的分類1)、空間應力狀態:

三個主應力1、2、3均不等于零2)、平面應力狀態:

三個主應力1、2、3中有兩個不等于零3)、單向應力狀態

三個主應力1、2、3中只有一個不等于零312231221111空間應力狀態yxzxy平面應力狀態特例三向應力狀態平面應力狀態單向應力狀態純剪應力狀態特例特例特例取單元體示例FPl/2l/2S截面5432154321S截面5432154321S截面12

3

alSF

例:畫出如圖所示梁危險截面危險點的應狀態單元體

xzy4321zy4321FSMZT12yxzzy4321FSMZTxzy43213例:分析薄壁圓筒受內壓時的應力狀態pDyz薄壁圓筒的橫截面面積:mmnpD′nn(1)沿圓筒軸線作用于筒底的總壓力為F直徑平面(2)假想用一直徑平面將圓筒截分為二，并取下半環為研究對象p"yOFNFNd一、平面應力分析的解析法

1.平面應力狀態圖示：

第三節平面應力狀態分析sytyxtxysxsxsxtxysysysxtyx

平面應力狀態的普遍形式如圖所示.單元體上有x,xy

和y,yx–3方向角與應力分量的正負號約定拉為正壓為負正應力剪應力使微元或其局部順時針方向轉動為正；反之為負。方向角由x正向逆時針轉到n正向者為正；反之為負。平衡對象平衡方程參加平衡的量——用

斜截面截取的微元局部——應力乘以其作用的面積–3微元的局部平衡利用三角中的倍角公式，根據上述平衡方程式，可以得到計算平面應力狀態中任意方向面上正應力與剪應力的表達式：

3738xyxy例:圖示單元體，已知x

=-40MPa，y

=60MPa，xy=-50MPa.試求ef

截面上的應力情況n30°ef解:求

ef截面上的應力403020asata

例:圖示單元體，試求：a=30o斜截面上的應力[例]分析軸向拉伸桿件的最大剪應力的作用面，說明低碳鋼拉伸時發生屈服的主要原因。解：y＝0，yx＝0。

當θ＝45o時，斜截面上既有正應力又有剪應力：

根據平面應力狀態任意斜截面上的正應力和剪應力公式軸向拉伸時最大剪應力發生在與軸線夾45o角的斜面上，這正是低碳鋼試樣拉伸至屈服時表面出現滑移線的方向。

認為屈服是由最大剪應力引起的[例]分析圓軸扭轉時最大剪應力的作用面，說明鑄鐵圓軸試樣扭轉破壞的主要原因。解：純剪應力狀態下x＝y＝0，純剪應力狀態壓應力最大拉應力最大根據公式：鑄鐵圓試樣扭轉實驗時，正是沿著最大拉應力作用面(即-45o螺旋面)斷開的。因此，認為這種脆性破壞是由最大拉應力引起的。

1)最大正應力及方位令:0和0+90°確定兩個互相垂直的平面，一個是最大正應力所在的平面，另一個是最小正應力所在的平面.將0和

0+90°代入公式:得到max和

min(主應力）

txy箭頭指向第幾象限(一、四)，則較大主應力在第幾象限txys's"a0*txys"s'a0*2)最大切應力及方位:令:1和1+90°確定兩個互相垂直的平面，一個是最大切應力所在的平面，另一個是最小切應力所在的平面.將1和

1+90°代入公式:得到max和min可見解（1）求主平面方位因為x

=y

，且xy>0例:求平面純剪切應力狀態的主應力及主平面方位.xy所以0=-45°與max對應45°（2）求主應力1=，2=0，3=-13xyxy例:圖示單元體，已知x

=-40MPa，y

=60MPa，xy=-50MPa.試求ef

截面上的應力情況及主應力和主單元體的方位.n30°ef解:(1)求

ef截面上的應力xyxy22.5°13(2)求主應力和主單元體的方位x

=-40MPa

y

=60MPa

x

=-50MPa=-30°403020asata40203014.9os"s's"s'

例:圖示單元體，試求：①a=30o斜截面上的應力；②主應力并畫出主單元體；③極值切應力。例:簡支梁如圖所示.已知mm

截面上A點的彎曲正應力和切應力分別為

=-70MPa，=50MPa.確定A點的主應力及主平面的方位.AmmalA解：把從A點處截取的單元體放大如圖xAA01313tABCDx45o-45oMeMeDCBAs3s1s1s3分析圓軸扭轉時的應力狀態解:取單元體ABCD例:

分析圓軸扭轉時的應力狀態。

4)圓軸扭轉時，橫截面為純剪切應力狀態，最大拉、壓應力在與軸線成±45斜截面上，它們數值相等，均等于橫截面上的剪應力；tABCDx45o-45oMeMeDCBAs3s1s1s35)對于塑性材料(如低碳鋼)抗剪能力差，扭轉破壞時，通常是橫截面上的最大剪應力使圓軸沿橫截面剪斷；6)對于脆性材料(如鑄鐵、粉筆)抗拉性能差，扭轉破壞時，通常沿與軸線成45o的螺旋面發生拉斷。RO第四節平面應力分析的圖解法—應力圓1.理論依據：

①

為半徑的圓。②以s、t為坐標軸，則任意a斜截面上的應力sx‘、tx’y以為半徑的圓。2.應力圓的繪制：

①定坐標及比例尺；②取x面，定出D()點；取y面，定出D‘()點；③連DD'交s軸于C點，以C為圓心，DD1為直徑作圓；sxsxtxytyxtxytyxsysyOstxynaC2a0A1s'B1s"2a(sa,ta)EG1t'G2t"D'(sy,tyx)BAD(sx,txy)sata2.應力圓的繪制：

①定坐標及比例尺；②取x面，定出D()點；取y面，定出D‘()點；③連DD'交s軸于C點，以C為圓心，DD1為直徑作圓；點面之間的對應關系：單元體某一面上的應力，必對應于應力圓上某一點的坐標。說明夾角關系：圓周上任意兩點所引半徑的夾角等于單元體上對應兩截面夾角的兩倍。兩者的轉向一致。2OCBAsxsxADtsodacx'yy'45ox2×45o2×45obeBE單向拉伸

單向拉伸tsodac2×45o2×45obe可見，45o方向面既有正應力又有切應力，但正應力不是最大值，切應力卻最大。單向拉伸ttotsa(0,t)d(0,-t)ADbec2×45o2×45os1＝ts3＝tBE純剪應力狀態結果表明：45o方向面只有正應力沒有切應力，而且正應力為最大值。otsttADs1＝ts3＝tBEs3＝ts1＝tBE主應力單元體a(0,t)d(0,-t)bec2×45o2×45o純剪應力狀態4、主應力與主平面(1)主應力與主平面主平面（PrincipalPlane）：切應力為零的平面(與應力圓上和橫軸交點對應的面)主應力：作用于主平面上的正應力主單元體:各側面上只有正應力作用,而無剪應力作用的單元體

(2)主應力的確定(4)主應力的表達式(3)主方向的確定過一點總存在三對相互垂直的主平面，對應三個主應力(5)主應力的排序301050單位：MPa3010FF求：1)a=30o斜截面上的應力；

2)主應力及其方位；

3)極值剪應力。sOtD(30,-20)D'(-40,20)C60o(29.8,20.3)35.3-45.329.8o403020xasata40.3-40.3

例:

用應力圓法重解例題。求例D’60EFτσO2、量出所求的物理量解：1、按比例畫此單元體對應的應力圓

D’60EFτσO

例:兩端簡支的焊接工字鋼梁及其荷載如圖所示，梁的橫截面尺寸示于圖中。試繪出截面c上a,b

兩點處的應力圓，并用應力圓求出這兩點處的主應力。12015152709zab250KN1.6m2mABC12015152709zab250KN1.6m2mABC解:(1)首先計算支反力,并作出梁的剪力圖和彎矩圖+200kN50kN+80kN.mFSmax=FC左

=200kNMmax=MC=80kN?m(2)橫截面C上a點的應力為a點的單元體如左圖所示axxxyyx由x，xy

定出D

點由y，yx

定出D′

點以DD′為直徑作應力圓OC(3)做應力圓

x=122.5MPa，xy

=64.6MPa

y=0，xy

=-64.6MPaAB(122.5,64.6)D(0,-64.6)D′A113A2A1，A2兩點的橫坐標分別代表a

點的兩個主應力

1和

3A1點對應于單元體上1

所在的主平面

axxxyyx01312015152709zab(4)橫截面C上b點的應力b點的單元體如圖所示bxxb點的三個主應力為1所在的主平面就是x

平面,

即梁的橫截面Cbxx(136.5,0)D(0,0)D′1第五節三向應力狀態yxz在受力物體的任一點處一定可以找到一個主應力單元體，其三對相互垂直的平面均為主平面，三對主平面上的主應力分別為σ1、σ2、σ3。對危險點處于空間應力狀態下的構件進行強度計算時，通常需確定最大正應力和最大切應力。1).彈性理論證明，單元體內任意截面上的應力都對應著應力圓上或陰影區內的一點。tmax結論——3).整個單元體內的最大切應力為：2).整個單元體內的最大正應力為：4).整個單元體內的最大切應力所在的平面：與主平面垂直，并與和主平面互成45°夾角。例：求圖示單元體的主應力和最大切應力。（MPa）解：1)x面為主平面之一2)建立應力坐標系如圖，畫y—z平面的應力圓及三向應力圓得:xyz305040CBAsatao(M

Pa)（M

Pa）10DD/C

1

3

2tmax解析法——1)由單元體知：x面為主平面之一,2)求y—z面內的最大、最小正應力。3)主應力4)最大切應力xyz305040CBA（MPa

）20030050otmax平面應力狀態作為三向應力狀態的特例20050O3005030050O第八節廣義虎克定律知識點復習

設桿原長為l，直徑為d,受一對軸向拉力F的作用，發生變形。變形后桿長為l1，直徑為d1。軸向(縱向)應變：其中：拉應變為正，壓應變為負。橫向應變：

胡克定律：

實驗表明，橫向應變與縱向應變之比為一常數u----稱為橫向變形系數（泊松比）一、廣義虎克定律1.有關概念：

主應變：沿主應力方向的應變，分別用e1≥e2≥e3表示；

2.廣義虎克定律：①推導方法：疊加原理②主應變與主應力關系：第八節廣義虎克定律s1s2s3s1s1Is2s2IIs3IIIs1Is1s2IIs2IIIs3二、例題

例:在一體積較大的鋼塊上有一直徑為50.001mm的凹座，凹座內放置一直徑為50mm的鋼制圓柱如圖，圓柱受到P=300kN的軸向壓力。假設鋼塊不變形，試求圓柱的主應力。取E=200GPa，u=0.30。PpPP/AppppP/App

解：①在柱體橫截面上的壓應力為：②在軸向壓縮下，圓柱將向橫向膨脹，柱內任一點的徑向與周向應力均為-p，由于柱與凹座之間有間隙，因此應變e2的值為：③由廣義虎克定律：

求得：④柱內各點的三個主應力為：單元體的應變能密度：利用廣義胡克定律:

第九節復雜應力狀態下的應變能密度

對于在線彈性、小變形條件下受力物體，所積蓄的應變能至取決于外力的最后數值，而與加力順序無關。體積胡克定律:形狀改變比能:單元體的比能

(單位體積儲存的變形能)：利用廣義虎克定律:

2

3

1

圖a

m

m

m圖b

2

3

1-

m-

m-

m圖c圖b體積改變，形狀不變；圖c形狀改變，體積不變。單元體的應變能：—

稱為體積改變比能

圖c

圖b圖

a圖C單元體的體積應變：單元體的比能＝體積改變比能(b)＋形狀態改變比能(c)—

稱為形狀改變比能所以圖C單元體體積不變圖a

單元體的體積應變：——稱為形狀改變比能或畸形能圖c圖b圖ab圖的體積應變比能：1.簡單應力狀態下強度條件可由實驗確定

2.復雜應力狀態下，材料的失效方式與材料性質、其應力狀態有關，即與各主應力大小及比值有關第十節強度理論的概念強度理論：構件在靜載荷作用下的兩種失效形式：

(1)脆性斷裂：材料無明顯的塑性變形即發生斷裂，斷面較粗糙，且多發生在垂直于最大正應力的截面上，如鑄鐵受拉、扭，低溫脆斷等。

(2)塑性屈服（流動）：材料破壞前發生顯著的塑性變形，破壞斷面粒子較光滑，且多發生在最大剪應力面上，例如低碳鋼拉、扭，鑄鐵壓。

人們根據大量的破壞現象，通過判斷推理、概括，提出了種種關于破壞原因的假說，找出引起破壞的主要因素，經過實踐檢驗，不斷完善，在一定范圍與實際相符合，上升為理論（為了建立復雜應力狀態下的強度條件，而提出的關于材料破壞原因的假設及計算方法）

。強度準則：①金屬材料的強度失效分為：屈服與斷裂；②強度準則(強度理論)：材料失效原因的假說

(假說—實踐—理論)③通過強度準則，并利用單向拉伸實驗結果來建立各種應力狀態下的失效判據以及相應的設計準則。兩類強度理論：1.第一類強度理論（以脆性斷裂破壞為標志）既第一,第二強度理論

2.第二類強度理論（以塑性屈服破壞為標志）既第三,第四強度理論四個強度理論

準則：無論材料處于什么應力狀態，只要最大拉應力s1達到某一極限值則材料發生斷裂。1.斷裂原因：最大拉應力s1（與應力狀態無關）3.強度條件：

2.破壞條件：一、第一強度理論（最大拉應力理論）4.應用情況：符合脆性材料的拉斷試驗，如鑄鐵單向拉伸和扭轉中的脆斷；由于未考慮其余主應力影響因此不能用于無拉應力的應力狀態。二、最大伸長線應變理論（第二強度理論）

準則：無論材料處于什么應力狀態，只要最大伸長線應變e1達到某一極限值,材料即發生斷裂。1.斷裂原因：最大伸長線應變e1（與應力狀態無關）；

3.強度準則：

2.破壞條件：4.應用情況：符合表面潤滑石料的軸向壓縮破壞等，不符合大多數脆性材料的脆性破壞。

三、最大切應力理論（第三強度理論）

準則：無論在什么樣的應力狀態下，只要最大切應力tmax達到某一極限值材料就發生屈服。

1.屈服原因：最大切應力tmax（與應力狀態無關）；

2.屈服條件：

3.強度準則：

4.應用情況：形式簡單，符合實際，廣泛應用，偏于安全。

四、第四強度理論（形狀改變比能理論）

準則：不論應力狀態如何，只要畸變能密度達到某一極限值材料就發生屈服。1.屈服原因：最大