充分條件、必要條件的應用2/2/20231一、復習回顧1.充分條件若pq,則稱p是q的充分條件；2.必要條件若pq,則稱q是p的必要條件；3.充要條件若p

q，則稱p是q的充要條件.22/2/20232[復習]指出下列各題中，p是q的什么條件(在“充分不必要條件”，“必要不充分條件”，“充要條件”，“既不充分也不必要條件”中選出一種作答)．(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；(2)對于實數x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；(3)在△ABC中，p：sinA>sinB，q：tanA>tanB；(4)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.[分析]解答本題首先判斷是否有p?q或q?p，再根據定義下結論，也可用等價命題判斷．充分條件、必要條件、充要條件的判斷2/2/202332/2/20234如何判斷p是q的什么條件？(1)判斷p是q的什么條件，主要判斷p?q及q?p兩命題的正確性，若p?q真，則p是q成立的充分條件，若q?p真，則p是q成立的必要條件．(2)關于充要條件的判斷問題，當不易判斷p?q真假時，也可從集合角度入手判斷真假，所以結合集合關系理解，對解決與邏輯有關的問題是大有益處的．2/2/20235比較下列說法：這時pq成立q

pq

pq

p充分性p

q充分性p

q62/2/20236三、問題再現1.x>2是“x>3”的（）條件？A.充分非必要條件；B.必要非充分條件；C.充要條件；D.既非充分也非必要條件.B2.下列哪個條件是x>5成立的必要條件？()A.x>1;B.x>8;C.x<5;D.x<6.A點評：若“x>a”是“x>b”的充分條件，則a≥b.“大于一個較大的數則必大于一個較小的數”提示:x>3x>2提示:x>5?72/2/20237(1)下列哪個條件是x>5成立的必要條件？()A.x>1;B.x>8;C.x<5;D.x<6.(2)下列哪個條件是x>5成立的充分條件？()A.x>1;B.x>8;

C.x<5;D.x<6.比較下列說法：(3)x>5成立的必要條件是？()A.x>1;B.x>8;

A提示:x>5?提示:?x>5提示:x>5?BA82/2/20238三、問題再現2.判斷下列說法哪些是正確的？(1)x=2是x2-3x+2=0的必要條件；(2)x=2的一個必要條件是x2-3x+2=0；(3)x2-3x+2=0的一個充分條件是x=2；(4)x2-3x+2≠0的一個充分條件是x≠2.點撥：“x2-3x+2=0”可以寫成“x=2”或“x=1”,所以，x=2x2-3x+2=0,但x2-3x+2=0時，x未必等于2.92/2/20239三、問題再現3.p是r的充分非必要條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件，那么q是p成立的（）A.充分非必要條件；B.必要非充分條件；C.充要條件；D.既非充分也非必要條件.提示1：pr提示2：rs提示3：sqpqB102/2/2023101．設x，y∈R，則“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件答案：A2/2/202311解析：∵x≥2且y≥2，∴x2＋y2≥4，∴x≥2且y≥2是x2＋y2≥4的充分條件；而x2＋y2≥4不一定得出x≥2且y≥2，例如當x≤－2且y≤－2時，x2＋y2≥4亦成立，故x≥2且y≥2不是x2＋y2≥4的必要條件．2/2/202312[例2]

已知p：2x2－3x－2≥0，q：x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0，若p是q的充分不必要條件．求實數a的取值范圍．[分析]

先求解不等式解集，然后根據充分條件的意義，建立不等式求解．充分條件、必要條件的應用2/2/2023132/2/202314怎樣利用充分條件、必要條件、充要條件的關系求參數范圍？(1)化簡p、q兩命題；(2)根據充分性、必要性轉化為集合間關系；(3)利用集合間關系建立不等關系；(4)求解參數范圍．2/2/2023152．已知條件p：x2＋x－6＝0，條件q：mx＋1＝0，且q是p的充分不必要條件，求m的值．2/2/2023162/2/202317充要條件的證明[例3]

求證：關于x的方程x2＋mx＋1＝0有兩個負實根的充要條件是m≥2.[分析]

本題的條件是p：m≥2，結論是q：方程x2＋mx＋1＝0有兩個負根，證明該問題，充分性的證明是p?q，必要性的證明是q?p.2/2/2023182/2/202319充要條件的證明：(1)由題意先確定條件p，結論q；(2)證p?q，得充分性；(3)證q?p，得必要性；(4)結論成立．2/2/202320【名師點評】

有關充要條件的證明問題，要分清哪個是條件，哪個是結論，誰是誰的什么條件，由“條件?結論”是證明命題的充分性，由“結論?條件”是證明命題的必要性．證明要分兩個環節：一是證充分性；二是證必要性．212/2/2023212．證明p是q的充要條件應注意(1)首先應分清條件和結論，并不是在前面的就是條件．如若要證“p是q的充要條件”，則p是條件，q是結論；若要證“p的充要條件是q”，則q是條件，p是結論．這是易錯點；(2)必要性與充分性不要混淆．必要性是由結論去推條件，充分性是由條件去推結論；(3)充要性的證明必須充分性、必要性同時證，不要只證充分性或只證必要性．222/2/2023223．求關于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個負的實數根的充要條件．2/2/202323[典例]已知p：x2－x－2≤0，q：x2－3mx＋2m2≤0，若p是q的必要條件，求實數m的取值范圍．2/2/2023242/2/202325[反思]首先要理解充分條件和必要條件的概念，將問題轉化為真命題的條件和結論是解題的關鍵．利用集合的包含關系，借助于數軸建立不等式組求解，如本例中由條件得出真命題q?p再轉化為集合關系．2/2/202326答案：m≥9

2/2/202327證明注意：分清p與q.282/2/202328292/2/202329302/2/202330312/2/202331練習.求證：關于x的方程ax2+bx+c=0有一根為1的充要條件是a+b+c=0.322/2/202332

3.判別技巧：①可先簡化命題；②否定一個命題只要