第二章控制系統的數學

描述方法本章主要內容與重點控制系統的時域數學模型控制系統的微分方程非線性微分方程的線性化拉氏變換及其應用傳遞函數動態結構圖一般反饋控制系統相似原理

本章主要內容本章重點

本章介紹了建立控制系統數學模型和簡化的相關知識。包括線性定常系統微分方程的建立、非線性系統的線性化方法、傳遞函數概念與應用、方框圖及其等效變換、梅遜公式的應用等。

通過本章學習，應著重了解控制系統數學模型的基本知識，熟練掌握建立線性定常系統微分方程的建立、傳遞函數的概念和應用知識、控制系統方框圖的構成和等效變換方法、典型閉環控制系統的傳遞函數的基本概念和梅遜公式的應用。2-1

控制系統的時域數學模型

在討論控制系統的分析和設計時，首先要采用適當的描述方法來描述它。常用的方法是數學描述，即數學模型。1、何為控制系統的數學模型?控制系統的數學模型是描述系統內部物理量（或變量）之間的數學表達式。

數學模型具有簡捷、方便、通用等許多優點，因而得到了廣泛的應用。2、靜態（數學）模型和動態（數學)模型

在靜態條件下（即變量各階導數為零），描述變量之間關系的代數方程(組)叫靜態（數學）模型。描述變量各階導數之間關系的微分方程(組)叫動態（數學）模型。3、控制系統運動的描述控制系統的運動，就是對系統施加控制（即輸入控制信號）,從而得到系統輸出量（即受控量）隨時間的變化規律（即輸出響應信號）。由于一般物理系統可以表現為描述其因果關系的微分方程。因此，控制系統運動的數學描述，就是在給定輸入信號和初始條件下，求解微分方程而得到的微分方程的解。4、建立數學模型的方法解析法－依據描述系統運動規律的運動定律來得到微分方程的方法。實驗法－基于系統輸入輸出的實驗數據來建立數學模型的方法。5、數學模型的形式時域模型：微分方程、差分方程和狀態方程。復域模型：傳遞函數、結構圖頻域模型：頻率特性6、本章涉及的數學模型用解析法描述的SISO線性定常系統的微分方程、傳遞函數和動態結構圖。2－2控制系統的微分方程1、控制系統運動規律的微分方程或者

就是采用線性常系數微分方程來描述的控制系統的運動規律（即系統為線性定常系統）。2、線性定常系統的特征（1）線性可加性如果x1(t)y1(t)x2(t)y2(t)則a·x1(t)+b·x2(t)a·y1(t)+b·y2(t)(2)參數定常性系統參數或元件均為常數(對應于上式中各參數ai,bj均為常數)。3、建模出發點根據物理系統的運動規律列寫微分方程。理想元件的微分方程描述2－2－1電學系統建模約束1、元件約束電阻R、電容C和電感L，它們的V-I關系必須遵循廣義歐姆定律。2、網絡約束電網絡的基本約束為基爾霍夫的兩個定律。（1）基爾霍夫電壓定律（2）基爾霍夫電流定律(關聯參考方向)例2-1(P13)寫出以ui為輸入，u0為輸出的微分方程。解：由回路電壓定律有即將代入上式,有令時間常數則有可簡寫為

例2-2(P14)寫出以ui為輸入，u0為輸出的微分方程。對于回路L1，有解：對于回路L2，有元件約束為化簡，可得設時間常數可簡寫為2-1-2力學系統

基本約束----牛頓定律

1、機械平移運動

例2-3（P15）列出以Fi為輸入，x為輸出的運動方程。由加速度定律解：和力為k-彈性系數；f-阻尼系數；m-物體質量其中彈性阻力粘滯阻力代入方程有整理得

2、機械旋轉運動

例2-4(P15)列出系統運動方程。解：由角加速度方程

其中，J--轉動慣量，ω--旋轉角速度，ΣM--和力矩，得其中，Mf--作用力矩；fω--阻力力矩，其大小與轉速成正比，負號表示方向與作用力矩方向相反。

整理后，得如果以轉角θ為輸出變量，因為將它代入方程，得

2-1-3復合系統例2-5（P16)已知直流電動機，定子與轉子的電磁關系如圖2-6所示，機電系統原理如圖2-7所示，試寫出其運動方程。解：這是一個復合系統。依次寫出各平衡方程如下。1.電網絡平衡方程2.電動勢平衡方程3.機械平衡方程4.轉矩平衡方程

聯立上述四個方程，略去ML，并消去中間變量Ia、Ea、Ma，得到輸入為電樞電壓Ua,輸出為轉軸角速度的二階微分方程

當La很小時，將其略去，得到一階微分方程

控制系統微分方程的列寫步驟：

（1）根據組成系統各子系統的工作原理及其在控制系統中的作用，確立各自的輸入量與輸出量。

（2）列出各子系統滿足的輸入－輸出關系的微分方程組（輸入、輸出變量總數比方程個數大1）。

（3）消去中間變量，得到系統輸出量與輸入量之間關系的微分方程（即系統的數學模型）。一般情況下，應將微分方程寫成標準形式，即與輸入量有關的項寫在方程的右端，與輸出量有關的項寫在方程的左端，方程兩端變量的導數項均按求導階次的降冪排列。線性、定常、集總參數控制系統的微分方程線性元件的微分方程電氣元件組成的系統（電路系統）列寫系統運動方程前，要先確定輸入變量、輸出變量LCR機電系統微分方程：電樞電壓控制直流電動機SM負載電樞回路電壓平衡方程電磁轉矩方程電動機軸上轉矩平衡方程若以角速度為輸出量、電樞電壓為輸入量，消去中間變量，直流電動機的微分方程為當電樞回路的電感可以忽略不計若電樞回路電阻和電動機的轉動慣量都很小，可忽略不計，則上式可進一步簡化彈簧-質量-阻尼器（S-M-D）機械位移系統求質量m在外力F的作用下，質量m的位移x的運動。設系統已處于平衡狀態，相對于初始狀態的位移、速度、加速度m齒輪系的運動方程J1J2基本關系式齒輪1和齒輪2的運動方程（1）以齒輪1的角速度為輸出，外部為輸入（2）以齒輪2的角速度

為輸出，外部為輸入控制系統微分方程的建立基本步驟：（1）由系統原理圖畫出系統方框圖或直接確定系統中各個基本部件（元件）（2）列寫各方框圖的輸入輸出之間的微分方程，要注意前后連接的兩個元件中，后級元件對前級元件的負載效應（3）消去中間變量速度控制系統的微分方程-k2SM負載-k1TG系統輸出系統輸入參考量控制系統的主要部件（元件）：給定電位器、運放1、運放2、功率放大器、直流電動機、減速器、測速發電機運放1運放2功放直流電動機減速器（齒輪系）測速發電機消去中間變量*比較R-L-C電路運動方程與M-S-D機械系統運動方程相似系統：揭示了不同物理現象之間的相似關系線性系統的性質：具有可疊加性、均勻性（齊次性）線性定常微分方程求解方法直接求解法：通解+特解自由解+強迫解（零輸入響應+零狀態響應）變換域求解法：Laplace變換方法2-3非線性微分方程的線性化

1、從嚴格意義上講，絕大多數控制系統的數學模型都不是線性模型（即系統并非是線性系統），不能用（2－1）式或（2－2）式表示。事實上，任何一個元件總是存在一定程度的非線性。即使假設具有線性的特性，也是局限在一定的范圍內。

例：圖2-8(P18)為鐵磁材料的飽和特性。當激磁電流I較小時，磁場密度B隨著I線性增加。但當I較大時，B的增長率越來越小，呈現明顯的飽和非線性。2、兩類非線性系統（1）具有連續變化的非線性系統動態：y(n)=f(t;y,y(1),…,y(n),x,x(1),…,x(m))靜態：y=f(x)要求f連續，可導。(2)本質非線性系統f2(t;y;…y(n-1);x,…,x(m))條件2

動態：f1(t;y;…y(n-1);x,…,x(m))條件1y(n)=

靜態：f1(x)條件1y=f2(x)條件2

只有第(1)類非線性系統可以進行線性化3、非線性系統線性化步驟

實際的物理元件都存在一定的非線性，例如彈簧系數是位移的函數電阻、電容、電感與工作環境、工作電流有關電動本身的摩擦、死區(1)確定輸入-輸出關系中的函數關系y(x)或其中非線性項的函數關系。(2)在工作點x0鄰域將y(x)展開成泰勒級數小偏差線性化法

設連續變化的非線性函數平衡狀態A為工作點在平衡狀態點運用臺勞級數展開為略去二階以上的高次項，得到(3)當△x=x-x0很小時，△y=y(x)-y(x0)很小，有增量表達式其中，

(4)將增量以普通變量表示，得到線性化方程

例2-6(P18)三相全橋整流調速裝置如圖2-9所示，輸入量為控制角。輸出量為整流電壓UD，試建立其線性化模型。(為靜態關系的線性化)解由功率電子技術可知，整流電為靜態關系的線性化特性曲線如圖2-10所示，為非線性關系。UD與之間的關系為設工作點為增量式為其中從而有例2-7(P19)已知單擺系統的運動如圖2—11所示。(1)寫出運動方程，(2)求取線性化方程。(為動態關系的線性化)解

單擺系統的運動如圖2-11所示。其運動方程為

方程中的零次導數項為非線性項，即

在鄰域其泰勒級數展開式為忽略二階以上的高次項，其線性關系為線性化系數k=1。進而，有代入原方程，得到線性化方程為

其線性化關系如圖2-12（P20)所示。

需要注意的是，在不同的工作點鄰域，可以得到不同的線性化方程。例如，在鄰域，有線性關系，相應的線性化系數k=-1，從而線性化方程為4、注意事項（1）第(2)類非線性系統不可線性化。（2）多變量情況處理類似。（3）工作點不同，所得線性化方程的線性化系數不同，即線性化方程不同。（4）非線性系統的線性化方程只在工作點附近才成立。具有兩個自變量的非線性函數的線性化

對于具有兩個自變量的非線性函數可以在工作點（x10,x20)鄰域展開成泰勒級數

寫出增量式為當和很小時，略去二階以上的高次項，并以K1、K2表示，得到其中于是，線性化方程為2-4拉氏變換及其應用2-4-1拉氏變換的定義

對于時域函數f(t)，只要滿足相應的收斂條件，其拉氏變換(Laplace變換)的常規定義為

其中，f(t)---變換原函數；F(s)---變換象函數：復變函數；s---復變量：s=σ+jω。拉氏變換有其逆運算，稱為拉氏反變換，表示為其中，積分圍線c為由s=σ-j∞到s=σ+j∞的閉曲線。

鑒于工程上常常需要處理在t=0處不連續的函數甚至具有更復雜性質的函數，控制理論中常常把拉氏變換的定義修改成

對于在t=0處連續，即滿足f(0+)=f(0-)的函數來說，這樣定義與常規定義并無區別。而采用修改后的定義可以使微分方程的求解過程大大地簡化。2-4-2常用信號的拉氏變換

控制系統分析中常常需要采用一些典型的時域輸入信號，我們來求它們的拉氏變換。1、單位脈沖信號且

理想單位脈沖信號的數學表達式為拉氏變換為今后，我們將采用修改后的拉氏變換定義。

說明：

單位脈沖函數可以通過極限方法得到。設單個方波脈沖如圖所示。

脈沖的寬度為a，高度為1/a，面積為1。當保持面積不變，寬度a--->0,高度1/a--->∞，則單個方波脈沖演變成理想的單位脈沖。f(t)1/aa0t(t)t0

2、單位階躍信號f(t)10t顯然,有拉氏變換為簡寫為單位階躍信號的數學表達式為

3、單位斜坡信號簡寫為0f(t)t單位斜坡信號的數學表達式為利用分部積分公式(見P22),可求得拉氏變換為

4、指數信號tf(t)10

指數信號的數學表達式為拉氏變換為

5、正弦、余弦信號

正弦、余弦信號的拉氏變換可以利用指數信號的拉氏變換求得。由復指數函數的拉氏變換，有因為由尤拉公式分別取上式的實部和虛部，可得正弦信號的拉氏變換為有余弦信號的拉氏變換為2-4-3拉氏變換的一些基本定理

1、線性定理則

若

2、延遲定理則信號f(t)與它在時間軸上的平移信號f(t-T)的關系示意圖ttf(t)f(t-)00

若

該定理說明，在時間域的平移變換在復數域有對應的衰減變換。

例2-8(P24)求如圖所示周期鋸齒波信號的拉氏變換。解：f(t)t0T該信號為周期信號。若已知信號第一周期的拉氏變換為F1(s)，則應用延遲定理，有鋸齒波信號第一周期的拉氏變換為所以，周期鋸齒波信號的拉氏變換為

3、衰減定理則若

該定理說明，時間信號f(t)在時間域的指數衰減，其拉氏變換在復數域有對應的坐標平移。解：因為所以

例2-9（P25）試求時間函數的拉氏變換。

4、微分定理且f(t)的各階導數存在，則f(t)各階導數的拉氏變換為……

若

則……當所有的初值均為零時，即

5、積分定理

積分定理與微分定理互為逆定理。則

若

6、初值定理即時域函數的初值，可以由變換域求得。且f(0+)存在，則

若

7、終值定理且f(∞)存在，則若即時域函數的終值，也可以由變換域求得。

8、卷積定理時域函數的卷積分為

則若

為何要將時域函數f(t)轉換成復變函數F(s)？－－時域中超越函數在變換域中是有理函數（見表2-1（P23））。－－可以簡化計算，如卷積分轉變成相乘運算。

兩個優點：常用拉氏變換的基本定理見表2-2(P28)。2-4-4拉氏反變換

將復變函數F(s)變換為原時域函數f(t)的運算是拉氏變換的逆運算，稱為拉氏反變換，公式為

這是復變函數的積分，計算復雜，極少采用。常用方法----部分分式法。理由：工程中常見的時域信號f(t)的拉氏變換F(s)都是s的有理函數。因此，可以將F(s)分解成一系有理分式Fi(s)之和，再利用拉氏變換表求出所有的fi(t)=L-1[Fi(s)]，即可合成時域函數f(t)(根據拉氏變換的線性變換定理)。過程：其中，B(s)----分子多項式；A(s)----分母多項式；a0,a1,…an-1;b0,b1,…bm----常系數，n≥m。設拉氏變換F(s)為s的有理分式，即

求出分母多項式對應A(s)=0的根si(i=1,2,…n）（稱之為極點）。于是，有從而可得拉氏反變換為計算情況：

（1）A(s)＝0全部為單根為復變函數F(s)對于極點s=si的留數。拉氏反變換為其中

F(s)可分解成

例2-10(P29)已知：求拉氏反變換。解：F(s)可分解成其中于是

(2)A(s)=0有重根其中，與單根s1相對應的系數C1求法同前;與重根s2相對應的各項系數計算公式如下……

以只有一個單根為例，即s1為單根，s2為(n-1)重根，則F(s)可分解為因為所以，拉氏反變換為

例2-11(P30)已知：求拉氏反變換。解：F(s)可分解為解得于是，有從而

(3)A(s)=0有共軛復數根

當存在共軛復數根時，可以將共軛復數根當作單根(互不相同)來看待。但分解計算時，涉及到復數運算，太繁瑣，可以利用如下變換對來簡化計算。

例2-12(P31)已知：求拉氏反變換。解：F(s)可分解為而于是，有2-4-5拉氏變換法求解微分方程

列出控制系統的微分方程之后，就可以求解該微分方程，利用微分方程的解來分析系統的運動規律。微分方程可以采用數學分析的方法來求解，也可以采用拉氏變換法來求解。采用拉氏變換法求解微分方程是帶初值進行運算的，許多情況下應用更為方便。拉氏變換法求解微分方程步驟如下：

（1）方程兩邊作拉氏變換。（2）將給定的初始條件與輸入信號代入方程。

（3）寫出輸出量的拉氏變換。

（4）作拉氏反變換求出系統輸出的時間解。

例2-13(P31)RC濾波電路如圖所示，輸入電壓ui(t)=5V，試求：當電容初始電壓uc(0)分別為0V和1V時的時間解uc(t)。解：RC電路的微分方程為R=10kui=5VucC=10方程兩邊作拉氏變換由拉氏變換的線性定理，有由拉氏變換的微分定理，得將R=10k,C=10,Ui(s)=5/s代入，整理得于是，輸出的拉氏變換為

（1）uc(0)=0V時

（2）uc(0)=1V時uc(t)5V1V00.1t兩種初值時系統的時間響應解：方程兩邊作拉氏變換，得

例2-14(P32)已知微分方程輸入信號,初始條件為,求y(t)。代入初值，得作拉氏反變換，得2-5傳遞函數

1、傳遞函數是在變換域中描述系統的一種數學模型。它是以參數來表示系統結構的，故又稱為系統的參數模型。

2、傳遞函數是基于拉氏變換得到的，可以簡化計算。2-5-1傳遞函數的定義且有，n>=m。令所有的初始條件全為零，即

設描述線性定常系統的微分方程為對方程兩邊作拉氏變換，得從而，輸出信號的拉氏變換Y(s)與輸入信號的拉氏變換U(s)比為于是，輸出信號的拉氏變換Y(s)為

控制系統傳遞函數的定義：

在零初始條件下，輸出信號的拉氏變換與輸入信號的拉氏變換之比，表示為

在該定義下，系統的輸出可以表示為變換域中傳遞函數與控制輸入的乘積，即2-5-2傳遞函數的性質

1、傳遞函數只適用于線性定常系統

2、傳遞函數是在零初始條件下定義的

(2-96)式表示系統內部無能量儲存條件下的系統描述。如果不是這樣，則會產生系統在非零初始條件下的疊加項，即

例2-15(P34)RLC網絡如圖所示：

（2）當時,寫出輸出響應。解：（1）系統的微分方程為RLCuiuc

（1）求傳遞函數。令所有初值為零，對方程兩邊作拉氏變換，有得到系統的傳遞函數為

（2)當時，將微分方程兩邊帶初值作拉氏變換，有整理得即輸出響應的拉氏變換為式中為非零初始條件下的疊加項。例試求：電樞控制直流電動機的傳遞函數根據線性疊加原理，分別研究到和到的傳遞函數傳遞函數的性質（1）因果系統的傳遞函數是s的有理真分式函數，具有復變函數的性質。（2）傳遞函數取決于系統或元件的結構和參數，與輸入信號的形式無關。G(s)（3）傳遞函數與微分方程可相互轉換。（4）傳遞函數的Laplace反變換是系統的脈沖響應

3、傳遞函數可以有量綱

物理單位由輸入、輸出的物理量的量綱確定。例如：

力學系統---[米]/[牛](作用力產生位移的剛度系數);電學系統---[安]/[伏](復數導納，電壓引起電流響應)。

4、傳遞函數表示的關系

傳遞函數只反映系統端口之間的關系，不明顯表示系統內部部件的信息。

（1）同一個物理系統，由于描述不同端口之間的關系，其傳遞函數可能不同。

（2）不同的物理系統，其傳遞函數可能相同。解：由例2-15已得及

例2-16(P35)對于如圖所示RLC網絡，試求和，并比較它們有何不同。RLCuiuc由系統的微分方程在初始條件為零的情況下，合并上面兩個方程，可得

兩個傳遞函數的分母多項式是相同的，而分子多項式是不同的。

5、傳遞函數是描述線性定常系統的參數模型其中，K---系統的傳遞增益(或傳遞系數）；s=zj,j=1,2,…,m---分子多項式對應方程的根，稱之為系統的零點；s=pi,i=1,2,…,n---分母多項式對應方程的根，稱之為系統的極點。

可以將有理分式表示的傳遞函數表示為

6、傳遞函數的信息關系

(1)確定了輸入信號U(s)與輸出信號Y(s)之間的傳遞關系信息。

(2)確定了系統的固有特性信息(由分母多項式描述)。

(3)確定了系統與外界聯系方式信息(由分子多項式表示)。

例2-17(P36)給定兩個動力學系統如圖所示，分別寫出傳遞函數，并比較兩個系統的不同之處。解：系統1的微分方程為傳遞函數為系統2的微分方程為傳遞函數為

兩個系統的傳遞函數的分母多項式是相同的，因此，兩個系統的固有特性是相同的。而分子多項式是不同的，因此，兩個系統與外界聯系的作用特性是不同的。從輸入信號的物理意義上看，系統1的作用函數是直接作用于質量m的作用力F(t)；而系統2的作用函數是位移量x(t)，位移量x(t)經過阻尼器f1和彈簧k的作用，間接產生作用力作用于質量m。顯然，兩個系統與外界的作用是不同的。2-5-3傳遞函數的零點與極點z1z2稱為傳遞系數或根軌跡系數傳遞函數寫成因子連乘積的形式稱為傳遞系數或增益或放大系數傳遞函數的極點就是微分方程的特征根，極點決定了系統自由運動的模態，而且在強迫運動中也會包含這些自由運動的模態。2-5-4傳遞函數極點和零點對輸出的影響自由運動的模態輸入函數零狀態響應前兩項具有與輸入函數相同的模態后兩項由極點決定的自由運動模態，其系數與輸入函數有關傳遞函數的零點影響各模態在響應中所占的比重，例如輸入信號，零狀態響應分別為各個模態在兩個系統輸出響應中所占的比重不同，取決于零點相對于極點的距離。例如：z1z22-5-5控制系統的傳遞函數

1、復數阻抗

對于電學系統，其基本線性元件有三種：電阻R、電容C和電感L。在時域中，它們的V-I關系滿足廣義的歐姆定律。在變換域中，它們的V-I關系也有相同的形式。我們把這種在變換域中的V-I關系稱為復數阻抗。它們也符合傳遞函數的定義。

電網絡的傳遞函數可以方便地利用線性元件的復數阻抗來求得。uLiLL電感uciCC電容uRRiR電阻

例2-18（P37）RLC網絡如圖所示，試采用復數阻抗法求取該網絡的傳遞函數。解：由復數阻抗法寫出分壓公式為代入各復數阻抗，得從而，求得傳遞函數為uiuoCRLuiuoRxZi-+Zf反相運算有源網絡解：反相輸入的運算放大器的運算關系如圖所示，即

例2-19（P38）有源網絡（比例積分PI）如圖所示，求傳遞函數G(s)。R3+uiR1R2uoRxZiZfC-PI運算有源網絡其中，Zi(s)----輸入復數阻抗；Zf(s)----反饋復數阻抗；負號----表示輸入與輸出相位相反。

PI運算有源網絡的各復數阻抗如下：輸入復數阻抗為反饋復數阻抗為于是，傳遞函數為

2、典型環節

控制系統通常由若干個基本部件組合而成，這些基本部件稱為典型環節。

(1)比例環節

具有比例運算關系的元部件稱為比例環節。uiKuo方塊圖為

運算關系為

傳遞函數為

例2-20(P38)變阻器式角位移檢測器如圖所示，求傳遞函數。解：變阻器最大角位移為，變阻器所加電壓為V+，故其靈敏度為

兩變阻器角差為所以，檢測器輸出電壓為傳遞函數為

例2-21(P39)直流測速發電機如圖所示，求傳遞函數。Es解：直流測速發電機是一種轉角檢測裝置，其輸出端電壓正比于轉軸的旋轉角速度，靈敏度，所以，輸出電壓為這是一個比例環節，其傳遞函數為

(2)積分環節其中，T----積分環節的時間常數,表示積分的快慢程度。uiuo方塊圖為

傳遞函數為運算關系為

符合積分運算關系的環節稱為積分環節。

例2-22(P39)液位系統如圖所示，求傳遞函數。解：入管流量為出管流量為流量差為容器底面積為液面高度為容積為流入的容積為流量差對時間的積分兩式相等所以，液面高度為這是一個積分環節，其傳遞函數為

(3)微分環節

符合微分運算關系的環節稱為積分環節。suiu0方塊圖為

傳遞函數為運算關系為其中，τ----微分環節的時間常數，表示微分速率的大小。

例2-23(P40)前例2-21中的測速發電機，其輸出電壓為因為故，有所以，若考慮電壓與轉角的關系，測速發電機就成為微分環節，有

(4)一階慣性環節

一階慣性環節的微分方程是一階的,且輸出響應需要一定的時間才能達到穩態值，故稱為一階慣性環節。uoui

方塊圖為

傳遞函數為

運算關系為其中，T----慣性環節的時間常數。

(5)二階振蕩環節

振蕩環節是由二階微分方程描述的系統。uiuo

方塊圖為

傳遞函數為

運算關系為其中，T和ζ是系統的特征參數。

(6)延遲環節

具有純時間延遲傳遞關系的環節稱為延遲環節。uiuo

方塊圖為

傳遞函數為

傳輸關系為

由拉氏變換的延遲定理，有

延遲環節的實例。

3、系統傳遞函數的求取過程

(1)將控制系統分成前述的基本環節，分別寫出各基本環節的傳遞函數。

(2)按照信號流通的約束關系，將各基本環節的傳遞函數按照相應的關系組合，得到系統結構圖。

(3)消去中間變量，得到系統的傳遞函數。

例2-24(P42)直流電動機調速系統原理如圖所示，試根據信號傳輸關系寫出系統的傳遞函數。解：端口關系：

控制量----給定轉速r所對應的電壓Ur（輸入量）；

被控量----電動機旋轉的角速度（輸出量）。第一步寫出各基本環節的傳遞函數。

（1）給定單元（電位器）

（2）測速單元（測速發電機TC）

（3）比較單元(Ur與串聯反極性相聯接UTC）

（4）放大單元

（5）執行單元（直流伺服電動機SD）

（6）減速器

（7）變阻器

（8）可控硅調功器

（9）受控對象-----直流電動機

第二步將基本環節的傳遞函數組合成系統結構圖。ML(s)KrK1KsKaKL/KMKTC+--rUr(s)e(s)U1(s)SD(s)(s)US(s)Ua(s)(s)UTC(s)+算子方程組：

第三步消去中間變量，得到系統傳遞函數。

消去各中間變量:Ur(s),UTC(s),e(s),U1(s),θSD(s),φ(s),US(s),Ua(s)，根據疊加原理，令負載ML為零就可以得到以給定角速度ωr為輸入量，以電動機的旋轉角速度ω為輸出量的傳遞函數為同理，令給定角速度ωr為零，可以得到負載擾動ML作用下的傳遞函數為2-6動態結構圖

1、(動態)結構圖的定義和組成

(動態)結構圖是一種網絡拓撲約束下的有向線圖，亦稱為方塊圖。由三部分組成：控制系統的結構圖：描述系統各元部件之間的信號傳遞關系的一種圖形化表示，特別對于復雜控制系統的信號傳遞過程給出了一種直觀的描述。

（1）以傳遞函數來描述信號輸入輸出關系的傳輸方塊。

（3）信號的分支點（分離點）與相加點（綜合點）。

（2）標有信號流通方向的信號輸入輸出通路。系統結構圖的組成與繪制系統結構圖一般有四個基本單元組成：（1）信號線；（2）引出點（或測量點）；（3）比較點（或信號綜合點）表示對信號進行疊加；（4）方框（或環節）表示對信號進行變換，方框中寫入元部件或系統的傳遞函數。

2、(動態)結構圖的特性

（1）結構圖是線圖方式的數學模型，可以用來描述控制系統的系統結構關系。

（2）結構圖上可以表示出系統的一些中間變量或者系統的內部信息。

（3）結構圖與代數方程等價。

例2-25(P45)作出如圖所示系統的結構圖。R1R2UiC1C2UoUx解：設電容C1的電壓為Ux（中間變量），采用復數阻抗法順序寫出各算子代數方程和方塊圖如下2-6-1結構圖的建立(2)1/R1UR1I(1)UiUR1Ux+-(3)II2I1-+(4)1/C1sI1Ux1/R2UR2I2(6)1/C2sI2Uo(7)(5)

UxUR2Uo+Ui(s)1/R1-+1/C1s1/R21/C2sUo(s)++

將各基本環節按照信號流通的方向連結起來就可以得到系統的方塊圖。2-6-2結構圖的化簡

2、化簡原則

（2）化簡前后，回路傳遞函數的乘積不變。

1、化簡目的

求得系統的傳遞函數。

（1）化簡前后，前向通路傳遞函數的乘積不變。任何復雜的系統結構圖，各方框之間的基本連接方式只有串聯、并聯和反饋連接三種。方框結構圖的簡化是通過移動引出點、比較點，交換比較點，進行方框運算后，將串聯、并聯和反饋連接的方框合并。

3、等效變換法則

（1）環節串聯G1(s)G2(s)X(s)Y(s)G1(s)G2(s)X(s)Y(s)

（2）環節并聯G1(s)G2(s)++G1(s)+G2(s)X(s)X(s)Y(s)Y(s)

（3）反饋回路化簡E(s)G(s)H(s)+X(s)Y(s)B(s)X(s)Y(s)

設中間變量B(s),E(s)如圖，有

因為所以整理，得即有前向通道傳遞函數：輸入端對應比較器輸出E(s)到輸出端輸出Y(s)所有傳遞函數的乘積，記為G(s)

反饋通道傳遞函數：輸出Y(s)到輸入端比較器的反饋信號B(s)之間的所有傳遞函數之乘積，記為H(s)開環傳遞函數：反饋引入點斷開時，輸入端對應比較器輸出E(s)到輸入端對應的比較器的反饋信號B(s)之間所有傳遞函數的乘積，記為GO(s),GO(s)=G(s)H(s)

（4）相加點（求和點）移動

前移

X1(s)G(s)X1(s)X2(s)+Y(s)X2(s)1/G(s)+G(s)Y(s)++X1(s)Y(s)+X2(s)Y(s)X1(s)G(s)X2(s)G(s)G(s)+++

后移互易X1(s)X2(s)++X3(s)Y(s)++Y(s)X1(s)X3(s)X2(s)+++X1(s)X2(s)X3(s)Y(s)+++++

（5）分支點移動

前移后移

注意事項－相加點與分支點沒有簡單互易法則。Y1(s)G1(s)G2(s)Y2(s)X(s)Y1(s)G1(s)G1(s)G2(s)Y2(s)X(s)G(s)G(s)1/G(s)Y1(s)Y2(s)Y1(s)Y2(s)X(s)X(s)

例設系統的結構圖如圖所示，試利用等效變換的方法簡化結構圖，并計算系統的傳遞函數C(s)／R(s)。解：簡化過程：（1）G3(s)和G4(s)之間的引出點后移，由G3(s)、G4(s)和H3(s)組成的內反饋回路計算等效傳遞函數：（2）將G2(s)、G34(s)和H2(s)*1/G4(s)組成的內反饋回路簡化，計算等效傳遞函數（3）將G1(s)、G23(s)和H1(s)組成的主反饋回路簡化，計算系統的傳遞函數

例2-26(P48)采用結構圖等價變換法化簡如圖所示的結構圖。解：第一步：向左移出相加點，向右移出分支點。

第二步：化簡兩個內部回路，并合并反饋支路中的串聯方塊。R1C2sUi(s)-+Uo(s)

第三步：令作反饋回路化簡，得Uo(s)Ui(s)所以，系統傳遞函數為2-6-3梅遜公式根據結構圖等效化簡原則，將結構圖化成最簡方塊，可以求得系統的傳遞函數。但是化簡步驟仍然而要一步一步地進行。而采用梅遜公式化簡結構圖，求取系統的傳遞函數，只需要作少量的計算，就可以將傳遞函數一次寫出。梅遜公式的來源是按克萊姆（Gramer）規則求解線性聯立方程組時，將解的分子多項式與分母多項式與信號流圖（即拓樸圖）巧妙聯系的結果。MASON增益公式從輸入節點到輸出節點的傳遞函數（或總增益）從輸入節點到輸出節點的前向通路總數從輸入節點到輸出節點的第i條前向通路總增益流圖特征式所有單獨回路增益的乘積之和兩、兩不接觸回路增益的乘積之和三、三不接觸回路增益的乘積之和第i條前向通路余子式

第i條前向通路的余子式的計算公式為：在特征式中，將與第i條前向通路相接觸的回路各項全部去除后剩下的余子式。

例2-27已知兩級RC網絡的結構圖如圖所示，試用梅遜公式法求取傳遞函數。

解(1)寫出所有獨立回路，共3個判別回路的接觸情況：因為L1，L2之間沒有公共支路，所以有一個兩兩互不接觸回路。沒有三三互不接觸回路。

(2)寫出悔遜公式特征式(3)寫出前向通路從輸入到輸出只有一條前向通路，所以i＝l，只有(4)寫出各項余子式因為只有一條前向通路殊性，所以只計算。因為與所有回路L1，L2，L3都有公共支路，所以與所有回路都相接觸。從特征式中將所有的回路各項去除后得到=1（5）傳遞函數為例2．18三級RC濾波網絡如圖所示，試用梅遜法求取網絡的傳遞函數。

解三級RC網絡的結構圖如上圖所示(1)

一條前向通路（2）5個獨立回路

LⅠ=LⅡ=LⅢ=LⅣ=LⅤ=

(3)

兩兩互不接觸回路共6項：LⅠLⅡ，LⅠLⅢ，LⅡLⅢ，LⅠLⅤ，LⅢLⅣ，L