定積分概念與性質一、定積分問題舉例二、定積分定義三、定積分的性質定積分概念與性質一、定積分問題舉例二、定積分定義三、定積分一、定積分問題舉例曲邊梯形

設函數yf(x)在區間[a,

b]上非負、連續.

由直線xa、xb、y0及曲線yf(x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形,

其中曲線弧稱為曲邊.

1.曲邊梯形的面積

一、定積分問題舉例曲邊梯形1.曲邊梯形的面積觀察與思考

在曲邊梯形內擺滿小的矩形,當小矩形的寬度減少時,小矩形面積之和與曲邊梯形面積之間的誤差將如何變化?

怎樣求曲邊梯形的面積？觀察與思考在曲邊梯形內擺滿小的矩形,求曲邊梯形的面積

(1)分割:

ax0<

x1<

x2<

<

xn1<

xn

b,Dxi=xi-xi1;

小曲邊梯形的面積近似為f(xi)Dxi(xi1<xi<xi);

(2)近似代替:

(4)取極限:

設max{Dx1,

Dx2,,

Dxn},曲邊梯形的面積為

(3)求和:

曲邊梯形的面積近似為;求曲邊梯形的面積(1)分割:ax0<x1<x2<2.變速直線運動的路程

已知物體直線運動的速度vv(t)是時間t的連續函數,

且v(t)0,

計算物體在時間段[T1,

T2]內所經過的路程S.(1)分割:

T1t0<t1<t2<<tn1<tnT2,

Dtititi1;(2)近似代替:

物體在時間段[ti1,

ti]內所經過的路程近似為DSiv(i)Dti(

ti1<

i<ti);

物體在時間段[T1,

T2]內所經過的路程近似為

(3)求和:

(4)取極限:

記max{Dt1,

Dt2,,

Dtn},物體所經過的路程為2.變速直線運動的路程已知物體直線運動的二、定積分定義定積分的定義max{Dx1,

Dx2,,Dxn};

記Dxi=xi-xi1(i1,2,,

n),ax0<x1<x2<

<xn1<xnb;在區間[a,

b]內插入分點:

設函數f(x)在區間[a,

b]上有界.

如果當0時,

上述和式的極限存在,

且極限值與區間[a,

b]的分法和xi的取法無關,

則稱此極限為函數f(x)在區間[a,

b]上在小區間[xi1,

xi]上任取一點xi(i1,2,,

n),

作和

即

的定積分記為二、定積分定義定積分的定義max{Dx1,Dx2,定積分各部分的名稱

————積分符號,

f(x)———被積函數,

f(x)dx——被積表達式,

x————積分變量,

a

————積分下限,

b

————積分上限,

[a,

b]———積分區間，

定積分的定義二、定積分定義———積分和

定積分各部分的名稱定積分的定義二、定積分定義———積分和定積分的定義二、定積分定義說明：

定積分的值只與被積函數及積分區間有關,

而與積分變量的記法無關,

即定積分的定義二、定積分定義說明：函數的可積性

如果函數f(x)在區間[a,

b]上的定積分存在,

則稱f(x)在區間[a,

b]上可積.

定理1

如果函數f(x)在區間[a,

b]上連續,

則函數f(x)在區間[a,

b]上可積.

定理2

如果函數f(x)在區間[a,

b]上有界,

且只有有限個間斷點,

則函數f(x)在區間[a,

b]上可積.

定積分的定義二、定積分定義函數的可積性定理1定積分的定義二、定積分定義定積分的幾何意義

當f(x)0時,f(x)在[a,

b]上的定積分表示由曲線yf(x)、直線xa、xb與x軸所圍成的曲邊梯形的面積.

當f(x)0時,

f(x)在[a,

b]上的定積分表示曲邊梯形面積的負值.

這是因為定積分的幾何意義當f(x)0時,

一般地,

f(x)在[a,

b]上的定積分表示介于x軸、曲線yf(x)及直線xa、xb之間的各部分面積的代數和.

定積分的幾何意義

當f(x)0時,f(x)在[a,

b]上的定積分表示由曲線yf(x)、直線xa、xb與x軸所圍成的曲邊梯形的面積.

當f(x)0時,

f(x)在[a,

b]上的定積分表示曲邊梯形面積的負值.

一般地,f(x)在[a,b]上的定積分利用定義計算定積分

解:

例1

利用定積分定義計算.

取分點為(i=1,2,

,n-1),則(i=1,2,

,n).

在第i

個小區間上取右端點(i=1,2,

,n).

于是利用定義計算定積分解:例利用幾何意義求定積分

解

函數y1x在區間[0,1]上的定積分是以y=1-x為曲邊,以區間[0,1]為底的曲邊梯形的面積.

因為以y=1-x為曲邊,以區間[0,1]為底的曲邊梯形是一個直角三角形,

其底邊長及高均為1,

所以

首頁

例2

利用幾何意義求定積分解函數y1三、定積分的性質兩點規定三、定積分的性質兩點規定

這是因為三、定積分的性質性質1這是因為三、定積分的性質性質1三、定積分的性質性質1性質2>>>性質3>>>注：值得注意的是不論abc的相對位置如何上式總成立三、定積分的性質性質1性質2>>>性質3>>>注：值得三、定積分的性質性質1性質2性質3性質4三、定積分的性質性質1性質2性質3性質4推論1

如果在區間[a

b]上f(x)g(x)則

這是因為g(x)f(x)0

從而如果在區間[a

b]上f(x)0

則性質5

所以推論1如果在區間[ab]上f(x)g(x)則

這是因為|f(x)|f(x)|f(x)|,所以推論1

如果在區間[a

b]上f(x)g(x)則如果在區間[a

b]上f(x)0

則性質5

推論2

這是因為|f(x)|f(x)|f(x)推論1

如果在區間[a

b]上f(x)g(x)

則如果在區間[a

b]上f(x)0

則性質5

推論2

性質6

設M及m分別是函數f(x)在區間[a

b]上的最大值及最小值則

推論1如果在區間[ab]上f(x)g(x)則

如果函數f(x)在閉區間[a

b]上連續

則在積分區間[a

b]上至少存在一個點x

使下式成立

這是因為,由性質6性質7(定積分中值定理)

——積分中值公式

由介值定理,至少存在一點x[a,b],使兩端乘以ba即得積分中值公式.

解解總結１．定積分的實質：特殊和式的極限．２．定積分的思想和方法：分割化整為零求和積零為整取極限精確值——定積分求近似以直（不變）代曲（變）取極限總結１．定積分的實質：特殊和式的極限．２．定積分的思想和方法１．定積分的性質（注意估值性質、積分中值定理的應用）２．典型問題（１）估計積分值；（２）不計算定積分比較積分大小．小結１．定積分的性質（注意估值性質、積分中值定理的應用）２．典型定積分概念與性質一、定積分問題舉例二、定積分定義三、定積分的性質定積分概念與性質一、定積分問題舉例二、定積分定義三、定積分一、定積分問題舉例曲邊梯形

設函數yf(x)在區間[a,

b]上非負、連續.

由直線xa、xb、y0及曲線yf(x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形,

其中曲線弧稱為曲邊.

1.曲邊梯形的面積

一、定積分問題舉例曲邊梯形1.曲邊梯形的面積觀察與思考

在曲邊梯形內擺滿小的矩形,當小矩形的寬度減少時,小矩形面積之和與曲邊梯形面積之間的誤差將如何變化?

怎樣求曲邊梯形的面積？觀察與思考在曲邊梯形內擺滿小的矩形,求曲邊梯形的面積

(1)分割:

ax0<

x1<

x2<

<

xn1<

xn

b,Dxi=xi-xi1;

小曲邊梯形的面積近似為f(xi)Dxi(xi1<xi<xi);

(2)近似代替:

(4)取極限:

設max{Dx1,

Dx2,,

Dxn},曲邊梯形的面積為

(3)求和:

曲邊梯形的面積近似為;求曲邊梯形的面積(1)分割:ax0<x1<x2<2.變速直線運動的路程

已知物體直線運動的速度vv(t)是時間t的連續函數,

且v(t)0,

計算物體在時間段[T1,

T2]內所經過的路程S.(1)分割:

T1t0<t1<t2<<tn1<tnT2,

Dtititi1;(2)近似代替:

物體在時間段[ti1,

ti]內所經過的路程近似為DSiv(i)Dti(

ti1<

i<ti);

物體在時間段[T1,

T2]內所經過的路程近似為

(3)求和:

(4)取極限:

記max{Dt1,

Dt2,,

Dtn},物體所經過的路程為2.變速直線運動的路程已知物體直線運動的二、定積分定義定積分的定義max{Dx1,

Dx2,,Dxn};

記Dxi=xi-xi1(i1,2,,

n),ax0<x1<x2<

<xn1<xnb;在區間[a,

b]內插入分點:

設函數f(x)在區間[a,

b]上有界.

如果當0時,

上述和式的極限存在,

且極限值與區間[a,

b]的分法和xi的取法無關,

則稱此極限為函數f(x)在區間[a,

b]上在小區間[xi1,

xi]上任取一點xi(i1,2,,

n),

作和

即

的定積分記為二、定積分定義定積分的定義max{Dx1,Dx2,定積分各部分的名稱

————積分符號,

f(x)———被積函數,

f(x)dx——被積表達式,

x————積分變量,

a

————積分下限,

b

————積分上限,

[a,

b]———積分區間，

定積分的定義二、定積分定義———積分和

定積分各部分的名稱定積分的定義二、定積分定義———積分和定積分的定義二、定積分定義說明：

定積分的值只與被積函數及積分區間有關,

而與積分變量的記法無關,

即定積分的定義二、定積分定義說明：函數的可積性

如果函數f(x)在區間[a,

b]上的定積分存在,

則稱f(x)在區間[a,

b]上可積.

定理1

如果函數f(x)在區間[a,

b]上連續,

則函數f(x)在區間[a,

b]上可積.

定理2

如果函數f(x)在區間[a,

b]上有界,

且只有有限個間斷點,

則函數f(x)在區間[a,

b]上可積.

定積分的定義二、定積分定義函數的可積性定理1定積分的定義二、定積分定義定積分的幾何意義

當f(x)0時,f(x)在[a,

b]上的定積分表示由曲線yf(x)、直線xa、xb與x軸所圍成的曲邊梯形的面積.

當f(x)0時,

f(x)在[a,

b]上的定積分表示曲邊梯形面積的負值.

這是因為定積分的幾何意義當f(x)0時,

一般地,

f(x)在[a,

b]上的定積分表示介于x軸、曲線yf(x)及直線xa、xb之間的各部分面積的代數和.

定積分的幾何意義

當f(x)0時,f(x)在[a,

b]上的定積分表示由曲線yf(x)、直線xa、xb與x軸所圍成的曲邊梯形的面積.

當f(x)0時,

f(x)在[a,

b]上的定積分表示曲邊梯形面積的負值.

一般地,f(x)在[a,b]上的定積分利用定義計算定積分

解:

例1

利用定積分定義計算.

取分點為(i=1,2,

,n-1),則(i=1,2,

,n).

在第i

個小區間上取右端點(i=1,2,

,n).

于是利用定義計算定積分解:例利用幾何意義求定積分

解

函數y1x在區間[0,1]上的定積分是以y=1-x為曲邊,以區間[0,1]為底的曲邊梯形的面積.

因為以y=1-x為曲邊,以區間[0,1]為底的曲邊梯形是一個直角三角形,

其底邊長及高均為1,

所以

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例2

利用幾何意義求定積分解函數y1三、定積分的性質兩點規定三、定積分的性質兩點規定

這是因為三、定積分的性質性質1這是因為三、定積分的性質性質1三、定積分的性質性質1性質2>>>性質3>>>注：值得注意的是不論abc的相對位置如何上式總成立三、定積分的性質性質1性質2>>>性質3>>>注：值得三、定積分的性質性質1性質2性質3性質4三、定積分的性質性質1性質2性質3性質4推論1

如果在區間[a

b]上f(x)g(x)則

這是因為g(x)f(x)0

從而如果在區間[a

b]上f(x