第2課時直線的兩點式和一般式方程第二章

2.2.2直線方程的幾種形式第2課時直線的兩點式和一般式方程第二章2.2.2直線方學習目標1.掌握直線方程的兩點式及截距式，并理解它們存在的條件.2.理解直線方程的一般式的特點與方程其它形式的區別與聯系.3.會直線方程的一般式與其它形式之間相互轉化，進一步掌握求直線方程的方法.學習目標問題導學達標檢測題型探究內容索引問題導學達標檢測題型探究內容索引問題導學問題導學思考過點(1,3)和(1,5)的直線能用兩點式表示嗎？為什么？過點(2,3)，(5,3)的直線呢？答案不能，因為1－1＝0，而0不能做分母.過點(2,3)，(5,3)的直線也不能用兩點式表示.知識點一直線方程的兩點式思考過點(1,3)和(1,5)的直線能用兩點式表示嗎？為什梳理直線方程的兩點式名稱已知條件示意圖方程使用范圍兩點式P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2

＝__________________________斜率存在且不為0梳理直線方程的兩點式名稱已知條件示意圖方程使用范圍兩點式P知識點二直線方程的截距式思考已知兩點P1(a,0)，P2(0，b)，其中a≠0，b≠0，求通過這兩點的直線方程.知識點二直線方程的截距式思考已知兩點P1(a,0)，P2梳理直線方程的截距式名稱已知條件示意圖方程使用范圍截距式在x，y軸上的截距分別為a，b，且a≠0，b≠0__________________________________斜率存在且不為0，不過原點梳理直線方程的截距式名稱已知條件示意圖方程使用范圍截距式在思考1直線的點斜式、斜截式、兩點式、截距式這四種形式都能用Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)來表示嗎？知識點三直線的一般式方程答案能.思考2關于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)一定表示直線嗎？答案一定.思考1直線的點斜式、斜截式、兩點式、截距式這四種形式都能用梳理直線的一般式方程形式_______________條件__________Ax＋By＋C＝0A2＋B2≠0梳理直線的一般式方程形式_______________條件知識點四直線方程五種形式的比較名稱已知條件標準方程適用范圍點斜式點P1(x1，y1)和斜率ky－y1＝k(x－x1)不垂直于x軸的直線斜截式斜率k和在y軸上的截距by＝kx＋b不垂直x軸的直線兩點式點P1(x1，y1)和點P2(x2，y2)不垂直于x，y軸的直線截距式在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b不垂直于x，y軸的直線，不過原點的直線一般式兩個獨立的條件Ax＋By＋C＝0A，B不全為零知識點四直線方程五種形式的比較名稱已知條件標準方程適用范圍[思考辨析判斷正誤]1.能用兩點式方程表示的直線也可用點斜式方程表示.(

)2.當A，B同時為零時，方程Ax＋By＋C＝0也可表示為一條直線.(

)3.任何一條直線的一般式方程都能與其他四種形式互化.(

)×√×[思考辨析判斷正誤]×√×題型探究題型探究例1在△ABC中，已知點A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2).(1)求BC邊的方程；類型一直線的兩點式方程解答即2x＋5y＋10＝0，故BC邊的方程是2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5).解BC邊過點B(5，－4)，C(0，－2)，例1在△ABC中，已知點A(－3,2)，B(5，－4)，C(2)求BC邊上的中線所在直線的方程.解答即10x＋11y＋8＝0，所以BC邊上的中線所在直線的方程是10x＋11y＋8＝0.解設BC的中點為M(a，b)，(2)求BC邊上的中線所在直線的方程.解答即10x＋11y＋反思與感悟當已知兩點坐標，求過這兩點的直線方程時，首先要判斷是否滿足兩點式方程的適用條件，若滿足，即可考慮用兩點式求方程.在斜率存在的情況下，也可能先用斜率公式求出斜率，再用點斜式寫方程.反思與感悟當已知兩點坐標，求過這兩點的直線方程時，首先要判跟蹤訓練1已知△ABC三個頂點坐標A(2，－1)，B(2,2)，C(4,1)，求三角形三條邊所在的直線方程.解∵A(2，－1)，B(2,2)，A、B兩點橫坐標相同，∴直線AB與x軸垂直，故其方程為x＝2.∵A(2，－1)，C(4,1)，由直線方程的兩點式，即x－y－3＝0.同理由直線方程的兩點式，解答跟蹤訓練1已知△ABC三個頂點坐標A(2，－1)，B(2,類型二直線的截距式方程例2求過點A(5,2)，且在兩坐標軸上截距互為相反數的直線l的方程.解答類型二直線的截距式方程例2求過點A(5,2)，且在兩坐標解方法一

(1)當直線l在坐標軸上的截距均為0時，(2)當直線l在坐標軸上的截距不為0時，又∵l過點A(5,2)，∴5－2＝a，解得a＝3.∴l的方程為x－y－3＝0.綜上所述，直線l的方程為2x－5y＝0或x－y－3＝0.解方法一(1)當直線l在坐標軸上的截距均為0時，(2)當方法二由題意知，直線的斜率一定存在.設直線的點斜式方程為y－2＝k(x－5)，即2x－5y＝0；當k＝1時，直線方程為y－2＝1×(x－5)，即x－y－3＝0.綜上所述，直線l的方程為2x－5y＝0或x－y－3＝0.方法二由題意知，直線的斜率一定存在.即2x－5y＝0；引申探究1.若將本例中的條件“在坐標軸上的截距互為相反數”變為“在x軸上的截距是y軸上的截距的2倍”，其他條件不變，如何求解？解答解(1)當直線l在兩坐標軸上的截距均為0時，又l過點(5,2)，∴直線l的方程為x＋2y－9＝0.引申探究解答解(1)當直線l在兩坐標軸上的截距均為0時，2.若將本例中的條件“在兩坐標軸上的截距互為相反數”變為“與兩坐標軸圍成的三角形的面積是

”，其他條件不變，如何求解？解答2.若將本例中的條件“在兩坐標軸上的截距互為相反數”變為“與解由題意，直線不過原點，且在兩坐標軸上的截距都存在.∴l的方程為4x－25y＋30＝0或x－y－3＝0.解由題意，直線不過原點，且在兩坐標軸上的截距都存在.∴l的反思與感悟

(1)如果問題中涉及直線與兩坐標軸相交，則可考慮選用直線的截距式方程，用待定系數法確定其系數即可.(2)在選用直線的截距式方程時，必須首先考慮直線是否過原點以及是否與兩坐標軸垂直.反思與感悟(1)如果問題中涉及直線與兩坐標軸相交，則可考慮跟蹤訓練2過點A(3，－1)且在兩坐標軸上截距的絕對值相等的直線有A.2條

B.3條

C.4條

D.無數多條答案∴滿足條件的直線共有3條.故選B.解析√跟蹤訓練2過點A(3，－1)且在兩坐標軸上截距的絕對值相等類型三直線的一般式方程例3設直線l的方程為(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.(1)若直線l在x軸上的截距為－3，則m＝____；答案解析類型三直線的一般式方程例3設直線l的方程為(m2－2m－(2)若直線l的斜率為1，則m＝____.解得m＝－2或m＝－1(舍去).∴m＝－2.答案解析－2(2)若直線l的斜率為1，則m＝____.解得m＝－2或m＝反思與感悟

(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直線，則需滿足A，B不同時為0.(2)令x＝0可得在y軸上的截距.令y＝0可得在x軸上的截距.若確定直線斜率存在，可將一般式化為斜截式.(3)解分式方程注意驗根.反思與感悟(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直線，則需滿足跟蹤訓練3直線l的方程為(a＋1)x＋y＋2－a＝0.(1)若l在兩坐標軸上的截距相等，求a的值；解令x＝0，則y＝a－2，解答∵l在兩坐標軸上的截距相等，跟蹤訓練3直線l的方程為(a＋1)x＋y＋2－a＝0.解(2)若l不經過第二象限，求實數a的取值范圍.解答∴實數a的取值范圍為{a|a＜－1或a＝2}.(2)若l不經過第二象限，求實數a的取值范圍.解答∴實數a的達標檢測達標檢測1.在直角坐標系中，直線x＋

y－3＝0的傾斜角是A.30° B.60°C.150° D.120°12345答案解析√1.在直角坐標系中，直線x＋y－3＝0的傾斜角是122.經過點A(2,5)，B(－3,6)的直線在x軸上的截距為A.2 B.－3C.－27 D.2712345答案解析即x＋5y－27＝0，令y＝0，得x＝27.√2.經過點A(2,5)，B(－3,6)的直線在x軸上的截距為12345答案由此可知，直線通過第一、三、四象限.解析3.已知ab<0，bc<0，則直線ax＋by＝c通過A.第一、二、三象限

B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限

D.第二、三、四象限√12345答案由此可知，直線通過第一、三、四象限.解析3.已12345答案4.已知點A(3,2)，B(－1,4)，則經過點C(2,5)且經過線段AB的中點的直線方程為____________.2x－y＋1＝0解析AB的中點坐標為(1,3)，解析即2x－y＋1＝0.12345答案4.已知點A(3,2)，B(－1,4)，則經過123455.直線l過點(1,2)和第一、二、四象限，若直線l的橫截距與縱截距之和為6，求直線l的方程.解設直線l的橫截距為a，由題意可得縱截距為6－a，解得a＝2或3.當a＝2時，直線的方程為2x＋y－4＝0，直線經過第一、二、四象限；當a＝3時，直線的方程為x＋y－3＝0，直線經過第一、二、四象限.綜上所述，所求直線的方程為2x＋y－4＝0或x＋y－3＝0.解答123455.直線l過點(1,2)和第一、二、四象限，若直線1.求直線的兩點式方程的策略以及注意點(1)當已知兩點坐標，求過這兩點的直線方程時，首先要判斷是否滿足兩點式方程的適用條件：兩點的連線不垂直于坐標軸，若滿足，則考慮用兩點式求方程.(2)由于減法的順序性，一般用兩點式求直線方程時常會將字母或數字的順序錯位而導致錯誤.在記憶和使用兩點式方程時，必須注意坐標的對應關系.規律與方法1.求直線的兩點式方程的策略以及注意點規律與方法2.截距式方程應用的注意事項(1)如果問題中涉及直線與坐標軸相交，則可考慮選用截距式直線方程，用待定系數法確定其系數即可.(2)在選用截距式直線方程時，必須首先考慮直線能否過原點以及能否與兩坐標軸垂直.(3)要注意截距式直線方程的逆向應用.2.截距式方程應用的注意事項3.(1)直線方程的其他形式都可以化成一般形式，一般式也可以化為斜截式.一般式化斜截式的步驟①移項，By＝－Ax－C；3.(1)直線方程的其他形式都可以化成一般形式，一般式也可以第2課時直線的兩點式和一般式方程第二章

2.2.2直線方程的幾種形式第2課時直線的兩點式和一般式方程第二章2.2.2直線方學習目標1.掌握直線方程的兩點式及截距式，并理解它們存在的條件.2.理解直線方程的一般式的特點與方程其它形式的區別與聯系.3.會直線方程的一般式與其它形式之間相互轉化，進一步掌握求直線方程的方法.學習目標問題導學達標檢測題型探究內容索引問題導學達標檢測題型探究內容索引問題導學問題導學思考過點(1,3)和(1,5)的直線能用兩點式表示嗎？為什么？過點(2,3)，(5,3)的直線呢？答案不能，因為1－1＝0，而0不能做分母.過點(2,3)，(5,3)的直線也不能用兩點式表示.知識點一直線方程的兩點式思考過點(1,3)和(1,5)的直線能用兩點式表示嗎？為什梳理直線方程的兩點式名稱已知條件示意圖方程使用范圍兩點式P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2

＝__________________________斜率存在且不為0梳理直線方程的兩點式名稱已知條件示意圖方程使用范圍兩點式P知識點二直線方程的截距式思考已知兩點P1(a,0)，P2(0，b)，其中a≠0，b≠0，求通過這兩點的直線方程.知識點二直線方程的截距式思考已知兩點P1(a,0)，P2梳理直線方程的截距式名稱已知條件示意圖方程使用范圍截距式在x，y軸上的截距分別為a，b，且a≠0，b≠0__________________________________斜率存在且不為0，不過原點梳理直線方程的截距式名稱已知條件示意圖方程使用范圍截距式在思考1直線的點斜式、斜截式、兩點式、截距式這四種形式都能用Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)來表示嗎？知識點三直線的一般式方程答案能.思考2關于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)一定表示直線嗎？答案一定.思考1直線的點斜式、斜截式、兩點式、截距式這四種形式都能用梳理直線的一般式方程形式_______________條件__________Ax＋By＋C＝0A2＋B2≠0梳理直線的一般式方程形式_______________條件知識點四直線方程五種形式的比較名稱已知條件標準方程適用范圍點斜式點P1(x1，y1)和斜率ky－y1＝k(x－x1)不垂直于x軸的直線斜截式斜率k和在y軸上的截距by＝kx＋b不垂直x軸的直線兩點式點P1(x1，y1)和點P2(x2，y2)不垂直于x，y軸的直線截距式在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b不垂直于x，y軸的直線，不過原點的直線一般式兩個獨立的條件Ax＋By＋C＝0A，B不全為零知識點四直線方程五種形式的比較名稱已知條件標準方程適用范圍[思考辨析判斷正誤]1.能用兩點式方程表示的直線也可用點斜式方程表示.(

)2.當A，B同時為零時，方程Ax＋By＋C＝0也可表示為一條直線.(

)3.任何一條直線的一般式方程都能與其他四種形式互化.(

)×√×[思考辨析判斷正誤]×√×題型探究題型探究例1在△ABC中，已知點A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2).(1)求BC邊的方程；類型一直線的兩點式方程解答即2x＋5y＋10＝0，故BC邊的方程是2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5).解BC邊過點B(5，－4)，C(0，－2)，例1在△ABC中，已知點A(－3,2)，B(5，－4)，C(2)求BC邊上的中線所在直線的方程.解答即10x＋11y＋8＝0，所以BC邊上的中線所在直線的方程是10x＋11y＋8＝0.解設BC的中點為M(a，b)，(2)求BC邊上的中線所在直線的方程.解答即10x＋11y＋反思與感悟當已知兩點坐標，求過這兩點的直線方程時，首先要判斷是否滿足兩點式方程的適用條件，若滿足，即可考慮用兩點式求方程.在斜率存在的情況下，也可能先用斜率公式求出斜率，再用點斜式寫方程.反思與感悟當已知兩點坐標，求過這兩點的直線方程時，首先要判跟蹤訓練1已知△ABC三個頂點坐標A(2，－1)，B(2,2)，C(4,1)，求三角形三條邊所在的直線方程.解∵A(2，－1)，B(2,2)，A、B兩點橫坐標相同，∴直線AB與x軸垂直，故其方程為x＝2.∵A(2，－1)，C(4,1)，由直線方程的兩點式，即x－y－3＝0.同理由直線方程的兩點式，解答跟蹤訓練1已知△ABC三個頂點坐標A(2，－1)，B(2,類型二直線的截距式方程例2求過點A(5,2)，且在兩坐標軸上截距互為相反數的直線l的方程.解答類型二直線的截距式方程例2求過點A(5,2)，且在兩坐標解方法一

(1)當直線l在坐標軸上的截距均為0時，(2)當直線l在坐標軸上的截距不為0時，又∵l過點A(5,2)，∴5－2＝a，解得a＝3.∴l的方程為x－y－3＝0.綜上所述，直線l的方程為2x－5y＝0或x－y－3＝0.解方法一(1)當直線l在坐標軸上的截距均為0時，(2)當方法二由題意知，直線的斜率一定存在.設直線的點斜式方程為y－2＝k(x－5)，即2x－5y＝0；當k＝1時，直線方程為y－2＝1×(x－5)，即x－y－3＝0.綜上所述，直線l的方程為2x－5y＝0或x－y－3＝0.方法二由題意知，直線的斜率一定存在.即2x－5y＝0；引申探究1.若將本例中的條件“在坐標軸上的截距互為相反數”變為“在x軸上的截距是y軸上的截距的2倍”，其他條件不變，如何求解？解答解(1)當直線l在兩坐標軸上的截距均為0時，又l過點(5,2)，∴直線l的方程為x＋2y－9＝0.引申探究解答解(1)當直線l在兩坐標軸上的截距均為0時，2.若將本例中的條件“在兩坐標軸上的截距互為相反數”變為“與兩坐標軸圍成的三角形的面積是

”，其他條件不變，如何求解？解答2.若將本例中的條件“在兩坐標軸上的截距互為相反數”變為“與解由題意，直線不過原點，且在兩坐標軸上的截距都存在.∴l的方程為4x－25y＋30＝0或x－y－3＝0.解由題意，直線不過原點，且在兩坐標軸上的截距都存在.∴l的反思與感悟

(1)如果問題中涉及直線與兩坐標軸相交，則可考慮選用直線的截距式方程，用待定系數法確定其系數即可.(2)在選用直線的截距式方程時，必須首先考慮直線是否過原點以及是否與兩坐標軸垂直.反思與感悟(1)如果問題中涉及直線與兩坐標軸相交，則可考慮跟蹤訓練2過點A(3，－1)且在兩坐標軸上截距的絕對值相等的直線有A.2條

B.3條

C.4條

D.無數多條答案∴滿足條件的直線共有3條.故選B.解析√跟蹤訓練2過點A(3，－1)且在兩坐標軸上截距的絕對值相等類型三直線的一般式方程例3設直線l的方程為(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.(1)若直線l在x軸上的截距為－3，則m＝____；答案解析類型三直線的一般式方程例3設直線l的方程為(m2－2m－(2)若直線l的斜率為1，則m＝____.解得m＝－2或m＝－1(舍去).∴m＝－2.答案解析－2(2)若直線l的斜率為1，則m＝____.解得m＝－2或m＝反思與感悟

(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直線，則需滿足A，B不同時為0.(2)令x＝0可得在y軸上的截距.令y＝0可得在x軸上的截距.若確定直線斜率存在，可將一般式化為斜截式.(3)解分式方程注意驗根.反思與感悟(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直線，則需滿足跟蹤訓練3直線l的方程為(a＋1)x＋y＋2－a＝0.(1)若l在兩坐標軸上的截距相等，求a的值；解令x＝0，則y＝a－2，解答∵l在兩坐標軸上的截距相等，跟蹤訓練3直線l的方程為(a＋1)x＋y＋2－a＝0.解(2)若l不經過第二象限，求實數a的取值范圍.解答∴實數a的取值范圍為{a|a＜－1或a＝2}.(2)若l不經過第二象限，求實數a的取值范圍.解答∴實數a的達標檢測達標檢測1.在直角坐標系中，直線x＋

y－3＝0的傾斜角是A.30° B.60°C.150° D.120°12345答案解析√1.在直角坐標系中，直線x＋y－3＝0的傾斜角是122.經過點A(2,5)，B(－3,6)的直線在x軸上的截距為A.2 B.－3C.－27 D.2712345答案解析即x＋5y－27＝0，令y＝0，