絕密★啟用前2015年一般高等學校招生全國一致考試（湖北卷）數學（理工類）本試題卷共6頁，22

題，此中第

15、16題為選考題。全卷滿分

150分。考試用時

120分鐘。★祝考試順利★注意事項：1．答卷前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定地點。用2B鉛筆將答題卡上試卷種類A后的方框涂黑。2．選擇題的作答：每題選出答案后，用

2B

鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。寫在試題卷、稿本紙和答題卡上的非答題地域均無效。3．填空題和解答題的作答：用簽字筆挺接答在答題卡上對應的答題地域內。寫在試題卷、稿本紙和答題卡上的非答題地域均無效。4．選考題的作答：先把所選題目的題號在答題卡上指定的地點用

2B

鉛筆涂黑，再在答題卡上對應的答題地域內答題。寫在試題卷、稿本紙和答題卡上的非答題地域均無效。5．考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。一、選擇題：本大題共10小題，每題5分，共50分.在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項吻合題目要求的.1．i為虛數單位，i607的共軛復數為A．iB．iC．1D．12．我國古代數學名著《數書九章》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗得米內夾谷，抽樣取米一把，數得254粒內夾谷28粒，則這批米內夾谷約為A．134石B．169石C．338石D．1365石3．已知(1nx)的睜開式中第4項與第8項的二項式系數相等，則奇數項的二項式系數和為A．212B．211C．210D．294．設X~N(1,12)，Y~N(2,22)，這兩個正態分布密度曲線以以下圖．以下結論中正確的是A．P(Y2)P(Y1)B．P(X2)P(X1)C．對任意正數t，P(Xt)P(Yt)D．對任意正數t，P(Xt)P(Yt)第4題圖5．設a1,a2,,anR，n3.若p：a1,a2,,an成等比數列；q：(a12a22an21)(a22a32an2)(a1a2a2a3an1an)2，則A．p是q的充分條件，但不是q的必需條件B．p是q的必需條件，但不是q的充分條件C．p是q的充分必需條件D．p既不是q的充分條件，也不是q的必需條件1,x0,sgnx0,x0,6．已知符號函數1,x0.f(x)是R上的增函數，g(x)f(x)f(ax)(a1)，則A．sgn[g(x)]sgnxB．sgn[g(x)]sgnxC．sgn[g(x)]sgn[f(x)]D．sgn[g(x)]sgn[f(x)]x117．在區間[0,y”的概率，p2為事件“|xy|1]上隨機取兩個數x,y，記p1為事件“22”xy12”的概率，則的概率，p3為事件“A．p1p2p3B．p2p3p1C．p3p1p2D．p3p2p18．將離心率為e1的雙曲線C1的實半軸長a和虛半軸長b(ab)同時增添m(m0)個單位長度，獲得離心率為e2的雙曲線C2，則A．對任意的a,b，e1e2B．當ab時，e1e2；當ab時，e1e2C．對任意的a,b，e1e2D．當ab時，e1e2；當ab時，e1e29．已知會集A{(x,y)x2y21,x,yZ}，B{(x,y)|x|2,|y|2,x,yZ}，定義會集AB{(1x2x,1y2y)(1x,1y)A,(2x,2y)B}B中元素的個數為，則AA．77B．49C．45D．3010．設xR，[x]表示不超出x的最大整數.若存在實數t，使得[t]1，[t2]2，，[tn]n同時建立，則正整數n的最大值是A．3B．4C．5D．6二、填空題：本大題共6小題，考生需作答5小題，每題5分，共25分．請將答案填在答題卡對應題號的地點上．答錯地點，書寫不清，含糊其詞均不得分．（一）必考題（11—14題）11．已知向量OAAB，|OA|3，則OAOB．f(x)4cos2xcos(πx)2sinx|ln(x1)|12．函數22的零點個數為．13．如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側一山頂D在西偏北30的方向上，行駛600m后到達B處，測得此山頂在西偏北75的方向上，仰角為30，則此山的高度CDm.yDBCMNCAOTxBA第13題圖第14題圖14．如圖，圓C與x軸相切于點T(1,0)，與y軸正半軸交于兩點A,B（B在A的上方），且AB2．（Ⅰ）圓C的標準方程為；（Ⅱ）過點A任作一條直線與圓O:x2y21訂交于M,N兩點，以下三個結論：NAMANBMA2NBMA22①NBMB；②NAMB③NAMB；．此中正確結論的序號是.（寫出全部正確結論的序號）（二）選考題（請考生在第15、16兩題中任選一題作答，請先在答題卡指定地點將你所選的題目序號后的方框用2B鉛筆涂黑．假如全選，則按第15題作答結果計分．）15．（選修4-1：幾何證明選講）PBCA如圖，PA是圓的切線，A為切點，PBC是圓的割線，AB且BC3PB，則AC.16．（選修4-4：坐標系與參數方程）在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.已知直線l的極坐xt1,tyt1標方程為(sint(t為參數)，l與C訂交于3cos)0，曲線C的參數方程為A,B兩點，則|AB|.三、解答題：本大題共6小題，共75分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（本小題滿分11分）f(x)Asin(x)(0,||π)某同學用“五點法”畫函數2在某一個周期內的圖象時，列表并填入了部分數據，以下表：x0ππ3π2π22xπ5π36Asin(x)0550（Ⅰ）請將上表數據增補完好，填寫在答題卡上相應地點，并直接寫出函數f(x)的解析式；（Ⅱ）將yf(x)圖象上全部點向左平行挪動(0)個單位長度，獲得yg(x)的圖π象.若y(,0)的最小值.g(x)圖象的一個對稱中心為12，求18．（本小題滿分12分）設等差數列{an}的公差為d，前n項和為Sn，等比數列{bn}的公比為q．已知b1a1，b22，qd，S10100．（Ⅰ）求數列{an}，{bn}的通項公式；cnanbn{c}T（Ⅱ）當d1時，記，求數列的前n項和nn．19．（本小題滿分12分）《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四周體稱之為鱉臑．如圖，在陽馬PABCD中，側棱PD底面ABCD，P且PDCD，過棱PC的中點E，作EFPB交PB于FE點F，連接DE,DF,BD,BE.DC（Ⅰ）證明：PB平面DEF．試判斷四周體DBEF是否為鱉臑，假如，寫出其每個面的直角（只要寫AB出結論）；若不是，說明原由；π第19題圖（Ⅱ）若面DEF與面ABCD所成二面角的大小為3，DC求BC的值．20．（本小題滿分12分）某廠用鮮牛奶在某臺設備上生產A,B兩種奶制品．生產1噸A產品需鮮牛奶2噸，使用設備1小時，贏利1000元；生產1噸B產品需鮮牛奶1.5噸，使用設備1.5小時，贏利1200元．要求每天B產品的產量不超出A產品產量的2倍，設備每天生產A,B兩種產品時間之和不超出12小時.假設每天可獲得的鮮牛奶數目W（單位：噸）是一個隨機變量，其分布列為W121518P0.30.50.2該廠每天依據獲得的鮮牛奶數目安排生產，使其贏利最大，所以每天的最大贏利Z（單位：元）是一個隨機變量．（Ⅰ）求Z的分布列和均值；（Ⅱ）若每天可獲得的鮮牛奶數目互相獨立，求3天中最少有1天的最大贏利超出10000元的概率．21．（本小題滿分14分）一種作圖工具如圖1所示．O是滑槽AB的中點，短桿ON可繞O轉動，長桿MN經過N處鉸鏈與ON連接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動，且DNON1，MN3．當栓子D在滑槽AB內作來去運動時，帶動N繞O轉動一周（D不動時，N也不動），M處的筆尖畫出的曲線記為C．以O為原點，AB所在的直線為x軸建立如圖2所示的平面直角坐標系．（Ⅰ）求曲線C的方程；（Ⅱ）設動直線l與兩定直線l1:x2y0和l2:x2y0分別交于P,Q兩點．若直線l總與曲線C有且只有一個公共點，嘗試究：△OPQ的面積能否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說明原由．yNNADOBM

DOM

x第21題圖1第21題圖222．（本小題滿分14分）已知數列{an}bnn(11)nan(nN)，e為自然對數的底數．的各項均為正數，n(11nf(x)1xx)與e的大小；（Ⅰ）求函數e的單調區間，并比較nb1b1b2b1b2b3b1b2bn（Ⅱ）計算a1，a1a2，a1a2a3，由此推測計算a1a2an的公式，并給出證明；1（Ⅲ）令cn(a1a2an)n，數列{an}，{cn}的前n項和分別記為Sn,Tn,證明：Tn

eSn.絕密★啟用前2015年一般高等學校招生全國一致考試（湖北卷）數學（理工類）試題參照答案一、選擇題（本大題共10小題，每題5分，共50分）1．A2．B3．D4．C5．A6．B7．B8．D9．C10．B二、填空題（本大題共6小題，考生需作答5小題，每題5分，共25分）11．912．213．100614．（Ⅰ）(x1)2(y2)22；（Ⅱ）①②③115．216．25三、解答題（本大題共6小題，共75分）17．（11分）A5,2,π（Ⅰ）依據表中已知數據，解得6.數據補全以下表：x0ππ3π2π22xππ7π5π13π12312612Asin(x)05050f(x)5sin(2xπ)且函數表達式為6.f(x)5sin(2xπg(x)5sin(2x2π))（Ⅱ）由（Ⅰ）知6，得6.因為ysinx的對稱中心為(kπ,0)，kZ.πππ2x2kπx，kZ.令6，解得212(5π,0)kππ5π因為函數yg(x)的圖象關于點12，12成中心對稱，令212kπππ解得23，kZ.由0可知，當k1時，獲得最小值6.18．（12分）10a145d100,2a19d20,（Ⅰ）由題意有，a1d2,a1d2,即a19,an1(2n79),a1,an2n1,922n11bn9d2,d.bn2n1( ).解得或9故.或91，知an2n1，bn2n1，故cn2n1（Ⅱ）由d2n1，于是Tn135792n1234n1，①222221135792n1Tn222345n.22222②①-②可得121112n12n3Tn22n2n3n，222222n3故Tn6n1.219．（12分）（解法1）（Ⅰ）因為PD底面ABCD，所以PDBC，由底面ABCD為長方形，有BCCD，而PDCDD，所以BC平面PCD.而DE平面PCD，所以BCDE.又因為PDCD，點E是PC的中點，所以DEPC.而PCBCC，所以DE平面PBC.而PB平面PBC，所以PBDE.又PBEF，DEEFE，所以PB平面DEF.由DE平面PBC，PB平面DEF，可知四周體BDEF的四個面都是直角三角形，即四周體BDEF是一個鱉臑，其四個面的直角分別為DEB，DEF，EFB，DFB.（Ⅱ）如圖1，在面PBC內，延長BC與FE交于點G，則DG是平面DEF與平面ABCD的交線.由（Ⅰ）知，PB平面DEF，所以PBDG.又因為PD底面ABCD，所以PDDG.而PDPBP，所以DG平面PBD.故BDF是面DEF與面ABCD所成二面角的平面角，設PDDC1，BC，有BD12，DPFFDBπ在Rt△PDB中,由DFPB,得3,πtanDPFBD2tan132.則3PD,解得DC12所以BC.2πDC2故當面DEF與面ABCD所成二面角的大小為3時，BC2.（解法2）（Ⅰ）如圖2，以D為原點，射線DA,DC,DP分別為x,y,z軸的正半軸，建立空間直角坐標系.設PDDC1，BC，則D(0,0,0),(0,0,1),P(1,0),,B(0,1,0)C，PB(,1,1)，點EE(0,1,1)DE(0,1,1)是PC的中點，所以22，22，于是PBDE0，即PBDE.又已知EFPB，而DEEFE，所以PB平面DEF.因PC(0,1,1),DEPC0,則DEPC,所以DE平面PBC.由DE平面PBC，PB平面DEF，可知四周體BDEF的四個面都是直角三角形，即四周體BDEF是一個鱉臑，其四個面的直角分別為DEB，DEF，EFB，DFB.zPPFEGFEDCDCyA

B

xA

B第19題解答圖

1

第19題解答圖

2（Ⅱ）由PD平面ABCD，所以DP(0,0,1)是平面ABCD的一個法向量；由（Ⅰ）知，PB平面DEF，所以BP(,1,1)是平面DEF的一個法向量.π若面DEF與面ABCD所成二面角的大小為3，cosπBPDP113|BP||DP|22則2，DC122.所以BC.解得2πDC2故當面DEF與面ABCD所成二面角的大小為3時，BC2.20．（12分）（Ⅰ）設每天A,B兩種產品的生產數目分別為x,y，相應的贏利為2x1.5yW,x1.5y12,2xy0,x0,y0.（1）目標函數為z1000x120y0．yy1088B(3,6)B(2.4,4.8)OA(0,0)C(6,0)12xOA(0,0)C(7.5,0)12x

，則有y128B(3,6)C(6,4)OA(0,0)D(9,0)12x第20題解答圖1第20題解答圖2第20題解答圖3當W12時，（1）表示的平面地域如圖1，三個極點分別為A(0,0),B(2.4,4.8),C(6,0)．y5z將z1000xx1200，1200y變形為65z當x2.4,y4.8時，直線l：yx61200在y軸上的截距最大，最大贏利Zzmax2.410004.812008160．當W15時，（1）表示的平面地域如圖2，三個極點分別為A(0,0),B(3,6),C(7.5,0)．將z1000xy5xz1200y變形為61200，y5z當x3,y6x1200在y軸上的截距最大，時，直線l：6最大贏利Zzmax310006120010200．當W18時，（1）表示的平面地域如圖3，四個極點分別為A(0,0),B(3,6),C(6,4),D(9,0).將z1000xy5xz1200y變形為61200，y5z當x6,yx1200在y軸上的截距最大，4時，直線l：6最大贏利Zzmax610004120010800．故最大贏利Z的分布列為Z81601020010800P0.30.50.2所以，E(Z)81609708.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大贏利超出10000元的概率p1，由二項分布，3天中最少有1天最大贏利超出10000元的概率為1(1p1)310.33．（14分）（Ⅰ）設點D(t,0)(|t|2)，N(x0,y0),M(x,y)，依題意，MD2DN，且|DN||ON|1，yPNDOxMQ第21題解答圖2(x021,t)y0所以(tx,y)2(x0t,y0)，且x02y021.tx2x02t,即y2y0.且t(t2x)0.0因為當點D不動時，點N也不動，所以t不恒等于0，xy22x0xy于是t2x0，故,y0221，可得16142，代入x0y04，x2y21.即所求的曲線C的方程為164SOPQ1（Ⅱ）（1）當直線l的斜率不存在時，直線l為x4或x448.4，都有2l:ykxm1（2）當直線l的斜率存在時，設直線(k)2，ykxm,由x24y216,消去y，可得(14k2)x28kmx4m2160.因為直線l總與橢圓C有且只有一個公共點，所以64k2m24(14k2)(4m216)0，即m216k24.①ykxm,P(2m,m)2mmx2y0,Q(,)又由可得12k12k；同理可得12k12k.由原點O到直線PQ的距離為d|m|1k21k2和|PQ||xPxQ|，可得SOPQ1|PQ|d1xQ|1|m|2m2m2m22|m||xP212k12k14k22②.24k21SOPQ2m14k281將①代入②得，4k2.214k218(128kSOPQ8())當4時，4k214k21；121224k當0k4時，SOPQ8(14k2)8(114k2).02122SOPQ8(122)8因k4，則0121，14k214k4k，所以，當且僅當k0時取等號.所以當k0時，SOPQ的最小值為8.綜合（1）（2）可知，當直線l與橢圓C在四