（新高考）此卷只裝訂不密封此卷只裝訂不密封班級(jí)姓名準(zhǔn)考證號(hào)考場(chǎng)號(hào)座位號(hào)數(shù)學(xué)（九）注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，所以復(fù)數(shù)的虛部為，故選B．2．已知全集，集合，，則下圖陰影部分表示的集合是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由圖可知陰影部分表示的集合是，由，得，所以，由，得，所以，所以或，所以，故選C．3．已知，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋裕矗瑒t，故選A．4．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則（）A．543 B．546 C．1013 D．1022【答案】A【解析】∵，∴，兩式相減得，即，，又當(dāng)時(shí)，有，可得，∴數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，∴，，∴，∴，故選A．5．設(shè)，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又，，，故選C．6．已知的外心為，，，則的值是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，則，即，則為的中點(diǎn)，又因?yàn)闉榈耐庑模瑒t，所以為直角三角形，且，如下圖所示：，所以為等邊三角形，則，由勾股定理可得，，故選D．7．在一次試驗(yàn)中，向如圖所示的正方形中隨機(jī)撒一大把豆子．經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)落在正方形中的豆子有粒，其中有()粒豆子落在陰影區(qū)域內(nèi)，以此估計(jì)的值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則正方形的面積等于4．因?yàn)殛幱安糠值拿娣e等于，所以，故選A．8．若是正奇數(shù)，則被9除的余數(shù)為（）A．2 B．5 C．7 D．8【答案】C【解析】由題可知：原式，因?yàn)闉檎鏀?shù)，所以上式可化簡(jiǎn)為：，所以該式除以9，余數(shù)為7，故選C．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知，是互不重合的直線，，是互不重合的平面，下列四個(gè)命題中正確的是（）A．若，，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則【答案】BD【解析】對(duì)于A，若，，，，則與相交或平行，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，，，則由線面平行的性質(zhì)得，故B正確；對(duì)于C，若，，，則或，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，，，則由面面垂直的判定定理得，故D正確，故選BD．10．銳角中三個(gè)內(nèi)角分別是A，B，C且，則下列說(shuō)法正確的是（）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】設(shè)中三個(gè)內(nèi)角A，B，C分別對(duì)的邊為，由正弦定理得，所以，所以A正確；因?yàn)楹瘮?shù)在上為減函數(shù)，且，所以，所以B錯(cuò)誤；在銳角中，因?yàn)椋裕驗(yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，所以，即，所以C正確；同理可得，所以D正確，故選ACD．11．以下四個(gè)命題表述正確的是（）A．直線恒過(guò)定點(diǎn)B．圓上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于1C．曲線與曲線恰有三條公切線，則D．已知圓，點(diǎn)P為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向圓引兩條切線、，、為切點(diǎn)，則直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)【答案】BCD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：由可得：，由，可得，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B：圓心到直線的距離等于，圓的半徑，平行于且距離為1的兩直線分別過(guò)圓心以及和圓相切，故圓上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：由可得，圓心，，由可得，圓心，，由題意可得兩圓相外切，所以，即，解得，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，即，因?yàn)椤⒎謩e為過(guò)點(diǎn)所作的圓的兩條切線，所以，，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，以為直徑的圓的方程為，整理可得，與已知圓相減可得，消去可得，即，由，可得，所以直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，故選項(xiàng)D正確，故選BCD．12．若函數(shù)，值域?yàn)椋瑒t（）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】對(duì)于A，當(dāng)，，則恒成立，所以在上為單調(diào)遞增函數(shù)，因?yàn)椋剩蔬x項(xiàng)A正確；且，故當(dāng)時(shí)，值域?yàn)椋瑢?duì)于C，當(dāng)時(shí)，則恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以，故，又的值域?yàn)椋裕剩蔬x項(xiàng)C正確；對(duì)于B，由選項(xiàng)C可知，，故，所以，，令，()，所以，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，則，令，則在恒成立，在上單調(diào)遞增，因此時(shí)，，，∴是減函數(shù)，又，∴，即，所以，則D正確，故選ACD．第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_________．【答案】【解析】，，，又，所求的切線方程為，即，故答案為．14．如圖是一個(gè)由正方體截得八面體的平面展開(kāi)圖，它由六個(gè)等腰直角三角形和兩個(gè)正三角形構(gòu)成，若正三角形的邊長(zhǎng)為，則這個(gè)八面體中有下列結(jié)論：①平面平面；②多面體是三棱柱；③直線與直線所成的角為；④棱所在直線與平面所成的角為．以上結(jié)論正確的是________．【答案】①③【解析】根據(jù)平面展開(kāi)圖結(jié)合正方體可得如圖所示的幾何體（如左圖所示）．在正方體中，因?yàn)椋矫妫矫妫势矫妫砥矫妫势矫嫫矫妫盛僬_；根據(jù)棱柱的定義可知，多面體不是三棱柱，故②錯(cuò)誤；因?yàn)椋遥手本€與直線所成的角為，故③正確；因?yàn)椋逝c平面所成的角，即為與平面所成的角，因?yàn)榍移矫媾c平面不垂直，故與平面所成的角小于，故④錯(cuò)誤，故答案為①③．15．已知函數(shù)，恰有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，，且滿足，則______；的最小值為_(kāi)_____．【答案】，【解析】由解析式可得圖象如下圖所示：恰有個(gè)不等實(shí)根等價(jià)于與恰有個(gè)不同交點(diǎn)，由圖象可知：，，，則，即，，即，；關(guān)于對(duì)稱，，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），當(dāng)時(shí)，，滿足與恰有個(gè)不同交點(diǎn)，的最小值為．16．已知、分別為拋物線與圓上的動(dòng)點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，、為平面內(nèi)兩點(diǎn)，且當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合；當(dāng)取得最大值時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，則的面積為_(kāi)_____．【答案】【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，如下圖所示：拋物線的準(zhǔn)線為，過(guò)點(diǎn)作拋物線的垂線，垂足為點(diǎn)，由拋物線的定義可得，則，當(dāng)時(shí)，取最小值，此時(shí)取最小值，直線的方程為，聯(lián)立，解得，即點(diǎn)，點(diǎn)到圓上任意一點(diǎn)的距離，當(dāng)且僅當(dāng)為射線與圓的交點(diǎn)，且為線段上的點(diǎn)，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)為射線與拋物線的交點(diǎn)，且為射線與圓的交點(diǎn)（為線段上的點(diǎn)），取得最大值．直線的斜率為，直線的方程為，聯(lián)立，解得，即點(diǎn)，直線的斜率為，直線的方程為，即，，點(diǎn)到直線的距離為，因此，，故答案為．四、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（10分）在銳角中，角、，所對(duì)的邊分別為，，，且．（1）求證：；（2）若，求的取值范圍．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【解析】（1）因?yàn)椋Y(jié)合余弦定理，得，即，由正弦定理得，所以，所以，又為銳角三角形，所以，，所以，即．（2）由（1）知，所以，又為銳角三角形，所以，即，所以，由正弦定理可知中，所以．18．（12分）已知正項(xiàng)數(shù)列，其前項(xiàng)和為．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由已知，①所以有，②②-①，得，即，∴，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，又，∴，所以．（2）由（1）得，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，綜上所述，．19．（12分）已知四邊形是直角梯形，，，，，分別為的中點(diǎn)（如圖1），以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置且平面平面（如圖2）．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【解析】（1）證明：由題意得，，，由余弦定理得，所以．如圖，連接，易知，于，所以，所以，即，所以．因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫云矫妫忠驗(yàn)槠矫妫裕忠驗(yàn)椋矫妫云矫妫?）解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，設(shè)平面和平面的法向量分別為，，，令，；，令，，所以二面角的余弦值為．20．（12分）已知曲線，與直線．（1）若直線與曲線相切，求的值；（2）若直線與曲線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，？【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，由，則，所以，解得，所以，即．將點(diǎn)代入直線的方程，解得．（2）設(shè)，，直線的斜率分別為，．將代入曲線的方程，整理得，所以，，且，即．①當(dāng)直線交軸于非負(fù)半軸時(shí)，若過(guò)點(diǎn)，則點(diǎn)三點(diǎn)共線，顯然有，代入直線方程得；②當(dāng)直線交軸與負(fù)半軸時(shí)，若，則，所以，代入，解得，綜上所述，或時(shí)，．21．（12分）設(shè)是給定的正整數(shù)（），現(xiàn)有個(gè)外表相同的袋子，里面均裝有個(gè)除顏色外其他無(wú)區(qū)別的小球，第個(gè)袋中有個(gè)紅球，個(gè)白球．現(xiàn)將這些袋子混合后，任選其中一個(gè)袋子，并且從中連續(xù)取出三個(gè)球（每個(gè)取后不放回）．（1）若，假設(shè)已知選中的恰為第2個(gè)袋子，求第三次取出為白球的概率；（2）若，求第三次取出為白球的概率；（3）對(duì)于任意的正整數(shù)，求第三次取出為白球的概率．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）時(shí)，第二個(gè)袋中有2白2紅，共4個(gè)球，從中連續(xù)取出三個(gè)球（每個(gè)取后不放回）．第三次取出為白球的情況有：紅紅白，紅白白，白紅白，∴第三次取出為白球的概率．（2）設(shè)選出的是第個(gè)袋，連續(xù)三次取球的方法數(shù)為，第三次取出的是白球的三次取球顏色有如下四種情形：（白，白，白），取法數(shù)為，（白，紅，白），取法數(shù)為，（紅，白，白），取法數(shù)為，（紅，紅，白），取法數(shù)為，從而第三次取出的是白球的種數(shù)為：，則在第個(gè)袋子中第三次取出的是白球的概率，而選到第個(gè)袋子的概率為，故所求概率為．（3）設(shè)選出的是第個(gè)袋，連續(xù)三次取球的方法數(shù)為，第三次取出的是白球的三次取球顏色有如下四種情形：（白，白，白），取法數(shù)為，（白，紅，白），取法數(shù)為，（紅，白，白），取法數(shù)為，（紅，紅，白），取法數(shù)為，從而第三次取出的是白球的種數(shù)為：，則在第個(gè)袋子中第三次取出的是白球的概率，而選到第個(gè)袋子的概率為，故所求概率為．22．（12分）已知函數(shù)，，，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)