第八章彎曲變形材料力學1第八章彎曲變形材料力學1§8–1梁的撓度和轉(zhuǎn)角§8–2撓曲線近似微分方程第八章彎曲變形§8–4疊加法求彎曲變形§8–5梁的剛度校核提高梁彎曲剛度的措施*簡單靜不定梁§8–3積分法求彎曲變形2§8–1梁的撓度和轉(zhuǎn)角第八章彎曲變形§8－１梁的撓度和轉(zhuǎn)角彎曲變形研究范圍：等直梁在對稱彎曲時位移的計算。研究目的：①對梁作剛度校核；②解超靜定梁（變形幾何條件提供補充方程）。3§8－１梁的撓度和轉(zhuǎn)角彎曲變形研究范圍：等直梁在對稱彎曲時1.撓度：橫截面形心沿垂直于軸線方向的線位移。用w表示。與y

同向為正，反之為負。

2.轉(zhuǎn)角：橫截面繞其中性軸轉(zhuǎn)動的角度。用表示，逆時針轉(zhuǎn)動為正，反之為負。

二、撓曲線：變形后，軸線變?yōu)楣饣€，該曲線稱為撓曲線。其方程為：

w=f(x)三、轉(zhuǎn)角與撓曲線的關(guān)系：彎曲變形一、度量梁變形的兩個基本位移量小變形PxwCqC1y41.撓度：橫截面形心沿垂直于軸線方向的線位移。用w表示。2.

§8-2

撓曲線近似微分方程即撓曲線近似微分方程。彎曲變形小變形yxM>0yxM<0撓曲線曲率:EIxMxf)()(=￠￠

\

5§8-2撓曲線近似微分方程即撓曲線近似微分方程。彎曲變對于等截面直梁，撓曲線近似微分方程可寫成如下形式：彎曲變形6對于等截面直梁，撓曲線近似微分方程可寫成如下形式：彎曲變形6用積分法求彎曲變形（撓曲線方程）1.微分方程的積分彎曲變形C1、C2為積分常數(shù)，據(jù)邊界條件確定§8-3積分法求彎曲變形撓曲線近似微分方程：7用積分法求彎曲變形（撓曲線方程）1.微分方程的積分彎曲變形C彎曲變形2.位移邊界條件PABCPD支點位移條件：連續(xù)光滑條件：PABC（集中力、集中力偶作用處，截面變化處）8彎曲變形2.位移邊界條件PABCPD支點位移條件：連續(xù)光討論：①適用于小變形情況下、線彈性材料、細長構(gòu)件的平面彎曲。彎曲變形③積分常數(shù)由撓曲線變形的幾何相容條件（邊界條件、連續(xù)條件）確定。②可應(yīng)用于求解承受各種載荷的等截面或變截面梁的位移。④優(yōu)點：使用范圍廣，直接求出較精確；缺點：計算較繁。9討論：彎曲變形③積分常數(shù)由撓曲線變形的幾何相容條件（例1求下列各等截面直梁的彈性曲線、最大撓度及最大轉(zhuǎn)角。建立坐標系并寫出彎矩方程寫出微分方程的積分并積分應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)彎曲變形解：PLxy10例1求下列各等截面直梁的彈性曲線、最大撓度及最大轉(zhuǎn)角。建寫出彈性曲線方程并畫出曲線最大撓度及最大轉(zhuǎn)角彎曲變形xyPL11寫出彈性曲線方程并畫出曲線最大撓度及最大轉(zhuǎn)角彎曲變形xy解：建立坐標系并寫出彎矩方程寫出微分方程的積分并積分彎曲變形xyPLa12解：建立坐標系并寫出彎矩方程寫出微分方程的積分并積分彎曲應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)彎曲變形PLaxy13應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)彎曲變形PLaxy13寫出彈性曲線方程并畫出曲線最大撓度及最大轉(zhuǎn)角彎曲變形PLaxy14寫出彈性曲線方程并畫出曲線最大撓度及最大轉(zhuǎn)角彎曲變形PL§8-4疊加法求彎曲變形一、載荷疊加：多個載荷同時作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形

等于每個載荷單獨作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形的代數(shù)和。二、結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法）：彎曲變形

前提：小變形，線彈性．使梁的撓度、轉(zhuǎn)角 均與載荷成線形關(guān)系。15§8-4疊加法求彎曲變形一、載荷疊加：多個載荷同時作用例２按疊加原理求A點轉(zhuǎn)角和 C點撓度。解、載荷分解如圖由梁的簡單載荷變形表，查簡單載荷引起的變形。彎曲變形qqPP=+AAABBB

Caa16例２按疊加原理求A點轉(zhuǎn)角和 C點撓度。解、載荷分解如圖彎曲變形qqPP=+AAABBB

Caa疊加17彎曲變形qqPP=+AAABBBCaa疊加17例３按疊加原理求C點撓度。解：載荷無限分解如圖由梁的簡單載荷變形表，查簡單載荷引起的變形。疊加彎曲變形q00.5L0.5LxdxbxfC18例３按疊加原理求C點撓度。解：載荷無限分解如圖由梁的例４結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法)原理說明。=+彎曲變形PL1L2ABCBCPL2f1f2等價等價xxfPL1L2ABC剛化AC段PL1L2ABC剛化BC段PL1L2ABCMx19例４結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法)原理說明。=+彎曲變形PL§8-5梁的剛度校核提高梁彎曲剛度的措施一、梁的剛度條件其中[]稱為許用轉(zhuǎn)角；[w]稱為許用撓度。由具體工作條件定,可查手冊.通常依此條件進行如下三種剛度計算：

、校核剛度：

、設(shè)計截面尺寸；、設(shè)計載荷。彎曲變形(但：對于一般工程結(jié)構(gòu)，強度常處于主要地位。特殊構(gòu)件例外）20§8-5梁的剛度校核提高梁彎曲剛度的措施一、梁的剛度PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNB例５下圖為一空心圓桿，內(nèi)外徑分別為：d=40mm、D=80mm，桿的E=210GPa，工程規(guī)定C點的[f]=0.00001m,B點的[]=0.001弧度,試校核此桿的剛度。=++=彎曲變形P1=1kNABDCP2BCDAP2=2kNBCDAP2BCaP2BCDAM21PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1P2BCa=++圖1圖2圖3解：結(jié)構(gòu)變換，查表求簡單

載荷變形。彎曲變形PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxy22P2BCa=++圖1圖2圖3解：結(jié)構(gòu)變換，查表求簡單

P2BCa=++圖1圖2圖3彎曲變形PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxy疊加求復(fù)雜載荷下的變形23P2BCa=++圖1圖2圖3彎曲變形PL=400mmP2=2校核剛度彎曲變形24校核剛度彎曲變形24強度：正應(yīng)力：剪應(yīng)力：剛度：穩(wěn)定性：都與內(nèi)力和截面性質(zhì)有關(guān)。彎曲變形……………二、提高梁彎曲剛度的主要措施25強度：正應(yīng)力：剪應(yīng)力：剛度：穩(wěn)定性：都與內(nèi)力和截面性質(zhì)有關(guān)。彎曲變形（一）、選擇梁的合理截面矩形木梁的合理高寬比北宋李誡于1100年著?營造法式?一書中指出:矩形木梁的合理高寬比(h/b=)1.5英(T.Young)于1807年著?自然哲學與機械技術(shù)講義?一書中指出:矩形木梁的合理高寬比為Rbh26彎曲變形（一）、選擇梁的合理截面矩形木梁的合理高寬比北宋李誡一般的合理截面彎曲變形1、在面積相等的情況下，選擇抗彎模量大的截面zDzaa27一般的合理截面彎曲變形1、在面積相等的情況下，選擇抗彎模量大彎曲變形zD0.8Da12a1z28彎曲變形zD0.8Da12a1z28彎曲變形工字形截面與框形截面類似。0.8a2a21.6a22a2z29彎曲變形工字形截面與框形截面類似。0.8a2a21.6a22彎曲變形2、根據(jù)材料特性選擇截面形狀sGz如鑄鐵類材料，常用T字形類的截面，如下圖：（二）、采用變截面梁最好是等強度梁，即若為等強度矩形截面，則高為同時Px30彎曲變形2、根據(jù)材料特性選擇截面形狀sGz如鑄鐵類材料，常用彎曲變形（三）、合理布置外力（包括支座），使M

max盡可能小。PL/2L/2Mx+PL/4PL/43L/4Mx3PL/16P=qLL/54L/5對稱MxqL2/1031彎曲變形（三）、合理布置外力（包括支座），使Mmax盡彎曲變形MxqLL/5qL/5402qL502qL-MxqL/2L/2322qL-Mx32彎曲變形MxqLL/5qL/5402qL502qL-MxqL（四）、梁的側(cè)向屈曲1.矩形純彎梁的臨界載荷彎曲變形LMMxyz33（四）、梁的側(cè)向屈曲1.矩形純彎梁的臨界載荷彎曲變形LMMx2.工字鋼形截面純彎梁的臨界載荷彎曲變形LMMxyzh由上可見，Iy過小時，雖然強度和剛度較高，但側(cè)向失穩(wěn)的可能性卻增大了，這點應(yīng)引起注意。342.工字鋼形截面純彎梁的臨界載荷彎曲變形LMMxyzh（五）、選用高強度材料，提高許用應(yīng)力值同類材料，“E”值相差不多，“jx”相差較大，故換用同類材料只能提高強度，不能提高剛度和穩(wěn)定性。

不同類材料，E和G都相差很多（鋼E=200GPa,銅E=100GPa），故可選用不同的材料以達到提高剛度和穩(wěn)定性的目的。但是，改換材料，其原料費用也會隨之發(fā)生很大的改變！彎曲變形35（五）、選用高強度材料，提高許用應(yīng)力值同類材料，“E*簡單靜不定梁1、處理方法：變形協(xié)調(diào)方程、物理方程與平衡方程相結(jié)合，求全部未知力。解：建立靜定基確定超靜定次數(shù)，用反力代替多余約束所得到的結(jié)構(gòu)——靜定基。=彎曲變形q0LABLq0MABAq0LRBABxy36*簡單靜不定梁1、處理方法：變形協(xié)調(diào)方程、物理方程與平衡方程幾何方程——變形協(xié)調(diào)方程+彎曲變形q0LRBAB=RBABq0AB物理方程——變形與力的關(guān)系補充方程求解其它問題（反力、應(yīng)力、

變形等）37幾何方程——變形協(xié)調(diào)方程+彎曲變形q0LRBAB=RBAB幾何方程——變形協(xié)調(diào)方程：解：建立靜定基=例6結(jié)構(gòu)如圖，求B點反力。LBC彎曲變形xyq0LRBABCq0LRBAB=RBAB+q0AB38幾何方程解：建立靜定基=例6結(jié)構(gòu)如圖，求B點反力。LB=LBC彎曲變形xyq0LRBABCRBAB+q0AB物理方程——變形與力的關(guān)系補充方程求解其它問題（反力、應(yīng)力、

變形等）39=LBC彎曲變形xyq0LRBABCRBAB+q0AB物理本章結(jié)束40本章結(jié)束40第八章彎曲變形材料力學41第八章彎曲變形材料力學1§8–1梁的撓度和轉(zhuǎn)角§8–2撓曲線近似微分方程第八章彎曲變形§8–4疊加法求彎曲變形§8–5梁的剛度校核提高梁彎曲剛度的措施*簡單靜不定梁§8–3積分法求彎曲變形42§8–1梁的撓度和轉(zhuǎn)角第八章彎曲變形§8－１梁的撓度和轉(zhuǎn)角彎曲變形研究范圍：等直梁在對稱彎曲時位移的計算。研究目的：①對梁作剛度校核；②解超靜定梁（變形幾何條件提供補充方程）。43§8－１梁的撓度和轉(zhuǎn)角彎曲變形研究范圍：等直梁在對稱彎曲時1.撓度：橫截面形心沿垂直于軸線方向的線位移。用w表示。與y

同向為正，反之為負。

2.轉(zhuǎn)角：橫截面繞其中性軸轉(zhuǎn)動的角度。用表示，逆時針轉(zhuǎn)動為正，反之為負。

二、撓曲線：變形后，軸線變?yōu)楣饣€，該曲線稱為撓曲線。其方程為：

w=f(x)三、轉(zhuǎn)角與撓曲線的關(guān)系：彎曲變形一、度量梁變形的兩個基本位移量小變形PxwCqC1y441.撓度：橫截面形心沿垂直于軸線方向的線位移。用w表示。2.

§8-2

撓曲線近似微分方程即撓曲線近似微分方程。彎曲變形小變形yxM>0yxM<0撓曲線曲率:EIxMxf)()(=￠￠

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45§8-2撓曲線近似微分方程即撓曲線近似微分方程。彎曲變對于等截面直梁，撓曲線近似微分方程可寫成如下形式：彎曲變形46對于等截面直梁，撓曲線近似微分方程可寫成如下形式：彎曲變形6用積分法求彎曲變形（撓曲線方程）1.微分方程的積分彎曲變形C1、C2為積分常數(shù)，據(jù)邊界條件確定§8-3積分法求彎曲變形撓曲線近似微分方程：47用積分法求彎曲變形（撓曲線方程）1.微分方程的積分彎曲變形C彎曲變形2.位移邊界條件PABCPD支點位移條件：連續(xù)光滑條件：PABC（集中力、集中力偶作用處，截面變化處）48彎曲變形2.位移邊界條件PABCPD支點位移條件：連續(xù)光討論：①適用于小變形情況下、線彈性材料、細長構(gòu)件的平面彎曲。彎曲變形③積分常數(shù)由撓曲線變形的幾何相容條件（邊界條件、連續(xù)條件）確定。②可應(yīng)用于求解承受各種載荷的等截面或變截面梁的位移。④優(yōu)點：使用范圍廣，直接求出較精確；缺點：計算較繁。49討論：彎曲變形③積分常數(shù)由撓曲線變形的幾何相容條件（例1求下列各等截面直梁的彈性曲線、最大撓度及最大轉(zhuǎn)角。建立坐標系并寫出彎矩方程寫出微分方程的積分并積分應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)彎曲變形解：PLxy50例1求下列各等截面直梁的彈性曲線、最大撓度及最大轉(zhuǎn)角。建寫出彈性曲線方程并畫出曲線最大撓度及最大轉(zhuǎn)角彎曲變形xyPL51寫出彈性曲線方程并畫出曲線最大撓度及最大轉(zhuǎn)角彎曲變形xy解：建立坐標系并寫出彎矩方程寫出微分方程的積分并積分彎曲變形xyPLa52解：建立坐標系并寫出彎矩方程寫出微分方程的積分并積分彎曲應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)彎曲變形PLaxy53應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)彎曲變形PLaxy13寫出彈性曲線方程并畫出曲線最大撓度及最大轉(zhuǎn)角彎曲變形PLaxy54寫出彈性曲線方程并畫出曲線最大撓度及最大轉(zhuǎn)角彎曲變形PL§8-4疊加法求彎曲變形一、載荷疊加：多個載荷同時作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形

等于每個載荷單獨作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形的代數(shù)和。二、結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法）：彎曲變形

前提：小變形，線彈性．使梁的撓度、轉(zhuǎn)角 均與載荷成線形關(guān)系。55§8-4疊加法求彎曲變形一、載荷疊加：多個載荷同時作用例２按疊加原理求A點轉(zhuǎn)角和 C點撓度。解、載荷分解如圖由梁的簡單載荷變形表，查簡單載荷引起的變形。彎曲變形qqPP=+AAABBB

Caa56例２按疊加原理求A點轉(zhuǎn)角和 C點撓度。解、載荷分解如圖彎曲變形qqPP=+AAABBB

Caa疊加57彎曲變形qqPP=+AAABBBCaa疊加17例３按疊加原理求C點撓度。解：載荷無限分解如圖由梁的簡單載荷變形表，查簡單載荷引起的變形。疊加彎曲變形q00.5L0.5LxdxbxfC58例３按疊加原理求C點撓度。解：載荷無限分解如圖由梁的例４結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法)原理說明。=+彎曲變形PL1L2ABCBCPL2f1f2等價等價xxfPL1L2ABC剛化AC段PL1L2ABC剛化BC段PL1L2ABCMx59例４結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法)原理說明。=+彎曲變形PL§8-5梁的剛度校核提高梁彎曲剛度的措施一、梁的剛度條件其中[]稱為許用轉(zhuǎn)角；[w]稱為許用撓度。由具體工作條件定,可查手冊.通常依此條件進行如下三種剛度計算：

、校核剛度：

、設(shè)計截面尺寸；、設(shè)計載荷。彎曲變形(但：對于一般工程結(jié)構(gòu)，強度常處于主要地位。特殊構(gòu)件例外）60§8-5梁的剛度校核提高梁彎曲剛度的措施一、梁的剛度PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNB例５下圖為一空心圓桿，內(nèi)外徑分別為：d=40mm、D=80mm，桿的E=210GPa，工程規(guī)定C點的[f]=0.00001m,B點的[]=0.001弧度,試校核此桿的剛度。=++=彎曲變形P1=1kNABDCP2BCDAP2=2kNBCDAP2BCaP2BCDAM61PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1P2BCa=++圖1圖2圖3解：結(jié)構(gòu)變換，查表求簡單

載荷變形。彎曲變形PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxy62P2BCa=++圖1圖2圖3解：結(jié)構(gòu)變換，查表求簡單

P2BCa=++圖1圖2圖3彎曲變形PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxy疊加求復(fù)雜載荷下的變形63P2BCa=++圖1圖2圖3彎曲變形PL=400mmP2=2校核剛度彎曲變形64校核剛度彎曲變形24強度：正應(yīng)力：剪應(yīng)力：剛度：穩(wěn)定性：都與內(nèi)力和截面性質(zhì)有關(guān)。彎曲變形……………二、提高梁彎曲剛度的主要措施65強度：正應(yīng)力：剪應(yīng)力：剛度：穩(wěn)定性：都與內(nèi)力和截面性質(zhì)有關(guān)。彎曲變形（一）、選擇梁的合理截面矩形木梁的合理高寬比北宋李誡于1100年著?營造法式?一書中指出:矩形木梁的合理高寬比(h/b=)1.5英(T.Young)于1807年著?自然哲學與機械技術(shù)講義?一書中指出:矩形木梁的合理高寬比為Rbh66彎曲變形（一）、選擇梁的合理截面矩形木梁的合理高寬比北宋李誡一般的合理截面彎曲變形1、在面積相等的情況下，選擇抗彎模量大的截面zDzaa67一般的合理截面彎曲變形1、在面積相等的情況下，選擇抗彎模量大彎曲變形zD0.8Da12a1z68彎曲變形zD0.8Da12a1z28彎曲變形工字形截面與框形截面類似。0.8a2a21.6a22a2z69彎曲變形工字形截面與框形截面類似。0.8a2a21.6a22彎曲變形2、根據(jù)材料特性選擇截面形狀sGz如鑄鐵類材料，常用T字形類的截面，如下圖：（二）、采用變截面梁最好是等強度梁，即若為等強度矩形截面，則高為同時Px70彎曲變形2、根據(jù)材料特性選擇截面形狀sGz如鑄鐵類材料，常用彎曲變形（三）、合理布置外力（包括支座），使M

max盡可能小。PL/2L/2Mx+PL/4PL/43L/4Mx3PL/16P=qLL/54L/5對稱MxqL2/1071彎曲變形（三）、合理布置外力（包括支座），使Mmax盡彎曲變形MxqLL/5qL/5402qL502qL-MxqL/2L/2322qL-Mx72彎曲變形MxqLL/5qL/5402qL502qL-MxqL（四）、梁的側(cè)向屈曲1.矩形純彎梁的臨界載荷彎曲變