第1章直角三角形1.1直角三角形的性質和判定（Ⅰ）連接三角形一個頂點與它對邊中點的線段.1.直角三角形的定義2.三角形內角和的性質有一個角是直角的三角形叫直角三角形.

三角形的內角和等于180°.3.三角形中線的定義這節課我們一起探索直角三角形的判定和性質.知識回顧說一說：

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，兩銳角的和等于多少度呢？

∠A+∠B=90°CAB自主預習

在Rt△ABC中，因為∠C=90°，由三角形內角和定理，可得：由此得到：直角三角形的兩個銳角互余.

如圖，在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，△ABC是直角三角形嗎?

定理：有兩個角互余的三角形是直角三角形.

由∠A+∠B=90°和∠A+∠B+∠C=180°，解得∠C=90°，因此△ABC是直角三角形.CAB議一議

畫一個直角三角形，并作出斜邊上的中線，量一量比較各線段的長度.你能猜出什么結論？

我們發現：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.自主探究

例1

如圖，已知CD是△ABC的AB邊上的中線，且CD=AB，求證：△ABC是直角三角形.CBAD21證明：∵CD=AB=AD=BD，∴∠1=∠A，∠2=∠B.∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠ACB=∠1+∠2，∴∠A+∠B+∠1+∠2=180°，∴2（∠A+∠B）=180°，∴∠A+∠B=90°，∴△ABC是直角三角形.ABCDO1.如圖，AB⊥DB,CD⊥DB,下列說法錯誤的是（）A.一定有∠A=∠CB.只要有一邊相等就有△ABO≌△CDOC.只要再給一個條件就能得到△ABO≌△CDOD.有OA=OC或OB=OD,就有AB=CD2.若一個三角形的三個內角之比為2:1:1，則該三角形是（等腰直角三角形）.C隨堂練習3.在Rt△ABC中，斜邊上的中線CD=2.5cm，求斜邊AB的長是多少.直角三角形的性質：

1.直角三角形的兩銳角互余.

2.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.知識梳理直角三角形的判定：

有兩個角互余的三角形是直角三角形.第1章直角三角形1.2直角三角形的性質和判定（Ⅱ）直角三角形的性質

和判定（

Ⅱ

）本課內容本節內容1.2

如圖，S1

+

S2

=S3

，即BC2+AC2=AB2

，那么是否對所有的直角三角形，都有兩直角邊的平方和等于斜邊的平方呢？探究如圖，任作一個Rt△ABC，∠C=90°，若BC=a，AC=b，AB=c，那么a2+b2=c2

，是否成立呢？步驟1先剪出4個如圖1-11的直角三角形，由

于每個直角三角形的兩直角邊長為a，b（其中

b>a），因此它們全等（SAS），所以它們的

斜邊長相等.設斜邊長為c.圖1-11我們來進行研究.步驟2再剪出1個邊長為c

的正方形，如圖1-12.圖1-12步驟3把步驟1和步驟2中剪出來的圖形拼成如圖1-13的圖形.圖1-13∵△DHK≌△EIH，∴∠2＝∠4.又∵∠1+∠2=90°，∴∠1+∠4=90°.因此拼成的圖形是正方形DEFG，它的邊長為(a+b)，它的面積為(a+b)2

.又∵∠KHI=90°，∴∠1+∠KHI+∠4=180°，

即點D，H，E

在一條直線上.圖1-13同理，點E，I，F在一條直線上；點F，J，G

在一條直線上；點G

，K，D在一條直線上.又∵正方形DEFG

的面積為c2+，∴即a2+2ab+b2

=c2

+2ab，∴a2+b2

=c2

.圖1-13結論直角三角形的兩直角邊a，b的平方和，等于斜邊c的平方.a2+b2

=c2

由此得到直角三角形的性質定理：其實我國早在三千多年前就已經知道直角三角形的上述性質，由于古人稱直角三角形的直角邊中較短的一邊為勾，較長的一邊為股，斜邊為弦（如圖1-14），因此這一性質被稱為勾股定理.勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的關系.在直角三角形中，若已知直角三角形任意兩條邊長，我們可以根據勾股定理，求出第三邊的長.勾股弦圖1-14故AD的長為12cm.在Rt△ADB中，由勾股定理，得AD2+BD2=AB2，如圖1-15，在等腰三角形ABC

中，已知AB=AC=13cm，BC=10cm，AD⊥BC

于點D.

你能算出BC邊上的高AD的長嗎？例1圖1-15舉例解：在△ABC中，∵AB=AC

=13，BC=10，AD⊥BC，∴BD==

5.∴在Rt△ABC中，∠C=90°.（1）已知a=25，b=15，求c；（2）已知a=5，c=9，求b；（3）已知b=5，c=15，求a.練習答案：（1）c=；（2）；（3）動腦筋如圖1-16，電工師傅把4m長的梯子AC

靠在墻上，使梯腳C

離墻腳B

的距離為1.5m，準備在墻上安裝電燈.當他爬上梯子后，發現高度不夠，于是將梯腳往墻腳移近0.5m，即移動到C′處.那么梯子頂端是否往上移動0.5m呢？圖1-16在Rt△ABC中，AC=4m，BC=1.5m，圖1-17由勾股定理，得（m）.由圖1-16抽象出示意圖1-17.在Rt△ABC

中，計算出AB；再在Rt△

中，計算出，則可得出梯子往上移動的距離為（-AB）m.即梯子頂端A點大約向上移動了0.16m，而不是向上移動0.5m.因此=3.87-3.71=0.16（m）.在Rt△

中，=4m，

=1m，故（“引葭赴岸”問題）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊.問水深，葭長各幾何？”意思是：有一個邊長為10尺的正方形池塘，一棵蘆葦生長在池的中央，其出水部分為1尺.如果將蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，它的頂端恰好碰到池邊的水面.問：水深與蘆葦長分別為多少？例2宋刻《九章算術》書影在Rt△ACB′中，根據勾股定理，得x2+52=（x+1）2，答：水池的深度為12尺，蘆葦長為13尺.如圖1-18，設水池的深度為x尺，則AC=x尺，AB=AB′=（x+1）尺.解：圖1-18因為正方形池塘的邊長為10尺，所以B′C=5尺.解得x=12.則x+1=13.1.如圖，一艘漁船以30海里/時

的速度由西向東追趕魚群.在A

處測得小島C

在船的北偏東60°方向；40min后，漁船行至B處，此時測得小島C在船的北偏東30°方向.已知以小島C

為中心，周圍10海里以內有暗礁，問：這艘漁船繼續向東追趕魚群是否有觸礁的危險？練習解：過點C作CD⊥AB，垂足為D，DCD的距離不在以點C為中心，周圍10海里范圍內，∴輪船不會觸礁.由題意，得AB=30×（海里）.

在Rt△CBD中，∠BCD=30°，BC=AB=20海里，∴BD=10海里.2.如圖，AE是位于公路邊的電線桿，高為12m，為了使電線CDE

不影響汽車的正常行駛，電力部門在公路的另一邊豎立了一根高為6m的水泥撐桿BD，用于撐起電線.已知兩根桿子之間的距離為8m，電線CD

與水平線AC

的夾角為60°.求電線CDE

的總長L（A，B，C

三點在同一直線上，電線桿、水泥桿的粗細忽略不計）.在下圖中，過點D作DM⊥AE，垂足為M.解：M易知四邊形MABD為矩形，所以MA=BD=6m，所以ME=EA-MA=12-6=6(m).在Rt△EMD中，由勾股定理，得所以L=ED+CD=10+（m）.M在Rt△DBC中,∠CDB=30°,設BC=x,則DC=2x.由勾股定理，得x2+62=(2x)2

，解得

x=我們已經知道勾股定理：“直角三角形兩直角邊a，b

的平方和，等于斜邊c的平方.”那么這個定理的逆命題成立嗎？探究如圖1-19，在△ABC

中，AB=c，BC=a，AC=b，且a2+b2

=c2，那么△ABC是直角三角形嗎？圖1-19

如果我們能構造一個直角三角形，然后證明△ABC與所構造的直角三角形全等，即可得△ABC是直角三角形.∵a2+b2

=c2，圖1-20∴

=c.如圖1-20，作Rt

，使∠=90°，

=

a，=b.△在Rt

中，根據勾股定理，得

2=a2+b2

.△∴2=c2.∴△ABC是直角三角形.先構造滿足某些條件的圖形，再根據所求證的圖形與所構造圖形之間的關系，完成證明，這也是常用的問題解決策略.在△ABC和中，∵BC=

=

a，AC=

=b，AB=

=c，△∴△ABC≌△∴∠C=∠

=90°.結論如果三角形的三條邊長a，b，c滿足關系：，那么這個三角形是直角三角形.由此得到直角三角形的判定定理：上述定理被稱為勾股定理的逆定理.分析

根據勾股定理的逆定理，判斷一個三角形是不是直角三角形，只要看兩條較短邊長的平方和是否等于最長邊的平方.例3判斷由線段a，b，c組成的三角形是不是直角三角形.（1）a=6，b=8，c=10；（2）a=12，b=15，c=20.

滿足a2+b2

=c2的三個正整數稱為勾股數.（2）∵122+152=369，202=400，∴122+152≠202.∴這個三角形不是直角三角形.（1）∵62+82=100，102=100，∴62+82=102.∴這個三角形是直角三角形.解例4如圖1-21，在△ABC中，已知AB=10，BD=6，AD=8，AC=17.求DC的長.在△ABD中，AB=10，BD=6，AD=8，∵62+82=102

，解即AD2+BD2=AB2

，∴△ADB為直角三角形.∴∠ADB=90°.∴∠ADC=180°-∠ADB=90°.在Rt△ADC中，DC2=AC2-AD2，∴圖1-21練習1.判斷由線段a，b，c組成的三角形是不是直角三角形.（1）

a=8，b=15，c=17；（2）a=10，b=24，c=25；（3）a=4，b=5，c=.答：（1）是

；（2）不是；（3）是.2.如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，F為CD的中點，E是BC上一點，且EC=BC.求證：△AEF是直角三角形.證明：由已知可得DF=CF=2，

EC=1，BE=3.在Rt△ADF中，由勾股定理，得AF2=DF2+AD2=22+42=20.同理可得AE2=25，EF2=5.在△AEF中，因為AE2

=AF2+

EF2，所以△AEF是直角三角形.例如圖，在Rt△ABD中，∠D=90°，C為AD上一點，則x可能是（）.A.10°B.20°C.30°D.40°B因為6x>90，所以x>15.又6x<180，所以x<30.故選B.解此題題目中除了直角并未給出任何其他角的具體度數，因此要求出x的值，只能大致估計其范圍，再在選項中選擇可能的取值.分析第1章直角三角形1.3直角三角形全等的判定1.如圖，△ABC≌△DEF，指出它們的對應邊、對應角.ADBECF2.我們已經學過判定全等三角形的方法有哪些？AB——DE，AC——DF，BC——EF，∠A——∠D，∠B——∠DEF，∠ACB——∠FSSS、SAS、ASA、AAS知識回顧

直角三角形全等的判定

斜邊、直角邊定理斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.例1如圖，BD，CE分別是△ABC的高，且BE=CD.求證：Rt△BEC≌Rt△CDB.自主探究ABCDE證明：∵BD，CE是△ABC的高，∴∠BEC=∠CDB=90°.在Rt△BEC和Rt△CDB中，∵BC=CB,BE=CD,∴Rt△BEC≌Rt△CDB(HL).AFCEDB1、如圖，AB=CD，BF⊥AC，DE⊥AC，AE=CF.求證：BF=DE.G隨堂練習2、如圖，AC=AD，∠C，∠D是直角，將上述條件標注在圖中，你能說明BC與BD相等嗎？解：在Rt△ACB和Rt△ADB中,

∴Rt△ACB≌Rt△ADB(HL).∴BC=BD(全等三角形的對應邊相等).D3、如圖，兩根長度為12米的繩子，一端系在旗桿上，另一端分別固定在地面兩個木樁上，兩個木樁離旗桿底部的距離相等嗎？請說明你的理由.解：BD=CD.理由：因為∠ADB=∠ADC=90°.所以在Rt△ABD和Rt△ACD中，

AB=AC，AD=AD，所以Rt△ABD≌Rt△ACD(HL).所以BD=CD.直角三角形全等的判定SSS

一般三角形全等的判定SASASAAASSSSSASASAAASHL靈活運用各種方法證明直角三角形全等.知識梳理第1章直角三角形1.4角平分線的性質回憶舊知角平分線是以一個角的頂點為端點的一條射線，它把這個角分成兩個相等的角.新知探究如圖，在∠AOB的平分線OC上任取一點P，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，試問PD與PE相等嗎？ABOPC將∠AOB沿OC對折，可以發現PD與PE重合，即PD與PE相等.DE解∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∵∠PDO=∠PEO，∠DOP=∠EOP，OP=OP，∴△PDO≌△PEO.∴PD=PE.角平分線上的點到角的兩邊的距離相等.由此得到角平分線的性質定理：OEPDACB思考角的內部到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上嗎？

如圖，點P在的內部，作

垂足分別為點D，E.若PD=PE，那么點P在的平分線上嗎？如圖，過點O，P作射線OC.∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在Rt△PDO和Rt△PEO中，∵OP=OP，PD=PE，∴Rt△PDO≌Rt△PEO.∴∠AOC=∠BOC.∴OC是∠AOB的平分線，即點P在∠AOB的平分線OC上.角的內部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.由此得到角平分線的性質定理的逆定理：【例1】如圖，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2.（1）求證：點B在∠ADC的平分線上；（2）求證：BD平分∠ABC.ABCD12證明：（1）在△ABC中，∵∠1=∠2，∴BA=BC.又BA⊥AD，BC⊥CD，∴點B在∠ADC的平分線上.（2）在Rt△BAD和Rt△BCD中，∵BA=BC，BD=BD，∴Rt△BAD≌Rt△BCD.∴∠ABD=∠CBD.∴BD平分∠ABC.1.如圖，在直線MN上求作一點P，使點P到∠AOB兩邊的距離相等.BAOMN解：如圖.P練習2.如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，BD=CD.求證：AB=AC.ABCDEF證明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，∴DE=DF.∵BD=CD,∴Rt△DBE≌Rt△DCF.∴∠B=∠C.∴AB=AC.如圖，已知EF⊥CD，EF⊥AB，MN⊥AC，M是EF的中點.需添加一個什么條件，就可使CM，AM分別為∠ACD和∠CAB的平分線呢？

CDBAEFMN可以添加條件MN=ME（或MN=MF）.∵ME⊥CD，MN⊥CA，∴M在∠ACD的平分線上，即CM是∠ACD的平分線.同理可得AM是∠CAB的平分線.