1第十一章聯立方程組模型2前面各章研究的都是單一的經濟行為，定量分析的是單向的因果關系，如只研究解釋變量對被解釋變量的影響。3

第一節聯立方程模型及其偏倚

一、聯立方程模型的性質

經濟現象可能是錯綜復雜的經濟系統，而不是單一經濟活動。許多情況下所研究的問題（對象）不只是單一的變量，而是由多變量構成的經濟系統，在經濟系統中多個經濟變量之間可能存在著雙向或者多向的因果關系。這種多向的因果關系可用聯立方程模型去表述。

聯立方程模型：是指同時用若干個相互關聯的方程，去表示一個經濟系統中經濟變量相互依存性的模型。4

商品的需求量Q受商品的價格P和消費者的收入X等因素的影響，可建立需求模型：

同時，該商品價格P也受商品需求量Q和其它替代品價格P*的影響，又可建立價格模型

(1)和(2)式中的需求Q與價格P，存在雙向因果關系，需要把兩個單一方程組成一個聯立方程組，同時去研究商品的需求量Q和商品價格P，從而形成如下的聯立方程模型：

例1

商品需求與價格模型：聯立方程模型的特點：（1）聯立方程模型是由若干個單一方程模型有機地組合而成的。（2）聯立方程模型里既有隨機方程又可以有確定性方程，但必須含有隨機方程。例2

凱恩斯宏觀經濟模型（收入決定模型）將(1)式代入(2)式式中可能與相關，會使(1)式中解釋變量與隨機擾動項相關，而違反基本假定。6（3）變量之間不僅可能是單向的因果關系，也可能互為因果關系。（4）解釋變量可能是隨機變量，且可能與隨機擾動項相關，而違反OLS基本假定。例如7二、聯立方程模型中變量的類型單一方程模型中解釋變量與被解釋變量的區分十分清晰。聯立方程模型中同一變量可能既為解釋變量又為被解釋變量,因此只區分解釋變量與被解釋變量的意義不大。

內生變量：其值由模型所決定，是模型求解的結果，在模型中是隨機變量。

外生變量：其值是由模型體現的經濟體系之外給定的，在模型中是非隨機的。（1）在聯立方程模型中，外生變量能夠影響內生變量，而內生變量不能影響外生變量；（2）外生變量是可控制的變量，它與隨機誤差項不相關，是非隨機變量；（3）為了求解模型中的內生變量，一般說來聯立方程中方程的個數應等于內生變量的個數，這時稱聯立方程是完備的；（4）在聯立方程中，有一些變量本來是內生變量，但模型中可能出現這些變量的滯后值，而滯后值不能由模型決定，這時將滯后內生變量視同外生變量，并與外生變量一起稱為前定變量。注意：9

（5）在聯立方程模型中，內生變量既可作為被解釋變量，又可作為解釋變量，而前定變量只作為解釋變量。

例如:

其中Q和P為內生變量，X和P*為外生變量（6）一個變量是內生變量還是外生變量，是由經濟理論和經濟意義決定，并不僅從數學形式去決定。

聯立方程模型中的變量內生變量前定變量

外生變量滯后內生變量10例如考慮簡化的凱恩斯宏觀經濟模型：三、聯立方程模型的偏倚性

如果直接對一式用OLS進行估計，因為顯然Yt與ut相關，其中:C—消費;Y—收入;I—投資。

所以11于是由于是Yt與ut的樣本協方差（參見P34)，是Yt的樣本方差，所以聯立方程偏倚：聯立方程模型中內生變量作為解釋變量會與隨機擾動項相關，如仍用OLS法去估計其參數，就會產生偏倚，這樣的估計式是有偏的，而且是不一致的，這稱為聯立方程偏倚。12

四、聯立方程模型的種類按是否含有隨機項聯立方程中的每一個單一方程依據不同的標準有不同的分類。隨機方程確定性方程按變量間相互關系的來源行為方程式技術方程式制度方程式恒等式（見P13）下面考慮整個聯立方程模型的分類。13

1、結構型模型：為描述經濟變量之間現實的經濟結構關系，表現變量間直接的經濟聯系，可將某內生變量直接表示為內生變量和前定變量函數的模型，稱為結構型模型。

例如：

特點：不出現變量的參數用0表示，方程右邊只有隨機擾動項可一般化表示為14結構型模型的標準形式：

其中：為內生變量；為前定變量；(當時表明存在截距項)；為隨機擾動項，為內生變量的參數，為前定變量的參數.結構型模型標準形式可以用矩陣表示：其中15例如，凱恩斯宏觀經濟模型

矩陣表示：即其中：16

（1）在前定變量中可能含有其它內生變量，如滯后內生變量。（2）模型直觀描述了經濟變量之間的結構關系，有明確的經濟意義。（3）結構型模型具有偏倚性問題，所以一般不能直接用OLS法對結構型模型參數進行估計。（4）通過前定變量的未來值去預測內生變量的未來值時，由于在結構方程的右端出現了需要預測的內生變量，所以這時不能直接用結構型模型去作預測。結構型模型的特點：172、簡化型模型簡化型模型：每個內生變量都只被表示為前定變量及隨機擾動項的函數，每個方程的右端不出現內生變量。簡化型模型的建立

（1）直接寫出簡化形式（例如，凱恩斯宏觀經濟模型）（3個內生變量，2個前定變量的簡化型一般形式）矩陣形式為

18設結構型模型為：即若，存在則（2）從結構型模型推導出簡化型模型令得簡化型模型即完備的結構型模型，當B可逆時，可轉化成簡化型模型19例如，凱恩斯宏觀經濟模型其簡化模型為20(4)已知前定變量取值的條件下，可利用簡化型模型參數的估計式直接對內生變量進行預測分析。簡化型模型的特點：(1)簡化型模型中的右端不再出現內生變量；(2)簡化型模型中前定變量與隨機誤差項不相關，從而避免了聯立方程偏倚。可用OLS估計參數；(3)簡化型模型參數綜合反映了前定變量對內生變量的總影響（直接影響和間接影響），例如在簡化型模型中Gt對Yt的影響:

213、遞歸型模型遞歸型模型的構成：例如將其轉化為結構型標準形式：為下三角矩陣即其中

每個模型都滿足隨機擾動與解釋變量不相關的基本假定，不會產生聯立方程組的偏倚性，可逐個用OLS估計其參數。23第二節聯立方程模型的識別

一、對聯立方程模型識別的理解

將聯立方程的結構型模型中的內生變量解出，用前定變量表示內生變量，即可得聯立方程的簡化型，而簡化型模型一般可以運用OLS法估計其參數。然而我們的研究目地是要獲得結構型模型的參數估計值，那么我們能否從簡化型模型的參數估計值得到結構型模型的參數呢？一般來說對這個問題的回答并不總是肯定的。24例1

商品供需均衡的結構型模型：即寫成矩陣形式故簡化型模型為即其中

顯然，由簡化型模型的2個參數估計量是無法求解結構型模型的4個參數的，這時我們就說該模型是不可識別的。其中Y為國民總收入，C為消費，I為投資。由（1）式得

（4）

26

將（4）式代入投資函數（3）式,即投資函數為

則有

（6）對比(2)式和(6)式:通過樣本數據C和Y所估計的參數，究竟是消費函數的參數，還是投資函數的參數呢？例2

宏觀經濟模型(5)(與（3）式等價)27

可以看出，聯立方程模型確實存在參數識別問題。對聯立方程識別最直觀的理解，是看能否合理地估計出結構型模型參數的估計值。如果結構型模型參數的估計值能合理地估計出，則稱這個結構方程是可以識別的，否則就是不可識別的。二、聯立方程模型識別的類型1、不可識別

如果結構型模型中某個方程參數的估計值不能夠由簡化型模型參數估計值求得，則稱該方程是不可識別的，如果結構型模型中至少有一個方程不可識別，則稱該聯立程模型是不可識別的。例如在商品供需均衡的結構型模型中，聯立方程模型是不可識別的，這是因為供給方程和需求方程的結構形式完全一致，沒有提供分別估計各個結構參數的足夠信息（見22頁）。2、恰好識別

如果結構型模型中某個方程的參數能夠由簡化型模型參數估計值唯一解出，則稱該方程是恰好識別的，如果結構型模型中每個方程都是恰好識別，則稱該聯立程模型是恰好識別的。

在商品供需均衡的結構型模型中，若補充一些信息：在供給方程中引入內生變量Pt

的滯后值作為前定變量，這時需求供給模型為30例1

商品供需均衡的結構型模型不難得到簡化型模型為其中

這時，簡化型模型有4個參數，結構型模型有5個參數，雖不能唯一解出結構型模型的所有參數，但可唯一解出所以需求方程是可識別的，但供給方程仍不可識別。

如果再在需求方程中引進一個新的前定變量收入It

，這時需求供給模型為化為簡化型模型為其中

這時，簡化型和結構型模型參數都是6個，結構型模型參數能由簡化型模型的參數估計值唯一解出，所以聯立方程模型是恰好識別的。3、過度識別

如果結構型模型中某個方程的參數能夠由簡化型模型參數估計值唯一解出，但求解出的值不唯一，則該方程稱為過度識別。

例如，如果再在需求方程中引進一個新的前定變量：消費者擁有的財富Rt，這時需求供給模型為其中化為簡化型模型為

這時，簡化型模型參數是8個，而結構型模型參數是7個，結構型模型參數能由簡化型模型的參數估計值解出，但解不唯一，例如同時

產生這種問題的原因是向需求方程提供了過多的信息，或者說是對供給方程施加了過多的約束，即供給方程排除了收入與財產兩個變量，而需求方程僅排除了一個變量。37

1、不可識別從所掌握的信息，不能從簡化型參數確定結構型參數原因：信息不足，沒有解。2、恰好識別：通過簡化型模型參數可以唯一確定各個結構型模型的參數原因：信息恰當，有唯一解。3、過度識別由簡化型參數可以確定結構型參數，但是不唯一原因：信息過多，有解但不唯一。38

方程不可識別的原因是一個方程與模型中其他方程具有相同的統計形式一個方程增加變量可能使其他方程由不可識別變成可以識別，說明方程能否識別依賴于模型中其他方程所含變量的個數。一個方程的識別狀況，決定于不包含在這個方程中，但包含在模型其他方程中變量的個數。這類變量過少——不可識別這類變量過多——過度識別這類變量適度——恰好識別391、

識別的階條件——識別的必要條件設：m—模型中內生變量的個數（即方程的個數）

mi

—模型中第i個方程中包含的內生變量的個數

k—模型中前定變量的個數

ki

—模型中第i個方程中包含的前定變量的個數

三、聯立方程模型識別的方法第i個方程可能恰好識別第i個方程可能過度識別第i個方程是不可識別若例如在模型中，總共有k=2個前定變量，而第一個方程中k1=1，m1=2，于是有k-k1=2-1=1=m1-1，所以可能是恰好識別的；而第二個方程中k2=2，

m2=2，于是有k-k2=2-2=0＜1=m2-1，所以是不可識別的。（1）對于恒等式，不存在識別問題；（2）階條件只是可識別的必要條件，不是充分條件。41

在有m個內生變量m個方程的完備聯立方程模型中，某個方程可以識別當且僅當其他方程包含而該方程不包含的所有變量的結構參數至少能夠構成一個非零的m-1階行列式.（1）當只有一個m-1階非零行列式時，恰好識別。（2）當不止一個m-1階非零行列式時，過度識別。（3）當不存在m-1階非零行列式時，不可識別。2、識別的秩條件—識別的充分必要條件設結構型模型為記矩陣為聯立方程模型中除去第i個方程后，由其他方程中所有第i個方程沒有包含的變量的系數構成的矩陣，則上述條件可表述為：第

i個方程可識別的充分必要條件是矩陣的秩：43模型識別秩條件檢驗的方法步驟：（1）寫出結構型模型的標準式(方程未出現的變量的參數以0表示),將全部參數列成系數矩陣（2）若考察第i個方程的識別問題：劃去矩陣中第i行和所有第i行中非0參數對應的列，由剩余的參數構成矩陣（3）計算（4）判斷：如果則是可以識別的(再根據非零行列式個數判斷恰好識別或過度識別)，如果則是不可以識別的。44聯立方程模型識別的秩條件的舉例設聯立方程模型為：結構型模型的標準形式為：模型中內生變量為C、I、Y、T；前定變量變為Yt-1、G（m=4；k=2）系數矩陣:(1)考慮第一個方程的識別問題顯然不可識別(2)考慮第二個方程的識別問題顯然且只能構成一個不為0的3階行列式，故第二個方程恰好識別。(3)考慮第三個方程的識別問題可以構成3個非零3階行列式，故方程三過度識別。48識別的階條件—識別的必要條件

當時方程才可能識別，但滿足這樣的階條件時也不一定就能識別識別的秩條件—識別的充分必要條件

當且僅當一個方程中不包含但在其他方程包含的變量的系數，至少能夠構成一個非零的M-1階行列式時，該方程是可以識別的。階條件和秩條件的結合為什么要結合？秩條件—是充分必要條件，但比較繁瑣階條件—比較簡便，但只是必要條件49將兩種方法結合運用的方式：階條件不可識別秩條件不可識別階條件過度識別恰好識別是是否否是否可以識別50

模型的識別不是統計問題，而是模型的設定問題，因此在設定模型時就應設法盡量保證模型的可識別性。在設定聯立方程模型時一般應遵循以下原則：

新引入的方程至少含有一個前面各方程都不包含變量（內生變量或前定變量）；前面已引入的每一個方程都至少包含一個新引入方程未包含的變量，并要互不相同。51

模型參數的估計方式應考慮以下因素：

1、從研究目的考慮參數估計的方式（1）若為了經濟結構分析，檢驗經濟理論

—應力爭準確估計結構型參數（2）若為了評價政策、論證政策效應—應力爭準確估計簡化型參數(反映“政策乘數”、“效果乘數”)

（3）若只是為了預測—直接估計簡化型參數即可

第三節聯立方程模型的估計一、聯立方程模型估計方法的選擇52

2、模型的識別條件對于遞歸型模型—直接用OLS法對于恰好識別模型—用間接最小二乘法、工具變量法對于過度識別模型—用二段最小二乘法、三段最小二乘等對于不足識別模型—不能估計其結構型參數

3、考慮數據的可用性和計算方法的復雜性單一方程估計法（有限信息法）：特點是只考慮特定方程本身所包含的信息，不考慮整個模型所提供的全部信息。方法主要有：普通最小二乘法，工具變量法，間接最小二乘法，二段最小二乘法，有限信息最大似然法等。對于可識別的聯立方程模型，估計模型中的參數，通常有兩類方法：系統估計法（完全信息法）：特點是在考慮整個模型所提供的全部信息的情況下，對模型中的全部方程同時進行估計。方法主要有：三段最小二乘法，似乎不相關法，完全信息最大似然法等。從對參數估計的統計特性看，系統估計法優于單一方程估計法；從方法的可操作性和簡易性看，單一方程估計法又優于系統估計法。本書僅介紹部分單一方程估計法。二、遞歸模型的估計—OLS

遞歸模型是聯立方程模型中的一種特殊形式，雖然解釋變量中包含了內生變量，但內生變量之間的聯系只是單向的，內生變量與隨機誤差項不相關，