關于歐氏空間中與維數相關習題處理的注記楊忠鵬晏瑜敏林志興戴培培莆田學院數學系有限維線性空間是高等代數的最重要的研究對象，它是教學的重點。但是關于線性空間的不少重要定義并不是在有限維空間上定義，而是在一般情況下定義的，之后再轉入以有限維線性空間為主討論。雖然，在整體的教學過程中還是以有限維線性空間作為研究的重點，但是在教學中卻又不可避免地要接觸到無限維的情況。本文僅就歐氏空間中與維數相關習題的處理，談我們的一些看法。這里為V中任意的向量，k是任意實數，這樣的線性空間V稱為歐氏空間。當且僅當時4）

定義1（見[1]）設V是實數域R上的一個線性空間，在V上定義了一個二元實函數，稱為內積，記作，它具有以下性質：1）2）3）

[1]中還以具體的實例來認識歐氏空間，這其中就有閉區間上所有實連續函數所成空間C(a,b)，對于函數定義內積構成的歐氏空間。

同時也指出實數域上一元多項式R[x]對于上述內積也構成歐氏空間。這說明教材本身也要求將無限維的歐氏空間作為學生熟悉的對象。這類問題的研究特點正如[1,P363]所說“在…討論中，我們對空間的維數并沒有作任何限制”，而且對有限維空間的討論應當要具體說明。這樣在將把有限維空間作為研究主體和重點的情況下，應慎重地處理和對待沒有指明歐氏空間維數的問題。

定義2（見[1]）歐氏空間V的線性變換稱為正交變換，如果它保持向量的內積不變，

對任意的定義3（見[1]）歐氏空間V的線性變換若滿足：則稱為對稱變換。

在北大數學系編的《高等代數》（第二版）教材中有一道習題（見[2，P397習題23]）：

命題1如果是正交變換，那么的不變子空間的正交補也是的不變子空間。題設中并沒有限定是有限維歐氏空間上的線性變換。一般文獻中給出的解答如下：再擴充成V的一組標準正交基：那么又是正交變換，故有文獻[3]中：又所以是的不變子空間。任取那么設W是任不變子空間，取是W的一組標準正交基，設W是任不變子空間，取是W的一組標準正交基，文獻[4]中：再擴充成V的一組標準正交基：那么由是正交變換，所以也是V的標準正交基。又由于W是的不變子空間，所以是W的一組標準正交基，而任取，那么所以是的不變子空間。這些解法對于n維歐氏空間無疑是正確的，但對于一般歐氏空間來說卻未必是正確的。事實上，對于無限維歐氏空間來說命題1的結論是不成立的。且當時，約定例如

，定義內積顯然，是V的一個正交變換。令則所以W是的一個不變子空間。即不是的不變子空間。，進而又即上例說明在目前一般教材的定義下，不僅文獻[3]、[4]給出的解法是不妥的，更重要的是這個命題本身是有問題的。事實上文獻[1]、[5]、[7]、[8]都已經注意到了這個問題。但[7]、[8]僅通過反例指出當V及W皆為無限時結論可能不成立，并沒有給出修正意見。[5]則指出[2]的結論“只適用于有限維歐氏空間，在無限維歐氏空間中并不成立”。而作為[2]的第三版的[1]中相應習題也確實作了變化（見[1,P396習題23]），即在國內影響很大的[6,P341習題2]、[10,P296習題2]，始終是以命題2的形式給出的，同時期北大數學系編高等代數第一版[11,P373習題23]和第二版[2，P397習題23]中都對維數沒有限定（即是命題1的形式），而在其第三版[1]中就增加了有限維的條件，也就是命題2的形式.命題2如果是n維歐氏空間的一個正交變換，那么的不變子空間的正交補也是的不變子空間。但是，我們認為[5]中關于命題1的結論“只適用于有限維歐氏空間”的說法也是欠妥的。命題3設W是歐氏空間V的有限維子空間，則W有唯一的正交補。證明：設為W的標準正交基，定義則且對于所以是V的一個子空間。1從知又從而有且若還有且則對任意有使又所以于是

從而因此即同理，所以由此知，W的正交補是唯一的。

還應當注意到的是，對于無限維歐氏空間的一個無限維子空間來說，它的正交補有可能不存在。例如（見[9]）定義內積令任取若則，

故

（是互不相同的自然數）即其中當m是偶數時，當m是奇數時，這說明是齊次線性方程組的解。而由此這就證明了的奇數次項系數全為0。

這個方程組的系數行列式是反之，如果的奇數次項全為0，則是一個偶函數，而對是奇函數，即因此，若W有正交補的話，則但所以W不存在正交補。

是奇函數，從而于是證明：設W是任意一個不變子空間，取又是正交變換，所以即，知命題4

如果是正交變換，那么的有限維不變子空間的正交補也是的不變子空間。是W的一組標準正交基。由于W對不變，從而也為W的一組標準正交基，這樣從而是W的標準正交組，由（*）知有使對這樣對就有與W中任意向量正交，即可見這就證明了也是的不變子空間。另外，文獻[5]中雖然指出對一般歐氏空間的問題不能以“有限維”為前提解決，但很可惜，并沒有把這種觀點貫徹到底。如[5]對一道習題的解答中就忽略了這一點。習題如下：證明：對任意設是歐氏空間V的一個標準正交組.，以下不等式成立：（見[6,P332習題5]、[10,P288習題5]）文獻[3,P455]采用了擴基的方法對該習題給出了解答，而[5]沿用了其思想和過程給出解答此題的提示：擴充成V的一個標準正交基都是把V看成是有限維歐氏空間來處理，與題設相比證明過程中忽略了無限維的情形。事實上對于無限維歐氏空間此不等式是同樣成立的。將向量組設，且令是在W中的內射影，且則下面就是一種沒有涉及到空間維數的解法：為W的一組標準正交基。設這說明垂直于W，注意到且由勾股定理有

上述例子說明，我們在處理相關問題時要注意其前提是否是在一般線性空間上，否則一概以有限維為前提進行處理是有疏漏的。當然，在指出處理有限維與無限維的有關問題的區別的基礎上，也有必要將在n維歐氏空間上成立的性質，引導學生嘗試在一般的歐氏空間上的推廣。（iii）是單位變換。這一結論可推廣到一般的歐氏空間。命題5

（見[6，P350習題1]）設是n維歐氏空間V的一個線性變換，則滿足下列三個條件中的任意兩個，那么它必然滿足第三個：（i）是正交變換；（ii）是對稱變換；命題6

設是歐氏空間V的一個線性變換，則滿足下列三個條件中的任意兩個,那么它必然滿足第三個：（iii）是單位變換。（i）是正交變換；（ii）是對稱變換；證明：若是正交變換同時也是對稱變換，則對所以，從而，有

若是正交變換且則對，有所以為對稱變換。若是對稱變換且則對，有所以為正交變換。[1]北大數學系，高等代數（第三版）[M].北京：高等教育出版社，1988：359－397[2]北大數學系，高等代數（第二版）[M].北京：高等教育出版社，1988：359－397[3]蔡劍芳,錢吉林,李桃生，高等代數綜合題解[M].武漢：湖北科學技術出版社，

1985：487－488[4]徐仲,陸全,等，高等代數導教?導學?導考.西安：西北工業大學出版社，2004：535[5]李師正，高等代數解題方法與技巧[M].北京：高等教育出版社，2004：301－317[6]張禾瑞，郝炳新.高等代數（第四版）[M].北京，高等教育出版社，1999：334[7]徐德余.無限維線性空間的特殊性[J].高等數學研究，9（4）（2006）：116[8]徐德余.無限維線性空間