第二章隨機(suíjī)過程的基本概念馬春光(chūnguāng)machunguang@

哈爾濱工程大學第一頁，共78頁。2第2章隨機(suíjī)過程的基本概念2.1隨機過程的定義(dìngyì)2.2隨機過程的分類和舉例2.3隨機過程的有限維分布函數族2.4隨機過程的數字特征2.5兩個隨機過程的聯合分布和數字特征2.6復隨機過程2.7幾類重要的隨機過程第二頁，共78頁。第2章隨機(suíjī)過程的基本概念2.1隨機過程的定義2.2隨機過程的分類和舉例2.3隨機過程的有限維分布(fēnbù)函數族2.4隨機過程的數字特征2.5兩個隨機過程的聯合分布(fēnbù)和數字特征2.6復隨機過程2.7幾類重要的隨機過程第三頁，共78頁。2.1隨機(suíjī)過程的定義在客觀(kèguān)世界中，有許多隨機現象表現為帶隨機性的變化過程，它不能用一個或幾個隨機變量來刻畫，而要用一族無窮多個隨機變量來描繪，這就是隨機過程.隨機過程是概率論的繼續和發展.被認為是概率論的“動力學”部分.它的研究對象是隨時間演變的隨機現象.事物變化的過程不能用一個（或幾個）時間t的確定的函數來加以描述.對事物變化的全過程進行一次觀察得到的結果是一個時間t的函數，但對同一事物的變化過程獨立地重復進行多次觀察所得的結果是不同的，而且每次觀察之前不能預知試驗結果.第四頁，共78頁。2.1隨機過程(guòchéng)的定義例2.1.1當t(t≥0)固定時，電話交換站在[0,t]時間內收到的呼叫次數是隨機變量，記為X(t).X(t)服從參數為λt的Poisson分布，其中λ是單位時間內平均收到的呼叫次數,且λ>0.如果(rúguǒ)t從0變到+∞，t時刻前收到的呼叫次數需用一族隨機變量{X(t),t∈[0,+∞]}來表示，則該隨機現象就是一個隨機過程.對電話交換站做一次實驗，便可得到一個“呼叫次數—時間函數”(即呼叫次數關于時間t的函數x(t).第五頁，共78頁。2.1隨機過程(guòchéng)的定義這個“呼叫次數—時間函數”是不可能預先確定的，只有通過測量才能得到.由于(yóuyú)呼叫的隨機性，在相同條件下，每次測量都產生不同的“呼叫次數—時間函數”.第六頁，共78頁。2.1隨機(suíjī)過程的定義例2.1.2電子元件或器件由于內部微觀粒子（電子）的隨機熱噪聲引起的端電壓稱為熱噪聲電壓，它在任一確定時刻的值是隨機變量，記為V(t).如果t從0變到+∞，t時刻的熱噪聲電壓需要用一族隨機變量{V(t),t∈[0,+∞]}來表示，則該隨機變量就是(jiùshì)一個隨機過程.對某種裝置做一次試驗，便可得到一個“電壓—時間函數”v(t).這個“電壓—時間函數”是不可能預先確知的，只有通過測量才能得到.如果在相同的條件下獨立地再進行一次測量，則得到的記錄是不同的.第七頁，共78頁。所謂一族隨機變量，首先是隨機變量，從而是該試驗樣本空間上的函數；其次形成一族，因而它還取決于另一個變量，即還是另一參數集上的函數.所以，隨機過程就是一族二元函數.定義(dìngyì)2.1.1設(Ω,F,P)是一個概率空間，T是一個實的參數集，定義(dìngyì)在Ω和T上的二元函數X(ω,t)，如果對于任意固定的t∈T，X(ω,t)是(Ω,F,P)上的隨機變量，則稱{X(ω,t),ω∈Ω,t∈T}為該概率空間上的隨機過程（StochasticProcess），簡記為{X(t),t∈T}.2.1隨機(suíjī)過程的定義第八頁，共78頁。2.1隨機(suíjī)過程的定義{X(ω,t),ω∈Ω,t∈T}：固定t=t0∈T，X(t0)是一個隨機變量（第i次試驗值為xi(t0)）.對隨機過程做一次試驗，即固定樣本(yàngběn)點ω∈Ω，得到一個參數t的普通函數x(t).第九頁，共78頁。定義2.1.2設{X(t),t∈T}是隨機過程(guòchéng)，則當t固定時，X(t)是一個隨機變量,稱之為{X(t),t∈T}在t時刻的狀態.隨機變量X(t)(t固定，t∈T)所有可能的取值構成的集合,稱為隨機過程(guòchéng)的狀態空間，記為S.定義2.1.3設{X(t),t∈T}是隨機過程(guòchéng)，則當ω∈Ω固定時，X(t)是定義在上T不具有隨機性的普通函數，記為x(t),稱為隨機過程(guòchéng)的一個樣本函數.其圖像成為隨機過程(guòchéng)的一條樣本曲線（軌道或實現）.2.1隨機(suíjī)過程的定義第十頁，共78頁。例2.1.3設X(t)=Vcosωt,﹣∞<t<+∞其中ω為常數，V服從區間[0,1]上的均勻分布，即

(1)畫出{X(t),﹣∞<t<+∞}的幾條樣本曲線；

(2)求時隨機變量(suíjībiànliànɡ)X(t)的概率密度函數;

(3)求時X(t)的分布函數2.1隨機過程(guòchéng)的定義第十一頁，共78頁。解(1)取則;取V=0,則x(t)=0;取V=1，則x(t)=cosωt.這些都是t的確定函數(hánshù)，即隨機過程的樣本函數(hánshù).2.1隨機過程(guòchéng)的定義第十二頁，共78頁。(2)當t=0時，X(0)=V，故X(0)的概率密度函數就是(jiùshì)V的概率密度函數，即

當時，，故的概率密度函數為2.1隨機過程(guòchéng)的定義第十三頁，共78頁。當時,，故的概率密度函數為

當時，，故的概率密度函數為2.1隨機過程(guòchéng)的定義第十四頁，共78頁。(3)當時，，不論V取何值,

均有，因此，從而的分布(fēnbù)函數為2.1隨機過程(guòchéng)的定義第十五頁，共78頁。第2章隨機(suíjī)過程的基本概念2.1隨機過程的定義2.2隨機過程的分類和舉例2.3隨機過程的有限維分布函數族2.4隨機過程的數字特征(tèzhēng)2.5兩個隨機過程的聯合分布和數字特征(tèzhēng)2.6復隨機過程2.7幾類重要的隨機過程第十六頁，共78頁。2.2隨機過程的分類(fēnlèi)和舉例隨機過程可以根據參數集T和狀態空間S是離散集還是連續集分為四大類.1、離散參數、離散狀態的隨機過程

這類過程的特點是參數集是離散的，同時固定t∈T，X(t)是離散型隨機變量(suíjībiànliànɡ)即其取值也是離散的。例2.2.1（貝努利過程）考慮拋擲一顆骰子的試驗，設Xn是第n(n≥1)次拋擲的點數,對于n=1,2,…的不同值，Xn是不同的隨機變量(suíjībiànliànɡ),因而{Xn,n≥1}構成一隨機過程，稱為貝努利過程,其參數集T={1,2,…}，狀態空間S={1,2,3,4,5,6}.第十七頁，共78頁。例2.2.2設有一質點在x軸上作隨機(suíjī)游動，在t=0時質點處于x軸的原點O，在t=1,2,…時質點可以在x軸上正向或反向移動一個單位，作正向移動一個單位的概率為p，作反向移動一個單位的概率為q=1-p，在t=n時，質點所處的位置為Xn，則{Xn,n=1,2,…}為一隨機(suíjī)過程，其參數集T={0,1,2,…}，狀態空間S={…,-2,-1,0,1,2,…}。2.2隨機過程的分類(fēnlèi)和舉例第十八頁，共78頁。2、離散參數、連續狀態(zhuàngtài)的隨機過程

這類過程的特點是參數集是離散的，對于固定的t∈T，X(t)是連續性隨機變量。例2.2.3設Xn，n=…,-2,-1,0,1,2,…是相互獨立同服從標準正態分布的隨機變量，則{Xn，n=…,-2,-1,0,1,2,…}為一隨機過程，其參數集T={…,-2,-1,0,1,2,…}，狀態(zhuàngtài)空間S=(﹣∞,+∞)2.2隨機(suíjī)過程的分類和舉例第十九頁，共78頁。3、連續參數、離散狀態的隨機過程

這類過程的特點是參數集是連續的，而對于固定的t∈T，X(t)是離散型隨機變量。例2.2.4（Possion過程）設X(t)表示(biǎoshì)在期間[0,t]內到達服務點的顧客數，對于t∈[0,+∞]的不同值，X(t)是不同隨機變量，因而{X(t)，t≥0}構成一隨機過程，其參數集T=[0,+∞]，狀態空間S={0,1,2,…}.2.2隨機過程的分類(fēnlèi)和舉例第二十頁，共78頁。4、連續參數、連續狀態的隨機(suíjī)過程

這類過程的特點是參數集是連續的，而對于固定的t∈T，X(t)是連續型隨機(suíjī)變量。例2.2.5設X(t)=Acos(ωt+Φ),﹣∞<t<+∞,其中A>0,ω是常數,Φ服從區間[-π,π]上的均勻分布，則{X(t),﹣∞<t<+∞}是一隨機(suíjī)過程，其參數集T=(﹣∞,+∞)，狀態空間S=[-A,A].2.2隨機過程(guòchéng)的分類和舉例第二十一頁，共78頁。第2章隨機(suíjī)過程的基本概念2.1隨機過程的定義2.2隨機過程的分類和舉例2.3隨機過程的有限維分布函數族2.4隨機過程的數字特征2.5兩個(liǎnɡɡè)隨機過程的聯合分布和數字特征2.6復隨機過程2.7幾類重要的隨機過程第二十二頁，共78頁。2.3隨機過程的有限維分布(fēnbù)函數族定義2.3.1設{X(t),t∈T}是一個隨機過程(guòchéng)，對于任意固定的t∈T,X(t)是隨機變量，稱

F(t;x)=P(X(t)≤x),x∈R,t∈T

為隨機過程(guòchéng){X(t),t∈T}的一維分布函數；對于任意固定的t1,t2∈T，X(t1),X(t2)是兩個隨機變量，稱

F(t1,t2;x1,x2)=P(X(t1)≤x1,X(t2)≤x2),x1,x2∈R,t1,t2∈T

為隨機過程(guòchéng)的二維分布函數；第二十三頁，共78頁。一般地，對于任意固定(gùdìng)的t1,t2,…,tn∈T,X(t1),X(t2),…,X(tn)是n個隨機變量，稱

F(t1,t2,…,tn;x1,x2,…,xn)=P(X(t1)≤x1,X(t2)≤x2,…,X(tn)≤xn),

xi∈R,ti∈T,i=1,2,…,n為隨機過程{X(t),t∈T}的n維分布函數.2.3隨機過程的有限(yǒuxiàn)維分布函數族第二十四頁，共78頁。定義2.3.2設{X(t),t∈T}是一隨機過程，其一維分布函數，二維分布函數，……，n維分布函數，……，的全體

F={F(t1,t2,…,tn;x1,x2,…,xn),xi∈R,ti∈T,i=1,2,…,n,n∈N}稱為隨機過程{X(t),t∈T}的有限維分布函數族.容易(róngyì)看出，隨機過程的有限維分布函數族具有對稱性和相容性.2.3隨機(suíjī)過程的有限維分布函數族第二十五頁，共78頁。1、對稱性

設i1,i2,…,in是1,2,…,n的任一排列(páiliè)，則

事實上，

2.3隨機(suíjī)過程的有限維分布函數族第二十六頁，共78頁。2、相容性

設m<n,則

事實上，2.3隨機過程的有限維分布(fēnbù)函數族第二十七頁，共78頁。定義2.3.3設{X(t),t∈T}是一隨機過程，對于任意(rènyì)固定的t1,t2,…,tn∈T,X(t1),X(t2),…,X(tn)是n個隨機變量，稱

ui∈R,ti∈T,i=1,2,…,n,j=為隨機過程{X(t),t∈T}的n維特征函數.2.3隨機(suíjī)過程的有限維分布函數族第二十八頁，共78頁。稱

為隨機過程{X(t),t∈T}的有限維特征函數族.例2.3.1設X(t)=A+Bt,t≥0,其中A和B是相互(xiānghù)獨立的隨機變量，分別服從正態分布N(0,1)，試求隨機過程

{X(t),t≥0}的一維和二維分布.2.3隨機過程的有限維分布(fēnbù)函數族第二十九頁，共78頁。解先求一維分布.是正態隨機變量(suíjībiànliànɡ)，因為

E[X(t)]=EA+tEB=0

D[X(t)]=DA+t2DB=1+t2

所以X(t)服從正態分布N(0,1+t2),從而{X(t),t≥0}的一維分布為

X(t)~N(0,1+t2),t≥0

再求二維分布，，從而2.3隨機過程(guòchéng)的有限維分布函數族第三十頁，共78頁。又A,B相互獨立同服從正態分布，故(A,B)服從二維正態分布，從而(X(t1),X(t2))也服從二維正態分布.

E[X(t1)]=0，E[X(t2)]=0

D[X(t1)]=1+t12,D[X(t2)]=1+t22

cov(X(t1),X(t2))=E[X(t1)X(t2)]-E[X(t1)]E[X(t2)]

=E[(A+Bt1)(A+Bt2)]

=1+t1t2

故(X(t1),X(t2))的均值向量(xiàngliàng)為0=(0,0)，協方差矩陣為2.3隨機過程的有限(yǒuxiàn)維分布函數族第三十一頁，共78頁。

所以(suǒyǐ)隨機過程{X(t),t≥0}的二維分布為

(X(t1),X(t2))~N(0,B),t1,t2≥02.3隨機過程的有限(yǒuxiàn)維分布函數族第三十二頁，共78頁。例2.3.2令X(t)=Acost,﹣∞<t<+∞,其中A是隨機變量(suíjībiànliànɡ)，其分布律為

P(A=i)=,i=1,2,3

試求

(1)隨機過程{X(t),﹣∞<t<+∞}的一維分布函數

(2)隨機變量(suíjībiànliànɡ){X(t),﹣∞<t<+∞}的二維分布函數2.3隨機(suíjī)過程的有限維分布函數族第三十三頁，共78頁。解(1)先求.由于，因此

的可能(kěnéng)取值為，并且2.3隨機(suíjī)過程的有限維分布函數族第三十四頁，共78頁。于是(yúshì)

再求.由于因此只能取0值，于是(yúshì)2.3隨機過程(guòchéng)的有限維分布函數族第三十五頁，共78頁。(2)因為(yīnwèi)2.3隨機過程的有限(yǒuxiàn)維分布函數族第三十六頁，共78頁。所以(suǒyǐ)2.3隨機過程的有限(yǒuxiàn)維分布函數族第三十七頁，共78頁。第2章隨機(suíjī)過程的基本概念2.1隨機過程的定義2.2隨機過程的分類和舉例2.3隨機過程的有限維分布函數族2.4隨機過程的數字特征2.5兩個(liǎnɡɡè)隨機過程的聯合分布和數字特征2.6復隨機過程2.7幾類重要的隨機過程第三十八頁，共78頁。2.4隨機過程的數字(shùzì)特征1、隨機過程的均值函數

設{X(t),t∈T}是一隨機過程，是一個(yīɡè)隨機變量，如果E[X(t)]存在，記為mX(t)，則稱mX(t),t∈T為{X(t),t∈T}的均值函數.如果{X(t),t∈T}的一維分布函數為F(t;x)，那么

t∈T隨機過程的均值函數mX(t)在t時刻的值，表示隨機過程在t時刻所處狀態取值的理論平均值，當t∈T時，mX(t)在幾何上表示一條固定的曲線.第三十九頁，共78頁。2、隨機(suíjī)過程的方差函數

設{X(t),t∈T}是一隨機(suíjī)過程，是一隨機(suíjī)變量，如果D[X(t)]存在，記為DX(t)，則稱DX(t)，t∈T為{X(t),t∈T}的方差函數.顯然

DX(t)=D[X(t)]=E[X(t)-mx(t)]2,t∈T隨機(suíjī)過程的方差函數DX(t)在t時刻的值，表示隨機(suíjī)過程在t時刻所處狀態取值離開均值的偏差程度，當t∈T時，DX(t)是一個普通的函數.2.4隨機過程的數字(shùzì)特征第四十頁，共78頁。3、隨機過程的協方差函數(hánshù)

設{X(t),t∈T}是一隨機過程,X(s),X(t)是兩個隨機變量，如果cov(X(s),X(t))存在，記為Cx(s,t),則稱Cx(s,t),s,t∈T為{X(t),t∈T}的協方差函數(hánshù).

顯然

Cx(s,t)=cov(X(s),X(t))=E[(X(s)-mx(s))(X(t)-mx(t))]=E[X(s)X(t)]-mx(s)mx(t),t∈T

2.4隨機過程的數字(shùzì)特征第四十一頁，共78頁。隨機過程的協方差函數Cx(s,t)在s,t∈T時刻(shíkè)的絕對值表示隨機過程在時刻(shíkè)s,t所處狀態的線性聯系的密切程度，若Cx(s,t)的絕對值較大，則在兩個時刻(shíkè)s,t的狀態X(s),X(t)線性聯系較密切；若Cx(s,t)的絕對值較小，則在兩個時刻(shíkè)s,t的狀態X(s),X(t)線性聯系不密切.4、隨機過程的相關函數

設{X(t),t∈T}是一隨機過程，，X(s),X(t)是兩個隨機變量，如果E[X(s)X(t)]存在，記為Rx(s,t),則稱Rx(s,t),s,t∈T為{X(t),t∈T}的相關函數.2.4隨機過程(guòchéng)的數字特征第四十二頁，共78頁。5、隨機過程的均方值函數

設{X(t),t∈T}是一隨機過程，是一隨機變量，如果(rúguǒ)E[X(t)]2存在，記為Φx(t)，則稱Φx(t),t∈T為{X(t),t∈T}的均方值函數.2.4隨機過程的數字(shùzì)特征第四十三頁，共78頁。6、隨機過程數字(shùzì)特征的關系

隨機過程{X(t),t∈T}的協方差函數、相關函數和均值函數的關系為

Cx(s,t)=Rx(s,t)-mx(s)mx(t)，s,t∈T

在協方差函數的定義式中，取s=t，則隨機過程的方差函數和協方差函數的關系為

DX(t)=Cx(t,t),t∈T

類似地，均方值函數和相關函數的關系為

Φx(t)=Rx(t,t),t∈T2.4隨機過程的數字(shùzì)特征第四十四頁，共78頁。從上述(shàngshù)關系可以看出，均值函數和相關函數是隨機過程的兩個本質數字特征，其它的數字特征可以通過本質的數字特征獲得.隨機過程的均值函數稱為隨機過程的一階矩，均方值函數稱為隨機過程的二階矩.顯然，相關函數、協方差函數、方差函數也是隨機過程的一種二階矩。2.4隨機過程(guòchéng)的數字特征第四十五頁，共78頁。例2.4.1設X(t)=Acosωt+Bsinωt,﹣∞<t<+∞,其中A,B是相互獨立，且都服從正態分布N(0,σ2)的隨機變量，ω是實常數(chángshù).試求{X(t),﹣∞<t<+∞}的均值函數和相關函數.解mX(t)=E[X(t)]=E[Acosωt+Bsinωt]=(EA)cosωt+(EB)sinωt=0RX(s,t)=E[X(s)X(t)]=E[(Acosωs+Bsinωs)(Acosωt+Bsinωt)]=(EA2)cosωscosωt+(EAB)(sinωscosωt+cosωssinωt)+(EB2)sinωssinωt=σ2cosω(t-s)2.4隨機過程的數字(shùzì)特征EA2=(EA)2+DA=σ2

EAB=EAEB=0cosωscosωt+sinωssinωt=

cosω(t-s)第四十六頁，共78頁。例2.4.2設X(t)=acos(ωt+Θ),﹣∞<t<+∞,其中a和ω是常數，Θ是服從[0,2π]上均勻分布的隨機變量，求{X(t),﹣∞<t<+∞}的數字特征(tèzhēng).

解由于Θ的概率密度函數為2.4隨機過程的數字(shùzì)特征第四十七頁，共78頁。于是(yúshì)

2.4隨機過程(guòchéng)的數字特征第四十八頁，共78頁。

2.4隨機(suíjī)過程的數字特征第四十九頁，共78頁。例2.4.3設X(t)=A+Bt,﹣∞<t<+∞,其中A,B是相互獨立的隨機變量，且均值為0，方差(fānɡchà)為1，求{X(t),﹣∞<t<+∞}的數字特征.

解mX(t)=E[X(t)]=E[A+Bt]=EA+tEB=0,﹣∞<t<+∞

RX(s,t)=E[(A+Bs)(A+Bt)]=EA2+(s+t)EAB+stEB2=1+st,﹣∞<t<+∞CX(s,t)=Rx(s,t)-mx(s)mx(t)=1+st,﹣∞<t<+∞

DX(t)=CX(t,t)=1+t2,﹣∞<t<+∞

ΦX(t)=RX(t,t)=1+t2,﹣∞<t<+∞2.4隨機過程(guòchéng)的數字特征第五十頁，共78頁。第2章隨機(suíjī)過程的基本概念2.1隨機過程的定義(dìngyì)2.2隨機過程的分類和舉例2.3隨機過程的有限維分布函數族2.4隨機過程的數字特征2.5兩個隨機過程的聯合分布和數字特征2.6復隨機過程2.7幾類重要的隨機過程第五十一頁，共78頁。2.5兩個隨機過程(guòchéng)的聯合分布和數字特征1、二維隨機過程的聯合分布(fēnbù)函數定義2.5.1設{X(t),t∈T}和{Y(t),t∈T}是兩個隨機過程，稱{X(t),Y(t)，t∈T}為二維隨機過程.定義2.5.2對于任意m≥1,n≥1,t1,t2,…,tm∈T,

(X(t1),X(t2),…,X(tm),)是m+n維隨機變量，稱

為二維隨機過程{X(t),Y(t)，t∈T}的m+n為分布(fēnbù)函數.第五十二頁，共78頁。二維隨機過程{X(t),Y(t)，t∈T}作為一個(yīɡè)整體，具有m+n（任意）維分布函數

{X(t),t∈T}和{Y(t),t∈T}都是隨機過程，分別也有m（任意）維分布函數和n（任意）維分布函數，將他們分別記為

FX(t1,t2,…,tm;x1,x2,…,xm),2.5兩個隨機(suíjī)過程的聯合分布和數字特征第五十三頁，共78頁。定義2.5.3稱FX(t1,t2,…,tm;x1,x2,…,xm),

分別為二維隨機過程{X(t),Y(t)，t∈T}關于{X(t),t∈T}和關于{Y(t),t∈T}的m維邊緣分布函數(hánshù)和n維邊緣分布函數(hánshù).如果對于任意m≥1,n≥1,t1,t2,…,tm∈T，有

那么稱隨機過程{X(t),t∈T}和{Y(t),t∈T}相互獨立.2.5兩個隨機過程的聯合分布和數字(shùzì)特征第五十四頁，共78頁。2、二維隨機過程的數字特征定義2.5.4設{X(t),Y(t),t∈T}是二維隨機過程，

X(s),Y(t)是兩個隨機變量(suíjībiànliànɡ)，如果E[X(s)Y(t)]存在，記為RXY(s,t),則稱RXY(s,t),s,t∈T為{X(t),Y(t),t∈T}的互相關函數.如果cov(X(s),X(t))存在，記為CXY(s,t),則稱CXY(s,t),s,t∈T為{X(t),Y(t)，t∈T}的互協方差函數.顯然

CXY(s,t)=RXY(s,t)-mX(s)mY(t),s,t∈T2.5兩個(liǎnɡɡè)隨機過程的聯合分布和數字特征第五十五頁，共78頁。定義2.5.5設{X(t),t∈T}和{Y(t),t∈T}是兩個隨機過程，如果

CXY(s,t)=0或RXY(s,t)=mX(s)mY(t)，s,t∈T

則稱{X(t),t∈T}和{Y(t),t∈T}不相關.定理(dìnglǐ)2.5.1設{X(t),t∈T}和{Y(t),t∈T}相互獨立，則{X(t),t∈T}和{Y(t),t∈T}不相關.2.5兩個隨機過程(guòchéng)的聯合分布和數字特征第五十六頁，共78頁。第2章隨機(suíjī)過程的基本概念2.1隨機過程的定義2.2隨機過程的分類和舉例2.3隨機過程的有限維分布函數族2.4隨機過程的數字特征2.5兩個(liǎnɡɡè)隨機過程的聯合分布和數字特征2.6復隨機過程2.7幾類重要的隨機過程第五十七頁，共78頁。2.6復隨機(suíjī)過程定義2.6.1設{X(t),t∈T}和{Y(t),t∈T}是定義在同一概率空間上的兩個是隨機過程，令Z(t)=X(t)+jY(t),t∈T,則稱{Z(t)，t∈T}為復隨機過程.定義2.6.2設{Z(t)，t∈T}為復隨機過程.稱

mZ(t)=E[Z(t)],t∈T,為{Z(t)，t∈T}的均值函數(hánshù).稱

,t∈T,為{Z(t)，t∈T}的方差函數(hánshù).稱

CZ(s,t)=cov(Z(s),Z(t))=s,t∈T為{Z(t)，t∈T}的協方差函數(hánshù).稱第五十八頁，共78頁。s,t∈T,為{Z(t)，t∈T}的相關函數稱，t∈T,為{Z(t)，t∈T}的均方值函數.顯然，復隨機過程的數字特征之間有下列關系(guānxì)和結論：

mZ(t)=mX(t)+jmY(t)，t∈T

DZ(t)=DX(t)+DY(t)，t∈T

DZ(t)=CZ(t,t)，t∈T

CZ(s,t)=RZ(s,t)-,s,t∈T

ΦZ(t)=RZ(t,t),t∈T2.6復隨機(suíjī)過程第五十九頁，共78頁。定義2.6.3設{Z1(t)，t∈T}和{Z2(t)，t∈T}是兩個(liǎnɡɡè)復隨機過程，稱

s,t∈T

為{Z1(t)，t∈T}和{Z2(t)，t∈T}的互協方差函數，稱

s,t∈T

為{Z1(t)，t∈T}和{Z2(t)，t∈T}的互相關函數.2.6復隨機(suíjī)過程第六十頁，共78頁。例2.6.1設,﹣∞<t<+∞，其中ω0是正常數，n為固定的正整數，X1,X2,…,Xn,Φ1,Φ2,…,Φn是相互(xiānghù)獨立的實隨機變量，且，Φk~U[0,2π]，k=1,2,…,n.求{Z(t),﹣∞<t<+∞}的均值函數和相關函數.2.6復隨機(suíjī)過程第六十一頁，共78頁。解2.6復隨機(suíjī)過程第六十二頁，共78頁。又

于是(yúshì)2.6復隨機(suíjī)過程第六十三頁，共78頁。第2章隨機(suíjī)過程的基本概念2.1隨機過程的定義2.2隨機過程的分類和舉例2.3隨機過程的有限維分布函數族2.4隨機過程的數字特征2.5兩個(liǎnɡɡè)隨機過程的聯合分布和數字特征2.6復隨機過程2.7幾類重要的隨機過程第六十四頁，共78頁。2.7幾類重要的隨機(suíjī)過程1、二階矩過程定義2.7.1如果隨機過程{X(t),t∈T}的一、二階矩存在（有限(yǒuxiàn)），則稱{X(t),t∈T}是二階矩過程.從二階矩過程的均值函數和相關函數出發討論隨機過程的性質，而允許不涉及它的有限(yǒuxiàn)維分布，這種理論稱為隨機過程的相關理論.由二階矩過程的定義，二階矩過程的均值函數和相關函數總是存在的，進而它的其它數字特征也都存在.第六十五頁，共78頁。定理2.7.1設{X(t),t∈T}是二階矩過程，則相關函數RX(s,t)具有下列性質：

(1)共軛對稱性：

(2)非負定性：即對于(duìyú)任意n≥1,任意t1,t2,…,tn∈T和任意的復數有

2.7幾類重要(zhòngyào)的隨機過程第六十六頁，共78頁。2、正態過程定義2.7.2設{X(t),t∈T}是一隨機過程，如果對于任意n≥1和任意t1,t2,…,tn∈T,(X(t1),X(t2),…,X(tn))是n維正態隨機變量，則稱{X(t),t∈T}為正態過程或高斯過程.顯然(xiǎnrán)，正態過程是二階矩過程，它的有限維分布由它的均值函數和協方差函數完全確定.2.7幾類重要的隨機(suíjī)過程第六十七頁，共78頁。例2.7.1設X(t)=Acosωt+Bsinωt,﹣∞<t<+∞，其中A,B相互獨立，且都服從正態分布N(0,σ2)的隨機變量，ω是實常數.試證明{X(t),﹣∞<t<+∞}是正態過程，并求它的有限(yǒuxiàn)維分布.2.7幾類重要(zhòngyào)的隨機過程第六十八頁，共78頁。證明由于A,B相互獨立(dúlì)，且都服從正態分布N(0,σ2)，因此(A,B)~N(0,σ2E)（E是二階單位矩陣）.對于任意n≥1和任意t1,t2,…,tn∈T，由于

X(t1)=Acosωt1+Bsinωt1

X(t2)=Acosωt2+Bsinωt2

X(tn)=Acosωtn+Bsinωtn

即2.7幾類重要(zhòngyào)的隨機過程第六十九頁，共78頁。因而，(X(t1),X(t2),…,X(tn))是二維正態隨機變量(A,B)的線性變換，所以(suǒyǐ)，(X(t1),X(t2),…,X(tn))是n為正態隨機變量，故{X(t),t∈T}是正態過程.由于{X(t),t∈T}是正態過程，且E[X(t)]=0，因而

(X(t1),X(t2),…,X(tn))~N(0,B),t1,t2,…,tn∈T.其中2.7幾類重要的隨機(suíjī)過程第七十頁，共78頁。3、正交增量過程定義2.7.3設{X(t),t∈T}是一二階矩過程，如果(rúguǒ)對于任意的t1<t2≤t3<t4∈T，有

則稱{X(t),t∈T}為一正交增量過程.對于正交增量過程，若T取為有限區間[a,b]，則對于任意的a≤s<t≤b，有

特別地，當X(a)=0時，有2.7幾類重要(zhòngyào)的隨機過程第七十一頁，共78頁。定理2.7.2設{X(t),t∈[a,b]}是正交增量過程，且X(a)=0,則

(1)

(2)ΦX(t)是單調(dāndiào)不減函數.

2.7幾類重要的隨機(suíjī)過程第七十二頁，共78頁。4、獨立增量過程定義2.7.4設{X(t),t∈T}是一隨機過程，如果對于任意的n≥3和任意t1<t2<…<tn∈T，X(t2)-X(t1),X(t3)-X(t2),…,X(tn)-X(tn-1)是相互獨立的隨機變量，則稱{X(t)