§3-5線性系統的穩定性分析一、穩定性的基本概念

二、線性系統穩定的充分必要條件三、勞思-赫爾維茨穩定判據（1877、1895）四、勞思穩定判據的特殊情況五、勞思穩定判據的應用（1）穩定是控制系統能夠正常運行的首要條件。

一、穩定性的基本概念

（2）自動控制理論的基本任務(之一)分析系統的穩定性問題；提出保證系統穩定的措施。對系統進行各類品質指標的分析必須在系統穩定的前提下進行。例穩定的擺不穩定的擺(a)穩定(b)臨界穩定(c)不穩定穩定性的定義控制系統在外部擾動消失后，由初始偏差狀態恢復到原平衡狀態的性能。注意：控制系統自身的固有特性，取決于系統本身的結構和參數，與輸入無關。不論擾動引起的初始偏差有多大，當擾動取消后，系統都能夠恢復到原有的平衡狀態。(a)大范圍穩定大范圍穩定:(b)小范圍穩定否則系統就是小范圍穩定的。注意：對于線性系統，小范圍穩定大范圍穩定。(a)不穩定臨界穩定：若系統在擾動消失后，輸出與原始的平衡狀態間存在恒定的偏差或輸出維持等幅振蕩，則系統處于臨界穩定狀態。注意：經典控制論中，臨界穩定也視為不穩定。運動穩定性（線性系統）對于線性系統只有大范圍穩定的問題對于線性系統而言，平衡狀態穩定性和運動穩定性是等價的線性系統在初始擾動的影響下，其動態過程隨時間的推移逐漸衰減并趨于零，則稱系統漸進穩定，簡稱穩定。如動態過程隨時間的推移而發散，稱為不穩定。系統方程在不受任何外界輸入的條件下，系統方程的解在時間趨于無窮時的漸進行為。線性控制系統的穩定性

穩定的條件：假設系統在初始條件為零時，受到單位脈沖信號δ(t)的作用，此時系統的輸出增量（偏差）為單位脈沖響應，這相當于系統在擾動作用下，輸出信號偏離平衡點的問題，顯然，當t→∞時，若：即輸出增量收斂于原平衡點，則線性系統是（漸近）穩定。二、線性系統穩定的充分必要條件理想脈沖函數作用下

R(s)=1。對于穩定系統,t

時,輸出量

c(t)=0。由上式知：如果pi和i均為負值,

當t時,c(t)0。自動控制系統穩定的充分必要條件：系統特征方程的根全部具有負實部，即:閉環系統的極點全部在S平面左半部。注意：穩定性與零點無關S平面系統特征方程例結果：共軛復根，具有負實部，系統穩定。三、勞思-赫爾維茨穩定判據（1877、1895）（1）該判據出現的歷史條件（2）勞思-赫爾維茨穩定判據的歷史條件和現狀在十九世紀后葉，由于無法解析求解高階多項式的根由于計算工具所限，數值求解也較難把‘求根的具體值’問題放松為‘判斷根是否小于零’問題。理論上還有一定的地位在研究相對穩定性和保證系統穩定的參數取值范圍發揮作用由于數值求根已經非常方便，該判據在直接判斷系統穩定性上的作用幾乎消退。赫爾維茨(Hurwitz)判據控制系統穩定的充分必要條件是：當a0>0時，各階赫爾維茨行列式1、2、…、n均大于零。一階系統二階系統a0>0時,a1>0(全部系數數同號)a0>0時,a1>0,a2>0(全部系數數同號)a0>0時a0>0時三階系統a0>0時,a1>0,a2>0,a3>0(全部系數同號)a0>0時a1a2>a0a3四階系統a0>0時,a1>0,a2>0,a3>0,a4>0

(全部系數數同號)a0>0時一階系統a1>0(全部系數數同號)a1>0,a2>0(全部系數數同號)a1>0,a2>0,a3>0(全部系數數同號)a1a2>a0a3a1>0,a2>0,a3>0,a4>0(全部系數數同號)歸納：a0>0時二階系統三階系統四階系統例a1>0,a2>0,a3>0,a4>0K值的穩定范圍各項系數均為正數a0>0時,單位反饋系統,已知系統開環傳遞函數如下：判斷上述系統開環增益K的穩定域，并說明開環積分環節數目對系統穩定性的影響。系統1的閉環特征方程為：系統3的閉環特征方程為：系統2的閉環特征方程為：K的穩定域為：K的穩定域為：結論：增加系統開環積分環節的數目對系統穩定性不利。由于特征方程缺項，不存在K的穩定域。勞斯陣列性質：第一列符號改變次數==系統特征方程含有正實部根的個數。特征方程：勞斯陣列：勞斯(routh)判據如果符號相同系統具有正實部特征根的個數等于零系統穩定；如果符號不同符號改變的次數等于系統具有的正實部特征根的個數系統不穩定。控制系統穩定的充分必要條件：勞思陣列第一列元素不改變符號。“第一列中各數”注：通常a0>0，因此，勞斯穩定判據可以簡述為勞斯陣列表中第一列的各數均大于零。特殊情況1：某行的第一列出現0特殊情況2：某一行元素均為0四、勞思穩定判據的特殊情況特殊情況1：某行的第一列出現0特殊情況：第一列出現0。解決方法：用因子(s＋a)乘以原特征方程。系統不穩定，且有兩個正實部根。特殊情況2：某一行元素均為0特殊情況：某一行元素均為0解決方法：全0行的上一行元素構成輔助方程，求導后方程系數構成一個輔助方程。各項系數均為正數求導得:例如，一個控制系統的特征方程為

列勞斯表顯然這個系統處于臨界(不)穩定狀態。

勞斯陣列出現全零行:大小相等符號相反的實根共軛虛根對稱于實軸的兩對共軛復根系統在s平面有對稱分布的根五、勞思穩定判據的應用2、實際系統希望S左半平面上的根距離虛軸有一定的距離。此法可以估計一個穩定系統的各根中最靠近右側的根距離虛軸有多遠，從而了解系統穩定的“程度”。1、穩定判據能回答特征方程式的根在S平面上的分布情況，而不能確定根的具體數據。解決的辦法為變量的特征方程式，然后用勞斯判據去判別該方程中是否有根位于垂線右側。代入原方程式中，得到以

設用勞斯判據檢驗下列特征方程是否有根在S的右半平面上，并檢驗有幾個根在垂線的右方。

例3-8解：列勞斯表

第一列全為正，所有的根均位于左半平面，系統穩定。令代入特征方程：式中有負號，顯然有根在的右方。列勞斯表第一列的系數符號變化了一次，表示原方程有一個根在垂直直線的右方。圖3-21單位反饋控制系統方塊圖時，閉環系統的穩定條件是什么？

已知一單位反饋控制系統如圖3-21所示，試回答

例3-9時，閉環系統是否穩定？

排勞斯表

第一列均為正值，S全部位于左半平面，故

解：

系統穩定特征方程為時，閉環系統的開環傳遞函數

閉環特征方程為

列勞斯表未完待續

利用勞斯穩定判據可確定系統一個或兩個可調參數對系統穩定性的影響。

欲使系統穩定第一列的系數必須全為正值

§3-6線性系統的穩態誤差計算

減小穩態誤差是控制系統設計的主要目標之一概述穩態誤差是衡量系統控制準確度的度量本書討論所謂原理性穩態誤差，他取決于系統的結構，傳遞函數和輸入函數的形式。一、誤差與穩態誤差1、

在系統輸入端定義的誤差：E(s)=R(s)-H(s)C(s)2、

在系統輸出端定義的誤差：該誤差物理存在，激勵G(s)的信號該誤差在系統中并不存在，而是人們對誤差的期望3、

誤差的組成：隨時間衰減為零的“自由誤差分量輸入引起的強迫分量，即穩態誤差分量穩態誤差如系統穩定，且存在，那么下式成立系統穩定是前提，穩態誤差和系統本身性質、輸入信號有關即穩態誤差是有限值，或無窮分量例3-11

二、系統類型式中，K為開環增益；τi和Tj為時間常數；當輸入信號形式一定時，系統是否存在穩態誤差就取決于開環傳遞函數所描述的系統結構。開環傳遞函數ν為開環系統在s平面坐標原點上的極點重數。ν=0，稱為0型系統；ν=1，稱為Ⅰ型系統；ν=2，稱為Ⅱ型系統……。優點：可以根據已知的輸入信號形式，迅速判斷系統是否存在原理性穩態誤差及其大小。

令由于s→0時，G0(s)H0(s)→1因此，有則表明影響穩態誤差的諸因素是：系統型別、開環增益、輸入信號的形式和幅值。三、階躍輸入作用下的穩態誤差與靜態位置誤差系數習慣上常把系統在階躍輸入作用下的穩態誤差稱為靜差。0型系統稱為有（靜）差系統或令階無差度系統，Ⅰ型系統稱為一階無差度系統，Ⅱ型系統稱為二階無差度系統，…四、斜坡輸入作用下的穩態誤差與靜態速度誤差系數（圖3-32Ⅰ型單位反饋系統的速度誤差）

穩態誤差：表明：0型系統在穩態時不能跟蹤斜坡輸入；Ⅰ型單位反饋系統，穩態輸出速度恰好與輸入速度相同，但存在一個穩態位置誤差；Ⅱ型及Ⅱ型以上的系統，穩態時能準確跟蹤斜坡輸入信號，不存在位置誤差。五、

加速度輸入作用下的穩態誤差與靜態加速度誤差系數圖3-33Ⅱ型單位反饋系統（的加速度誤差）表明：0型及Ⅰ型單位反饋系統在穩態時都不能跟蹤加速度輸入；Ⅱ型單位反饋系統，穩態輸出的加速度與輸入加速度函數相同，但存在一定的穩態位置誤差；Ⅲ型及Ⅲ型以上的系統，只要系統穩定，其穩態輸出能準確跟蹤加速度輸入信號，不存在位置誤差。說明：（1）靜態誤差系數僅僅是對于單位反饋控制系統而言。（2）如果系統承受的輸入信號是多種典型函數的組合，可用疊加原理。

例3-13

r(t)=1(t),t,t2/2時，

ess=0,1,∞

六、

動態誤差系數（廣義誤差系數）將誤差傳遞函數Φe(s)在s=0的鄰域內展開成泰勒級數，得于是誤差信號可以表示為該誤差級數收斂于s=0的鄰域，相當于在時間域內t→∞時成立。取拉氏反變換，得：說明：（1）習慣上稱C0為動態位置誤差系數，稱C1為動態速度誤差系數，稱C2為動態加速度誤差系數。（2）“動態”的含義是指這種方法可以完整地描述系統穩態誤差ess(t)隨時間變化的規律，而不是指誤差信號中的瞬態分量ets(t)隨時間變化的情況。（3）公式中的輸入信號及其各階導數中不包含r(t)中隨時間增長而趨近于零的分量。

確定動態誤差系數的簡便方法——長除法（見例3-14）在特定系統中動態誤差系數與靜態誤差系數之間的關系：

0型系統：C0=1/（1+Kp）

Ⅰ型系統：C1=1/Kv

Ⅱ型系統：C2=1/Ka七、擾動作用下的穩態誤差（1）對擾動作用下的穩態誤差的要求理想情況下，希望擾動對系統輸出不產生影響根據疊加定理，以下推導在輸入為零的假設下進行（2）擾動作用下，穩態誤差的表述把擾動作用下的理想輸出定義為零，于是輸出端誤差為根據疊加定理，以下推導在輸入為零的假設下進行（3）擾動作用下，穩態誤差的求解3.6.3擾動作用下的穩態誤差負載力矩的變化、放大器的零點漂移、電網電壓波動和環境溫度的變化等，這些都會引起穩態誤差。擾動不可避免它的大小反映了系統抗干擾能力的強弱。

擾動穩態誤差控制對象

控制器下面分析擾動對輸出的影響輸出對擾動的傳遞函數

(3-71)

由擾動產生的輸出

(3-72)

圖3-23控制系統系統的理想輸出為零

擾動產生的輸出端誤差信號

(3-73)

(3-74)

終值定理

若令圖3-23中的

(3-75)

開環傳遞函數為

(3-76)

(3-77)

下面討論時系統的擾動穩態誤差。0型系統1當擾動為一階躍信號，即

(3-78)

I型系統2

對參考輸入，都是I型系統，產生的穩態誤差也完全相同

抗擾動的能力是完全不同

階躍信號

A斜坡信號

階躍信號

斜坡信號B擾動穩態誤差只與作用點前的結構和參數有關。如中的時，相應系統的階躍擾動穩態誤差為零；斜坡穩態誤差只與中的增益成反比。至于擾動作用點后的，其增益的大小和是否有積分環節，它們均對減小或消除擾動引起的結論穩態誤差沒有什么作用。

3II型系統

三種可能的組合

結論第一種組合的系統具有II型系統的功能，即對于階躍和斜坡擾動引起的穩態誤差均為零

第二種組合的系統具有I型系統的功能，即由階躍擾動引起的穩態誤差為零，斜坡產生的穩態誤差為。

系統的第三種組合具有0型系統的功能，其階躍擾動產生的穩態誤差為，斜坡擾動引起的誤差為。

3.6.4減小或消除穩態誤差的措施

提高系統的開環增益和增加系統的類型是減小和消除系統穩態誤差的有效方法順饋控制作用，能實現既減小系統的穩定誤差，又能保證系統穩定性不變的目的其他條件不變時影響系統的動態性能

穩定性對擾動進行補償？？圖3-27與圖3-26對應的信號流圖梅遜公式

分析

引入前饋后，系統的閉環特征多項式沒有發生任何變化，即不會影響系統的穩定性

由于分母的s階次一般比分子的s階次高，故式(3-80)的條件在工程實踐中只能近似地得到滿足。

為了補償擾動對系統輸出的影響

(3-79)

(3-80)

對擾動進行全補償的條件

2.按輸入進行補償圖3-28按輸入補償的復合控制系統？？

(3-81)

(3-82)

輸入信號的誤差全補償條件

(3-83)

(3-85)

(3-84)

系統的輸出量在任何時刻都可以完全無誤差地復現輸入量，具有理想的時間響應特性

前饋補償裝置系統中增加了一個輸入信號

完全消除誤差的物理意義

其產生的誤差信號與原輸入信號產生的誤差信號相比，大小相等而方向相反

由于的頻段內實現近似全補償，以使的形式簡單并易于實現。一般具有比較復雜的形式，故全補償條件(3-84)的物理實現相當困難。在工程實踐中，大多采用滿足跟蹤精度要求的部分補償條件，或者在對系統性能起主要影響小結時域分析是通過直接