統計一．知識列表本講模塊高考考點高考要求了解理解掌握古典概型頻率估計概率A互斥事件與對立事件C古典概型C幾何概型長度型幾何概型B面積型幾何概型C體積型幾何概型B統計回歸直線B獨立性檢驗C離散型隨機變量的分布列及期望方差C二．基礎知識：古典概型1．頻率和概率(1)在相同條件下重復次試驗，觀察某一事件是否出現，則次試驗中事件出現的次數為事件出現的頻數，稱事件出現的比例為事件出現的頻率；(2)如果隨著試驗次數的增加，事件發生的頻率穩定在某個常數上，把這個常數記為，稱為事件的概率.簡稱為的概率；(3)頻率和概率有本質區別，頻率隨試驗次數的改變而變化，概率卻是一個常數；對于給定的事件，由于事件發生的頻率隨著試驗次數的增加穩定于概率，因此可以用頻率來估計概率.概率的取值范圍：2.互斥事件：如果為不可能事件，則稱事件與事件互斥，即事件與事件在任何一次試驗中不會同時發生.互斥事件的概率加法公式：3.對立事件：若為不可能事件，而為必然事件，那么事件與事件互為對立事件，其含義是事件與事件在任何一次試驗中有且僅有一個發生.對立事件的概率：4.古典概型(1)基本事件：在一次試驗中可能出現的每一個基本結果稱為基本事件.基本事件的特點：任何兩個基本事件是互斥.②任何事件都可以表示成基本事件的和.(2)古典概型的兩大特點：①試驗中所有可能出現的基本事件只有有限個；②每個基本事件出現的可能性相等．5.古典概型的概率計算公式：(為總的基本事件個數，為事件A的結果數)．6.幾何概型(1)幾何概型的概念如果每個事件發生的概率只與構成該事件區域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型．(2)幾何概型的概率公式7.統計1．抽樣方法(1)抽樣要具有隨機性、等可能性，這樣才能通過對樣本的分析和研究更準確的反映總體的情況，常用的抽樣方法有簡單隨機抽樣、系統抽樣和分層抽樣．(2)簡單隨機抽樣是指一個總體的個數為(較小的有限數)，通過逐個抽取一個樣本，且每次抽取時每個個體被抽取的概率相等．簡單隨機抽樣的兩種常用方法為抽簽法和隨機數表法．(3)分層抽樣是總體由差異明顯的幾部分組成，常將總體按差異分成幾個部分，然后按各部分所占比例抽樣，其中所分成的各部分叫做層．(4)系統抽樣是當總體中的個數較多時，將總體均分成幾部分，按事先按確定的在各部分抽取．2．總體分布的估計(1)作頻率分布直方圖的步驟：①求極差(即一組數據中最大值與最小值的差)②決定組距與組數③將數據分組④列頻率分布表(下圖)分組頻數頻率累計頻率…………⑤畫頻率分布直方圖，將區間標在橫軸上，縱軸表示頻率與組距的比值，以每個組距為底，以各頻率除以組距的商為高，分別畫矩形，共得個矩形，這樣得到的圖形叫頻率分布直方圖．頻率分布直方圖的性質：①第個矩形的面積等于樣本值落入區間的頻率；②由于，所以所有小矩形的面積的和為1.(2)連接頻率分布直方圖中各小長方形上邊的中點，就得到頻率分布折線圖，隨著樣本容量的增加，折線圖會越來越近似于一條光滑曲線，稱之為總體密度曲線．(3)統計中還有一種被用來表示數據的圖叫莖葉圖，莖是中格中間的一列數，葉是從莖旁邊長出來的一列數.用莖葉圖表示數據有兩個突出的優點：一是從統計圖上沒有原始信息的損失，所有的數據信息都可以從莖葉圖中得到；二是莖葉圖可以在比賽時隨時記錄，方便記錄與表示．3．平均數和方差的計算(1)如果有個數據，則叫做這組數據的平均數，叫做這組數據的方差，而叫做標準差．(2)公式(3)當一組數據中各數較大時，可以將各數據減去一個適當的常數，得到，…，，則4．利用頻率分布直方圖估計樣本的數字特征(1)中位數：在頻率分布直方圖中，中位數左邊和右邊的直方圖的面積應該相等，由此可以估計中位數值.(2)平均數：平均數的估計值等于每個小矩形的面積乘以矩形底邊中點橫坐標之和.(3)眾數：最高的矩形的中點的橫坐標.(4)極差＝最大數－最小的數.5.兩個變量的相關關系(1)如果兩個變量之間沒有函數關系所具有的確定性，它們的關系帶有隨機性，則稱這兩個變量具有相關關系.(2)有相關關系的兩個變量，若一個變量的值由小到大時，另一個變量的值也是由小到大，這種相關稱為正相關；反之，一個變量的值由小到大，另一個變量的值由大到小，這種相關稱為負相關.(3)如果散點圖中，具有相關關系的兩個變量所有觀察值的數據點，分布在一條直線附近，則稱這兩個變量具有線性相關關系，這條直線叫做回歸直線，方程為其中(4)樣本的相關系數當時，表示兩個變量正相關，當時，表示兩個變量負相關，越接近于1，表明兩個變量的線性相關性越強；越接近于0，表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關關系.通常當時，認為兩個變量有很強的線性相關關系.6.獨立性檢驗(1)分類變量用變量的不同“值”，表示個體所屬的不同類別，這種變量稱為分類變量.例如：是否吸煙，信仰信仰，國籍等.(2)列聯表：即列出兩個分類變量的頻數表：一般地，假設有兩個分類變量和，它們的值域分別為和，其樣本頻數列聯表(稱為2×2列聯表)為：合計合計其中為樣本容量.(3)可以利用獨立性檢驗來考察兩個分類變量是否有關系，并且能較為準確地給出這種判斷的可靠程度，具體做法是：根據觀測數據計算由公式所給出的檢驗隨機變量的觀測值，并且的值越大，說明“與有關系”成立的可能性越大，同時可以利用以下數據來確定“與有關系”的可信程度.這種利用隨機變量來確定在多大程度上可以認為“兩個分類變量有關系”的方法稱為兩個分類變量的獨立性檢驗.3.典例分析例1.經統計，在某儲蓄所一個營業窗口等候的人數相應的概率如下：排隊人數012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排隊等候的概率是多少；(2)至少3人排隊等候的概率是多少.C記“無人排隊等候”為事件，“1人排隊等候”為事件，“2人排隊等候”為事件，“3人排隊等候”為事件，“4人排隊等候”為事件，“5人及5人以上排隊等候”為事件，則事件互斥.(1)記“至多2人排隊等候”為事件，則，所以.(2)方法一：記“至少3人排隊等候”為事件，則，所以.方法二：記“至少3人排隊等候”為事件，則其對立事件為事件，所以.練習1.在12件瓷器中，有10件一級品，2件二級品，從中任取3件.(1)“3件都是二級品”是什么事件？（2）“3件都是一級品”是什么事件？（3）“至少有一件是一級品”是什么事件？（1）不可能事件（2）隨機事件（3）必然事件（1）因為12件瓷器中，只有2件二級品，取出3件都是二級品是不可能發生的，故是不可能事件.（2）“3件都是一級品”在題設條件下是可能發生也可能不發生的，故是隨機事件.（3）“至少有一件是一級品”是必然事件，因為12件瓷器中只有2件二級品，取三件必有一級品.練習2.盒中僅有4只白球5只黑球，從中任意取出一只球.（1）“取出的球是黃球”是什么事件？它的概率是多少？（2）“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？（3）“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？（1）0，（2）（3）1例2.已知為集合中三個不同的數，通過右邊框圖給出的一個算法輸出一個整數，則輸出的數的概率是（）A.B.C.D.A根據框圖判斷，本框圖輸出的為輸入的三個數中的最大值最大值是3的情況，輸入的三個數為1，2，3，1種情況最大值是4的情況，輸入的三個數為1，2，3里兩個以及4，3種情況最大值是5的情況，輸入的三個數為1，2，3，4里兩個數以及5，6種情況最大值是6的情況，輸入的三個數為1，2，3，4，5里兩個數及6，10種情況的概率=.故答案為.練習1.五個人圍坐在一張圓桌旁，每個人面前放著完全相同的硬幣，所有人同時翻轉自己的硬幣.若硬幣正面朝上,則這個人站起來;若硬幣正面朝下,則這個人繼續坐著.那么,沒有相鄰的兩個人站起來的概率為A.B.C.D.C故答案選練習2.一鮮花店一個月（30天）某種鮮花的日銷售量與銷售天數統計如下：日銷售量（枝）0～4950～99100～149150～199200～250銷售天數（天）3天3天15天6天3天將日銷售量落入各組區間的頻率視為概率．（1）試求這30天中日銷售量低于100枝的概率；（2）若此花店在日銷售量低于100枝的6天中選擇2天作促銷活動，求這2天的日銷售量都低于50枝的概率（不需要枚舉基本事件）．（1）;（2）（1）設日銷售量為，則，．由互斥事件的概率加法公式，．注：直接按照古典概型的計算公式，得．同樣給分．（2）日銷售量低于100枝共有6天，從中任選兩天促銷共有種情況；日銷售量低于50枝共有3天，從中任選兩天促銷共有種情況．由古典概型的概率計算公式，所求概率．【防陷阱措施】求古典概型的概率的關鍵是求試驗的基本事件的總數和事件A包含的基本事件的個數，這就需要正確列出基本事件，基本事件的表示方法有列舉法、列表法和樹形圖法，具體應用時可根據需要靈活選擇.例3.在區間上隨機地選擇一個數，則方程有兩個正根的概率為（）A.B.C.D.方程有兩個正根，則有，即解得或，又，由幾何概型概率公式可得方程有兩個正根的概率為，故選.練習1.在棱長為的正方體中隨機地取一點P，則點P與正方體各表面的距離都大于的概率為()A.B.C.D.A符合條件的點P落在棱長為的正方體內，根據幾何概型的概率計算公式得練習2.正方體中，點在上運動（包括端點），則與所成角的取值范圍是（）A.B.C.D.D當時，取最小值.因為.故選D.例4.太極圖是以黑白兩個魚形紋組成的圖形圖案，它形象化地表達了陰陽輪轉，相反相成是萬物生成變化根源的哲理，展現了一種相互轉化，相對統一的形式美.按照太極圖的構圖方法，在平面直角坐標系中，圓被的圖象分割為兩個對稱的魚形圖案，其中小圓的半徑均為1，現在大圓內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率為（）A.B.C.D.B設大圓的半徑為R，則：，則大圓面積為：，小圓面積為：，則滿足題意的概率值為：.本題選擇B選項.練習1.北宋歐陽修在《賣油翁》中寫道：“（翁）乃取一葫蘆置于地，以錢覆其口，徐以杓酌油瀝之，自錢孔入，而錢不濕，因曰：“我亦無他，唯手熟爾.”可見技能都能通過反復苦練而達至熟能生巧之境地.若銅錢是半徑為的圓，中間有邊長為的正方形孔，你隨機向銅錢上滴一滴油，則油滴（油滴的大小忽略不計）正好落入孔中的概率為（）A.B.C.D.B概率為幾何概型，測度為面積,概率，選B.練習2.甲、乙兩艘輪船都要在某個泊位停靠6小時，假定它們在一晝夜的時間段中隨機地到達，則這兩艘船中至少有一艘在停靠泊位時必須等待的概率是（）A.B.C.D.由幾何概型概率公式得，即這兩艘船中至少有一艘在停靠泊位時必須等待的概率為，選.【防陷阱措施】求解幾何概型的概率問題，一定要正確確定試驗的全部結果構成的區域，從而正確選擇合理的測度，進而利用概率公式求解.幾何概型應注意：(1)求與長度有關的幾何概型的方法，是把題中所表示的幾何模型轉化為線段的長度，然后求解；(2)依據幾何概型的特點判斷基本事件應從“等可能”的角度入手，選擇恰當合理的觀察角度；(3)求與角度有關的幾何概型的方法，是把題中所表示的幾何模型轉化成角度，然后求解.例5.雙十一網購狂歡，快遞業務量猛增．甲、乙兩位快遞員月日到日每天送件數量的莖葉圖如圖所示．（Ⅰ）根據莖葉圖判斷哪個快遞員的平均送件數量較多（寫出結論即可）；（Ⅱ）求甲送件數量的平均數；（Ⅲ）從乙送件數量中隨機抽取個，求至少有一個送件數量超過甲的平均送件數量的概率．（Ⅰ）乙快遞員的平均送件數量較多（Ⅱ）（Ⅲ）（Ⅰ）由莖葉圖知甲快遞員月日到日每天送件數量相對乙來說位于莖葉圖的左上方偏多，∴乙快遞員的平均送件數量較多．（Ⅱ）甲送件數量的平均數：練習1.在某公司的職工食堂中，食堂每天以3元/個的價格從面包店購進面包，然后以5元1個的價格出售.如果當天賣不完，剩下的面包以1元/個的價格賣給飼料加工廠.根據以往統計資料，得到食堂每天面包需求量的頻率分布直方圖如圖所示.食堂某天購進了90個面包，以(個)(其中)表示面包的需求量，（元）表示利潤.（1）根據直方圖計算需求量的中位數；（2）估計利潤不少于100元的概率；(1)85個;(2);(3)142.設利潤不少于100元為事件，利潤不少于100元時，即，∴，即，由直方圖可知，當時，所求概率：練習2.2017年“十一”期間，高速公路車輛較多．某調查公司在一服務區從七座以下小型汽車中按進服務區的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進行詢問調查，將他們在某段高速公路的車速（）分成六段：，，，，，，后得到如圖的頻率分布直方圖．（1）求這40輛小型車輛車速的眾數和中位數的估計值；（2）若從車速在的車輛中任抽取2輛，求車速在的車輛恰有一輛的概率．（1）77.5，．（2）．（2）從圖中可知，車速在的車輛數為：（輛），車速在的車輛數為：（輛），設車速在的車輛設為，，車速在的車輛設為，，，，則所有基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，共15種，其中車速在的車輛恰有一輛的事件有：，，，，，，，共8種．所以，車速在的車輛恰有一輛的概率為．例6.某媒體為調查喜愛娛樂節目是否與觀眾性別有關，隨機抽取了30名男性和30名女性觀眾，抽查結果用等高條形圖表示如圖：（1）根據該等高條形圖，完成下列列聯表，并用獨立性檢驗的方法分析，能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為喜歡娛樂節目與觀眾性別有關？（2）從性觀眾中按喜歡節目與否，用分層抽樣的方法抽取5名做進一步調查．從這5名中任選2名，求恰有1名喜歡節目和1名不喜歡節目的概率．附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828．（1）列聯表見解析，能在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為喜歡娛樂節目與觀眾性別有關；（2）．（1）由題意得列聯表如表：喜歡節目不喜歡節目總計男性觀眾24630女性觀眾151530總計392160假設：喜歡娛樂節目與觀眾性別無關，則的觀測值，所以能在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為喜歡娛樂節目與觀眾性別有關．（2）利用分層抽樣在男性觀眾30名中抽取5名，其中喜歡娛樂節目的人數為，不喜歡節目的人數為．被抽取的喜歡娛樂節目的4名分別記為，，，；不喜歡節目的1名記為．則從5名中任選2人的所有可能的結果為：，，，，，，，，，共有10種，其中恰有1名喜歡節目和1名不喜歡節目的有，，，共4種，所以所抽取的觀眾中恰有1名喜歡節目和1名不喜歡節目的觀眾的概率是．練習1.假設某種設備使用的年限（年）與所支出的維修費用（萬元）有以下統計資料：使用年限23456維修費用24567若由資料知對呈線性相關關系.試求：（1）求；（2）線性回歸方程；（3）估計使用10年時，維修費用是多少？附：利用“最小二乘法”計算的值時,可根據以下公式：（1）(2)（3）維修費用為12萬元試題分析：（1）利用的計算公式即可得出；（2）利用的計算公式得出結果，再求；（3）利用第（2）問得出的回歸方程，計算x=10時的結果.（3）當x=10時，y=12，所以該設備使用10年，維修費用為12萬元.練習2.．在西非肆虐的“埃博拉病毒”的傳播速度很快，這已經成為全球性的威脅，為了考察某種埃博拉病毒疫苗的效果，現隨機抽取只小鼠進行試驗，得到如下聯表：感染未感染總計服用未服用總計參考公式：參照附表，在犯錯誤的概率最多不超過__________（填百分比）的前提下，可認為“該種疫苗由預防埃博拉病毒感染的效果”．由題意可得，，參照附表，可得：在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為“小動物是否被感染與有沒有服用疫苗有關”，故答案為.【方法點睛】本題主要考查獨立性檢驗的應用，屬于中檔題.獨立性檢驗的一般步驟：（1）根據樣本數據制成列聯表；（2）根據公式計算的值；(3)查表比較與臨界值的大小關系，作統計判斷.（注意：在實際問題中，獨立性檢驗的結論也僅僅是一種數學關系，得到的結論也可能犯錯誤.）【防陷阱措施】1.頻率分布直方圖的有關特征數問題，利用眾數是最高矩形的底邊中點；中位數是左右兩邊的矩形的面積相等的底邊的值；平均數等于各個小矩形的面積乘以對應的矩形的底邊中點的和等知識．把統計和概率結合在一起，比較新穎，也是高考的方向，應引起重視．2.求解回歸方程問題的三個易誤點：①易混淆相關關系與函數關系，兩者的區別是函數關系是一種確定的關系，而相關關系是一種非確定的關系，函數關系是一種因果關系，而相關關系不一定是因果關系，也可能是伴隨關系．②回歸分析中易誤認為樣本數據必在回歸直線上，實質上回歸直線必過點，可能所有的樣本數據點都不在直線上．③利用回歸方程分析問題時，所得的數據易誤認為準確值，而實質上是預測值(期望值)．類型7.兩點分布例7.拋擲一枚硬幣，記，則（）,選練習1.設某項試驗的成功率是失敗率的倍，用隨機變量描述1次試驗的成功次數，則的值可以是________．這里“成功率是失敗率的倍”是干擾條件，對1次試驗的成功次數沒有影響，故可能取值有兩種，即.練習2.籃球比賽中每次罰球命中得1分，不中的0分.已知某運動員罰球命中率為0.7，求他一次罰球得分的分布列及均值.01類型8超幾何分布一般地，若離散型隨機變量的分布列為…………則稱為隨機變量的均值或數學期望.它反映了離散型隨機變量取值的平均水平.若，其中為常數，則也是隨機變量，因為所以，的分布列為…………于是方差.方差刻畫了離散型隨機變量與均值的平均偏離程度.離散型隨機變量分布列的性質：（1）；（2）.一般地，在含有件次品的件產品中，任取件，其中恰有件次品，則其中，且，如果隨機變量具有：則稱隨機變量服從超幾何分布.例8.—個攤主在一旅游景點設攤，在不透明口袋中裝入除顏色外無差別的2個白球和3個紅球.游客向攤主付2元進行1次游戲.游戲規則為：游客從口袋中隨機摸出2個小球，若摸出的小球同色，則游客獲得3元獎勵；若異色則游客獲得1元獎勵.則攤主從每次游戲中獲得的利潤(單位:元)的期望值是()游客摸出的2個小球同色的概率為，所以攤主從每次游戲中獲得的利潤分布列為，因此所以選練習1.某人喜歡玩有三個關卡的通關游戲，根據他的游戲經驗，每次開啟一個新的游戲，這三個關卡他能夠通關的概率分別為（這個游戲的游戲規則是：如果玩者沒有通過上一個關卡，他照樣可以玩下一個關卡，但玩該游戲的得分會有影響），則此人在開啟一個這種新的游戲時，他能夠通過兩個關卡的概率為__________，設表示他能夠通過此游戲的關卡的個數，則隨機變量的數學期望為__________．.隨機變量的所有可能取值為.又，，，.所以，隨機變量的分布列為0123隨機變量的數學期望.練習2.一廠家向用戶提供的一箱產品共10件，其中有1件次品.用戶先對產品進行隨機抽檢以決定是否接受.抽檢規則如下：至多抽檢3次，每次抽檢一件產品(抽檢后不放回)，只要檢驗到次品就停止繼續抽檢，并拒收這箱產品；若3次都沒有檢驗到次品，則接受這箱產品，按上述規則，該用戶抽檢次數的數學期望是___________.根據題意用戶抽檢次數的可能取值為，那么可知,故根據期望公式可知為，故答案為類型9.期望方差例9.設非零常數是等差數列的公差,隨機變量等可能地取值,則方差（）因為等差數列的公差是，所以，故選．練習1.袋中有大小相同的三個球，編號分別為1,2,2，從袋中每次取出一個球，若取到球的編號為奇數，則取球停止，用表示所有被取到的球的編號之和，則的方差為________．的分布列為135∵，∴.練習2.已知隨機變量的分布列如下：-101若，則()C.由數學期望計算公式有：，由可得：，則.本題選擇選項.例10.已知隨機變量的分布列為，，則等于()由題意，，，，故選A.練習1.設，.隨機變量取值的概率均為0.2，隨機變量取值的概率也為0.2.若記分別為,的方差，則（）與的大小關系與的取值有關由題意可知，期望相等，設都為，.練習2.若樣本數據的平均數是10，方差是2，則數據的平均數與方差分別是（）所以答案為．例11.來自某校一班和二班的共計9名學生志愿服務者被隨機平均分配到運送礦泉水、清掃衛生、維持秩序這三個崗位服務，且運送礦泉水崗位至少有一名一班志愿者的概率是．（Ⅰ）求清掃衛生崗位恰好一班1人、二班2人的概率；（Ⅱ）設隨機變量為在維持秩序崗位服務的一班的志愿者的人數，求分布列及期望．（Ⅰ）;（Ⅱ）見解析.（Ⅰ）記“至少一名一班志愿者被分到運送礦泉水崗位”為事件，則的對立事件為“沒有一班志愿者被分到運送礦泉水崗位”，設有一班志愿者個，，那么，解得，即來自一班的志愿者有5人，來自二班志愿者4人；記“清掃衛生崗位恰好一班1人，二班2人”為事件，那么，所有清掃衛生崗位恰好一班1人，二班2人的概率是．（Ⅱ）的所有可能值為0,1，2,3．，，，所以的分布列為123．練習1.袋子中裝有大小相同的八個小球，其中白球五個，分別編號；紅球三個，分別編號，現從袋子中任取三個小球，它們的最大編號為隨機變量，則等于()練習2.為了參加第二屆全國數學建模競賽，在高二年級舉辦了一次選拔賽，共有60名高二學生報名參加，按照不同班級統計參賽人數，如表所示：班級宏志班珍珠班英才班精英班參賽人數20151510（Ⅰ）從這60名高二學生中隨機選出2人，求這2人在同一班級的概率；（Ⅱ）現從這60名高二學生中隨機選出2人作為代表，進行大賽前的發言，設選出的2人中宏志班的學生人數為，求隨機變量的分布列和數學期望．（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅱ）由題意的的所有可能的取值為0,1,2．則，，，所以的分布列為：012．【防陷阱措施】求離散型隨機變量均值與方差的基本方法(1)已知隨機變量的分布列求它的均值、方差，按定義求解．(2)已知隨機變量的均值、方差，求的線性函數的均值、方差，可直接用的均值、方差的性質求解．(3)如果所給隨機變量是服從常用的分布(如兩點分布、二項分布等)，利用它們的均值、方差公式求解．超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數．超幾何分布的特征是：①考察對象分兩類；②已知各類對象的個數；③從中抽取若干個個體，考查某類個體個數的概率分布，超幾何分布主要用于抽檢產品、摸不同類別的小球等概率模型，其實質是古典概型．類型10.二項分布的期望與方差獨立重復試驗的定義：指在同樣條件下進行的，各次之間相互獨立的一種試驗獨立重復試驗的概率公式：一般地，如果在1次試驗中某事件發生的概率是，那么在次獨立重復試驗中這個事件恰好發生次的概率．稱這樣的隨機變量服從二項分布（)它的數學期望：，方差為：例12.設隨機變量服從二項分布，且期望，，則方差等于()A.B.C.D.練習1.已知隨機變量，且服從二項分布，則和的值分別是()和.和和和根據二項分布的特征可得：，，故選A.練習2.一款砸金蛋游戲的規則如下：每盤游戲都需要砸三個金蛋，每次砸蛋要么出現金花，要么不出現，已知每次砸蛋出現金花的概率為，且各次砸蛋出現金花與否相互獨立．則玩三盤游戲，至少有一盤出現金花的概率為()A.B.C.D.砸蛋三次出現一次金花概率為，出現兩次金花概率為，出現三次金花概率為，則每盤出現金花的概率為，玩三盤游戲，至少一盤出現金花的概率為，故選．例13.某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完．根據往年銷售經驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：）有關．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區間，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶，為了確定六月份的訂購計劃，統計了前三年六月份各天的最高氣溫數據，得下面的頻數分布表：最高氣溫天數216362574以最高氣溫位于各區間的頻率代替最高氣溫位于該區間的概率．（1）求六月份這種酸奶一天的需求量（單位：瓶）的分布列；（2）設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為（單位：元）．當六月份這種酸奶一天的進貨量（單位：瓶）為多少時，的數學期望達到最大值？（1）分布列為：（2）．(1）易知需求量可取200，300,500，，，，則分布列為：（2）①當時，，此時，當時取到；②當時，，此時，當時取到；③當時，，此時；④當時，易知一定小于③的情況．綜上所述，當時，取到最大值為520．練習1.如果，當且取得最大值時，的值是（）練習2.某校選擇高一年級三個班進行為期二年的教學改革試驗，為此需要為這三個班各購買某種設備1臺.經市場調研，該種設備有甲乙兩型產品，甲型價格是3000元/臺，乙型價格是2000元/臺，這兩型產品使用壽命都至少是一年，甲型產品使用壽命低于2年的概率是，乙型產品使用壽命低于2年的概率是.若某班設備在試驗期內使用壽命到期，則需要再購買乙型產品更換.(1)若該校購買甲型2臺，乙型1臺，求試驗期內購買該種設備總費用恰好是10000元的概率；(2)該校有購買該種設備的兩種方案，方案：購買甲型3臺；方案：購買甲型2臺乙型1臺.若根據2年試驗期內購買該設備總費用的期望值決定選擇哪種方案，你認為該校應該選擇哪種方案？（1）（2）選擇方案（1）總費用為10000元，說明試驗期內恰好有1臺設備使用壽命到期，概率為：；（2）若選擇方案，記試驗期內更換該種設備臺數為，總費用為元，則，所以，又，所以；【防陷阱措施】二項分布是次獨立重復試驗恰好發生次的概率分布列，要注意與超幾何分布區別.(1)超幾何分布需要知道總體的容量，而二項分布不需要；(2)超幾何分布是不放回抽取，而二項分布是放回抽取(獨立重復)，對于有些實際問題中的隨機變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布(如二項分布，則此隨機變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式()求得.因此，應熟記常見的典型分布的期望公式，可加快解題速度.3.例題類型演練一．1.12個同類產品中含有2個次品，現從中任意抽出3個，必然事件是（）A.3個都是正品B.至少有一個是次品C.3個都是次品D.至少有一個是正品D2.從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是()A.至少有1個黑球與都是黑球B.至少有1個黑球與至少有1個紅球C.恰有1個黑球與恰有2個黑球D.至少有1個黑球與都是紅球C依題意，從裝有2個紅球和2個黑球的口袋中任意取2個球A至少有1個黑球包含都是黑球，故至少有1個黑球與都是黑球不是互斥事件，故A錯誤，B至少有1個黑球包含1黑1紅，至少有1個紅球包含1黑1紅，兩者不是互斥事件，故B錯誤，C恰有1個黑球與恰有2個黑球不可能同時發生，是互斥事件，且不是對立事件，故C正確D至少有1個黑球與都是紅球是互斥事件，也是對立事件，故D錯誤，故答案為C。3.從一批產品中取出三件產品，設“三件產品全不是次品”，“三件產品全是次品”，“三件產品至少有一件是次品”，則下列結論正確的是（）A.與互斥B.任何兩個均互斥C.與互斥D.任何兩個均不互斥A應選答案.4.一名工人維護3立的游戲機，一天內3臺游戲機需要維護的概率分別為0.9、0.8和0.75，則一天內至少有一臺游戲機不需要維護的概率為（）A.0.995B.0.54C.0.46D.0.005C一天內至少有一臺游戲機不需要維護的對立事件是三臺都需要維護，∴一天內至少有一臺游戲機不需要維護的概率：.本題選擇C選項.5.下列4個①對立事件一定是互斥事件；②若為兩個事件，則；③若事件彼此互斥，則；④若事件滿足，則是對立事件，其中錯誤的有()A.0個B.1個C.2個D.3個D依據對立事件與互斥事件的內涵可知：互斥事件不一定是對立事件，但對立事件一定是互斥事件，故命題①是正確的；當是兩個互斥事件時，，故命題②是錯誤的；若事件彼此互斥且的并集是全集時，則，故命題③不正確；若事件滿足，則不一定是對立事件，當兩個事件的全部不能包括所有事件時，且不是互斥事件，故命題④也是錯誤的.應選答案D.6.某產品分為三級，若生產中出現級品的概率為0.03，出現級品的概率為0.01，則對產品抽查一次抽得級品的概率是（）A.0.09B.0.98C.0.97D.0.96D根據題意，對該產品抽查一次抽得A級品的概率是.本題選擇D選項.7.從裝有質地、大小均相同的個紅球和個白球的口袋內任取兩個球，給出下列各對事件：①至少有個白球；都是紅球；②至少有個白球；至少有個紅球；③恰好有個白球；恰好有個白球.其中，互斥事件的對數是（）A.B.C.D.C8.甲、乙兩名同學參加一項射擊比賽游戲，其中任何一人每射擊一次擊中目標得2分，未擊中目標得0分.若甲、乙兩人射擊的命中率分別為和，且甲、乙兩人各射擊一次得分之和為2的概率為.假設甲、乙兩人射擊互不影響，則值為（）A.B.C.D.C設：“甲射擊一次，擊中目標”為事件，“乙射擊一次，擊中目標”為事件，則“甲射擊一次，未擊中目標”為事件，“乙射擊一次，擊中目標”為事件，則，依題意得：，解得，故選C.9.把紅、藍、白3張紙牌隨機地分發給甲、乙、丙三個人，每人分得1張，事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”是()A.對立事件B.不可能事件C.互斥但不對立事件D.以上都不對C故選：C．10.口袋中裝有三個編號分別為1，2,3的小球，現從袋中隨機取球，每次取一個球，確定編號后放回，連續取球兩次。則“兩次取球中有3號球”的概率為（）A.B.C.D.每次取球時，出現3號球的概率為，則兩次取得球都是3號求得概率為，兩次取得球只有一次取得3號求得概率為，故“兩次取球中有3號球”的概率為，本題選擇選項.11.在4次獨立試驗中，事件A出現的概率相同，若事件A至少發生1次的概率是，則事件A在一次試驗中出現的概率是（）A.B.C.D.A令事件在一次試驗中出現的概率是．由事件至少發生次的概率為，可知事件一次都不發生的概率為，由獨立事件同時出現的概率知，則．故本題答案選．12.甲、乙兩殲擊機的飛行員向同一架敵機射擊，設擊中的概率分別為0.4,0.5，則恰有一人擊中敵機的概率為()A.0.9B.0.2C.0.7D.0.5D設事件分別表示甲、乙飛行員擊中敵機，則，事件“恰有一人擊中敵機”的概率為).選D.13.擲一枚骰子，觀察擲出骰子的點數，設事件為“出現奇數點”，事件為“出現2點”，已知，則事件“出現奇數點或2點”的概率是__________．記“出現奇數點或出現點”為事件，事件與事件是互斥事件，，，根據互斥事件的概率加法公式可得，出現奇數點或出現點的概率，故答案為.14在隨機拋擲一顆骰子一次的試驗中，事件A表示“出現不大于4的偶數點”，事件B表示“出現小于6的點數”，則事件發生的概率為________．類型二:條件概率與獨立事件1.已知甲在上班途中要經過兩個路口，在第一個路口遇到紅燈的概率為0.5，兩個路口連續遇到紅燈的概率為0.3，則甲在第一個路口遇到紅燈的條件下，第二個路口遇到紅燈的概率是()設第一個路口遇到紅燈概率為，第二個路口遇到紅燈的事件為，則，則，本題選擇選項.2.已知，，，則為()A.B.C.D.根據條件概率公式，故選.3.在5道題中有3道代數題和2道幾何題.如果不放回地依次抽取2道題，則在第1次抽到代數題的條件下，第2次抽到代數題的概率為()故選.4.2017年5月30日是我們的傳統節日“端午節”，這天小明的媽媽為小明煮了5個粽子，其中兩個臘肉餡三個豆沙餡，小明隨機取出兩個，事件“取到的兩個為同一種餡”，事件“取到的兩個都是豆沙餡”，則()由題意，=，=，∴=，故選：．5.濟南氣象臺預測，7月12日歷城區下雨的概率為，刮風的概率為，既刮風又下雨的概率為，設為下雨，為刮風，則（）由題意,,，∴，故選.6.已知，則等于（）條件概率公式，，故答案為.7.從包括甲乙兩人的6名學生中選出3人作為代表，記事件：甲被選為代表，事件:乙沒有被選為代表，則等于_________.因為，所以.應填答案.8.兩個實習生每人加工一個零件．加工為一等品的概率分別為，兩個零件是否加工為一等品相互獨立，，則這兩個零件中恰有一個一等品的概率為()9.某次戰役中，狙擊手受命射擊敵機，若要擊落敵機，需命中機首2次或命中機中3次或命中機尾1次，已知每次射擊，命中機首、機中、機尾的概率分別為，未命中敵機的概率為0.3，且各次射擊相互獨立。若至多射擊兩次，則他能擊落敵機的概率為（）每次射擊，命中機首、機中、機尾的概率分別為,未命中敵機的概率為,且各次射擊相互獨立，若射擊一次就擊落敵機，則他擊中利敵機的機尾，故概率為；若射擊次就擊落敵機，則他次都擊中利敵機的機首，概率為；或者第一次沒有擊中機尾、且第二次擊中了機尾，概率為,若至多射擊兩次，則他能擊落敵機的概率為,故選.10.甲、乙、丙三人進行羽毛球練習賽，其中兩人比賽另一個人當裁判，設每周比賽結束時，負的一方在下一局當裁判，假設每局比賽中甲勝乙的概率為，甲勝丙，乙勝丙的概率都是，各局的比賽相互獨立，第一局甲當裁判．求第三局甲當裁判的概率；第三局甲當裁判的概率為第二局中可能乙當裁判，其概率為，也可能丙當裁判，其概率為，所以第三局甲當裁判的概率為．所以，第三局甲當裁判的概率為．11.拋擲紅、黃兩顆骰子，當紅色骰子的點數為或時，兩顆骰子的點數之積大于的概率是()類型三.古典概型與幾何概型1.某種飲料每箱裝6聽，如果其中有2聽不合格，問質檢人員從中隨機抽出2聽，檢測出不合格產品的概率為( )..將6聽飲料用字母表示，分別為從中隨機抽取2聽的情況有：共15種，其中符合題意的有，共9種，所以概率為.2.10個籃球隊中有2個強隊，先任意將這10個隊平均分成兩組進行比賽，則2個強隊不分在同一組的概率是( ). . . .2個強隊不分在同一組的方法種數為，10個隊平均分成兩組的方法為，概率為3.袋中共有15個除了顏色外完全相同的球，其中有10個白球，5個紅球.從袋中任取2個球，所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球的概率為( ). . . 從15個球中任取2個球共有種取法，其中有1個紅球，1個白球的情況有(種)，所以.4.從0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七個不同的數，則這七個數的中位數是6的概率為____.5.已知、、、，從這四個數中任取一個數使函數有極值點的概率為（）A.B.C.D.1B對求導得若函數有極值點，則有2個不相等的實數根，故，解得，

而滿足條件的有2個，分別是，故滿足條件的概率故選：B．6袋子中有四個小球，分別寫有“世、紀、金、榜”四個字，從中任取一個小球，取到“金”就停止，用隨機模擬的方法估計直到第二次停止的概率：先由計算器產生1到4之間取整數值的隨機數，且用1,2,3,4表示取出小球上分別寫有“世、紀、金、榜”四個字，以每兩個隨機數為一組，代表兩次的結果，經隨機模擬產生了20組隨機數：1324123243142432312123133221244213322134據此估計，直到第二次就停止概率為()A.B.C.D.B由隨機數表可知，在20個隨機數組中，第二個數字是3的共有1343231313共5個，所以其發生的概率為，故選B.7.一個古典型（或幾何概型）中，若兩個不同隨機事件概率相等，則稱和是“等概率事件”，如：隨機拋擲一枚骰子一次，事件“點數為奇數”和“點數為偶數”是“等概率事件”，關于“等概率事件”，以下判斷正確的是__________.①在同一個古典概型中，所有的基本事件之間都是“等概率事件”；②若一個古典概型的事件總數為大于2的質數，則在這個古典概型中除基本事件外沒有其他“等概率事件”；③因為所有必然事件的概率都是1，所以任意兩個必然事件是“等概率事件”；④隨機同時拋擲三枚硬幣一次，則事件“僅有一個正面”和“僅有兩個正面”是“等概率事件”.①④對于①，由古典概型的定義知，所有基本事件的概率都相等，故所有基本事件之間都是“等概率事件”.①正確.對于②，如在1,3,5,7,9五個數中，任取兩個數所得和為10包括“1和9”與“3和7”兩種情況，這兩種情況的概率相等.②錯誤.對于③，由本題的條件可知“等概率事件”是針對于同一個古典概型的.③不正確.對于④，隨機同時拋擲三枚硬幣一次共有8中不同的結果，其中“僅有一個正面”包含3種結果，其概率為；“僅有兩個正面”包含3種結果，其概率為.這兩個事件是“等概率事件”.④正確.綜上可得①④正確.答案：①④8五個人圍坐在一張圓桌旁，每個人面前放著完全相同的硬幣，所有人同時翻轉自己的硬幣.若硬幣正面朝上,則這個人站起來;若硬幣正面朝下,則這個人繼續坐著.那么,沒有相鄰的兩個人站起來的概率為A.B.C.D.C9.在6盒酸奶中，有2盒已經過了保質期，從中任取2盒，取到的酸奶中有已過保質期的概率為（）A.B.C.D.C所求概率為,選C.類型四:幾何概型1.在不等式組表示的平面區域內任取一個點，則的概率為（）A.B.C.D.C所以概率為，故選C.2在區間上隨機地選擇一個數，則方程有兩個正根的概率為（）A.B.C.D.3勾股定理”在西方被稱為“畢達哥拉斯定理”，三國時期吳國的數學家趙爽創制了一幅“勾股圓方圖”，用數形結合的方法給出了勾股定理的詳細證明．如圖所示的“勾股圓方圖”中，四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個邊長為2的大正方形，若直角三角形中較小的銳角，現在向該正方形區域內隨機地投擲一枚飛鏢，飛鏢落在小正方形內的概率是（）A.B.C.D.A觀察這個圖可知，大正方形的邊長為，總面積為，而陰影區域的邊長為面積為，故飛鏢落在陰影區域的概率為故答案選。4如圖，正方形內的圖形來自寶馬汽車車標的里面部分，正方形內切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形對邊中點連線成軸對稱，在正方形內隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是（）A.B.C.D.C概率為幾何概型，測度為面積，設正方形邊長為2，則概率為：，選C.5.2017年8月1日是中國人民人民子弟兵建軍90周年，中國人民銀行為此發行了以此為主題的金銀紀念幣.如圖所示是一枚8克圓形金質紀念幣，直徑22毫米，面額100元.為了測算圖中軍旗部分的面積，現向硬幣內隨機投擲100粒芝麻，已知恰有30粒芝麻落在軍旗內，據此可估計軍旗的面積大約是（）A.B.C.D.C根據題意可估計軍旗的面積大約是，故選C6如圖，在菱形中，，，以個頂點為圓心的扇形的半徑均為1，若在該菱形中任意選取一點，該點落在陰影部分的概率為，則圓周率的近似值為()A.B.C.D.C7甲、乙兩艘輪船都要在某個泊位停靠6小時，假定它們在一晝夜的時間段中隨機地到達，則這兩艘船中至少有一艘在停靠泊位時必須等待的概率是（）A.B.C.D.C設甲到達的時刻為x，乙到達的時刻為y，則所有基本事件構成的平面區域為，設“這兩艘船中至少有一艘在停靠泊位時必須等待”為事件A，則事件A包含的基本事件構成的平面區域為，如圖中陰影部分所示.由幾何概型概率公式得，即這兩艘船中至少有一艘在停靠泊位時必須等待的概率為，選C.8北宋歐陽修在《賣油翁》中寫道：“（翁）乃取一葫蘆置于地，以錢覆其口，徐以杓酌油瀝之，自錢孔入，而錢不濕，因曰：“我亦無他，唯手熟爾.”可見技能都能通過反復苦練而達至熟能生巧之境地.若銅錢是半徑為的圓，中間有邊長為的正方形孔，你隨機向銅錢上滴一滴油，則油滴（油滴的大小忽略不計）正好落入孔中的概率為（）A.B.C.D.B概率為幾何概型，測度為面積,概率，選B.9太極圖是以黑白兩個魚形紋組成的圖形圖案，它形象化地表達了陰陽輪轉，相反相成是萬物生成變化根源的哲理，展現了一種相互轉化，相對統一的形式美.按照太極圖的構圖方法，在平面直角坐標系中，圓被的圖象分割為兩個對稱的魚形圖案，其中小圓的半徑均為1，現在大圓內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率為（）A.B.C.D.B10.《九章算術》勾股章有一“引葭赴岸”問題：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊.問水深、葭長各幾何.”其意思是：有一水池一丈見方，池中生有一顆類似蘆葦的植物，露出水面一尺，若把它引向岸邊，正好與岸邊齊（如圖所示），問水有多深，該植物有多長？其中一丈為十尺.若從該葭上隨機取一點，則該點取自水下的概率為（）A.B.C.D.B設水深為尺，則，解得，即水深12尺.又葭長13尺，則所求概率,故選B.11.體中，點在上運動（包括端點），則與所成角的取值范圍是（）A.B.C.D.D12在棱長為的正方體中隨機地取一點P，則點P與正方體各表面的距離都大于的概率為()A.B.C.D.A符合條件的點P落在棱長為的正方體內，根據幾何概型的概率計算公式得故選A.類型五:超幾何分布與二項分布1.某學校為了制定治理學校門口上學、放學期間家長接送孩子亂停車現象的措施，對全校學生家長進行了問卷調查，根據從其中隨機抽取的50份調查問卷，得到了如下的列聯表.同意限定區域停車不同意限定區域停車合計男18725女121325合計302050（1）學校計劃在同意限定區域停車的家長中，按照分層抽樣的方法，隨機抽取5人在上學、放學期間在學校門口參與維持秩序，在隨機抽取的5人中，選出2人擔任召集人，求至少有一名女性的概率？（2）已知在同意限定區域停車的12位女性家長中，有3位日常開車接送孩子，現從這12位女性家長中隨機抽取3人參與維持秩序，記參與維持秩序的女性家長中，日常開車接送孩子的女性家長人數為，求的分布列.（Ⅰ）;（Ⅱ）見解析.（Ⅱ）由題意知，同意限定區域停車的12位女性家長中，選出參與維持秩序的女性家長人數為3人．隨機變量的所有可能取值為0，1，2，3，所以，，，，因此的分布列為0123P所以的期望為．2.來自某校一班和二班的共計9名學生志愿服務者被隨機平均分配到運送礦泉水、清掃衛生、維持秩序這三個崗位服務，且運送礦泉水崗位至少有一名一班志愿者的概率是．（Ⅰ）求清掃衛生崗位恰好一班1人、二班2人的概率；（Ⅱ）設隨機變量為在維持秩序崗位服務的一班的志愿者的人數，求分布列．（Ⅰ）;（Ⅱ）見解析.（Ⅱ）的所有可能值為．，，，所以的分布列為1233.為了參加第二屆全國數學建模競賽，在高二年級舉辦了一次選拔賽，共有60名高二學生報名參加，按照不同班級統計參賽人數，如表所示：班級宏志班珍珠班英才班精英班參賽人數20151510（Ⅰ）從這60名高二學生中隨機選出2人，求這2人在同一班級的概率；（Ⅱ）現從這60名高二學生中隨機選出2人作為代表，進行大賽前的發言，設選出的2人中宏志班的學生人數為，求隨機變量的分布列和數學期望．（Ⅰ）（Ⅱ）見解析（Ⅱ）由題意的的所有可能的取值為0,1,2．則，，，所以的分布列為：0124.共享單車是指由企業在校園、公交站點、商業區、公共服務區等場所提供的自行車單車共享服務，由于其依托“互聯網＋”，符合“低碳出行”的理念，已越來越多地引起了人們的關注．某部門為了對該城市共享單車加強監管，隨機選取了100人就該城市共享單車的推行情況進行問卷調查，并將問卷中的這100人根據其滿意度評分值（百分制）按照[50，60)，[60，70)，…，[90，100]分成5組，制成如圖所示頻率分直方圖．(1)求圖中的值；(2)已知滿意度評分值在[90，100]內的男生數與女生數的比為2:1，若在滿意度評分值為[90，100]的人中隨機抽取4人進行座談，設其中的女生人數為隨機變量，求的分布列．（Ⅰ）（Ⅱ）見解析（Ⅰ）由，解得．則分布列如下：01235.是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物，我國標準采用世衛組織設定的最寬限值，即日均值在35微克/立方米以下空氣質量為一級；在35微克/立方米～75微克/立方米之間空氣質量為二級；在75微克/立方米以上空氣質量為超標.某市環保局從市區2016年全年每天的監測數據中，隨機抽取15天的數據作為標本，監測值如莖葉圖所示（十位為莖，個位為葉）（Ⅰ）從這15天的數據中任取一天，求這天空氣質量達到一級的概率；（Ⅱ）從這15天的數據中任取3天的數據，記表示其中空氣質量達到一級的天數，求的分布列；（Ⅰ）;（Ⅱ）見解析.（Ⅰ）設這天空氣質量為1級，（Ⅱ），的可能值為，其分布列為：01236.從2016年1月1日起全國統一實施全面兩孩政策.為了解適齡民眾對放開生二胎政策的態度，某市選取70后作為調查對象，隨機調查了10人，其中打算生二胎的有4人，不打算生二胎的有6人.(1)從這10人中隨機抽取3人，記打算生二胎的人數為，求隨機變量的分布列；(2)若以這10人的樣本數據估計該市的總體數據，且以頻率作為概率，從該市70后中隨機抽取3人，記打算生二胎的人數為，求隨機變量的分布列.（1）見解析；（2）見解析；（1）由題意知，的值為.，，，.∴的分布列為:0123（2）由題意可知，全市70后打算生二胎的概率為，.且..的分布列為：01237.在某次問卷調查中，有a,b兩題為選做題，規定每位被調查者必須且只需在其中選做一題，其中包括甲乙在內的4名調查者選做a題的概率均為，選做題的概率均為設這4名受訪者中選做題的人數為，求的概率分布列.見解析隨機變量的可能取值為，且.所以，所以變量的分布表為：012348.一名學生每天騎車上學，從他家里到學校的途中有6個交通崗，假設在每個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是.（1）假設為這名學生在途中遇到紅燈的次數，求的分布列；（2）設為這名學生在首次停車前經過的路口數，求的分布列；（1）見解析；（2）見解析.列如下：01234569.在一次抗洪搶險中，準備用射擊的方法引爆從橋上游漂流而下的一個巨大的汽油灌，已知只有5發子彈，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆．每次射擊相互獨立，且命中概率都是，求（1）油罐被引爆的概率；（2）如果引爆或子彈打光則停止射擊，設射擊次數為，求的分布列．（1）；（2）見解析.（1）“油罐被引爆”的事件為事件，其對立事件為包括“一次都沒有命中”和“只命中一次”，即，∴（2）射擊次數的可能取值為2，3，4，5，，故的分布列為：2345類型六:離散型隨機變量的分布列1.設隨機變量X的分布列為,則的值為()A.B.C.D.B因為，所以，選B.2.有一匹叫的馬，參加了100場賽馬比賽，贏了20場，輸了80場．在這100場比賽中，有30場是下雨天，70場是晴天,在30場下雨天的比賽中，贏了15場．如果明天下雨，參加賽馬的勝率是(