2023/1/151復習：真值表--邏輯表達式（化簡）--邏輯電路圖例：三變量表決邏輯Y=？邏輯圖？ABCY000000100100011110001011110111112023/1/1522.4邏輯函數的卡諾圖化簡法2.4.1最小項及最小項表達式

2.4.2用卡諾圖表示邏輯函數2.4.3卡諾圖化簡法

2.4.4含有無關項的邏輯函數的化簡

2023/1/1532.4邏輯函數的卡諾圖化簡法

公式化簡法評價：優點：變量個數不受限制。缺點：目前尚無一套完整的方法，結果是否最簡有時不易判斷。

利用卡諾圖可以直觀而方便地化簡邏輯函數。它克服了公式化簡法對最終化簡結果難以確定等缺點?？ㄖZ圖是按一定規則畫出來的方框圖，是邏輯函數的圖解化簡法，同時它也是表示邏輯函數的一種方法?？ㄖZ圖的基本組成單元是最小項，所以先討論一下最小項及最小項表達式。

2023/1/1542.4.1最小項及最小項表達式

（1）最小項

具備以上條件的乘積項共八個，我們稱這八個乘積項為三變量A、B、C的最小項。

設A、B、C是三個邏輯變量，若由這三個邏輯變量按以下規則構成乘積項：①每個乘積項都只含三個因子，且每個變量都是它的一個因子；②每個變量都以反變量(A、B、C)或以原變量(A、B、C)的形式出現一次，且僅出現一次。

AB是三變量函數的最小項嗎？ABBC是三變量函數的最小項嗎？

推廣：一個變量僅有原變量和反變量兩種形式，因此N個變量共有2N個最小項。2023/1/155

最小項的定義:對于N個變量，如果P是一個含有N個因子的乘積項，而且每一個變量都以原變量或者反變量的形式，作為一個因子在P中出現且僅出現一次，那么就稱P是這N個變量的一個最小項。表1-17三變量最小項真值表

2023/1/156（2）最小項的性質

①對于任意一個最小項，只有一組變量取值使它的值為1，而變量取其余各組值時，該最小項均為0；②任意兩個不同的最小項之積恒為0；③變量全部最小項之和恒為1。2023/1/157

最小項也可用“mi”

表示，下標“i”即最小項的編號。編號方法：把最小項取值為1所對應的那一組變量取值組合當成二進制數，與其相應的十進制數，就是該最小項的編號。

表1-18三變量最小項的編號表

2023/1/158

（3）最小項表達式

任何一個邏輯函數都可以表示為最小項之和的形式——標準與或表達式。而且這種形式是惟一的，就是說一個邏輯函數只有一種最小項表達式。例1:將Y=AB+BC展開成最小項表達式。解：或：2023/1/159例2:寫出三變量函數的最小項表達式。解利用摩根定律將函數變換為與或表達式，然后展開成最小項之和形式。2023/1/1510練習：1：將邏輯函數展開為最小項表達式2：若最小項表達式為Y(A,B,C)=Σm(0,1,2,7),寫出其對應的最小項與或表達式2023/1/15112.4.2用卡諾圖表示邏輯函數

（1）卡諾圖及其構成原則

卡諾圖是把最小項按照一定規則排列而構成的方框圖。構成卡諾圖的原則是：

①N變量的卡諾圖有2N個小方塊（最小項）；

②最小項排列規則：幾何相鄰的必須邏輯相鄰。

邏輯相鄰：兩個最小項,只有一個變量的形式不同,其余的都相同。邏輯相鄰的最小項可以合并。

幾何相鄰的含義：一是相鄰——緊挨的；二是相對——任一行或一列的兩頭；三是相重——對折起來后位置相重。在五變量和六變量的卡諾圖中，用相重來判斷某些最小項的幾何相鄰性，其優點是十分突出的。2023/1/1512圖1-11三變量卡諾圖的畫法

（2）卡諾圖的畫法首先討論三變量（A、B、C）函數卡諾圖的畫法。①3變量的卡諾圖有23個小方塊；②幾何相鄰的必須邏輯相鄰：變量的取值按00、01、11、10的順序（循環碼）排列。相鄰相鄰2023/1/1513圖1-12四變量卡諾圖的畫法相鄰相鄰不相鄰

正確認識卡諾圖的“邏輯相鄰”：上下相鄰，左右相鄰，并呈現“循環相鄰”的特性，它類似于一個封閉的球面，如同展開了的世界地圖一樣。對角線上不相鄰。2023/1/1514

（1）從真值表畫卡諾圖根據變量個數畫出卡諾圖，再按真值表填寫每一個小方塊的值（0或1）即可。需注意二者順序不同。

例3：

已知Y的真值表，要求畫Y的卡諾圖。表1-19邏輯函數Y的真值表ABCY00000011010101101001101011001111圖1-12例3的卡諾圖2023/1/1515練習：三變量表決邏輯真值表填入卡諾圖ABCY000000100100011110001011110111112023/1/1516

（2）從最小項表達式畫卡諾圖

把表達式中所有的最小項在對應的小方塊中填入1，其余的小方塊中填入0。例4：

畫出函數Y(A、B、C、D)=∑m(0,3,5,7,9,12,15)的卡諾圖。

圖1-14例4的卡諾圖2023/1/1517

（3）從與－或表達式畫卡諾圖把每一個乘積項所包含的那些最小項（該乘積項就是這些最小項的的公因子）所對應的小方塊都填上1，剩下的填0，就可以得到邏輯函數的卡諾圖。

例5：已知，畫卡諾圖。2023/1/15181ABCD=01111+1ACD=101最后將剩下的填01111AB＝11熟悉后也可以直接由表達式填卡諾圖。2023/1/1519

（4）從一般形式表達式畫卡諾圖

先將表達式變換為與或表達式，再畫出卡諾圖。

2023/1/1520例6：

解：（1）利用摩根定律去掉非號，直到最后得到一個與或表達式，即

（2）根據與或表達式畫出卡諾圖，如下圖所示。2023/1/15212023/1/1522

（1）卡諾圖中最小項合并的規律合并相鄰最小項，可消去變量。合并兩個最小項，可消去一個變量；合并四個最小項，可消去兩個變量；合并八個最小項，可消去三個變量。合并2N個最小項，可消去N個變量。2.4.3卡諾圖化簡法

由于卡諾圖兩個相鄰最小項中，只有一個變量取值不同，而其余的取值都相同。所以，合并相鄰最小項，利用公式A+A=1，AB＋AB＝A，可以消去一個或多個變量，從而使邏輯函數得到簡化。

2023/1/1523圖1-15兩個最小項合并

m3m11BCD2023/1/1524圖1-16四個最小項合并

2023/1/1525圖1-17八個最小項合并2023/1/1526（2）利用卡諾圖化簡邏輯函數

A．基本步驟：

①畫出邏輯函數的卡諾圖；②合并相鄰最小項（圈組）；③從圈組寫出最簡與或表達式。

關鍵是能否正確圈組。

B．正確圈組的原則①必須按2、4、8、2N的規律來圈取值為1的相鄰最小項；②每個取值為1的相鄰最小項至少必須圈一次，但可以圈多次；③圈的個數要最少（與項就少），并要盡可能大（消去的變量就越多）。2023/1/1527

C．從圈組寫最簡與或表達式的方法：

①將每個圈用一個與項表示

圈內各最小項中互補的因子消去，相同的因子保留，相同因子取值為1用原變量，相同因子取值為0用反變量；

②將各與項相或，便得到最簡與或表達式。2023/1/1528例7：用卡諾圖化簡邏輯函數

Y(A、B、C、D)=∑m(0,1,2,3,4,5,6,7,8,10,11)

解：相鄰A2023/1/1529相鄰BCA2023/1/1530BCABD2023/1/1531

例8：

化簡圖示邏輯函數。解：多余的圈112233442023/1/1532

圈組技巧(防止多圈組的方法)：

①先圈孤立的1；

②再圈只有一種圈法的1；③最后圈大圈；④檢查：每個圈中至少有一個1未被其它圈圈過。2023/1/1533圖1-18例9卡諾圖化簡過程例9：化簡函數解：化簡步驟如下：①函數的卡諾圖如圖1-18所示，“0”可以不填。②畫卡諾圈：如圖1-18所示2023/1/1534

③按消去不同、保留相同的方法寫出邏輯表達式。

例10：

化簡

Y(A,B,C,D)=∑m(0,1,2,3,4,5,8,10,11)解（1）畫出函數的卡諾圖,如圖1-19所示。（2）

按合并最小項的規律可畫出三個卡諾圈，如圖1-19所示。（3）

寫出化簡后的邏輯表達式。2023/1/1535

圖1-19例10的卡諾圖

2023/1/1536卡諾圖化簡最簡結果不一定唯一例：解1：解2：2023/1/1537練習：卡諾圖化簡將三變量表決邏輯用卡諾圖化簡化簡：F(A,B,C,D)=Σm（0，1，2，4，5，6，8，9，12，13，14）化簡：化簡：化簡：2023/1/15382.4.4具有無關項的邏輯函數及其化簡

①無關項的概念

對應于輸入變量的某些取值下，輸出函數的值可以是任意的(隨意項、任意項)，或者這些輸入變量的取值根本不會（也不允許）出現(約束項)，通常把這些輸入變量取值所對應的最小項稱為無關項或任意項，在卡諾圖中用符號“×”表示，在標準與或表達式中用∑d（）表示。例：當8421BCD碼作為輸入變量時，禁止碼1010～1111這六種狀態所對應的最小項就是無關項。

2023/1/1539

②具有無關項的邏輯函數及其化簡

因為無關項的值可以根據需要取0或取1，所以在用卡諾圖化簡邏輯函數時，充分利用無關項，可以使邏輯函數進一步得到簡化。2023/1/1540

例11：設ABCD是十進制數X的二進制編碼，當X≥5時輸出Y為1，求Y的最簡與或表達式。表1-20例11的真值表

XABCDY00

000010

001020

010030

011040

100050

101160

110170

111181

000191

0011/1010×/1011×/1100×/1101×/1110×/1111×解：列真值表，見表1-20所示。

畫卡諾圖并化簡。

2023/1/1541圖1-20例11的卡諾圖

充分利用無關項化簡后得到的結果要簡單得多。注意：當圈組后，圈內的無關項已自動取值為1，而圈外無關項自動取值為0。利用無關項化簡結果為：Y＝A＋BD＋BC2023/1/1542

例12：化簡邏輯函數Y(A、B、C、D)=∑m(1,2,5,6,9)+∑d(10,11,12,13,14,15)式中d表示無關項。圖1-21例12的卡諾圖

解：畫函數的卡諾圖并化簡。結果為：Y＝CD＋CD

2023/1/1543例13：

十字路口的交通信號燈,紅、綠、黃燈分別用A、B、C來表示。燈亮用1來表示，燈滅用0來表示。車輛通行狀態用Y來表示，停車時Y為0，通車時Y為1。用卡諾圖化簡此邏輯函數。解：

(1)在實際交通信號燈工作時，不可能有兩個或兩個以上的燈同時亮(燈全滅時,允許車輛感到安全時可以通行)。根據題目要求列出真值表，如表1-21所示。

(2)根據真值表畫卡諾圖，如圖1-22所示。2023/1/1544表1-21例13的真值表ABCY000001010011100101110111101×0×××2023/1/1545

圖1-22例13的卡諾圖

(3)畫卡諾圈合并最小項,其中約束項可以當作0或1,目的是要得到最簡的結果。

2023/1/1546練習：1：F(A,B,C,D)=∑m(3,5,6,7,10)+∑d(0,1,2,4,8)2：F(A,B,C,D)=∑m(2,3,7,8,11,14)+∑d(0,5,10,15)2023/1/1547邏輯代數應用舉例：例14：給定條件：A從來不說話；B只有A在場時才說話；C在任何情況下甚至一個人時也說話；D只有C在場時才說話。問房中沒有人說話的條件。設：沒人說話時，輸出為1。對變量（A，B，C，D）而言，不在場時為0，在場時為1。列真值表：2023/1/1548

ABCDY0000000100100011010001010110011110001001101010111100110