曲面方程的概念柱面

第七章解析幾何向量代數

常見二次曲面第四節上頁下頁返回結束曲面及其方程旋轉曲面一、曲面方程的概念在空間直角坐標系中,如果曲面

S

與方程定義:F(x,y,z)=0有下述關系:(1)曲面

S上任意點的坐標都滿足此方程;

F(x,y,z)=0的圖形.(2)不在曲面S上的點的坐標都不滿足方程,則稱F(x,y,z)=0為曲面S的方程,稱曲面S為方程上頁下頁返回結束上頁下頁返回結束空間解析幾何研究的兩個基本問題:(1)已知動點的運動規律,求動點坐標滿足的方程;例1:一動點與二定點A(2,－3,2)及B(1,4,－2)等距離,求動點的軌跡方程.解:設動點坐標為M(x,y,z),平面方程故所求方程為特別地,當球心為坐標原點時,球面方程為設球面上動點坐標為M(x,y,z),即依題意半徑為

R

的球面方程.上頁下頁返回結束例2.求球心為解:上頁下頁返回結束(2)已知曲面方程F(x,y,z)=0,求方程所表示的曲面的形狀.解:曲面的形狀.所表示例3.研究方程配方得:這方程所表示的是球心在點半徑為3的球面.1.定義.一平面曲線

繞該平面上一條定直線旋轉一周所形成的曲面叫做旋轉曲面.該定直線稱為旋轉軸.例如:上頁下頁返回結束二、旋轉曲面曲線C2.旋轉曲面方程的建立繞o

z軸上頁下頁返回結束旋轉一周y

zoCx得旋轉曲面SSM(x,y,z)SMN從而得旋轉曲面S方程：N點在曲線C上,滿足曲線方程M,N兩點豎坐標相同M,N兩點到oz軸距離相等坐標面yoz面上的曲線C即：繞oz軸旋轉所得旋轉曲面S的方程為：上頁下頁返回結束繞oy軸旋轉所得旋轉曲面S的方程為：坐標面zox面上的曲線C繞oz軸旋轉所得旋轉曲面S的方程為：上頁下頁返回結束繞ox軸旋轉所得旋轉曲面S的方程為：坐標面xoy面上的曲線C繞ox軸旋轉所得旋轉曲面S的方程為：上頁下頁返回結束繞oy軸旋轉所得旋轉曲面S的方程為：xOzy上頁下頁返回結束繞x軸一周.例4.將下列各曲線繞指定軸旋轉一周,求生成的旋轉曲面的方程．1.雙曲線得雙葉旋轉雙曲面axyoz上頁下頁返回結束2.上述雙曲線繞y軸旋轉一周.得單葉旋轉雙曲面z

yox上頁下頁返回結束3.兩條相交直線繞z軸旋轉一周.得圓錐面當a=b=1時,圓錐面為y.oxz旋轉拋物面上頁下頁返回結束4.拋物線繞z軸旋轉一周,得a=1時,為yxo繞y軸旋轉所成曲面.上頁下頁返回結束5.z環面得引例.方程表示什么曲面?將此直線平行于z軸沿圓C移動所形成的曲面，解:所以在空間解析幾何中,過此點作平行z軸的直線l,則此直線上的點的坐標都滿足方程表示圓柱面.一點上頁下頁返回結束平面解析幾何:表示xOy坐標面上的圓.空間解析幾何:在xOy面上的圓C上任取顯然是圓柱面.三、柱面即方程表示的曲面,平行于定直線并沿定曲線C移動的動直線l的軌跡叫做柱面.C叫做準線,l

叫做(直)母線.表示表示平行于z軸的平面.表示上頁下頁返回結束拋物柱面,橢圓柱面.一般地,例5.畫出下列方程所表示的曲面:zxy=0yo上頁下頁返回結束雙曲柱面表示xzy0母線準線

(不含z)S表示平行于z軸的一張柱面上頁下頁返回結束一般地,F(x,y)=0母線準線xzy0表示母線平行于x軸的柱面上頁下頁返回結束

(不含x)同理,F(y,z)=0方程F(z,x)=0

(不含y)表示母線平行于y軸的柱面三元二次方程下面介紹幾種常見的二次曲面:橢球面、拋物面、通過截痕法研究這幾類二次曲面的特性.前面介紹過的雙曲柱面、旋轉拋物面等都是二次曲面.雙曲面、錐面.表示的曲面稱為二次曲面.(二次項系數不全為0)上頁下頁返回結束四、二次曲面標準方程:(1)范圍：1.橢球面(2)截痕截曲面,得:用橢圓abcyx

zo截曲面,得:用橢圓越大,橢圓越小,時,橢圓縮變為點上頁下頁返回結束截曲面,得:用橢圓abcyx

zo截曲面,得:用橢圓越大,橢圓越小,時,橢圓縮變為點上頁下頁返回結束截曲面,得:用橢圓abc截曲面,得:用橢圓越大,橢圓越小,時,橢圓縮變為點yx

zo上頁下頁返回結束abcyx

zo(1)當a,b,

c中有兩個數相同時,(2)當a＝b＝c時,上頁下頁返回結束標準方程:1.橢球面注:方程表示旋轉橢球面;方程表示球面.xzy0(1)橢圓拋物面標準方程:上頁下頁返回結束2.拋物面截痕:用z=0截曲面,得點(0,0,0);截曲面,得:用橢圓越大,橢圓越大;xzy0(1)橢圓拋物面標準方程:上頁下頁返回結束用y=0截曲面,得截曲面,得:用拋物線拋物線用x=0截曲面,得拋物線截曲面,得:用拋物線當p=q時,注:方程表示旋轉拋物面.xzy0截痕:雙曲線上頁下頁返回結束(2)雙曲拋物面標準方程:用z=0截曲面得,兩條相交直線截曲面,得:用xzy0上頁下頁返回結束(2)雙曲拋物面標準方程:拋物線截曲面,得:用截曲面,得:用拋物線xzy0上頁下頁返回結束

（馬鞍面）(2)雙曲拋物面標準方程:(1)單葉雙曲面上頁下頁返回結束3.雙曲面xyoz截痕:橢圓雙曲線雙曲線標準方程:截曲面,得：用截曲面,得：用截曲面,得：用當a=b時,注:方程表示單葉旋轉雙曲面.上頁下頁返回結束(2)雙葉雙曲面oxyz無截痕；截痕:雙曲線雙曲線oxyz截曲面,得：用兩點.橢圓；截曲面,得：用截曲面,得：用當a=b時,注:方程表示雙葉旋轉雙曲面.上頁下頁返回結束4.橢圓錐

面oxyz截痕:雙曲線雙曲線截曲面,得：用得點(0,0,0);橢圓；截曲面,得：用截曲面,得：用當a=b時,注:方程表示圓錐面.兩條相交直線；兩條相交直線；內容小結1.空間曲面三元方程球面旋轉曲面如,曲線繞z軸的旋轉曲面方程為:

柱面如,曲面表示母線平行z軸的柱面.常用:橢圓柱面,雙曲柱面,拋物柱面等.上頁下頁返回結束三元二次方程橢球面拋物面:橢圓拋物面雙曲拋物面