會計學15、機器人動力學第五章、機器人動力學機器人動力學是研究機器人的運動和作用力之間的關系。機器人動力學的用途：機器人的最優控制；優化性能指標和動態性能、調整伺服增益；設計機器人：算出實現預定運動所需的力/力矩；機器人的仿真：根據連桿質量、負載、傳動特征的動態性能仿真。第1頁/共42頁動力學方法很多，如Lagrange、Newton-Euler、Gauss、Kane、Screw、Roberson-Wittenburg。機器人是一個具有多輸入和多輸出的復雜的動力學系統，存在嚴重的非線性，需要非常系統的方法來處理。動力學的原問題：給定力/力矩，求解機器人的運動；是非線性的微分方程組，求解困難。動力學的逆問題：已知機器人的運動，計算相應的力/力矩，即實現預定運動所需施加的力矩；不求解非線性方程組，求解簡單。第2頁/共42頁5.1Lagrange動力學方法Lagrange法：能以最簡單的形式求得非常復雜的系統動力學方程，而且具有顯式結構。Lagrange函數L定義：任何機械系統的動能和勢能之差動能和勢能可以用任意選取的坐標系來表示，不局限于笛卡兒坐標則該機械系統的動力學方程為：（5-1）假設機器人的廣義坐標為第3頁/共42頁廣義速度將代入到（5-1）式中：（5-2）第4頁/共42頁例：圖示R-P機器人，求其動力學方程。1、質心的位置和速度為了寫出連桿1和連桿2（質量和）的動能和勢能，需要知道它們的質心在共同的笛卡兒坐標系中的位置和速度。質心的位置是rXY1r速度是速度的模方是

笛卡兒Cartesian(Latin)[ka:’ti:zj?n]Descartes[dei’ka:t]:法國哲學家、數學家、物理學家，1596-1650，將笛卡爾坐標體系公式化而被認為是解析幾何之父。第5頁/共42頁質心的位置是速度是速度的模方是2、機器人的動能第6頁/共42頁4、機器人的動力學方程根據式5-2，分別計算關節1和關節2上的力/力矩3、機器人的勢能第7頁/共42頁關節1上的作用力第8頁/共42頁關節2上的作用力該R-P機器人的動力學方程為：該方程表示關節上的作用力與各連桿運動之間的關系加速度部分速度部分位置部分第9頁/共42頁4、Lagrange動力學方程的一般形式第10頁/共42頁慣性力項向心力項哥式力項重力項對照可得：第11頁/共42頁有效慣量對于移動關節是質量，對于轉動關節是慣性矩機器人的有效慣性量和耦合慣性量，隨機器人的形態變化而變化，跟負載、機器人是自由狀態/鎖死狀態有關，變換范圍大，對機器人的控制影響巨大。對于一個機器人的控制而言，需要計算出各個有效慣量、耦合慣量與機器人位置形態之間的關系。第12頁/共42頁假設R-P機器人的實際參數為：rXY1r例:第13頁/共42頁重力負載變化極大，在垂直狀態是零，在水平時是最大（196）對機器人控制影響很大，在實際中采用平衡的方法或前饋補償的方法。XY第14頁/共42頁Lagrange動力學方法的基本步驟：1、計算各連桿的質心的位置和速度；2、計算機器人的總動能；3、計算機器人的總勢能；4、構造Lagrange函數L；5、推導動力學方程。第15頁/共42頁5.2慣性矩陣、慣性積和慣性張量在R-P機器人的例子中假設各連桿的質量集中在一點，實際上各連桿的質量是均勻分布的，對于這種情況存在幾個特殊的公式。XYZlwh1、圖示均質剛體，繞X、Y、Z軸的慣性矩陣定義為：{A}2、慣性積（混合矩）定義為：第16頁/共42頁3、對于給定的坐標系{A}，慣性張量定義為慣性張量跟坐標系的選取有關，如果選取的坐標系使各慣性積為零，則此坐標系下的慣性張量是對角型的，此坐標系的各軸叫慣性主軸，質量矩叫主慣性矩。相對于某一坐標系的質量分布的二階矩陣，表示物體的質量分布剛體質量和分布的一階矩陣定義為：第17頁/共42頁4、偽慣性矩陣定義為質量分布的一階矩和二階矩的向量組成偽慣性矩陣與慣性張量之間的關系為：相對于原點的慣性矩偽慣性矩陣與選取的坐標系有關，如果選取的坐標系的原點在剛體的質心，且選取坐標軸的方向使,則此坐標系稱為剛體的主坐標系,偽慣性矩陣為對角型的.第18頁/共42頁例：如圖示坐標系，求密度為的均勻長方體的慣性張量和偽慣性矩陣。XYZlwh{A}解：長方體的質量為質心坐標為

慣性矩為

第19頁/共42頁慣性張量為慣性積為第20頁/共42頁偽慣性矩陣為慣性張量和偽慣性矩陣代表剛體質量分布相對于某一坐標系的二階矩和一階矩，具有下列特點：1）所有慣性矩恒為正，慣性積可正可負；2）當坐標系方位改變時，不變；3）慣性張量的特征值和特征矢量分別為剛體相應的主慣性矩和慣性主軸。第21頁/共42頁5.3Newton-Euler動力學方法達朗貝爾原理：對于任何物體，外加力和運動阻力（慣性力）在任何方向上的代數和為零。將靜力平衡條件用于動力學問題。1）、牛頓第二定律（力平衡方程）：連桿i的質量連桿i質心的線速度作用在連桿i上的外力合矢量1、達朗貝爾原理一個剛體的運動可分解為固定在剛體上的任意一點的移動以及該剛體繞這一點的轉動兩部分,因此達朗貝爾原理可表示成兩部分:作用在連桿i上的合力等于連桿i的質量與質心加速度的乘積第22頁/共42頁作用在連桿i上的合力矩與連桿i質心的角加速度、角速度和慣性張量之間的關系達朗貝爾原理將靜力平衡條件用于動力學問題，既考慮外加驅動力又考慮物體產生加速度的慣性力。2）歐拉方程（力矩平衡方程）：連桿i在坐標系{C}中關于質心的慣性張量連桿i的角速度作用在連桿i上的外力矩合矢量角動量陀螺力矩第23頁/共42頁2、力和力矩的遞推公式在靜力學分式中得到了力和力矩的平衡方程式連桿i處于平衡狀態時，所受合力為零，力平衡方程為{i＋1}{i}nifimigni+1fi+1-fi+1-ni+1力矩平衡方程為第24頁/共42頁連桿i在運動的情況下，作用在i的合力為零，得力平衡式（不考慮重力）：作用在質心上的外力矩矢量合為零，得力矩平衡式（不考慮重力）：寫成從末端連桿向內迭代的形式：與靜力遞推不同的是考慮了慣性力和力矩i坐標系第25頁/共42頁各關節上所需的扭矩等于連桿作用在它相鄰連桿的力矩的Z軸分量對于移動關節，關節驅動力為對于轉動關節，關節驅動力為操作臂在自由空間運動時，末端力的初值選擇為操作臂與外部環境有接觸時，末端力的初值選擇為第26頁/共42頁3、遞推的Newton-Euler動力學算法算法分兩部分：1）外推：從連桿1到n遞推計算各連桿的速度和加速度；2）內推：從連桿n到連桿1遞推計算各連桿內部相互作用的力和力矩及關節驅動力和力矩。1）外推計算各連桿速度和加速度，i:0→n：轉動關節i+1移動關節i+1轉動關節移動關節第27頁/共42頁轉動關節移動關節第28頁/共42頁2)向內遞推力、力矩,i:n→1：4、考慮重力的動力學算法令即機器人基座受到的支撐作用相當于向上的重力加速度g，這樣處理將各連桿重力的作用都包含在其中了，與各連桿重力的影響完全一樣，因此使計算簡便。轉動關節移動關節第29頁/共42頁Newton-Euler動力學算法有兩種用法：1）數值計算：已知連桿質量、慣性張量、質心矢量等2）封閉公式：即用關節變量、關節變量的速度和加速度表示的關節力的封閉形式例：XY12l1l2m1m22R機械手如圖所示，兩桿質量集中在連桿末端。Newton-Euler遞推公式中的運動學和動力學參數分別為：兩桿質心矢徑：相對質心的慣性張量：末端執行器的作用力：基座的運動（靜止）：重力作用：可比較重力和慣性力的影響大小、向心力和哥氏力的影響第30頁/共42頁連桿之間的旋轉矩陣為：1）外推計算速度和加速度：第31頁/共42頁連桿1：第32頁/共42頁連桿2：第33頁/共42頁2）內推計算力和力矩：連桿2：連桿1：第34頁/共42頁兩個關節的驅動力矩為：以關節位置、速度和加速度為變量的關節驅動力矩表達式，可以看出該2R機器人的封閉形式的動力學方程是比較復雜的，推論可知6自由度機器人的封閉形式的動力學方程會更復雜。第35頁/共42頁5、不同空間的動力學方程形式前面推導的2R平面機械手的動力學方程可寫成質量矩陣n×n對稱陣離心力和哥氏力,n×1重力,n×1狀態方程關節空間的動力學方程對于2R平面機械手，其質量矩陣D(q)為是的系數矩陣對稱和正定的，存在逆與慣性力相關關節空間的動力學方程狀態量/關節變量第36頁/共42頁離心力：與關節速度的平方有關哥氏力：與兩個關節速度的乘積有關離心力和哥氏力：重力：形位空間的動力學方程（系數都是操作臂位形的系數）哥氏力系數矩陣離心力力系數矩陣與速度有關的項第37頁/共42頁操作空間動力學方程機器人關節空間與操作空間存在如下關系：速度關系：位置關系：加速度關系：關節空間的動力學方程為：操作空間的動力學方程為：動能矩陣/直角坐標系的質量矩陣直角坐標系的離心力和哥氏力直角坐標系的重力廣義操作力第38頁/共42頁廣義操作力矢和關節力矢之間的關系為：將代入，再將F代入上式再與比對，得：如果J(q)的逆存在，則也可表示為：當機器人接近奇異點時，操作空間動力學方程中的某些量趨于無限大，在該方向的運動不可能，動態性能惡化第39頁/共42頁操作運動—關節力矩方程機器人動力學是研究機器人各關節輸入力矩/力與機器人輸出運動之間的關系，因此經?？疾觳僮鬟\動與驅動力矩/力之間關系。和聯立，得或將哥氏力系數矩陣離心力力系數矩陣兩個系數矩陣從展開式中得到，一般第40頁/共42頁5.4Lagrange法和Newton-Euler法的比較Lagrange法：

以最簡單的形式求得復雜系統的動力學方程，具