第八章非線性控制系統(tǒng)分析1自動(dòng)控制原理第8章非線性控制系統(tǒng)8.1概述8.2非線性系統(tǒng)的特點(diǎn)8.3相平面分析法8.4描述函數(shù)分析法2自動(dòng)控制原理8.1概述

非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)有著很大的差別，諸如非線性系統(tǒng)的響應(yīng)取決于輸入信號(hào)的幅值和形式，不能應(yīng)用疊加原理，目前還沒有統(tǒng)一的且普遍適用的處理方法。

3自動(dòng)控制原理1.飽和特性

2.死區(qū)特性

3.間隙特性

圖8.1飽和非線性特性圖8.2死區(qū)非線性特性圖8.3間隙非線性特性8.1.1典型非線性特性

4自動(dòng)控制原理4.繼電器特性

圖8.4繼電器型非線性特性5自動(dòng)控制原理8.1.2非線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)

由于描述非線性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型為非線性微分方程，疊加原理不再適用，因此非線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)表現(xiàn)出以下特點(diǎn)：

1.穩(wěn)定性分析復(fù)雜

2.自激振蕩(極限環(huán))

3.頻率響應(yīng)發(fā)生畸變

6自動(dòng)控制原理

1.穩(wěn)定性分析復(fù)雜:

線性系統(tǒng)只有一個(gè)平衡狀態(tài)(無外作用且系統(tǒng)輸出的各階導(dǎo)數(shù)等于零)，系統(tǒng)的穩(wěn)定性只與其結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，而與初始條件無關(guān)。對于線性定常系統(tǒng)，穩(wěn)定性僅取決于特征根在s平面的分布。非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性：

a.與系統(tǒng)的初始狀態(tài)有關(guān):在不同的初始條件下，運(yùn)動(dòng)的最終狀態(tài)可能完全不同。如有的系統(tǒng)初始值處于較小區(qū)域內(nèi)時(shí)是穩(wěn)定的，而當(dāng)初始值處于較大區(qū)域內(nèi)時(shí)則變?yōu)椴环€(wěn)定。

b.系統(tǒng)存在多個(gè)平衡狀態(tài)7自動(dòng)控制原理

2.

非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性不僅取決于控制系統(tǒng)的固有結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而且與系統(tǒng)的初始條件以及外加輸入有關(guān)系。例：對于一由非線性微分方程

X=-x(1–x)(8-1).描述的非線性系統(tǒng)，顯然有兩個(gè)平衡點(diǎn)，即x1=0和x2=1。將上式改寫為8自動(dòng)控制原理設(shè)t＝0時(shí)，系統(tǒng)的初態(tài)為x0。積分上式可得(8-2)

x(t)t10

圖8－2一階非線性系統(tǒng)

9自動(dòng)控制原理

3.自激振蕩(極限環(huán)):對線性系統(tǒng)，圍繞其平衡狀態(tài)只有發(fā)散和收斂兩種運(yùn)動(dòng)形式。在非線性系統(tǒng)中，除了從平衡狀態(tài)發(fā)散或收斂于平衡狀態(tài)兩種運(yùn)動(dòng)形式外，往往即使無外作用存在，系統(tǒng)也可能產(chǎn)生具有一定振幅和頻率的穩(wěn)定的等幅振蕩。稱為自激振蕩，簡稱自振蕩。10自動(dòng)控制原理

4.頻率響應(yīng)發(fā)生畸變在線性系統(tǒng)中，輸入為正弦函數(shù)時(shí)，其輸出的穩(wěn)態(tài)分量也是同頻率的正弦函數(shù)，輸入和穩(wěn)態(tài)輸出之間僅在振幅和相位上有所不同，因此可以用頻率響應(yīng)來描述系統(tǒng)的固有特性。非線性系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量在一般情況下并不具有與輸入相同的函數(shù)形式。除了含有與輸入同頻率的正弦信號(hào)分量外，還含有高次諧波分量。11自動(dòng)控制原理非線性環(huán)節(jié)的正弦響應(yīng)y(t)ωty(t)ωty(t)ωtωty(t)12自動(dòng)控制原理8.1.3非線性系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)方法由于非線性系統(tǒng)的復(fù)雜性和特殊性，受數(shù)學(xué)工具限制，一般情況下難以求得非線性微分方程的解析解，通常采用工程上適用的近似方法。

（1）相平面法（2）描述函數(shù)法（3）逆系統(tǒng)法13自動(dòng)控制原理

1.相平面法:

一種圖解分析方法，適用于具有嚴(yán)重非線性特性的一階、二階系統(tǒng)，該方法通過在相平面繪制相軌跡曲線，確定非線性微分方程在不同初始條件下解的運(yùn)動(dòng)形式。

2.描述函數(shù)法:

一種等效線性化的圖解分析方法，該方法對于滿足結(jié)構(gòu)要求的非線性系統(tǒng)，通過諧波線性化，將非線性特性近似為復(fù)變增益環(huán)節(jié)，然后推廣應(yīng)用頻率法，分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性或自激振蕩。14自動(dòng)控制原理

3.逆系統(tǒng)法:

運(yùn)用內(nèi)環(huán)非線性反饋控制，構(gòu)造偽線性系統(tǒng)，以此為基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)外環(huán)控制網(wǎng)絡(luò)，該方法直接應(yīng)用數(shù)學(xué)工具研究非線性控制問題，是非線性系統(tǒng)研究的一個(gè)發(fā)展方向。但是，這些方法主要是解決非線性系統(tǒng)的“分析”問題，且以穩(wěn)定性問題為主展開的。非線性系統(tǒng)的“綜合”方法的研究成果遠(yuǎn)不如穩(wěn)定性問題研究所取得的成果。15自動(dòng)控制原理8.3相平面分析法

相平面法是龐卡萊(H.Poincare)提出來的一種用圖解法求解一階、二階微分方程的方法，它實(shí)質(zhì)上屬于狀態(tài)空間分析法在二維空間中的應(yīng)用，該方法適合于研究給定初始狀態(tài)的二階自由運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)和給定初始狀態(tài)及非周期輸入信號(hào)(如階躍、斜坡或脈沖信號(hào)等)的二階系統(tǒng)

8.3.1相平面的基本概念

8.3.2相平面圖的繪制方法

8.3.3奇點(diǎn)和極限環(huán)

8.3.4相平面分析舉例16自動(dòng)控制原理8.3.1相平面的基本概念

考慮二階線性系統(tǒng)

(8-2)

式中

與是阻尼比和無阻尼自然振蕩頻率。設(shè)系統(tǒng)僅由初始條件激勵(lì)。這一系統(tǒng)的狀態(tài)可以用兩個(gè)變量，和來描述。若令，則方程(8-2)可化為

(8-3)(8-4)

只要給定初始條件、或、，由這兩個(gè)一階聯(lián)立微分方程便可唯一地確定系統(tǒng)的狀態(tài)。如此定義的變量和稱為相變量(或狀態(tài)變量)。圖8.9(a)繪出了初始條件為，在不同阻尼下的時(shí)間響應(yīng)曲線。17自動(dòng)控制原理（a）(b)

圖8.10相平面圖圖8.9時(shí)間響應(yīng)與相軌跡18自動(dòng)控制原理如果以相變量為坐標(biāo)構(gòu)成平面，稱為相平面，則系統(tǒng)在某一時(shí)刻t1的狀態(tài)就成為相平面上的一個(gè)點(diǎn)()。在相平面上，由或以時(shí)間為參變量構(gòu)成的曲線，稱為相軌跡。圖8.9(b)對應(yīng)圖8.9(a)繪出了相應(yīng)的相軌跡。相軌跡上的箭頭表示時(shí)間參量的增大方向。若以一些初始狀態(tài)作為起始點(diǎn)，在相平面上做出一簇相軌跡，稱為系統(tǒng)的相平面圖，如圖8.10所示。圖中用實(shí)線表示了二階線性系統(tǒng)過阻尼時(shí)在三種不同初始條件下的相軌跡，其余用虛線表示了在其它初始條件下的相軌跡，它們共同構(gòu)成一幅相平面圖，它清晰地表明系統(tǒng)在各種初始條件下的運(yùn)動(dòng)過程。

19自動(dòng)控制原理8.3.2相平面圖的繪制方法

設(shè)描述二階系統(tǒng)的微分方程為

(8-5)

是線性函數(shù)或非線性函數(shù)。將式(8-5)化為兩個(gè)一階微分方程

(8-6)

(8-7)

用式(8-6)去除式(8-7)，于是得到一個(gè)以x為自變量，為因變量，不顯含時(shí)間t的一階微分方程

(8-8)

式(8-8)給出了相軌跡通過點(diǎn)()處的切線斜率。根據(jù)此式，用解析法或圖解法即可繪出相平面圖。20自動(dòng)控制原理

1.相平面圖的特點(diǎn)

:相平面圖的對稱性相平面圖往往是關(guān)于原點(diǎn)或坐標(biāo)軸對稱的，故繪制時(shí)可只畫其中的一部分，而另一部分可根據(jù)對稱原理添補(bǔ)上。相平面圖的對稱性可以從相軌跡的斜率來判斷。若相平面圖關(guān)于軸對稱，則相軌跡曲線在和點(diǎn)上的斜率相等，符號(hào)相反。由式(8-8)，應(yīng)有

即是關(guān)于x的奇函數(shù)。

若相平面圖關(guān)于x軸對稱，則相軌跡曲線和的斜率相等，符號(hào)相反，應(yīng)有

即是關(guān)于的偶函數(shù)。

21自動(dòng)控制原理

若相平面圖關(guān)于原點(diǎn)對稱，則相軌跡曲線在和點(diǎn)上的斜率相等，符號(hào)相同，應(yīng)有

即有。22自動(dòng)控制原理

2.繪制相平面圖的解析法

23自動(dòng)控制原理例8-1

二階系統(tǒng)的微分方程為，試?yán)L制系統(tǒng)的相平面圖。

解系統(tǒng)方程可改寫為

(8-10)方程(8-10)可用分離變量法進(jìn)行積分，求得相軌跡方程為

(8-11)式中C為常量，由初始條件確定。設(shè)初始狀態(tài)為，則C=。由方程(8-11)可知，系統(tǒng)相軌跡為一組以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心的橢圓軌跡簇，如圖8.11所示。

圖8.11例8-1的相平面圖24自動(dòng)控制原理思想：先確定相軌跡的等傾線，進(jìn)而繪出相軌跡的切線方向場，然后從實(shí)始條件出發(fā)，沿方向場逐步繪制相軌跡。斜率a取不同常數(shù)，相平面上得到多條等傾線，在等傾線上各點(diǎn)處作斜率為a的短直線，并以箭頭表示切線方向，則構(gòu)成相軌跡的切線方向場。3.繪制相平面圖的圖解法——等傾線法25自動(dòng)控制原理例8-2

試用等傾線法求下列方程的相平面圖。

(8-17)解式(8-17)是非線性微分方程,但可分解為兩個(gè)線性微分方程，(8-18),(8-19)由方程(8-17)可知,而。因此相平面圖對稱于x軸，只需繪制上半平面的相軌跡,再用對稱性確定下半平面的相軌跡。由式(8-18)可得上半平面的等傾線方程：設(shè)，求得等傾線如圖8.13實(shí)線所示，畫出等傾線上的平行短線,作為相軌跡線段的近似。適當(dāng)配置短線并把它們連成曲線即相軌跡曲線，如圖8.13中虛線所示。由于圖形對稱于x軸，所以相軌跡為一組封閉的卵形圓。26自動(dòng)控制原理在任何非零初始條件下，系統(tǒng)將沿相軌跡作周期運(yùn)動(dòng)。圖8.13例8-2相平面圖27自動(dòng)控制原理

相平面圖的特點(diǎn)

:相平面圖上的奇點(diǎn)和普通點(diǎn)

相平面上任一點(diǎn)，只要不同時(shí)滿足和，則由式(8-8)確定的斜率是唯一的，通過該點(diǎn)的相軌跡有且僅有一條，這樣的點(diǎn)稱為普通點(diǎn)。在相平面上，同時(shí)滿足和的點(diǎn)，由于相軌跡的斜率不是一個(gè)確定的值，這樣的點(diǎn)稱為奇點(diǎn)，顯然奇點(diǎn)只分布在相平面的x軸上。經(jīng)過奇點(diǎn)的相軌跡有多條；而經(jīng)過普通點(diǎn)的相軌跡只有一條。在奇點(diǎn)處，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的速度和加速度同時(shí)為零，對二階系統(tǒng)而言，系統(tǒng)不在發(fā)生運(yùn)動(dòng)，處于平衡狀態(tài)。28自動(dòng)控制原理（3）相軌跡通過x軸的斜率

在x軸上，所有點(diǎn)都滿足。除奇點(diǎn)外相軌跡在x軸上的斜率為

所以，除了奇點(diǎn)外，相軌跡和x軸垂直相交。

（4）相軌跡移動(dòng)的方向在相平面的上半平面，由于，則x隨著參變量時(shí)間t的加而增大，所以系統(tǒng)狀態(tài)沿相軌跡由左向右運(yùn)動(dòng)；反之，下半平面，則x隨著時(shí)間t的增加而減小，所以系統(tǒng)態(tài)沿相軌跡由右向左運(yùn)動(dòng)。相軌跡上的箭頭表示系統(tǒng)狀態(tài)沿相軌跡的移動(dòng)方向。29自動(dòng)控制原理8.3.3奇點(diǎn)和極限環(huán)

1.奇點(diǎn)對于二階系統(tǒng)

(8-21)

相軌跡的斜率可表示為

(8-22)

在奇點(diǎn)處，相軌跡的斜率不確定，即同時(shí)滿足

(8-23)

如果把相變量x視為位移，于是和可以理解為速度和加速度。在奇點(diǎn)處，由于系統(tǒng)的速度和加速度均為零，因此奇點(diǎn)就是系統(tǒng)的平衡點(diǎn)。30自動(dòng)控制原理2、線性二階系統(tǒng)奇點(diǎn)的類型線性二階系統(tǒng)的齊次微分方程為：相平面圖是在平面中，繪制隨時(shí)間t變化的軌跡，稱為相軌跡。相軌跡的起點(diǎn)是。奇點(diǎn)是指的點(diǎn)。根據(jù)奇點(diǎn)附近相軌跡的特征，奇點(diǎn)有不同名稱，據(jù)此可判斷系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)。31自動(dòng)控制原理1、無阻尼運(yùn)動(dòng)二階系統(tǒng)的極點(diǎn)分布和相平面圖如下無阻尼運(yùn)動(dòng)時(shí)，二階系統(tǒng)的相平面圖是一族同心橢圓，每個(gè)橢圓代表一個(gè)簡諧運(yùn)動(dòng)。這樣的奇點(diǎn)稱為中心點(diǎn)。32自動(dòng)控制原理2、欠阻尼運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)是衰減振蕩。相軌跡是向心螺旋線，收斂于原點(diǎn)。奇點(diǎn)稱為穩(wěn)定焦點(diǎn)。33自動(dòng)控制原理3、過阻尼運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)是非周期地趨向于原點(diǎn)。相軌跡是趨于原點(diǎn)的拋物線，原點(diǎn)是奇點(diǎn)，稱為穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。34自動(dòng)控制原理4、系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)是發(fā)散振蕩。相軌跡是以原點(diǎn)出發(fā)的螺旋線，原點(diǎn)處的奇點(diǎn)稱為不穩(wěn)定焦點(diǎn)。35自動(dòng)控制原理5、系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是非周期發(fā)散運(yùn)動(dòng)。相軌跡是由原點(diǎn)出發(fā)的發(fā)散型拋物線。原點(diǎn)處的奇點(diǎn)稱為不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。36自動(dòng)控制原理6、是對稱于原點(diǎn)的實(shí)軸系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)是發(fā)散運(yùn)動(dòng)，原點(diǎn)處的奇點(diǎn)稱為鞍點(diǎn)。以上6種奇點(diǎn)，類似的奇點(diǎn)在非線性系統(tǒng)中也常見到。37自動(dòng)控制原理根與相軌跡j0j0j0穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)穩(wěn)定焦點(diǎn)中心不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)不穩(wěn)定焦點(diǎn)鞍點(diǎn)λ1j0λ2j0λ2λ1j0λ1λ238自動(dòng)控制原理奇線：是特殊的相軌跡，將相平面劃分成具有不同運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)的各個(gè)區(qū)域。最常見的奇線是極限環(huán)。極限環(huán)：相平面圖上如果存在一條孤立的封閉相軌跡，而且它附近的其他相軌跡都無限的趨向或離開這個(gè)封閉的相軌跡，則這條封閉相軌跡稱為極限環(huán)。

39自動(dòng)控制原理極限環(huán)：是非線性系統(tǒng)特有現(xiàn)象。極限環(huán)本身作為一條相軌跡，既不存在平衡點(diǎn)，也不趨向無窮遠(yuǎn)，而是一個(gè)無首無尾的環(huán)圈。極限環(huán)把相平面的某個(gè)區(qū)域劃分為內(nèi)部平面和外部平面兩部分，任何一條相軌跡都不能從內(nèi)部穿過極限環(huán)進(jìn)入外部平面；也不能從外部平面進(jìn)入內(nèi)部平面。附近的相軌跡都漸進(jìn)地趨向這條封閉的曲線，或者從這條封閉的曲線離開。任何極限環(huán)的鄰近都不可能有其他的極限環(huán)。‘極限環(huán)產(chǎn)生的原因：由于非線性特性的作用，使得系統(tǒng)能從非周期性的能源中獲取能量，從而維持周期運(yùn)動(dòng)形式。40自動(dòng)控制原理極限環(huán)的種類（根據(jù)極限環(huán)鄰近的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)）穩(wěn)定的極限環(huán)：對狀態(tài)的微小擾動(dòng)具有穩(wěn)定性；穩(wěn)定的極限環(huán)系統(tǒng)沿極限環(huán)的運(yùn)動(dòng)即為自激振蕩。不穩(wěn)定的極限環(huán)：對狀態(tài)的微小擾動(dòng)不具有穩(wěn)定性；狀態(tài)的微小擾動(dòng)都將使得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)偏離閉合曲線，并將永遠(yuǎn)不能回到該閉合曲線；半穩(wěn)定的極限環(huán)41自動(dòng)控制原理42自動(dòng)控制原理2．極限環(huán)

（1）穩(wěn)定極限環(huán)（2）不穩(wěn)定極限環(huán)（3）半穩(wěn)定極限環(huán)圖8.16極限環(huán)示意圖一般情況下，極限環(huán)使系統(tǒng)性能變壞，或是產(chǎn)生自激振蕩，或是穩(wěn)定范圍減小。在系統(tǒng)設(shè)計(jì)中應(yīng)避免產(chǎn)生極限環(huán)。若極限環(huán)不可避免，則應(yīng)盡可能使穩(wěn)定極限環(huán)縮小，使自激振蕩的幅度在允許范圍之內(nèi)；或者應(yīng)盡可能使不穩(wěn)定極限環(huán)加大，以擴(kuò)大系統(tǒng)穩(wěn)定范圍。在某些特殊情況下，可以利用系統(tǒng)的自激振蕩(信號(hào)發(fā)生器)產(chǎn)生周期性運(yùn)動(dòng)。43自動(dòng)控制原理解由求得系統(tǒng)的奇點(diǎn)為根據(jù)式(8.25)在奇點(diǎn)處進(jìn)行線性化來確定奇點(diǎn)的性質(zhì)。在(xi,0)奇點(diǎn)附近，系統(tǒng)的線性化方程為

在奇點(diǎn)(0，0)處，xi=x1=0，則系統(tǒng)的線性化方程為式中阻尼比0＜

＜1，因此奇點(diǎn)(0，0)為穩(wěn)定焦點(diǎn)。在奇點(diǎn)(-2，0)處，xi=x2=-2，代入前式得線性化方程為由奇點(diǎn)類型可知，奇點(diǎn)(-2，0)為鞍點(diǎn)，是不穩(wěn)定奇點(diǎn)。例8-3某系統(tǒng)方程如下，試分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性44自動(dòng)控制原理利用等傾線法可求得相平面圖，如圖8.17所示。可以看到通過鞍點(diǎn)的一條分界線，把相平面分為兩個(gè)區(qū)域。在陰影區(qū)域內(nèi)，所有相軌跡都收斂于穩(wěn)定焦點(diǎn)(0，0)，是穩(wěn)定區(qū)域。在此范圍外，則所有相軌跡都將趨于無窮，是不穩(wěn)定區(qū)域。這證實(shí)了非線性系統(tǒng)的重要特點(diǎn)：系統(tǒng)的穩(wěn)定性與初始條件有關(guān)。圖8.17例8-3的相平面圖45自動(dòng)控制原理含有分段線性的非線性系統(tǒng)由于不滿足解析條件，不能采用小擾動(dòng)線性化，根據(jù)分段特性，將相平面分成若干區(qū)域，使非線性微分方程在各個(gè)區(qū)域表現(xiàn)為線性微分方程，再應(yīng)用線性系統(tǒng)的相平面法分析。8.3.4非線性系統(tǒng)的相平面分析相平面區(qū)域的分界線，稱為開關(guān)線。（非線性特性的轉(zhuǎn)折點(diǎn)）46自動(dòng)控制原理8.3.4相平面分析舉例1.繼電型控制系統(tǒng)的分析:（1）理想繼電器特性

圖8.18理想繼電器型非線性系統(tǒng)設(shè)繼電型控制系統(tǒng)如圖8.18(a)所示,試分析在階躍信號(hào)作用下系統(tǒng)的性能。繼電型特性為：當(dāng)e＞0時(shí)，m=M；當(dāng)e＜0時(shí)，m=-M。因此開關(guān)線為直線e=0。它把相平面分成兩個(gè)線性區(qū)域Ⅰ區(qū)、Ⅱ區(qū)。如圖8.18(b)所示。在階躍輸入r(t)=1(t)作用下，根據(jù)e=r-c及線性部分的傳遞函數(shù)K/[s(Ts+1)]可求得各線性區(qū)內(nèi)系統(tǒng)的微分方程。47自動(dòng)控制原理在區(qū)域Ⅰ內(nèi)，e＞0，m=M，系統(tǒng)方程為

(8-26)

由(8-26)式可得等傾線方程

等傾線是平行于e軸的直線，其中有一條特殊的等傾線，即當(dāng)a=0時(shí)的等傾線，此時(shí)，相軌跡的斜率與相應(yīng)的等傾線斜率相等，全部相軌跡曲線都趨近于該直線。相軌跡曲線簇Ⅰ如圖8.18(b)右半平面所示。

在區(qū)域Ⅱ內(nèi)，e＜0，m=-M，系統(tǒng)方程為

(8-27)

比較方程(8-26)、(8-27)可知，其相平面圖對稱于原點(diǎn)。利用對稱性求得相軌跡曲線簇Ⅱ如圖8.18(b)左半面所示。48自動(dòng)控制原理

在階躍輸入作用下，系統(tǒng)狀態(tài)運(yùn)動(dòng)軌跡如圖8.18(b)中實(shí)線所示。在區(qū)域Ⅰ內(nèi)，系統(tǒng)由初始點(diǎn)A0沿相軌跡曲線Ⅰ運(yùn)動(dòng)到分界線上的銜接點(diǎn)A1，再沿以點(diǎn)A1為起點(diǎn)的相軌跡曲線Ⅱ移動(dòng)到分界線上的A2點(diǎn)，然后再進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅰ。經(jīng)過幾次往返運(yùn)動(dòng)，逐漸收斂于原點(diǎn)。

49自動(dòng)控制原理(3)死區(qū)繼電特性:圖:8.18所示的非線性系統(tǒng)中，若繼電元件具有如圖8.20(a)所示的死區(qū)特性，則可用以下方程描述當(dāng)e＞

，m=+M

當(dāng)e＜-，m=-M

當(dāng)-＜e＜

，m=0

分界線為e=+和e=-，它們將相平面分為三個(gè)區(qū)域，如圖8.20(b)所示。在區(qū)域Ⅰ、Ⅱ中，系統(tǒng)方程分別用式(8-26)、(8-27)描述，相軌跡分別為曲線族Ⅰ、Ⅱ。在區(qū)域Ⅲ中，m=0，系統(tǒng)的誤差方程為可求得相軌跡的斜率為常數(shù)，即其相軌跡是一組斜率為的直線。由上式還可得到：當(dāng)時(shí),必有。因此在區(qū)域Ⅲ內(nèi)，直線上所有點(diǎn)都是奇點(diǎn)(又稱奇線或平衡線)。系統(tǒng)的相平面圖如8.20(b)所示。由圖可知系統(tǒng)可能穩(wěn)定在奇線上任一點(diǎn)。50自動(dòng)控制原理

為了縮短調(diào)節(jié)時(shí)間，減少振蕩次數(shù)，繼電控制系統(tǒng)可采用速度反饋校正，如圖8.21(a)所示。繼電元件的輸入信號(hào)為，當(dāng)系統(tǒng)在階躍信號(hào)r(t)=1(t)作用下，由e=r-c可得繼電元件輸入信號(hào)，因此當(dāng)則當(dāng)則分界線由方程確定，這是一條通過原點(diǎn)，斜率為-1/Kt的直線。它將相平面分為Ⅰ、Ⅱ兩個(gè)區(qū)域，分別由方程(8-26)、(8-27)描述。圖8.21(b)中給出了分界線及其相軌跡曲線Ⅰ、Ⅱ。51自動(dòng)控制原理圖8.21繼電型非線性系統(tǒng)的速度反饋校正52自動(dòng)控制原理8.4描述函數(shù)分析法相平面法適用于一階或二階非線性系統(tǒng)的分析，但對于高于二階的系統(tǒng)，需要討論變量空間中的曲面結(jié)構(gòu)，從而大大增加了工程使用的困難。描述函數(shù)法是一種近似方法，相當(dāng)于線性理論中頻率法的推廣。描述函數(shù)法不受系統(tǒng)階次的限制，且所得結(jié)果也比較符合實(shí)際，故在非線性系統(tǒng)分析中得到了廣泛的應(yīng)用。8.4.1

描述函數(shù)的基本概念8.4.2

典型非線性特性的描述函數(shù)8.4.3

用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)53自動(dòng)控制原理

描述函數(shù)法的基本原理：當(dāng)系統(tǒng)滿足一定條件時(shí)，系統(tǒng)中非線性環(huán)節(jié)在正弦信號(hào)作用下的輸出可用一次諧波分量來近似，由此導(dǎo)出非線性環(huán)節(jié)的近似等效頻率特性，表達(dá)形式上類似于線性理論中的幅相頻率特性。

1.諧波線性化

系統(tǒng)中常見的非線性特性，當(dāng)輸入為正弦函數(shù)時(shí)，其輸出一般為同周期的非正弦函數(shù)。例如對理想繼電特性加以正弦輸入信號(hào)，則輸出y(t)為與輸入同周期的方波，見圖8.30。圖8.30理想繼電特性在正弦輸入時(shí)的輸出波形

8.4.1描述函數(shù)的基本概念54自動(dòng)控制原理將輸出信號(hào)用傅里葉級(jí)數(shù)表示，即為設(shè)非線性環(huán)節(jié)描述為非線性特性的輸入信號(hào)為如圖8.30方波輸出信號(hào)可以表示為傅氏級(jí)數(shù)形式式中若非線性特性具有奇對稱特性，則A0=0，如果略去輸出高次諧波分量，僅以基波分量近似地代替整個(gè)輸出，則有55自動(dòng)控制原理式中2．描述函數(shù)非線性特性在進(jìn)行諧波線性化后，參照幅相頻率特性的定義，建立非線性特性的等效幅相特性，即描述函數(shù)。把非線性元件輸出信號(hào)y(t)中的一次諧波分量y1(t)與正弦輸入信號(hào)x(t)的復(fù)數(shù)比，稱為非線性元件的描述函數(shù)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為式中A為非線性元件正弦輸入信號(hào)的振幅為非線性元件輸出信號(hào)中一次諧波分量的振幅；為非線性元件輸出信號(hào)中一次諧波分量的相位移。56自動(dòng)控制原理8.4.2典型非線性特性的描述函數(shù)1.飽和特性飽和特性以及它對正弦輸入的輸出波形如圖8.31(8-46)圖8.31飽和非線性及其輸入、輸出波形57自動(dòng)控制原理飽和特性的描述函數(shù)為(8-48)2.死區(qū)特性死區(qū)特性以及它對正弦輸入的輸出波形如圖8.32所示于是死區(qū)特性的描述函數(shù)為(8-49)

(8-51)58自動(dòng)控制原理圖8.32死區(qū)非線性及其輸入、輸出波形59自動(dòng)控制原理于是間隙特性描述函數(shù)為(8-53)

(8-54)

3.間隙特性間隙特性以及它對正弦輸入的輸出波形如圖8.33所示

60自動(dòng)控制原理圖8.33間隙非線性及其輸入、輸出波形

61自動(dòng)控制原理(8-55)式中4.繼電器特性

（1）具有死區(qū)和滯環(huán)的繼電器其輸出量y(t)的方程為具有死區(qū)和滯環(huán)的繼電器特性以及它對正弦輸入的輸出波形如圖8.34所示。62自動(dòng)控制原理圖8.34具有死區(qū)和滯環(huán)的繼電特性及其輸入、輸出波形63自動(dòng)控制原理于是，具有死區(qū)和滯環(huán)繼電器的描述函數(shù)為(8-56)（2）雙位繼電器

雙位繼電器非線性的描述函數(shù)

(8-57)

圖8.35雙位繼電器非線性

64自動(dòng)控制原理（4）具有滯環(huán)的繼電器

三位繼電器特性的描述函數(shù)

(8-58)

圖8.36三位繼電器非線性

具有滯環(huán)繼電器非線性的描述函數(shù)(8-59)

圖8.37滯環(huán)繼電器非線性（3）三位繼電器65自動(dòng)控制原理8.4.3用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)1.描述函數(shù)法的應(yīng)用條件（1）非線性系統(tǒng)能簡化成一個(gè)非線性環(huán)節(jié)和一個(gè)線性部分且閉環(huán)連接的典型結(jié)構(gòu)形式，如圖8.38所示，其中G(s)代表系統(tǒng)的線性部分。圖8.38非線性控制系統(tǒng)（2）非線性環(huán)節(jié)輸入輸出特性y(x)應(yīng)是x的奇函數(shù)，即以保證非線性環(huán)節(jié)的正弦響應(yīng)不含有常值分量，即

（3）系統(tǒng)的線性部分應(yīng)具有較好的低通濾波性能。當(dāng)非線性環(huán)節(jié)的輸入為正弦信號(hào)時(shí)，實(shí)際輸出必定含有高次諧波分量，但經(jīng)線性部分傳遞之后，由于低通濾波的作用，高次諧波分量將被大大削弱，從而保證描述函數(shù)法所分析的結(jié)果比較準(zhǔn)確。66自動(dòng)控制原理

非線性系統(tǒng)經(jīng)過簡化后，具有圖8.38所示的典型結(jié)構(gòu)形式，且非線性環(huán)節(jié)與線性部分滿足描述函數(shù)法的應(yīng)用條件，則非線性系統(tǒng)經(jīng)過諧波線性化后變成一個(gè)等效的線性系統(tǒng)，可以應(yīng)用線性系統(tǒng)理論中的頻域穩(wěn)定判據(jù)來分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性

當(dāng)非線性特性采用描述函數(shù)近似等效時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為1+N(A)G(jw)=0或N(A)G(jw

)=-1(8-60)即G(jw

)=-1/N(A)(8-61)-1/N(A)稱為非線性環(huán)節(jié)的負(fù)倒描述函數(shù)。由線性控制系統(tǒng)理論知，線性系統(tǒng)的特征方程為G(jw

)=-1(8-62)

根據(jù)復(fù)平面內(nèi)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G(jw

)曲線與臨界點(diǎn)(-1，j0)的相對位置，應(yīng)用奈奎斯特(Nyquist)穩(wěn)定判據(jù)，可以分析線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。將方程(8-61)與(8-62)對照，顯然可以把奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)，推廣應(yīng)用于諧波線性化的非線性系統(tǒng)，需要修改的僅僅是將復(fù)平面內(nèi)的臨界點(diǎn)(-1，j0)擴(kuò)展為臨界曲線，即-1/N(A)曲線。根據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)，如果-1/N(A)曲線不被G(jw

)曲線包圍(8.39(a))則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

2.非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

67自動(dòng)控制原理如果-1/N(A)曲線被G(jw

)曲線全部包圍(圖8.39(b))，則系統(tǒng)狀態(tài)在干擾作用下，不能回到平衡狀態(tài)，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。如果-1/N(A)曲線與線性部分頻率特性G(jw

)曲線相交(圖8.39(c))，交點(diǎn)處的參數(shù)，即振幅Ai和頻率wi使方程(8-60)或(8-61)成立，非線性系統(tǒng)可能產(chǎn)生的自激振蕩.圖8.39非線性系統(tǒng)零平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性3．描述函數(shù)分析舉例

例8-4

雙位繼電器非線性系統(tǒng)（圖8.40）線性部分的傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的參考輸入r(t)=0，系統(tǒng)開始處于靜止?fàn)顟B(tài)。(1)分析非線性系統(tǒng)零平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性和自激振蕩的穩(wěn)定性；68自動(dòng)控制原理(2)如果系統(tǒng)產(chǎn)生自激振蕩，確定自激振蕩的參數(shù)A和w。

解由式(8-57)求得-1/N(A)曲線在復(fù)平面內(nèi)與負(fù)實(shí)軸重合。線性部分的頻率特性G(jw

)為(8-63)