3.2.2平面的法向量與平面的向量表示3.2.2平面的法向量與平面的向量表示一、復習引入1.直線與平面垂直的定義、判定和性質定義：如果一條直線垂直于一個平面內的任意一條直線，那么稱這條直線和這個平面垂直。判定：如果一條直線垂直于一個平面內的兩條相交直線，則這條直線與這個平面垂直。性質：(1)垂直于同一個平面的兩條直線平行。(2)垂直于同一條直線的兩個平面平行。一、復習引入1.直線與平面垂直的定義、判定和性質定義：如果一二、概念形成概念1.平面的法向量已知平面，如果向量的基線與平面垂直，則叫做平面的法向量或說向量與平面

正交。由平面的法向量的定義可知，平面的法向量有無窮多個，法向量一定垂直于與平面共面的所有向量。由于垂直于同一平面的兩條直線平行，所以，一個平面的所有法向量都是平行的。模為1的法向量，叫做單位法向量，記作顯然二、概念形成概念1.平面的法向量已知平面，如果向量

正方體AC1棱長為1，求平面ADB1的一個法向量。二、概念形成概念1.平面的法向量例子：ABCDA1B1C1D1一個平面的法向量不只一個，但它們都是平行(或共線)的，我們借助于待定系數法可求出平面的一個法向量。正方體AC1棱長為1，求平面ADB1的一個法向量例題例1：已知點，，，其中求平面的一個法向量。有何關系？例題例1：已知點，，二、概念形成概念2.直線與平面垂直的判定定理的向量證明直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和平面內的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個平面。已知：是平面內的兩條相交的直線，且求證：

二、概念形成概念2.直線與平面垂直的判定定理的向量證明直線與二、概念形成概念3.平面的向量表示空間直線可以用向量來表示，對于空間的平面也可以用向量來刻畫。設A是空間任意一點，為空間任意一個非零向量，適合條件的點M的集合構成什么樣的圖形？AMM1M2我們可以通過空間一點和一個非零向量確定唯一的一個與該向量垂直的平面。稱此為平面的向量表達式。二、概念形成概念3.平面的向量表示空間直線可以用向量來表示，二、概念形成概念4.用法向量證明平面與平面平行及垂直設分別是平面的法向量，則有二、概念形成概念4.用法向量證明平面與平面平行及垂直設

已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是BB1，CD的中點。求證：平面DEA⊥平面A1FD1

。二、概念形成概念4.用法向量證明平面與平面平行及垂直例子ABCDA1B1C1D1EF利用法向量證明兩個平面垂直的基本思路是證明兩個平面的法向量互相垂直。已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分三、應用舉例利用法向量證明兩個平面平行的基本思路是證明兩個平面的法向量平行(或共線)。三、應用舉例利用法向量證明兩個平面平行的基本思路是證明兩個平平面的法向量與平面的向量表示課件平面的法向量與平面的向量表示課件三、應用舉例例2.已知正方體ABCD-A1B1C1D1，求證：(1)AD1//平面BDC1

；(2)AC1⊥平面BDC1

。ABCDA1B1C1D1利用法向量證明直線與平面的平行的基本思路是證明法向量與直線平行(或共線)的向量垂直；證明直線與平面垂直只要證明法向量與該直線共線的向量平行即可。三、應用舉例例2.已知正方體ABCD-A1B1C1D1，求證射影：已知平面和一點A，過點A作的垂線與交于點，則就是點A在平面內的正射影，也可簡稱射影。二、概念形成概念5.用法向量證明“三垂線定理”預備知識：A斜線在平面上的正射影：設直線與平面交于點B，但不和垂直，那么直線叫做這個平面的斜線。斜線和平面的交點B叫做斜足。斜線在平面上的正射影：在直線上任取一點A，作A點在平面內的射影，則平面內直線叫做斜線在該平面內的射影。A射影：已知平面和一點A，過點A作的垂線與已知是平面的斜線，是在平面內的射影,直線且二、概念形成概念5.用法向量證明“三垂線定理”三垂線定理：如果在平面內的一條直線與平面的一條斜線在這個平面內的射影垂直，則它也和這條斜線垂直。A求證：已知是平面的斜線，是在平面內A．(－1,3，－3)

B．(9,1,1)C．(1，－3,3) D．(－9，－1，－1)[答案]

BA．(－1,3，－3) B．(9,1,1)[答案]

B[答案]B平面的法向量與平面的向量表示課件A．λ＝28 B．λ＝－28C．λ＝14 D．λ＝－14[答案]

DA．λ＝28 B．λ＝－28二、填空題4．已知a＝(2，－2,3)，b＝(4,2，x)，且a⊥b，則x＝____.二、填空題[解析]

代入夾角公式，求得．[解析]代入夾角公式，求得．平面的法向量與平面的向量表示課件平面的法向量與平面的向量表示課件平面的法向量與平面的向量表示課件平面的法向量與平面的向量表示課件[分析]利用線面平行滿足的條件，轉化為向量運算求待定量．[分析]利用線面平行滿足的條件，轉化為向量運算求待定量．方法二：如圖，以A為坐標原點，直線AD、AP分別為y軸、z軸，過A點垂直于平面PAD的直線為x軸，建立空間直角坐標系．方法二：如圖，以A為坐標原點，直線AD、AP分別為y軸、z軸平面的法向量與平面的向量表示課件平面的法向量與平面的向量表示課件平面的法向量與平面的向量表示課件平面的法向量與平面的向量表示課件平面的法向量與平面的向量表示課件3.2.2平面的法向量與平面的向量表示3.2.2平面的法向量與平面的向量表示一、復習引入1.直線與平面垂直的定義、判定和性質定義：如果一條直線垂直于一個平面內的任意一條直線，那么稱這條直線和這個平面垂直。判定：如果一條直線垂直于一個平面內的兩條相交直線，則這條直線與這個平面垂直。性質：(1)垂直于同一個平面的兩條直線平行。(2)垂直于同一條直線的兩個平面平行。一、復習引入1.直線與平面垂直的定義、判定和性質定義：如果一二、概念形成概念1.平面的法向量已知平面，如果向量的基線與平面垂直，則叫做平面的法向量或說向量與平面

正交。由平面的法向量的定義可知，平面的法向量有無窮多個，法向量一定垂直于與平面共面的所有向量。由于垂直于同一平面的兩條直線平行，所以，一個平面的所有法向量都是平行的。模為1的法向量，叫做單位法向量，記作顯然二、概念形成概念1.平面的法向量已知平面，如果向量

正方體AC1棱長為1，求平面ADB1的一個法向量。二、概念形成概念1.平面的法向量例子：ABCDA1B1C1D1一個平面的法向量不只一個，但它們都是平行(或共線)的，我們借助于待定系數法可求出平面的一個法向量。正方體AC1棱長為1，求平面ADB1的一個法向量例題例1：已知點，，，其中求平面的一個法向量。有何關系？例題例1：已知點，，二、概念形成概念2.直線與平面垂直的判定定理的向量證明直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和平面內的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個平面。已知：是平面內的兩條相交的直線，且求證：

二、概念形成概念2.直線與平面垂直的判定定理的向量證明直線與二、概念形成概念3.平面的向量表示空間直線可以用向量來表示，對于空間的平面也可以用向量來刻畫。設A是空間任意一點，為空間任意一個非零向量，適合條件的點M的集合構成什么樣的圖形？AMM1M2我們可以通過空間一點和一個非零向量確定唯一的一個與該向量垂直的平面。稱此為平面的向量表達式。二、概念形成概念3.平面的向量表示空間直線可以用向量來表示，二、概念形成概念4.用法向量證明平面與平面平行及垂直設分別是平面的法向量，則有二、概念形成概念4.用法向量證明平面與平面平行及垂直設

已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是BB1，CD的中點。求證：平面DEA⊥平面A1FD1

。二、概念形成概念4.用法向量證明平面與平面平行及垂直例子ABCDA1B1C1D1EF利用法向量證明兩個平面垂直的基本思路是證明兩個平面的法向量互相垂直。已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分三、應用舉例利用法向量證明兩個平面平行的基本思路是證明兩個平面的法向量平行(或共線)。三、應用舉例利用法向量證明兩個平面平行的基本思路是證明兩個平平面的法向量與平面的向量表示課件平面的法向量與平面的向量表示課件三、應用舉例例2.已知正方體ABCD-A1B1C1D1，求證：(1)AD1//平面BDC1

；(2)AC1⊥平面BDC1

。ABCDA1B1C1D1利用法向量證明直線與平面的平行的基本思路是證明法向量與直線平行(或共線)的向量垂直；證明直線與平面垂直只要證明法向量與該直線共線的向量平行即可。三、應用舉例例2.已知正方體ABCD-A1B1C1D1，求證射影：已知平面和一點A，過點A作的垂線與交于點，則就是點A在平面內的正射影，也可簡稱射影。二、概念形成概念5.用法向量證明“三垂線定理”預備知識：A斜線在平面上的正射影：設直線與平面交于點B，但不和垂直，那么直線叫做這個平面的斜線。斜線和平面的交點B叫做斜足。斜線在平面上的正射影：在直線上任取一點A，作A點在平面內的射影，則平面內直線叫做斜線在該平面內的射影。A射影：已知平面和一點A，過點A作的垂線與已知是平面的斜線，是在平面內的射影,直線且二、概念形成概念5.用法向量證明“三垂線定理”三垂線定理：如果在平面內的一條直線與平面的一條斜線在這個平面內的射影垂直，則它也和這條斜線垂直。A求證：已知是平面的斜線，是在平面內A．(－1,3，－3)

B．(9,1,1)C．(1，－3,3) D．(－9，－1，－1)[答案]

BA．(－1,3，－3) B．(9,1,1)[答案]

B[答案]B平面的法向量與平面的向量表示課件A．λ＝28 B．λ＝－28C．λ＝14 D．λ＝－14[答案]

DA．λ＝28 B．λ＝－28二、填空題4．已知a＝(2，－2,3)，b＝(4,2，x)，且a⊥b，則x＝____.二、填空題[解析]

代入夾角公式，求得．[解析]代入夾角公式，求得．平面的法向量與平面的向量表示課件平面的法向量與平面的向量表示課件平面的法