第28章：銳角三角函數(shù)人教版·九年級(jí)下冊(cè)28.1銳角三角函數(shù)（1）意大利比薩斜塔1350年落成時(shí)就已傾斜，其塔頂中心點(diǎn)偏離垂直中心點(diǎn)2.1m．1972年比薩地區(qū)發(fā)生地震，這座高54.5m的斜塔在大幅度搖擺后仍魏然屹立，但塔頂中心點(diǎn)偏離垂直中心線5.2m，而且還在繼續(xù)傾斜，有倒塌的危險(xiǎn)．當(dāng)?shù)貜?990年對(duì)斜塔進(jìn)行維修糾偏，2001年竣工，此時(shí)塔頂中心點(diǎn)偏離垂直中心的距離減少了43.8cm．

導(dǎo)入新課問題1我們用“塔身中心線與垂直中心線所成的角θ”來描述比薩斜塔的程度，根據(jù)已測(cè)量的數(shù)據(jù)你能求角θ的度數(shù)嗎？

導(dǎo)入新課在上述問題中，可以抽象出什么幾何圖形？上述問題可以抽象成什么數(shù)學(xué)問題？答：這個(gè)問題可以抽象出一個(gè)直角三角形，實(shí)際是“已知直角三角形的一條直角邊和斜邊，求這條直角邊所對(duì)銳角的度數(shù)”．

導(dǎo)入新課對(duì)直角三角形的邊角關(guān)系，已經(jīng)研究了什么？還可以研究什么？答：我們前面研究了直角三角形中角與角之間的關(guān)系（兩銳角互余）、三邊之間的關(guān)系（勾股定理），還可以研究邊與角之間的關(guān)系．

導(dǎo)入新課從實(shí)際需要看，要描述比薩斜塔的傾斜程度，我們需要研究直角三角形中邊與角之間的關(guān)系：從數(shù)學(xué)內(nèi)部看，我們已經(jīng)研究了直角三角形的邊與邊的關(guān)系、角與角的關(guān)系，邊與角之間有什么關(guān)系呢？本節(jié)課我們一起來學(xué)習(xí)“銳角三角函數(shù)”——銳角的正弦、余弦、正切．

導(dǎo)入新課我們先研究有一個(gè)銳角為30°的直角三角形問題．問題2為了綠化荒山，某地打算從位于山腳下的機(jī)井房沿著山坡鋪設(shè)水管，在山坡上修建一座揚(yáng)水站，對(duì)坡面的綠地進(jìn)行噴灌．現(xiàn)測(cè)得斜坡與水平面所成角的度數(shù)是30°，為使出水口的高度為35m，那么需要準(zhǔn)備多長(zhǎng)的水管？

新課講解你能用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)這個(gè)實(shí)際問題嗎？如何解決這個(gè)問題．答：把上述實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題為：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35m，求AB．

新課講解依據(jù)“直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半”得到答案：“需要準(zhǔn)備70m長(zhǎng)的水管”．在上面的問題中，如果使出水口的高度為50m，那么需要準(zhǔn)備多長(zhǎng)的水管？

答：依據(jù)“直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半”得到答案：“需要準(zhǔn)備100m長(zhǎng)的水管”．

新課講解對(duì)于有一個(gè)銳角為30°的任意直角三角形，30°角的對(duì)邊與斜邊有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

答：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么不管這個(gè)直角三角形的大小如何，這個(gè)角的對(duì)邊與斜邊的比值都等于

．

新課講解問題3在直角三角形中，如果銳角的大小發(fā)生了改變，其對(duì)邊與斜邊的比值還是嗎？例如，如圖，任意畫一個(gè)Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°，計(jì)算∠A的對(duì)邊與斜邊的比．由此你能得出什么結(jié)論？

新課講解

答：在Rt△ABC中，∠C=90°，因?yàn)椤螦=45°，所以Rt△ABC是等腰直角三角形．由勾股定理，得AB2=AC2+BC2=2BC2，．因此．

結(jié)論：在一個(gè)直角三角形中，當(dāng)一個(gè)銳角等于45°時(shí)，無論這個(gè)直角三角形的大小如何，這個(gè)角的對(duì)角與斜邊的比都等于．

新課講解問題4由上述兩個(gè)結(jié)論可知，在Rt△ABC中，∠C=90°，當(dāng)∠A=30°時(shí)，∠A的對(duì)邊與斜邊的比都等于，它是一個(gè)固定值；當(dāng)∠A=45°時(shí)，∠A的對(duì)邊與斜邊的比都等于，它也是一個(gè)固定值．由此你能猜想出什么一般的結(jié)論呢？

新課講解答：在Rt△ABC中，當(dāng)銳角A的度數(shù)一定時(shí)，無論這個(gè)直角三角形的大小如何，∠A的對(duì)邊與斜邊的比都是一個(gè)固定值．問題5如圖，任意畫Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使得∠C=∠C'=90°，∠A=∠A'=α，那么與有什么關(guān)系？你能解釋嗎？

新課講解解：=；因?yàn)椤螩=∠C'=90°，∠A=∠A'=α，所以Rt△ABC∽R(shí)t△A'B'C'．所以，即．

新課講解在直角三角形中，當(dāng)銳角A的度數(shù)一定時(shí)，無論這個(gè)直角三角形的大小如何，它的對(duì)邊與斜邊的比都是一個(gè)固定值．這個(gè)固定值隨銳角A的度數(shù)的變化而變化，由此我們給這個(gè)“固定值”以專門名稱．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，我們把銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦（sine），記作sinA，即

新課講解sinA=．當(dāng)∠A=30°時(shí)，∠A的正弦為多少？∠A=45°呢？答：sin30°=，sin45°=．注意：正弦的三種表示方式：sinA（省去角的符號(hào)），sin30°，sin∠DEF．

新課講解問題6如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，當(dāng)∠A確定時(shí)，∠A的對(duì)邊與斜邊的比隨之確定．此時(shí)，其他邊之間的比是否也隨之確定呢？為什么？

新課講解所以，即；，即．答：當(dāng)∠A確定時(shí)，∠A的鄰邊與斜邊的比、∠A的對(duì)邊與鄰邊的比都是確定的．

證明：如圖，因?yàn)椤螩=∠C'=90°，∠A=∠A'=α，所以Rt△ABC∽R(shí)t△A'B'C'．

新課講解我們把∠A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦（cosine），記作cosA，即cosA=；把∠A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做∠A的正切（tangent），記作tanA，即tanA=．∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的銳角三角函數(shù)（trigonometricfunctionofacuteangle）．

新課講解例1如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB的值．分析：求sinA就是要確定∠A的對(duì)邊與斜邊的比；求sinB就是要確定∠B的對(duì)邊與斜邊的比．

新課講解解：如圖（1），在Rt△ABC中，由勾股定理，得．因此，．如圖（2），在Rt△ABC中，由勾股定理，得．因此，．

新課講解例2如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求sinA，cosA，tanA的值．解：由勾股定理，得．因此，，．

新課講解1．在△ABC中，若三邊BC、CA、AB滿足BC︰CA︰AB=5︰12︰13，則cosB=（

）．A．B．C．D．C

鞏固練習(xí)2．在Rt△ABC中，∠C=90°，a=3，c=5，求sinA和tanA的值．解：在Rt△ABC中，∵a=3，c=5，∴．∴sinA=，tanA=．

鞏固練習(xí)1．正弦、余弦、正切的定義如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c．（1）正弦：銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即sinA=．課堂小結(jié)（2）余弦：銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作cosA，即cosA=；（3）正切：銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tanA，即tanA=．2．銳角三角函數(shù)的定義∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的銳角三角函數(shù)，即sinA，cosA，tanA都叫做銳角A的三角函數(shù)．課堂小結(jié)第28章：銳角三角函數(shù)人教版·九年級(jí)下冊(cè)28.1銳角三角函數(shù)（2）1．什么是正弦、余弦、正切？2．含30°，45°角的直角三角形有哪些性質(zhì)？3．還記得我們推導(dǎo)正弦關(guān)系的時(shí)候所得到的結(jié)論嗎？sin30°=，

sin45°=．4．你還能推導(dǎo)出sin60°的值及30°，45°，60°角的其他三角函數(shù)值嗎？

導(dǎo)入新課問題1分別畫出含有30°，45°，60°角的直角三角形，并求出sin30°，sin45°，sin60°的值，以此類推求出30°，45°，60°角的所有三角函數(shù)值．解：

新課講解問題2求出下列各角的三角函數(shù)值：（1）sin37°24′；（2）cos21°28′30″；（3）tan52°45′．解：（1）求sin37°24′的值，利用計(jì)算器的

鍵，再輸入角度值37°24′，得到結(jié)果：sin37°24′≈0.6074．注意：輸入度數(shù)時(shí)，用

鍵或用小數(shù)度數(shù)．

新課講解（2）cos21°28′30″≈0.9306；（3）tan52°45′≈1.315．問題3已知下列銳角三角函數(shù)值，求出其對(duì)應(yīng)的銳角的度數(shù)．（1）sinB=0.9759；（2）cosB=0.7859；（3）tanB=0.7355．解：（1）依次按鍵，然后輸入函數(shù)值0.9759，得到∠B≈77°23′44″或77.4°；

新課講解（2）∠B≈38°12′或38.20°；（3）∠B≈36°20′或36.33°．注意：1．按“度分秒”鍵就可以轉(zhuǎn)換成用度分秒表示的角；2．已知三角函數(shù)值求角的度數(shù)需要用第二功能鍵．

新課講解例1求下列各式的值：（1）；

（2）．=1；解：（1）（2）=0．

新課講解例2（1）如圖（1），在Rt△ABC中，∠C=90°，，，求∠A的度數(shù)．（2）如圖（2），AO是圓錐的高，OB是底面半徑，，求

的度數(shù)．

新課講解分析：要求一個(gè)直角三角形中一個(gè)銳角的度數(shù)，可以先求該銳角的某一個(gè)三角函數(shù)值，如果這個(gè)值是一個(gè)特殊值，那么我們就可以求出這個(gè)角的度數(shù)．解：（1）在圖（1）中，

∵，∴

．（2）在圖（2）中，∵，∴．

新課講解1．計(jì)算：sin230°+cos230°-tan245°．解：原式=．

鞏固練習(xí)注意：當(dāng)A、B均為銳角時(shí)，若A≠B，則sinA≠sinB，cosA≠cosB，tanA≠tanB．1．計(jì)算：sin230°+cos230°-tan245°．解：原式=．

鞏固練習(xí)2．用計(jì)算器求下列三角函數(shù)的值(結(jié)果精確到0.0001)．（1）sin46°25′40″；（2）cos56°40′；（3）tan46°35′20″．解：（1）sin46°25′40″≈0.7245；（2）cos56°40′≈0.5495；（3）tan46°35′20″≈1.0571．

鞏固練習(xí)3．已知下列銳角三角函數(shù)值，求出其對(duì)應(yīng)銳角的度數(shù)．（1）sinA=0.2046；（2）cosA=0.7958；（3）tanA=3.280．解：（1）∠A≈11.81°或11°48′22″；（2）∠A≈37.27°或37°16′9″；（3）∠A≈73.04°或73°2′41″．

鞏固練習(xí)

30°，45°，60°角的三角函數(shù)值如下表：對(duì)于銳角A，sinA與tanA，角度越大，函數(shù)值越大；對(duì)于cosA，角度越大，函數(shù)值越小．課堂小結(jié)第28章：銳角三角函數(shù)人教版·九年級(jí)下冊(cè)28.2解直角三角形及其應(yīng)用（1）

導(dǎo)入新課意大利比薩斜塔在1350年落成時(shí)就已傾斜，其塔頂中心點(diǎn)偏離垂直中心線2.1m．1972年比薩地區(qū)發(fā)生地震，這座高54.5m的斜塔在大幅度搖擺后仍巍然屹立，但塔頂中心點(diǎn)偏離垂直中心線增至5.2m，而且還以每年增加1cm的速度繼續(xù)傾斜，隨時(shí)都有倒塌的危險(xiǎn)．為此，意大利當(dāng)局從1990年起對(duì)斜塔進(jìn)行維修糾偏，2001年竣工，此時(shí)塔頂中心點(diǎn)偏離垂直中心線的距離比糾偏前減少了43.8cm．

導(dǎo)入新課ABC塔身中心線垂直中心線?如果要求你根據(jù)上述信息，用“塔身中心線與垂直中心線所成的角?”（如圖）來描述比薩斜塔的傾斜程度，你能完成嗎？

導(dǎo)入新課如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5.2m，AB=54.5m．因此．所以≈5°28′．

也可以求出2001年糾偏后塔身中心線與垂直中心線的夾角．ABC?比薩斜塔傾斜程度的問題，1972年的情形：

導(dǎo)入新課上述實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，就是已知直角三角形的某些邊長(zhǎng)，求其銳角的度數(shù)．ABC?在Rt△ABC中，你還能求出其他未知的邊和角嗎？

導(dǎo)入新課解直角三角形的概念：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過程，叫做解直角三角形．

新課講解歸納：（1）在直角三角形的六個(gè)元素中，除直角外的五個(gè)元素，只要知道兩個(gè)元素（其中至少有一條邊），就可以求出其余的三個(gè)元素．（2）定義：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．（3）解直角三角形有四種基本類型：①已知斜邊和一條直角邊；②已知兩條直角邊；③已知斜邊和一個(gè)銳角；④已知一條直角邊和一個(gè)銳角．

新課講解例1如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，，，解這個(gè)直角三角形．解：∵，

∴，，．

新課講解例2如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，b=20，解這個(gè)直角三角形（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）．解：∠A=90°-∠B=90°-35°=55°．∵，∴．∵，∴．

新課講解1．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=，

AC=，則∠A=（

）．A．90°B．60°C．45°D．30°2．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，∠B=60°，∠C=45°．（1）求∠BAC的度數(shù)；（2）若AC=2，求AD的長(zhǎng)．D

鞏固練習(xí)解：（1）∠BAC=180°-60°-45°=75°．（2）∵AD⊥BC，∴△ADC是直角三角形．∵∠C=45°，∴AD=AC·sinC=2×sin45°=．

鞏固練習(xí)1．解直角三角形的概念由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過程，叫做解直角三角形．2．解直角三角形的類型及方法（1）解直角三角形有四種基本類型：①已知斜邊和一條直角邊；②已知兩條直角邊；③已知斜邊和一個(gè)銳角；④已知一條直角邊和一個(gè)銳角．課堂小結(jié)（2）在解直角三角形時(shí)，可以用勾股定理確定直角三角形的三邊關(guān)系，由銳角三角函數(shù)得到邊角關(guān)系．在選擇關(guān)系時(shí)，應(yīng)遵循以下基本原則：有斜（斜邊）用弦（正弦、余弦），無斜（斜邊）用切（正切），寧乘勿除，盡量采用原始數(shù)據(jù)．課堂小結(jié)第28章：銳角三角函數(shù)人教版·九年級(jí)下冊(cè)28.2解直角三角形及其應(yīng)用（2）觀看視頻：2012年6月18日，“神舟”九號(hào)載人航天飛船與“天宮”一號(hào)目標(biāo)飛行器成功實(shí)現(xiàn)交會(huì)對(duì)接．這是讓所有中國(guó)人驕傲的偉大的科研成果，其中就含有關(guān)于解直角三角形的相關(guān)問題，那么解直角三角形的依據(jù)是什么呢？答：（1）勾股定理；（2）直角三角形的兩銳角互余；（3）在直角三角形中，應(yīng)用銳角三角函數(shù)的知識(shí)．

新課講解把握了直角三角形邊角之間的各種關(guān)系，我們就能解決與直角三角形有關(guān)的實(shí)際問題了，這節(jié)課我們就學(xué)習(xí)“解直角三角形的應(yīng)用”．

新課講解例12012年6月18日，“神舟”九號(hào)載人航天飛船與“天宮”一號(hào)目標(biāo)飛行器成功實(shí)現(xiàn)交會(huì)對(duì)接．“神舟”九號(hào)與“天宮”一號(hào)的組合體在離地球表面343km的圓形軌道上運(yùn)行，如圖，當(dāng)組合體運(yùn)行到地球表面P點(diǎn)的正上方時(shí)，從中能直接看到的地球表面最遠(yuǎn)的點(diǎn)在什么位置？最遠(yuǎn)點(diǎn)與P點(diǎn)的距離是多少(地球半徑約為6400km，π取3.142，結(jié)果取整數(shù))？

新課講解（1）如何理解從組合體中能直接看到的地球表面的最遠(yuǎn)點(diǎn)？答：是視線與地球相切時(shí)的切點(diǎn)．

新課講解（2）你能根據(jù)題意畫出示意圖嗎？答：如圖，F(xiàn)Q切⊙O于點(diǎn)Q，F(xiàn)O交⊙O于點(diǎn)P．（3）如上圖，最遠(yuǎn)點(diǎn)Q與P點(diǎn)的距離是線段PQ的長(zhǎng)嗎？為什么？

新課講解答：不是，地球是圓的，最遠(yuǎn)點(diǎn)Q與P點(diǎn)的距離是的長(zhǎng)．（4）上述問題實(shí)質(zhì)是已知什么？要求什么？答：已知Rt△FOQ中的FO和OQ，求∠FOQ，并進(jìn)而求⊙O中的長(zhǎng)．

新課講解∴．解：設(shè)∠POQ=α，在圖中，F(xiàn)Q是⊙O的切線，△FOQ是直角三角形．∵，∴的長(zhǎng)為．由此可知，當(dāng)組合體在P點(diǎn)正上方時(shí)，從中觀測(cè)地球表面時(shí)的最遠(yuǎn)點(diǎn)距離P點(diǎn)約2051km．

新課講解例2熱氣球的探測(cè)器顯示，從熱氣球看一棟樓頂部的仰角為30°，看這棟樓底部的俯角為60°，熱氣球與樓的水平距離為120m，這棟樓有多高（結(jié)果取整數(shù)）？

新課講解如圖，當(dāng)我們進(jìn)行測(cè)量時(shí)，在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角，視線在水平線下方的角叫做俯角．

新課講解（1）如何根據(jù)題意畫出示意圖？解：如下圖．

新課講解（2）“熱氣球與樓的水平距離”如何表示？答：過點(diǎn)A作BC的垂線段AD，則線段AD的長(zhǎng)即為120m．（3）結(jié)合示意圖，問題已知什么？要求什么？答：已知α=30°，β=60°，AD=120m，求BC的長(zhǎng)．（4）你能用不同方法解決這個(gè)問題嗎？答：方法1：利用正切先求出BD的長(zhǎng)，再求CD的長(zhǎng)；方法2：先求出AB，AC的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出BC的長(zhǎng)．

新課講解（5）聯(lián)系例1，例2在圖形上有何變化？答：例1中只有一個(gè)直角三角形，而例2中有兩個(gè)直角三角形，且這兩個(gè)直角三角形在公共的直角邊的兩側(cè)．

新課講解∴

(m)．解：如圖，α=30°，β=60°，AD=120．∵，，∴BD=AD·tanα=120×tan30°，CD=AD·tanβ=120×tan60°．因此，這棟樓高約為277m．

新課講解例3如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東65°方向，距離燈塔80nmile的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東34°方向上的B處．這時(shí)，B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)（結(jié)果取整數(shù)）？

新課講解

分析：方向角通常是以南北方向線為主，一般習(xí)慣說成“南偏東（西）”或“北偏東（西）”；觀測(cè)點(diǎn)不同，所得的方向角也不同．解：如圖，在Rt△APC中，PC=PA·cos(90°-65°)=80×cos25°≈72.505．

新課講解在Rt△BPC中，∠B=34°，∵，∴．因此，當(dāng)海輪到達(dá)位于燈塔P的南偏東34°方向時(shí)，它距離燈塔P大約130nmile．

新課講解例4如圖，攔水壩的橫斷面為梯形ABCD，斜面坡度i=1︰1.5是指坡面的鉛直高度AF與水平寬度BF的比，斜面坡度i=1︰3是指DE與CE的比．根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，求：（1）坡角α和β的度數(shù)；（2）斜坡AB的長(zhǎng)（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）．

新課講解如下圖，BC表示水平面，AB表示坡面，我們把水平面BC與坡面AB所形成的∠ABC稱為坡角．一般地，線段BC的長(zhǎng)度稱為斜坡AB的水平寬度，線段AC的長(zhǎng)度稱為斜坡AB的鉛直高度．坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），用i表示，記作i=h︰l，坡度通常寫成h︰l的形式，坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作