第3章點(diǎn)、線、平面的投影3.1投影法的基本知識(shí)3.2點(diǎn)的投影3.3直線的投影3.4平面的投影3.5求直線的實(shí)長(zhǎng)和平面的實(shí)形第3章點(diǎn)、線、平面的投影3.1投影法的基本知識(shí)3.2

3.1投影法的基本知識(shí)3.1.1投影法的概念3.1.2投影法的分類3.1.3三視圖的形成3.1投影法的基本知識(shí)3.1.1投影法的概3.1.1投影法的概念3.1.1投影法的概念1.中心投影法2.平行投影法

3.1.2投影法的分類1.中心投影法3.1.2投影法的分類1.中心投影法投射線由投射中心出發(fā)的投影方法，稱為中心投影法。

☆改變物體與投影面間的距離，物體的投影發(fā)生變化。用中心投影法畫出的圖形稱為透視圖，其立體感強(qiáng)，符合人們的視覺習(xí)慣，常用于繪制建筑效果圖；但透視圖作圖復(fù)雜，度量性差，不適合繪制機(jī)械圖樣。c1.中心投影法投射線由投射中心出發(fā)的投影方法，稱為中心投影2.平行投影法：投射線相互平行的投影方法，稱為平行投影法。（1）斜投影法2.平行投影法：投射線相互平行的投影方法，（2）正投影法（2）正投影法3.1.3三視圖的形成

1.三投影面體系將三個(gè)兩兩互相垂直的平面作為投影面，組成一個(gè)三投影面體系，如圖所示。其中水平投影面用H標(biāo)記，簡(jiǎn)稱水平面或H面；正立投影面用V標(biāo)記，簡(jiǎn)稱正立面或V面；側(cè)立投影面用W標(biāo)記，簡(jiǎn)稱側(cè)面或W面。兩投影面的交線稱為投影軸，H面與V面的交線為OX軸，H面與W面的交線為OY軸，V面與W面的交線為OZ軸，三條投影軸兩兩互相垂直并匯交于原點(diǎn)O。三個(gè)投影面把空間分成八個(gè)部分，稱為八個(gè)分角。三投影面體系3.1.3三視圖的形成1.三投影面體系三2.三視圖的形成

將物體放置于三面投影體系中，并注意安放位置適宜，即把形體的主要表面與三個(gè)投影面對(duì)應(yīng)平行，用正投影法進(jìn)行投影，即可得到三個(gè)方向的正投影圖，如圖所示。從前向后投影，在V面得到正面投影圖，叫主視圖；從上向下投影，在H面上得到水平投影，叫俯視圖；從左向右投影，在W面上得到側(cè)面投影圖，叫左視圖。這樣就得到了物體的主、俯、左三個(gè)視圖。三視圖的形成返回2.三視圖的形成三視圖的形成返回為了把三個(gè)投影面上的投影畫在一張二維的圖紙上，我們假設(shè)沿OY投影軸將三投影面體系剪開，保持V面不動(dòng)，H面沿OX軸向下旋轉(zhuǎn)90°，w面沿OZ軸向后旋轉(zhuǎn)90°，展開三投影面體系，使三個(gè)投影面處于同一個(gè)平面內(nèi)，如圖2-16所示。需要注意的是：這時(shí)Y軸分為兩條，一條隨H面旋轉(zhuǎn)到OZ軸的正下方，用YH表示；一條隨W面旋轉(zhuǎn)到OX軸的正右方，用YW表示，如圖所示。

三投影面體系的展開為了把三個(gè)投影面上的投影畫在一張二維的圖紙上

實(shí)際繪圖時(shí)，在投影圖外不必畫出投影面的邊框，也不注寫H、V、W字樣，也不必畫出投影軸（又叫無軸投影），只要按方位置和投影關(guān)系，畫出主、俯、左三個(gè)視圖即可，如下圖b，這就是形體的三面正投影圖，簡(jiǎn)稱三視圖。形體的三視圖實(shí)際繪圖時(shí)，在投影圖外不必畫出投影面的3三視圖之間的投影關(guān)系

在三投影面體系中，形體的X軸方向（左右間）尺寸稱為長(zhǎng)度，Y軸方向（前后間）尺寸稱為寬度，Z軸方向（上下間）尺寸稱為高度。在形體的三面投影中，水平投影圖和正面投影圖在X軸方向都反映物體的長(zhǎng)度，它們的位置左右應(yīng)對(duì)正，即“長(zhǎng)對(duì)正”。正面投影圖和側(cè)面投影圖在Z軸方向都反映物體的高度，它們的位置上下應(yīng)對(duì)齊，即“高平齊”；水平投影圖和側(cè)面投影圖在Y軸方向都反映物體的寬度，這兩個(gè)寬度一定相等，即“寬相等”。3三視圖之間的投影關(guān)系在三投影面體系主視圖、俯視圖長(zhǎng)對(duì)正；主視圖、左視圖高平齊；俯視圖、左視圖寬相等。這稱為“三等關(guān)系”，也稱“三等規(guī)律”，它是形體的三視圖之間最基本的投影關(guān)系，是畫圖和讀圖的基礎(chǔ)。應(yīng)當(dāng)注意，這種關(guān)系無論是對(duì)整個(gè)物體還是對(duì)物體局部的每一點(diǎn)、線、面均符合。主視圖、俯視圖長(zhǎng)對(duì)正；這稱為“三等關(guān)系”，也3.2點(diǎn)的投影3.2.1點(diǎn)的三面投影3.2.2點(diǎn)的投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系3.2.3空間兩點(diǎn)的相對(duì)位置的判定3.2.4重影點(diǎn)及其可見性3.2點(diǎn)的投影3.2.1點(diǎn)的三面投影3.2.1點(diǎn)的三面投影1.點(diǎn)的三面投影2.點(diǎn)的三面投影規(guī)律3.由點(diǎn)的兩面投影求第三投影3.2.1點(diǎn)的三面投影1.點(diǎn)的三面投影1.點(diǎn)的三面投影a——點(diǎn)A的水平投影a——點(diǎn)A的正面投影a——點(diǎn)A的側(cè)面投影Aaaaaxayaz1.點(diǎn)的三面投影a——點(diǎn)A的水平投影Aaaaaxaya三投影面體系展開VWHa

aa

XOZYWYHaxayazay點(diǎn)的三投影圖三投影面體系展開VWHaaaXOZYWYHaxaya2.點(diǎn)的三面投影規(guī)律a

aa

XOZYWYHaxayazayaaX軸，aaZ軸，aaz

=aayaax

=aay

aax

=aaz

aaaAaxayaz2.點(diǎn)的三面投影規(guī)律aaaXOZYWYHaxaya[例1]已知點(diǎn)A的正面與側(cè)面投影，求點(diǎn)A的水平投影。aa

a

XOZYWYH4.根據(jù)點(diǎn)的兩個(gè)投影求其第三投影[例1]已知點(diǎn)A的正面與側(cè)面投影，求點(diǎn)A的水平投影。[例2]已知點(diǎn)A的正面與水平面投影，求點(diǎn)A的側(cè)面投影。aa

a

XOZYWYH4.根據(jù)點(diǎn)的兩個(gè)投影求其第三投影[例2]已知點(diǎn)A的正面與水平面投影，求點(diǎn)A的側(cè)面投影3.2.2點(diǎn)的投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系

如果把投影面V視為坐標(biāo)面XOZ，把投影面H視為坐標(biāo)面XOY，把投影面W視為坐標(biāo)面YOZ，把投影軸OX、OY、OZ作為三個(gè)坐標(biāo)軸，原點(diǎn)仍為原點(diǎn)，則三投影面體系就是一個(gè)空間直角坐標(biāo)系。aaaAaxayaz3.2.2點(diǎn)的投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系如果把投三面投影體系與直角坐標(biāo)系的關(guān)系在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A到投影面的距離可由點(diǎn)的坐標(biāo)x、y、z表示。aaaAaxayazxyz三面投影體系與直角坐標(biāo)系的關(guān)系在空間直角坐標(biāo)系點(diǎn)的直角坐標(biāo)與三面投影的關(guān)系a

aa

XOZYWYHaxayazay

aaz

=aay=xaax

=aay=zaax

=aaz=yxyzy點(diǎn)的直角坐標(biāo)與三面投影的關(guān)系aaaXOZYWYHax[例題]已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(10,20,15)，求其三面投影。YWYHZXO152010a’aa”[例題]已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(10,20,15)，求其三面投3.2.3空間兩點(diǎn)的相對(duì)位置的判定空間兩點(diǎn)的相對(duì)位置是指兩點(diǎn)間的上、下，左、右，前、后關(guān)系。可通過點(diǎn)的投影確定空間兩點(diǎn)的相對(duì)位置：

點(diǎn)的V面投影可確定空間兩點(diǎn)的左右和上下位置；

點(diǎn)的H面投影可確定空間兩點(diǎn)的左右和前后位置；

點(diǎn)的W面投影可確定空間兩點(diǎn)的前后和上下位置。3.2.3空間兩點(diǎn)的相對(duì)位置的判定空間兩點(diǎn)的相對(duì)由投影判斷空間兩點(diǎn)的位置a

aa

XOZYWYHbb

b

a

a

ab

b

bBA兩點(diǎn)中x值大的點(diǎn)在左兩點(diǎn)中y值大的點(diǎn)在前兩點(diǎn)中z值大的點(diǎn)在上由投影判斷空間兩點(diǎn)的位置aaaXOZYWYHbb設(shè)兩點(diǎn)分別為A和B：若A點(diǎn)的x坐標(biāo)大于B點(diǎn)的x坐標(biāo)，A點(diǎn)在左，B點(diǎn)在右；若A點(diǎn)的z坐標(biāo)大于B點(diǎn)的z坐標(biāo)，A點(diǎn)在上，B點(diǎn)在下；若A點(diǎn)的y坐標(biāo)大于B點(diǎn)的y坐標(biāo)，A點(diǎn)在前，B點(diǎn)在后。

空間兩點(diǎn)的相對(duì)位置的判定

設(shè)兩點(diǎn)分別為A和B：空間兩點(diǎn)的相對(duì)位置的判定[例題]已知點(diǎn)A在點(diǎn)B之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米，求點(diǎn)A的投影。a

a

a985b

b

bXZYWYHO[例題]已知點(diǎn)A在點(diǎn)B之前5毫米，之上9毫米，之右83.2.4重影點(diǎn)及其可見性當(dāng)空間兩點(diǎn)位于一個(gè)投影面的同一條投射線上時(shí)，它們?cè)谠撏队懊嫔系耐队爸睾铣梢粋€(gè)點(diǎn)，稱為重影，這空間兩點(diǎn)就稱為該投影面的重影點(diǎn)。d(c)cda(b)abCDAB重影點(diǎn)的投影形成3.2.4重影點(diǎn)及其可見性當(dāng)空間兩點(diǎn)位于

在投影圖中，判別重影點(diǎn)的可見性與觀察方向有關(guān)，約定:可見性觀察方向?yàn)樽陨舷蛳拢郧跋蚝螅宰笙蛴摇Ｅ袆e重影點(diǎn)的可見性方法可歸納為：（1）若兩點(diǎn)的水平投影重合，z坐標(biāo)值大者為可見。（2）若兩點(diǎn)的正面投影重合，y坐標(biāo)值大者為可見。（3）若兩點(diǎn)的側(cè)面投影重合，x坐標(biāo)值大者為可見。

規(guī)定，不可見點(diǎn)的重合投影加一圓括號(hào)

[例題]點(diǎn)A在水平面上的投影可見YWYHZXOa’a(b)a”b’b”[例題]點(diǎn)A在水平面上的投影可見YWYHZXOa’a(b3.3直線的投影3.3.1直線的投影3.3.2各類位置直線的投影特性3.3.3直線上的點(diǎn)的投影3.3.4兩直線的相對(duì)位置3.3.5垂直兩直線的投影3.3直線的投影3.3.1直線的投影3.3.1直線的投影直線的投影可由屬于該直線的兩點(diǎn)的投影來確定。在正投影法中，如果直線與投射線不平行，直線的投影仍是直線。如果直線與投射線平行，直線的投影為一點(diǎn)。abc(d)DCBAH3.3.1直線的投影直線的投影可由屬于該直線直線的三面投影ABbbabaaZXOY直線的三面投影ABbbabaaZXOY3．3．2各類位置的直線的投影特性

一般位置直線

投影面平行線特殊位置直線

投影面垂直線

3．3．2各類位置的直線的投影特性一般位置直線1.一般位置直線ABbbabaa與三個(gè)投影面都傾斜的直線，稱為一般位置直線。

(一般位置直線對(duì)H面的傾角為α，對(duì)V面的傾角為β；對(duì)W面的傾角為γ)

投影特性：1．a(chǎn)b、ab、ab均小于實(shí)長(zhǎng)2．a(chǎn)b、ab、ab均傾斜于投影軸

3．a(chǎn)b、ab、ab與投影軸夾角不反映

、

、大小ZXOY1.一般位置直線ABbbabaa與三個(gè)投影面一般位置直線的投影圖ZXaaaOYHYWbbb一般位置直線的投影特性為：①其三面投影均與投影軸傾斜，且小于線段的實(shí)長(zhǎng)。②各投影與投影軸的夾角均不反映一般位置直線對(duì)投影面的真實(shí)傾角。一般位置直線的投影圖ZXaaaOYHYWbbb一般位2.投影面平行線

平行于一個(gè)投影面，而與另外兩個(gè)投影面傾斜的直線，稱為投影面平行線。有三種位置：

正平線:平行于正面，而與水平面和側(cè)面傾斜的直線。

水平線：平行于水平面，而與正面和側(cè)面傾斜的直線。

側(cè)平線：平行于側(cè)面，而與水平面和正面傾斜的直線。2.投影面平行線平行于一個(gè)投影面，而與另外正平線：平行于正面，而與水平面和側(cè)面傾斜的直線。aababbABZXOYXabab

baOZYHYW

投影特性：1．a(chǎn)b

OX;ab

OZ2．a(chǎn)b=AB3．a(chǎn)b與X軸、Z軸夾角反映、角的大小正平線的投影圖正平線：平行于正面，而與水平面和側(cè)面傾斜的直線。aaba水平線：平行于正面，而與水平面和側(cè)面傾斜的直線。aababb

ABZXOYXa

b

ab

baOZYHYW投影特性：1．a(chǎn)b

OX;ab

OYW2．a(chǎn)b=AB3．a(chǎn)b與X軸、Y軸夾角分別反映、角的大小水平線的投影圖水平線：平行于正面，而與水平面和側(cè)面傾斜的直線。aab側(cè)平線平行于側(cè)面，而與水平面和正面傾斜的直線。

aa

b

a

bbABZXOY投影特性：1．a(chǎn)bOZ;ab

OYH2．a(chǎn)b=AB3．a(chǎn)b與Y軸、Z軸夾角反映、角的大小XZa

b

bbaOYHYWa側(cè)平線的投影圖側(cè)平線平行于側(cè)面，而與水平面和正面傾斜的直線。aab投影面平行線的投影特性在直線所平行的那個(gè)投影面上的投影反映線段的實(shí)長(zhǎng)。反映實(shí)長(zhǎng)的那個(gè)投影與投影軸的夾角是直線段與相應(yīng)投影面的真實(shí)傾角。

在另外兩個(gè)投影面上的投影，平行于相應(yīng)的投影軸，且長(zhǎng)度小于實(shí)長(zhǎng)。投影面平行線的投影特性在直線所平行的那個(gè)投2.投影面垂直線

垂直于一個(gè)投影面，與另外兩個(gè)投影面平行的直線，稱為投影面垂直線。有三種位置：

正垂線：與正面垂直的直線（與H面及W面平行）

鉛垂線：與水平面垂直的直線（與V面及W面平行）

側(cè)垂線：與側(cè)面垂直的直線（與H面及V面平行）2.投影面垂直線垂直于一個(gè)投影面，與另外兩正垂線與正面垂直的直線（與H面及W面平行）投影特性：1．a(chǎn)b積聚成一點(diǎn)2．a(chǎn)b

OX;ab

OZ

3．a(chǎn)b=ab=ABzXb(a)baOYHYWab正垂線的投影圖babaABZXOYb（a）正垂線與正面垂直的直線（與H面及W面平行）投影特性：1．鉛垂線與水平面垂直的直線（與V面及W面平行）b

a(b)a

abABZXOYZb

Xa

ba(b)OYHYWa投影特性：1．a(chǎn)、b積聚成一點(diǎn)2．a(chǎn)bOX;ab

OYW

3．a(chǎn)b=ab=AB鉛垂線的投影圖鉛垂線與水平面垂直的直線（與V面及W面平行）ba(b)a側(cè)垂線與側(cè)面垂直的直線（與H面及V面平行）ABbaa（b）abZXOY投影特性：1．a(chǎn)b積聚成一點(diǎn)2．a(chǎn)b

OYH;ab

OZ

3．a(chǎn)b=ab=ABZXa(b)baOYHYWab側(cè)垂線的投影圖側(cè)垂線與側(cè)面垂直的直線（與H面及V面平行）ABbaa（b投影面垂直線的投影特性在直線所垂直的那個(gè)投影面上的投影積聚為一點(diǎn)。在另外兩個(gè)投影面上的投影垂直于相應(yīng)的投影軸，且反映線段的真實(shí)長(zhǎng)度。投影面垂直線的投影特性在直線所垂直3.3.3直線上的點(diǎn)的投影

直線上點(diǎn)的投影規(guī)律點(diǎn)分直線段的定比性

3.3.3直線上的點(diǎn)的投影直線上點(diǎn)的投影規(guī)律1.直線上的點(diǎn)的投影規(guī)律

如果點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的各個(gè)投影必在該直線的同面投影上,且符合點(diǎn)的投影規(guī)律。

1.直線上的點(diǎn)的投影規(guī)律如果點(diǎn)在直線

直線上的點(diǎn)的投影圖

根據(jù)點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的各個(gè)投影必在該直線的同面投影上,且符合點(diǎn)的投影規(guī)律這一特性，可以在直線上找點(diǎn)，或判斷已知點(diǎn)是否在直線上。直線上的點(diǎn)的投影圖根據(jù)點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的例:點(diǎn)的投影在直線的兩個(gè)平行于投影軸的投影上

，判斷

是否在直線上。點(diǎn)不在直線上

例:點(diǎn)的投影在直線的兩個(gè)平行于投影軸的投影上，判斷

2.點(diǎn)分直線段的定比性

直線段上的點(diǎn)分直線段為兩線段的長(zhǎng)度之比等于點(diǎn)的各投影分同面直線投影長(zhǎng)度之比AK:KB＝ak:kb＝a

k:k

b＝a"k“:k"b"2.點(diǎn)分直線段的定比性直線段上的點(diǎn)分直線段為3.3.4兩直線的相對(duì)位置

1.平行兩直線2.相交兩直線

3.交叉兩直線3.3.4兩直線的相對(duì)位置1.平行兩直線1.平行兩直線

若空間兩直線相互平行，則它們的同面投影必然相互平行或重合。aAbdcBDC1.平行兩直線若空間兩直線相互平行，則它們的同面2.相交兩直線

當(dāng)空間兩直線相交時(shí)，則它們的各同面投影也必然相交，且交點(diǎn)的投影符合點(diǎn)的投影規(guī)律。aAbdcBDC2.相交兩直線當(dāng)空間兩直線相交時(shí)，則它們3.交叉兩直線兩直線既不平行也不相交，稱兩直線交叉。3.交叉兩直線兩直線既不平行也不相交，稱兩直線交叉。3.交叉兩直線bXaabcddc11(2)2

交叉兩直線可能有一組或二組同面投影互相平行,但決不可能三組同面投影都互相平行。交叉兩直線的同面投影，可能有一組、二組或三組同面投影都相交，但它們交點(diǎn)的投影一定不符合點(diǎn)的投影規(guī)律。實(shí)際上，交叉兩直線同面投影的交點(diǎn)是空間兩直線上的對(duì)該投影面的一對(duì)重影點(diǎn)。

3.交叉兩直線bXaabcddc11(2)23．3．5垂直兩直線的投影cXbacbaabcCAB

直角投影定理：當(dāng)兩直線成直角，且其中一條直線為某投影面平行線時(shí)，則兩直線在該投影面上的投影仍成直角。

逆定理：若空間兩直線在某一投影面上的投影成直角，且其中有一條直線為該投影面的平行線時(shí)，則此兩直線在空間必定成直角。3．3．5垂直兩直線的投影cXbacbaabcC3.4平面的投影3.4.1平面的幾何元素表示法3.4.2各種位置平面的投影特性3.4.3平面上的直線和點(diǎn)3.4平面的投影3.4.1平面的幾何元素表示法3．4．1平面的幾何元素表示法baacbcbaacbcaabcbcabcabcddbaacbc不在同一直線上的三點(diǎn)直線與直線外一點(diǎn)相交兩直線平行兩直線平面圖形3．4．1平面的幾何元素表示法baacbcb3.4.2各種位置平面的投影特性1.投影面的垂直面2.投影面的平行面3.一般位置平面3.4.2各種位置平面的投影特性1.投影面的垂直面1.投影面的垂直面鉛垂面正垂面?zhèn)却姑?/p>

垂直于一個(gè)投影面而與另外兩個(gè)投影面傾斜的平面叫投影面垂直面

1.投影面的垂直面鉛垂面垂直于一個(gè)投影面而與另外（1）鉛垂面XOVHWPABCacba'b'a"b"bab"cc"c'XZYWOYH投影特性(1)abc積聚為一條線(2)abc、abc為ABC的類似形(3)abc與OX、OY的夾角反映、角的真實(shí)大小鉛垂面投影圖（1）鉛垂面XOVHWPABCacba'b'a"b"ba（2）正垂面XOVHWPABCacbDdXZYWOYHcda'b'a"b"bab"c"c'd"d'投影特性(1)abcd積聚為一條線(2)abcd、abcd為ABCD的類似形(3)abcd與OX、

OZ的夾角反映α、角的真實(shí)大小

正垂面投影圖（2）正垂面XOVHWPABCacbDdXZYWOYHcda（3）側(cè)垂面XOVHWPABCa"b"c"投影特性(1)abc積聚為一條直線(2)abc、

abc為ABC的類似形(3)abc與OZ、OY的夾角反映α、β角的大小

c"b"βa'b'bacc'a"OXZYWYH側(cè)垂面投影圖（3）側(cè)垂面XOVHWPABCa"b"c"投影特性(1投影面垂直面的投影特性

平面在它所垂直的投影面上積聚成傾斜于投影軸的直線段；該線段與投影軸的夾角，即平面對(duì)另外兩個(gè)投影面的傾角。另外兩個(gè)投影面上投影為平面圖形的類似形。投影面垂直面的投影特性平面在它所垂直2.投影面的平行面水平面正平面?zhèn)绕矫嫫叫杏谝粋€(gè)投影面的平面叫投影面平行面

2.投影面的平行面水平面平行于一個(gè)投影面的平面叫投影面平（1）水平面XOVHWPABa"b"c"ca'b'bac'C投影特性：(1)abc、abc積聚為一條直線，具有積聚性(2)水平投影abc反映ABC實(shí)形

cab'b"baa"cc"XZYWOYH水平面的投影圖（1）水平面XOVHWPABa"b"c"ca'b'bac'（2）正平面XOVHWc'b'Pa"b"c"bcaCBAc"a"b"b'a'c'bcaXZYWOYH投影特性：(1)abc、abc積聚為一條線，具有積聚性(2)正平面投影abc反映ABC實(shí)形

正平面的投影圖（2）正平面XOVHWc'b'Pa"b"c"bcaCBAc"（3）側(cè)平面XOVHWb"c'baca'b'c"CABa"投影特性：(1)abc、abc積聚為一條直線，具有積聚性(2)側(cè)平面投影abc反映ABC實(shí)形a'b'b"ba"c'c"caXZYWOYH側(cè)平面的投影圖（3）側(cè)平面XOVHWb"c'baca'b'c"CABa"投投影面平行面的投影特性

平面在它所平行的投影面上的投影反映實(shí)形。平面的其它兩個(gè)投影都積聚成直線，且分別平行于與該平面平行的兩投影軸。投影面平行面的投影特性平面在它所平行XOVHW3.一般位置平面a"b"c"ca'b'baABCXOVHW3.一般位置平面a"b"c"ca'b'baAB3.一般位置平面的投影圖

一般位置平面的每個(gè)投影既無積聚性，也不反映平面的實(shí)形和傾角。因此在投影圖上，一般位置平面的三面投影均是面積縮小了的平面,

bXZYWOYHa"a'b'b"c'c"ac3.一般位置平面的投影圖一般位置平面的每個(gè)投3.4.3平面上的直線和點(diǎn)1.點(diǎn)和直線在平面上的幾何條件2.平面上的投影面平行線3.4.3平面上的直線和點(diǎn)1.點(diǎn)和直線在平面上的幾何條件A點(diǎn)在平面上的幾何條件若點(diǎn)在平面內(nèi)的任一已知直線上，則點(diǎn)必在該平面上1．平面上的點(diǎn)2．平面上的直線直線在平面上的幾何條件若一直線經(jīng)過平面上的兩個(gè)已知點(diǎn)，或經(jīng)過一個(gè)已知點(diǎn)且平行于該平面上的另一已知直線，則此直線必定在該平面上1.點(diǎn)和直線在平面上的幾何條件A點(diǎn)在平面上的幾何條件若點(diǎn)ca'b'bac'X舉例edd'e'f'f1）在由相交兩直線AB、BC所確定平面內(nèi)作一條直線2）點(diǎn)F在由相交兩直線AB、BC所確定平面上，過F作一條直線，該直線在平面上ca'b'bac'X舉例edd'e'f'f1）在由相交兩直

既在平面上，又平行于某一投影面的直線稱為平面上的投影面平行線。根據(jù)所平行的投影面不同，平面上的投影面平行線可分為平面上的水平線、平面上的正平線和平面上的側(cè)平線三種。

在平面上求作投影面平行線的依據(jù)是：直線既要符合投影面平行線的投影特性，又要滿足直線在平面上的幾何條件。2.平面上的投影面平行線既在平面上，又平行于某一投影面的直線稱為平面上的投影平面上的水平線P平面上的水平線P平面上的正平線P平面上的正平線P平面上的側(cè)平線平面上的側(cè)平線演講完畢，謝謝觀看！演講完畢，謝謝觀看！第3章點(diǎn)、線、平面的投影3.1投影法的基本知識(shí)3.2點(diǎn)的投影3.3直線的投影3.4平面的投影3.5求直線的實(shí)長(zhǎng)和平面的實(shí)形第3章點(diǎn)、線、平面的投影3.1投影法的基本知識(shí)3.2

3.1投影法的基本知識(shí)3.1.1投影法的概念3.1.2投影法的分類3.1.3三視圖的形成3.1投影法的基本知識(shí)3.1.1投影法的概3.1.1投影法的概念3.1.1投影法的概念1.中心投影法2.平行投影法

3.1.2投影法的分類1.中心投影法3.1.2投影法的分類1.中心投影法投射線由投射中心出發(fā)的投影方法，稱為中心投影法。

☆改變物體與投影面間的距離，物體的投影發(fā)生變化。用中心投影法畫出的圖形稱為透視圖，其立體感強(qiáng)，符合人們的視覺習(xí)慣，常用于繪制建筑效果圖；但透視圖作圖復(fù)雜，度量性差，不適合繪制機(jī)械圖樣。c1.中心投影法投射線由投射中心出發(fā)的投影方法，稱為中心投影2.平行投影法：投射線相互平行的投影方法，稱為平行投影法。（1）斜投影法2.平行投影法：投射線相互平行的投影方法，（2）正投影法（2）正投影法3.1.3三視圖的形成

1.三投影面體系將三個(gè)兩兩互相垂直的平面作為投影面，組成一個(gè)三投影面體系，如圖所示。其中水平投影面用H標(biāo)記，簡(jiǎn)稱水平面或H面；正立投影面用V標(biāo)記，簡(jiǎn)稱正立面或V面；側(cè)立投影面用W標(biāo)記，簡(jiǎn)稱側(cè)面或W面。兩投影面的交線稱為投影軸，H面與V面的交線為OX軸，H面與W面的交線為OY軸，V面與W面的交線為OZ軸，三條投影軸兩兩互相垂直并匯交于原點(diǎn)O。三個(gè)投影面把空間分成八個(gè)部分，稱為八個(gè)分角。三投影面體系3.1.3三視圖的形成1.三投影面體系三2.三視圖的形成

將物體放置于三面投影體系中，并注意安放位置適宜，即把形體的主要表面與三個(gè)投影面對(duì)應(yīng)平行，用正投影法進(jìn)行投影，即可得到三個(gè)方向的正投影圖，如圖所示。從前向后投影，在V面得到正面投影圖，叫主視圖；從上向下投影，在H面上得到水平投影，叫俯視圖；從左向右投影，在W面上得到側(cè)面投影圖，叫左視圖。這樣就得到了物體的主、俯、左三個(gè)視圖。三視圖的形成返回2.三視圖的形成三視圖的形成返回為了把三個(gè)投影面上的投影畫在一張二維的圖紙上，我們假設(shè)沿OY投影軸將三投影面體系剪開，保持V面不動(dòng)，H面沿OX軸向下旋轉(zhuǎn)90°，w面沿OZ軸向后旋轉(zhuǎn)90°，展開三投影面體系，使三個(gè)投影面處于同一個(gè)平面內(nèi)，如圖2-16所示。需要注意的是：這時(shí)Y軸分為兩條，一條隨H面旋轉(zhuǎn)到OZ軸的正下方，用YH表示；一條隨W面旋轉(zhuǎn)到OX軸的正右方，用YW表示，如圖所示。

三投影面體系的展開為了把三個(gè)投影面上的投影畫在一張二維的圖紙上

實(shí)際繪圖時(shí)，在投影圖外不必畫出投影面的邊框，也不注寫H、V、W字樣，也不必畫出投影軸（又叫無軸投影），只要按方位置和投影關(guān)系，畫出主、俯、左三個(gè)視圖即可，如下圖b，這就是形體的三面正投影圖，簡(jiǎn)稱三視圖。形體的三視圖實(shí)際繪圖時(shí)，在投影圖外不必畫出投影面的3三視圖之間的投影關(guān)系

在三投影面體系中，形體的X軸方向（左右間）尺寸稱為長(zhǎng)度，Y軸方向（前后間）尺寸稱為寬度，Z軸方向（上下間）尺寸稱為高度。在形體的三面投影中，水平投影圖和正面投影圖在X軸方向都反映物體的長(zhǎng)度，它們的位置左右應(yīng)對(duì)正，即“長(zhǎng)對(duì)正”。正面投影圖和側(cè)面投影圖在Z軸方向都反映物體的高度，它們的位置上下應(yīng)對(duì)齊，即“高平齊”；水平投影圖和側(cè)面投影圖在Y軸方向都反映物體的寬度，這兩個(gè)寬度一定相等，即“寬相等”。3三視圖之間的投影關(guān)系在三投影面體系主視圖、俯視圖長(zhǎng)對(duì)正；主視圖、左視圖高平齊；俯視圖、左視圖寬相等。這稱為“三等關(guān)系”，也稱“三等規(guī)律”，它是形體的三視圖之間最基本的投影關(guān)系，是畫圖和讀圖的基礎(chǔ)。應(yīng)當(dāng)注意，這種關(guān)系無論是對(duì)整個(gè)物體還是對(duì)物體局部的每一點(diǎn)、線、面均符合。主視圖、俯視圖長(zhǎng)對(duì)正；這稱為“三等關(guān)系”，也3.2點(diǎn)的投影3.2.1點(diǎn)的三面投影3.2.2點(diǎn)的投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系3.2.3空間兩點(diǎn)的相對(duì)位置的判定3.2.4重影點(diǎn)及其可見性3.2點(diǎn)的投影3.2.1點(diǎn)的三面投影3.2.1點(diǎn)的三面投影1.點(diǎn)的三面投影2.點(diǎn)的三面投影規(guī)律3.由點(diǎn)的兩面投影求第三投影3.2.1點(diǎn)的三面投影1.點(diǎn)的三面投影1.點(diǎn)的三面投影a——點(diǎn)A的水平投影a——點(diǎn)A的正面投影a——點(diǎn)A的側(cè)面投影Aaaaaxayaz1.點(diǎn)的三面投影a——點(diǎn)A的水平投影Aaaaaxaya三投影面體系展開VWHa

aa

XOZYWYHaxayazay點(diǎn)的三投影圖三投影面體系展開VWHaaaXOZYWYHaxaya2.點(diǎn)的三面投影規(guī)律a

aa

XOZYWYHaxayazayaaX軸，aaZ軸，aaz

=aayaax

=aay

aax

=aaz

aaaAaxayaz2.點(diǎn)的三面投影規(guī)律aaaXOZYWYHaxaya[例1]已知點(diǎn)A的正面與側(cè)面投影，求點(diǎn)A的水平投影。aa

a

XOZYWYH4.根據(jù)點(diǎn)的兩個(gè)投影求其第三投影[例1]已知點(diǎn)A的正面與側(cè)面投影，求點(diǎn)A的水平投影。[例2]已知點(diǎn)A的正面與水平面投影，求點(diǎn)A的側(cè)面投影。aa

a

XOZYWYH4.根據(jù)點(diǎn)的兩個(gè)投影求其第三投影[例2]已知點(diǎn)A的正面與水平面投影，求點(diǎn)A的側(cè)面投影3.2.2點(diǎn)的投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系

如果把投影面V視為坐標(biāo)面XOZ，把投影面H視為坐標(biāo)面XOY，把投影面W視為坐標(biāo)面YOZ，把投影軸OX、OY、OZ作為三個(gè)坐標(biāo)軸，原點(diǎn)仍為原點(diǎn)，則三投影面體系就是一個(gè)空間直角坐標(biāo)系。aaaAaxayaz3.2.2點(diǎn)的投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系如果把投三面投影體系與直角坐標(biāo)系的關(guān)系在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A到投影面的距離可由點(diǎn)的坐標(biāo)x、y、z表示。aaaAaxayazxyz三面投影體系與直角坐標(biāo)系的關(guān)系在空間直角坐標(biāo)系點(diǎn)的直角坐標(biāo)與三面投影的關(guān)系a

aa

XOZYWYHaxayazay

aaz

=aay=xaax

=aay=zaax

=aaz=yxyzy點(diǎn)的直角坐標(biāo)與三面投影的關(guān)系aaaXOZYWYHax[例題]已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(10,20,15)，求其三面投影。YWYHZXO152010a’aa”[例題]已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(10,20,15)，求其三面投3.2.3空間兩點(diǎn)的相對(duì)位置的判定空間兩點(diǎn)的相對(duì)位置是指兩點(diǎn)間的上、下，左、右，前、后關(guān)系。可通過點(diǎn)的投影確定空間兩點(diǎn)的相對(duì)位置：

點(diǎn)的V面投影可確定空間兩點(diǎn)的左右和上下位置；

點(diǎn)的H面投影可確定空間兩點(diǎn)的左右和前后位置；

點(diǎn)的W面投影可確定空間兩點(diǎn)的前后和上下位置。3.2.3空間兩點(diǎn)的相對(duì)位置的判定空間兩點(diǎn)的相對(duì)由投影判斷空間兩點(diǎn)的位置a

aa

XOZYWYHbb

b

a

a

ab

b

bBA兩點(diǎn)中x值大的點(diǎn)在左兩點(diǎn)中y值大的點(diǎn)在前兩點(diǎn)中z值大的點(diǎn)在上由投影判斷空間兩點(diǎn)的位置aaaXOZYWYHbb設(shè)兩點(diǎn)分別為A和B：若A點(diǎn)的x坐標(biāo)大于B點(diǎn)的x坐標(biāo)，A點(diǎn)在左，B點(diǎn)在右；若A點(diǎn)的z坐標(biāo)大于B點(diǎn)的z坐標(biāo)，A點(diǎn)在上，B點(diǎn)在下；若A點(diǎn)的y坐標(biāo)大于B點(diǎn)的y坐標(biāo)，A點(diǎn)在前，B點(diǎn)在后。

空間兩點(diǎn)的相對(duì)位置的判定

設(shè)兩點(diǎn)分別為A和B：空間兩點(diǎn)的相對(duì)位置的判定[例題]已知點(diǎn)A在點(diǎn)B之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米，求點(diǎn)A的投影。a

a

a985b

b

bXZYWYHO[例題]已知點(diǎn)A在點(diǎn)B之前5毫米，之上9毫米，之右83.2.4重影點(diǎn)及其可見性當(dāng)空間兩點(diǎn)位于一個(gè)投影面的同一條投射線上時(shí)，它們?cè)谠撏队懊嫔系耐队爸睾铣梢粋€(gè)點(diǎn)，稱為重影，這空間兩點(diǎn)就稱為該投影面的重影點(diǎn)。d(c)cda(b)abCDAB重影點(diǎn)的投影形成3.2.4重影點(diǎn)及其可見性當(dāng)空間兩點(diǎn)位于

在投影圖中，判別重影點(diǎn)的可見性與觀察方向有關(guān)，約定:可見性觀察方向?yàn)樽陨舷蛳拢郧跋蚝螅宰笙蛴摇Ｅ袆e重影點(diǎn)的可見性方法可歸納為：（1）若兩點(diǎn)的水平投影重合，z坐標(biāo)值大者為可見。（2）若兩點(diǎn)的正面投影重合，y坐標(biāo)值大者為可見。（3）若兩點(diǎn)的側(cè)面投影重合，x坐標(biāo)值大者為可見。

規(guī)定，不可見點(diǎn)的重合投影加一圓括號(hào)

[例題]點(diǎn)A在水平面上的投影可見YWYHZXOa’a(b)a”b’b”[例題]點(diǎn)A在水平面上的投影可見YWYHZXOa’a(b3.3直線的投影3.3.1直線的投影3.3.2各類位置直線的投影特性3.3.3直線上的點(diǎn)的投影3.3.4兩直線的相對(duì)位置3.3.5垂直兩直線的投影3.3直線的投影3.3.1直線的投影3.3.1直線的投影直線的投影可由屬于該直線的兩點(diǎn)的投影來確定。在正投影法中，如果直線與投射線不平行，直線的投影仍是直線。如果直線與投射線平行，直線的投影為一點(diǎn)。abc(d)DCBAH3.3.1直線的投影直線的投影可由屬于該直線直線的三面投影ABbbabaaZXOY直線的三面投影ABbbabaaZXOY3．3．2各類位置的直線的投影特性

一般位置直線

投影面平行線特殊位置直線

投影面垂直線

3．3．2各類位置的直線的投影特性一般位置直線1.一般位置直線ABbbabaa與三個(gè)投影面都傾斜的直線，稱為一般位置直線。

(一般位置直線對(duì)H面的傾角為α，對(duì)V面的傾角為β；對(duì)W面的傾角為γ)

投影特性：1．a(chǎn)b、ab、ab均小于實(shí)長(zhǎng)2．a(chǎn)b、ab、ab均傾斜于投影軸

3．a(chǎn)b、ab、ab與投影軸夾角不反映

、

、大小ZXOY1.一般位置直線ABbbabaa與三個(gè)投影面一般位置直線的投影圖ZXaaaOYHYWbbb一般位置直線的投影特性為：①其三面投影均與投影軸傾斜，且小于線段的實(shí)長(zhǎng)。②各投影與投影軸的夾角均不反映一般位置直線對(duì)投影面的真實(shí)傾角。一般位置直線的投影圖ZXaaaOYHYWbbb一般位2.投影面平行線

平行于一個(gè)投影面，而與另外兩個(gè)投影面傾斜的直線，稱為投影面平行線。有三種位置：

正平線:平行于正面，而與水平面和側(cè)面傾斜的直線。

水平線：平行于水平面，而與正面和側(cè)面傾斜的直線。

側(cè)平線：平行于側(cè)面，而與水平面和正面傾斜的直線。2.投影面平行線平行于一個(gè)投影面，而與另外正平線：平行于正面，而與水平面和側(cè)面傾斜的直線。aababbABZXOYXabab

baOZYHYW

投影特性：1．a(chǎn)b

OX;ab

OZ2．a(chǎn)b=AB3．a(chǎn)b與X軸、Z軸夾角反映、角的大小正平線的投影圖正平線：平行于正面，而與水平面和側(cè)面傾斜的直線。aaba水平線：平行于正面，而與水平面和側(cè)面傾斜的直線。aababb

ABZXOYXa

b

ab

baOZYHYW投影特性：1．a(chǎn)b

OX;ab

OYW2．a(chǎn)b=AB3．a(chǎn)b與X軸、Y軸夾角分別反映、角的大小水平線的投影圖水平線：平行于正面，而與水平面和側(cè)面傾斜的直線。aab側(cè)平線平行于側(cè)面，而與水平面和正面傾斜的直線。

aa

b

a

bbABZXOY投影特性：1．a(chǎn)bOZ;ab

OYH2．a(chǎn)b=AB3．a(chǎn)b與Y軸、Z軸夾角反映、角的大小XZa

b

bbaOYHYWa側(cè)平線的投影圖側(cè)平線平行于側(cè)面，而與水平面和正面傾斜的直線。aab投影面平行線的投影特性在直線所平行的那個(gè)投影面上的投影反映線段的實(shí)長(zhǎng)。反映實(shí)長(zhǎng)的那個(gè)投影與投影軸的夾角是直線段與相應(yīng)投影面的真實(shí)傾角。

在另外兩個(gè)投影面上的投影，平行于相應(yīng)的投影軸，且長(zhǎng)度小于實(shí)長(zhǎng)。投影面平行線的投影特性在直線所平行的那個(gè)投2.投影面垂直線

垂直于一個(gè)投影面，與另外兩個(gè)投影面平行的直線，稱為投影面垂直線。有三種位置：

正垂線：與正面垂直的直線（與H面及W面平行）

鉛垂線：與水平面垂直的直線（與V面及W面平行）

側(cè)垂線：與側(cè)面垂直的直線（與H面及V面平行）2.投影面垂直線垂直于一個(gè)投影面，與另外兩正垂線與正面垂直的直線（與H面及W面平行）投影特性：1．a(chǎn)b積聚成一點(diǎn)2．a(chǎn)b

OX;ab

OZ

3．a(chǎn)b=ab=ABzXb(a)baOYHYWab正垂線的投影圖babaABZXOYb（a）正垂線與正面垂直的直線（與H面及W面平行）投影特性：1．鉛垂線與水平面垂直的直線（與V面及W面平行）b

a(b)a

abABZXOYZb

Xa

ba(b)OYHYWa投影特性：1．a(chǎn)、b積聚成一點(diǎn)2．a(chǎn)bOX;ab

OYW

3．a(chǎn)b=ab=AB鉛垂線的投影圖鉛垂線與水平面垂直的直線（與V面及W面平行）ba(b)a側(cè)垂線與側(cè)面垂直的直線（與H面及V面平行）ABbaa（b）abZXOY投影特性：1．a(chǎn)b積聚成一點(diǎn)2．a(chǎn)b

OYH;ab

OZ

3．a(chǎn)b=ab=ABZXa(b)baOYHYWab側(cè)垂線的投影圖側(cè)垂線與側(cè)面垂直的直線（與H面及V面平行）ABbaa（b投影面垂直線的投影特性在直線所垂直的那個(gè)投影面上的投影積聚為一點(diǎn)。在另外兩個(gè)投影面上的投影垂直于相應(yīng)的投影軸，且反映線段的真實(shí)長(zhǎng)度。投影面垂直線的投影特性在直線所垂直3.3.3直線上的點(diǎn)的投影

直線上點(diǎn)的投影規(guī)律點(diǎn)分直線段的定比性

3.3.3直線上的點(diǎn)的投影直線上點(diǎn)的投影規(guī)律1.直線上的點(diǎn)的投影規(guī)律

如果點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的各個(gè)投影必在該直線的同面投影上,且符合點(diǎn)的投影規(guī)律。

1.直線上的點(diǎn)的投影規(guī)律如果點(diǎn)在直線

直線上的點(diǎn)的投影圖

根據(jù)點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的各個(gè)投影必在該直線的同面投影上,且符合點(diǎn)的投影規(guī)律這一特性，可以在直線上找點(diǎn)，或判斷已知點(diǎn)是否在直線上。直線上的點(diǎn)的投影圖根據(jù)點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的例:點(diǎn)的投影在直線的兩個(gè)平行于投影軸的投影上

，判斷

是否在直線上。點(diǎn)不在直線上

例:點(diǎn)的投影在直線的兩個(gè)平行于投影軸的投影上，判斷

2.點(diǎn)分直線段的定比性

直線段上的點(diǎn)分直線段為兩線段的長(zhǎng)度之比等于點(diǎn)的各投影分同面直線投影長(zhǎng)度之比AK:KB＝ak:kb＝a

k:k

b＝a"k“:k"b"2.點(diǎn)分直線段的定比性直線段上的點(diǎn)分直線段為3.3.4兩直線的相對(duì)位置

1.平行兩直線2.相交兩直線

3.交叉兩直線3.3.4兩直線的相對(duì)位置1.平行兩直線1.平行兩直線

若空間兩直線相互平行，則它們的同面投影必然相互平行或重合。aAbdcBDC1.平行兩直線若空間兩直線相互平行，則它們的同面2.相交兩直線

當(dāng)空間兩直線相交時(shí)，則它們的各同面投影也必然相交，且交點(diǎn)的投影符合點(diǎn)的投影規(guī)律。aAbdcBDC2.相交兩直線當(dāng)空間兩直線相交時(shí)，則它們3.交叉兩直線兩直線既不平行也不相交，稱兩直線交叉。3.交叉兩直線兩直線既不平行也不相交，稱兩直線交叉。3.交叉兩直線bXaabcddc11(2)2

交叉兩直線可能有一組或二組同面投影互相平行,但決不可能三組同面投影都互相平行。交叉兩直線的同面投影，可能有一組、二組或三組同面投影都相交，但它們交點(diǎn)的投影一定不符合點(diǎn)的投影規(guī)律。實(shí)際上，交叉兩直線同面投影的交點(diǎn)是空間兩直線上的對(duì)該投影面的一對(duì)重影點(diǎn)。

3.交叉兩直線bXaabcddc11(2)23．3．5垂直兩直線的投影cXbacbaabcCAB

直角投影定理：當(dāng)兩直線成直角，且其中一條直線為某投影面平行線時(shí)，則兩直線在該投影面上的投影仍成直角。

逆定理：若空間兩直線在某一投影面上的投影成直角，且其中有一條直線為該投影面的平行線時(shí)，則此兩直線在空間必定成直角。3．3．5垂直兩直線的投影cXbacbaabcC3.4平面的投影3.4.1平面的幾何元素表示法3.4.2各種位置平面的投影特性3.4.3平面上的直線和點(diǎn)3.4平面的投影3.4.1平面的幾何元素表示法3．4．1平面的幾何元素表示法baacbcbaacbcaabcbcabcabcddbaacbc不在同一直線上的三點(diǎn)直線與直線外一點(diǎn)相交兩直線平行兩直線平面圖形3．4．1平面的幾何元素表示法baacbcb3.4.2各種位置平面的投影特性1.投影面的垂直面2.投影面的平行面3.一般位置平面3.4.2各種位置平面的投影特性1.投影面的垂直面1.投影面的垂直面鉛垂面正垂面?zhèn)却姑?/p>

垂直于一個(gè)投影面而與另外兩個(gè)投影面傾斜的平面叫投影面垂直面

1.投影面的垂直面鉛垂面垂直于一個(gè)投影面而與另外（1）鉛垂面XOVHWPABCacba'b'a"b"bab"cc"c'XZYWOYH投影特性(1)abc積聚為一條線(2)abc、abc為ABC的類似形(3)abc與OX、OY的夾角反映、角的真實(shí)大小鉛垂面投影圖（1）鉛垂面XOVHWPABCacba'b'a"b"ba（2）正垂面XOVHWPABCacbDdXZYWOYHcda'b'a"b"bab"c"c'd"d'投影特性(1)abc