歷年自主招生試題分類匯編——不等式5.（2014年北約）已知xy1且x,y都是負(fù)數(shù),求xy1的最值.xy【解】由x0,y0可知,xy1|xy|1|x||y|1,所以|xy||x||y|(|x||y|)21,即xy(0,1],444令txy(0,1],則易知函數(shù)yt1在(0,1]上遞減,所以其在(0,1]上遞減,4t4于是xy1有最小值4117,.無最大值xy44解答二：1(x)(y)2xy得0xy1，而函數(shù)f(t)t1在(0,1)上單調(diào)遞4t減，在(1,)單調(diào)遞增，故f(xy)f(1)，即xy117，當(dāng)且僅當(dāng)xy1時4xy42取等號．10.（2014年北約）已知x1,x2,,xnR,且x1x2xn1,求證:(2x1)(2x2)(2xn)(21)n.【證】(一法:數(shù)學(xué)歸納法)①當(dāng)n1時,左邊2x12121右邊,不等式成立;②假設(shè)nk(k1,kN*)時,不等式(2x1)(2x2)(2xk)(21)k成立.那么當(dāng)nk1時,則x1x2xkxk1,k1個正數(shù)不能同時都大于1,1由于這也不能同時都小于1,因此存在兩個數(shù),其中一個不大于1,另一個不小于1,不妨設(shè)xk1,0xk11,從而(xk1)(xk11)0xkxk11xkxk1,所以(2x1)(2x2)(x2k)(xk21)(2x1)(2x2)[2kx2(xk1xk)kx1](2x1)(2x2)(x2kxk1)(21)(k21)(21k)1(21)其中推導(dǎo)上式時利用了x1x2xk1(xkxk1)1及nk時的假設(shè),故nk1時不等式也成立.綜上①②知,不等式對任意正整數(shù) n都成立.(二法)左邊展開得 ( 2 x1)( 2 x2) ( 2 xn)(2)n(2)n1n(2)n2((2)nk(xixixj)xi1xi2xik)x1x2xni11ijn1i1i2ikn由平均值不等式得11xixixiCnk(xixixi)CnkCnk((x1x2k1Cnkk2xn)Cn1)Cnk1i1i2ikn1i1i2ikn故(2x1)(2x2)(2xn)n(n11(n22(nkkCnn(n2)2)Cn2C)n2C)n,2即證1.)(三法)由平均值不等式有n2n21nxknxk1n(n??①;n()n??②)2xk2xkk12xkk12xkk1k11①+②得nn2(x1x2xn)n,即(2x1)(2x2)(2xn)(21)nn1成立.(2xk)nk11n22(四法)由AMGM不等式得：()n，ni1xi2n(xi2)i11(nxi)n1，兩式相加得：121，故ni1xi2nn(xi2)n(xi2)i1i1nn．(2xi)(1)2i11．（2011年北約文）02，求證：sintan．【解析】不妨設(shè)f(x)xsinx，則f(0)0，且當(dāng)0x時，f(x)1cosx0．于是2f(x)在0x上單調(diào)增．∴f(x)f(0)0．即有xsinx．2同理可證g(x)tanxx0．g(0)0，當(dāng)0x時，g(x)110．于是g(x)在0x上單調(diào)增。222cosx∴在0x上有g(shù)(x)g(0)0。即tanxx。2注記：也可用三角函數(shù)線的方法求解．7.（2014年華約）已知nN*,xn,求證:nn(1x)nexx2.nx)x【證明】原不等式等價于nx2n((1en)n.n當(dāng)x2n,上述不等式左邊非正,不等式成立;當(dāng)x2n時,由ey1y(y0)及貝努力不等式(1y)n1ny(n1,y1),xx)x))n22從而n((1x)en)nn((1(1n(1x2)nn(1nx2)nx2,即證.nnnnn1.（2014年卓越聯(lián)盟）|x3|2x210,求x范圍.【解】由|x3|2x210|x|32|x|210(|x|1)(|x|125)(|x|15)02所以由數(shù)軸標(biāo)根法得|x|(,15)(1,15),又因?yàn)閨x|0,22所以x(1515).,1)(1,221、（2013年卓越聯(lián)盟）設(shè)函數(shù)fxxsinx．若x1、x2π，π，且fx1fx2，22則A．x1x2B．x1x20C．x1x2D．x12x22答案:（文科）D．歷年自主招生試題分類匯編——初等數(shù)論7．（2013年北約）最多有多少個兩兩不等的正整數(shù)，滿足其中任意三數(shù)之和都為素數(shù)．解析 設(shè)滿足條件的正整數(shù)為

n個．考慮模

3的同余類，共三類，記為

0，1，2．則這

n個正整數(shù)需同時滿足①不能三類都有；②同一類中不能有

3個和超過

3個．否則都會出現(xiàn)三數(shù)之和為

3的倍數(shù)．故

n

4．當(dāng)n4時，取1，3，7，9，其任意三數(shù)之和為所以滿足要求的正整數(shù)最多有4個．

11，13，17，19均為素數(shù)，滿足題意，題6（2012年北約）在1，2，?，2012中取一組數(shù)，使得任意兩數(shù)之和不能被其差整除，問最多能取多少個數(shù)？解： 將1，2，?，2012分成（1，2，3），（4，5，6，）?，（2008,2009,2010）,（2011,2012）這671組，如果所取數(shù) n 672，則由抽屜原理必然有兩個數(shù)屬于同一組，不妨設(shè)為ab，則ab1或2。當(dāng)ab1時，此時ab整除ab，不合要求。當(dāng)ab2時，此時，a與b同奇偶，所以ab為偶數(shù)，從而ab也能整除ab，也不合要求。∴n671，考察1,4,7，?，2011這671個數(shù)中的任兩數(shù)ab，則abk3k,2N，而ab3l,lN，∴ab不整除ab，從而可知，最多能取671個數(shù)，滿足要求。評析： 本題考查整除問題，而解答主要用到競賽數(shù)學(xué)中的抽屜原則和剩余類，整除等簡單的數(shù)論知識，體現(xiàn)出自主招生試題要求考生有一定的競賽數(shù)學(xué)知識，并掌握數(shù)學(xué)競賽的一些常用方法和技巧。6.（2013年華約）已知x,y,z是互不相等的正整數(shù),xyz|(xy1)(xz1)(yz1),求x,y,z.【解】本題等價于求使(xy1)(xz1)(yz1)xyz(xyz)xyyzzx1xyzxyz為整數(shù)的正整數(shù)x,y,z,由于x,y,z是互不相等的正整數(shù),因此xyz|xyyzzx1,不失一般性不妨設(shè)xyz,則xyzxyyzzx13yx,于是z3,結(jié)合z為正整數(shù),故z1,2,當(dāng)時,xy|xyyx1,即xy|yx1,于是xyxyyx12x,所以y2,z1但另一方面yz,且為正整數(shù),所以y2矛盾,不合題意.所以z2,此時2xy|xy2y2x1,于是2xyxy2y2x1,即xy2y2x1,也所以xy2y2x4x,所以y4,又因?yàn)閥z2,所以y3;于是