2022年四川省成都市普通高校對口單招高等數學一自考預測試題(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.設x2是f(x)的一個原函數，則f(x)=A.A.2x

B.x3

C.(1/3)x3+C

D.3x3+C

2.設函數f(x)在區間(0，1)內可導f(x)>0，則在(0，1)內f(x)（）．

A.單調增加B.單調減少C.為常量D.既非單調，也非常量

3.

4.已知y=ksin2x的一個原函數為y=cos2x，則k等于（）．A.A.2B.1C.－lD.－2

5.微分方程y"-y=ex的一個特解應具有的形式為(下列各式中α、b為常數)。A.aex

B.axex

C.aex+bx

D.axex+bx

6.A.1

B.0

C.2

D.

7.設y=3+sinx，則y=()A.-cosxB.cosxC.1-cosxD.1+cosx

8.A.A.lnx+CB.-lnx+CC.f(lnx)+CD.-f(lnx)+C

9.設函數y=f(x)二階可導，且f(x)<0，f(x)<0，又△y=f(x＋△x)-f(x)，dy=f(x)△x，則當△x>0時，有()A.△y>dy>0

B.△<dy<0

C.dy>Ay>0

D.dy<△y<0

10.下列關系正確的是（）。A.

B.

C.

D.

11.

12.級數()。A.絕對收斂B.條件收斂C.發散D.收斂性與k有關

13.

14.。A.2B.1C.-1/2D.0

15.

A.必定存在且值為0B.必定存在且值可能為0C.必定存在且值一定不為0D.可能不存在

16.

17.函數z=x2-xy+y2+9x-6y+20有（）

A.極大值f(4，1)=63B.極大值f(0，0)=20C.極大值f(-4，1)=-1D.極小值f(-4，1)=-1

18.

19.

20.設在點x=1處連續，則a等于()。A.-1B.0C.1D.2二、填空題(20題)21.

22.設z=ln(x2+y)，則dz=______．23.設y＝sin(2＋x)，則dy＝．

24.微分方程y"-y'=0的通解為______．

25.

26.當x=1時，f(x)=x3+3px+q取到極值(其中q為任意常數），則p=______.

27.過原點且與直線垂直的平面方程為______．28.29.

30.31.

32.

33.

34.設當x≠0時，在點x=0處連續，當x≠0時，F(x)=-f(x)，則F(0)=______．

35.

36.37.y″+5y′=0的特征方程為——．38.

39.

40.

三、計算題(20題)41.求微分方程的通解．

42.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

43.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．44.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則

45.

46.證明：47.求曲線在點(1，3)處的切線方程．48.49.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．50.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

51.

52.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．

53.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

54.55.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．56.57.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．58.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．

59.

60.

四、解答題(10題)61.設y=y(x)由方程y2-3xy+x3=1確定，求dy．

62.

63.求y=xex的極值及曲線的凹凸區間與拐點．64.

65.設y=xsinx，求y．

66.

67.68.

69.

70.

五、高等數學(0題)71.要造一個容積為4dm2的無蓋長方體箱子，問長、寬、高各多少dm時用料最省?

六、解答題(0題)72.

參考答案

1.A由于x2為f(x)的一個原函數，由原函數的定義可知f(x)=(x2)'=2x，故選A。

2.A本題考查的知識點為利用導數符號判定函數的單調性．

由于f(x)在(0，1)內有f(x)>0，可知f(x)在(0，1)內單調增加，故應選A．

3.C

4.D本題考查的知識點為原函數的概念、復合函數求導．

5.B方程y"-y=0的特征方程是r2-1=0，特征根為r1=1，r2=-1。

方程y"-y=ex中自由項f1(x)=ex，α=1是特征單根，故應設定y*=αxex，因此選B。

6.C

7.B

8.C

9.B

10.C本題考查的知識點為不定積分的性質。

11.C

12.A本題考查的知識點為級數的絕對收斂與條件收斂。

由于的p級數，可知為收斂級數。

可知收斂，所給級數絕對收斂，故應選A。

13.C

14.A

15.B

16.A解析：

17.D

18.C解析：

19.B

20.C本題考查的知識點為函數連續性的概念。

由于y為分段函數，x=1為其分段點。在x=1的兩側f(x)的表達式不同。因此討論y=f(x)在x=1處的連續性應該利用左連續與右連續的概念。由于

當x=1為y=f(x)的連續點時，應有存在，從而有，即

a+1=2。

可得：a=1，因此選C。

21.F'(x)

22.本題考查的知識點為求二元函數的全微分．

通常求二元函數的全微分的思路為：

先求出如果兩個偏導數為連續函數，則可得知

由題設z=ln(x2+y)，令u=x2+y，可得

當X2+y≠0時，為連續函數，因此有

23.cos(2＋x)dx

這類問題通常有兩種解法．

解法1

因此dy＝cos(2＋x)dx．

解法2利用微分運算公式

dy＝d(sin(2＋x))＝cos(2＋x)·d(2＋x)＝cos(2＋x)dx．

24.y=C1+C2exy=C1+C2ex

解析：本題考查的知識點為二階級常系數線性微分方程的求解．

特征方程為r2-r=0，

特征根為r1=0，r2=1，

方程的通解為y=C1+C2ex．

25.tanθ-cotθ+C

26.-1f'(x）=3x2+3p，f'(1)=3十3p=0,所以p=-1.27.2x+y-3z=0本題考查的知識點為平面方程和平面與直線的關系．

由于已知直線與所求平面垂直，可知所給直線的方向向量s平行于所求平面的法向量n．由于s=(2，1，-3)，因此可取n=(2，1，-3)．由于平面過原點，由平面的點法式方程，可知所求平面方程為2x+y-3z=0

28.

本題考查的知識點為隱函數的微分．

解法1將所給表達式兩端關于x求導，可得

從而

解法2將所給表達式兩端微分，

29.

本題考查的知識點為導數的四則運算．

30.

31.

32.

33.34.1本題考查的知識點為函數連續性的概念．

由連續性的定義可知，若F(x)在點x=0連續，則必有，由題設可知

35.0

36.x2x+3x+C本題考查了不定積分的知識點。37.由特征方程的定義可知，所給方程的特征方程為

38.

39.

解析：

40.ee解析：

41.

42.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

43.函數的定義域為

注意

44.由等價無窮小量的定義可知

45.

46.

47.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

48.

49.

50.

51.

則

52.

53.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

54.

55.

列表：

說明

56.

57.

58.由二重積分物理意義知

59.

60.由一階線性微分方程通解公式有

61.本題考查的知識點為求隱函數的微分．

若y=y(x)由方程F(x，y)=0確定，求dy常常有兩種方法．

(1)將方程F(x，y)=0直接求微分，然后解出dy．

(2)先由方程F(x，y)=0求y'，再由dy=y'dx得出微分dy．

62.

63.y=xex

的定義域為(-∞，+∞)，y'=(1+x)ex，y"=(2+x)ex．令y'=0，得駐點x1=-1．令y"=0，得x2=-2．

極小值點為x=-1，極小值為

曲線的凹區間為(-2，+∞)；曲線的凸區間為(-∞，-2)；拐點為本題考查的知識點為：描述函數幾何性態的綜合問題．

64.

65.解

66.

67.解

68.

69.

7