常微分方程課程總結第一章緒論§1.2微分方程的基本概念（1）常微分方程偏微分方程微分方程：凡含有未知函數的導數或微分的方程叫微分方程。常微分方程：未知函數為一元函數的微分方程。說=axy,“為常數偏微分方程：未知函數為多元函數，從而出現偏導數的微分方程。（2）線性與非線性一般n階線性微分方程具有形式：（等式左面全是一次有理整式）…+a-|（x）y+G（x）y=/（x）?（3） 解和隱式解微分方程的解：代入微分方程能使方程成為恒等式的函數.隱式解：①a,y）=0（4） 通解和特解通解：微分方程的解中含有任意常數,且任意:常數的個數與微分方程的階數同.）特解：確定了通解中任意常數以后的解.初始條件：用來確定任意常數的條件.初值問題：求微分方程滿足初始條件的解的問題.（5） 積分曲線：微分方程任一特解的圖形都是一條曲線，稱為微分方程的積曲線。第二章一階微分方程的初等解法§2.1變量分離方程與變量變換2.1.1、變量分離方程2.1.2.可化為變fi分離方程的類型形如生=鞏上），稱為齊次微分方程，令u=2my=ux,于是d=龍竺+“，代入原方程,dxX X dxdx變形為X—+u=g（“），整理得竺=逖?口dx dx X2.形如字=吐字士L的方程也可經變量變換化為變量分離方程dxx+h^x+c^

(1)(2)5-乞=￡_=?(常數)，方程化為◎=￡,有通解y=比兀+(?/?2J Clx(1)(2)亠苦"嚴形’令円心a這時噲F+方2字=52也是分離變量方程=0,a.x+b.y+c.=Q.交點(70),令X=x—a,Y=y—0,化為a,X+h,Y=0.X+h^Y=0,a.x+b.y+c.=Q.交點(70),令X=x—a,Y=y—0,化為a,X+h,Y=0.X+h^Y=0o則原方程變形為勞啓若升爲§2.2線性微分方程與常數變易法(1)一階線性微分方程^=P(xb'+e(x),其中P(x),Q(x)在區間上是X的連續函數。若Q(x)=0,則ax變為?=卩(戈)廠</%稱為一階齊次線性微分方程，若GU)*o,則稱為一階非齊次線性微分方程。J"皿J"皿(c是任意常數)。(2)-^=P(x)y是變量分離方程，解為y=2dx(2)(3)常數變異法，令(3)常數變異法，令y=dx)J"g,微分之，得到紅如E+紅如E+心)恥)葉dxdx代入原方程得到新方程，解得C(X)=JQ(X)""EJx+Q得到通解y=eJu*j0(x)ejPBJx+f(4)伯努利微分方程(4)伯努利微分方程令z=yj，從而竺=(_“)*"◎,均代入原方程得到dx clx—=(l-/i)P(x)^+(1-")Q(x),這是線性微分方程。ax§2.3恰當微分方程與積分因子2.3.1恰當微分方程(1)簡單二元函數的全微分：曲+城v=dg) 也H曲+城v=dg) 也H一ydx一xdyxy=</(ln—)Xydxydx-xdy1“丄伽ydx-xdy ，八 a\ =d(lnarctan—)對+y" y2.3.22.3.2積分因子6M_6NN&=0⑴,積分因子“=Jem§2.4一階隱式微分方程與參數表示（1）形如y=/（兀‘字），引入參數d=p,原方程變為y=/Up）,兩邊對X求導，并以空=卩代入,

dx （ix得到"欽魯知這是關于兒"的一階微分方程<2)形如x=m慌),引入參數空=卩,原方程變為x=/Cv,p）,兩邊對y求導，并以竺=丄代入,dx dyp得到丄=生+生如,這是Pdydpdy關于的-階微分方程，設求得通解為處"》。，則方程通解為{；（:鶯）?0(3)形如F(x,/)=0，+〉"-3収=0解：令/=〃=風則山方程得v=￡，從而卩=二，于是dy=9（l-2；2廠曲積分之，得到（4）形如F

1+r 1+Z （l+r）2, 31+4戶一dt= +C2（1+F）2（燈）=0第三章一階微分方程解的存在定理§3.1解的存在性唯一性定理和逐步逼近法1.存在性與唯一性定理：（1）顯式一階微分方程jg）

ax這里f（X,y）是在矩形域JR:\x-x^^l<aJy-l<b(3.1)(3.2)上連續。定理:1：如果函數/（x,y）滿足以下條件：1）在&上連續：2）在R上關于變量y滿足李普希茲（Lipschitz）條件，即存在常數厶>0,使對于R上任何一對點（兒N），（X,『2）均有不等式/（忑廿）-/（兀』2）S厶”-旳成立，則方程（3.1）存在唯一的解y=<p（x}.在區間\x-x,\<h上連續，而且滿足初始條件(3.3)其中/?=min(?,—),A/=maxMf(x,y),乙稱為厶ipschitz常數?思路：求解初值問題(3.1)的解等價于積分方程y=兒+r/(X,J心的連續解。構造近似解函數列9“(x)}任取一個連續函數0o(x),使得l0o(x)-兒iSb,替代上述積分方程右端的%(x)=$0+「%如果叭那么％(X)是積分方程的解，否則，乂用qd)替代積分方程右端的y,得到02(X)=)'0+rf(X,0(x))eZv如果卩20)=%(0,那么％(切是積分方程的解，否則，繼續進行，得到%W=>0+f/(X?T(X)床(3.4)于是得到函數序列@2)}?3)函數序列{卩二的}在區間［x,-fKX,+h］上一致收斂于俠X),即Um%(x)=^x)?T?存在，對(3.4)取極限，得到lim<p?(x)=Vo+limT/(.v,^2??_,(.v)yZv?-?oo n-*oo*Ao=兒+(兒即(p(x)=y。+rf(x,僅x)kh?4)0(x)是積分方程y=Jo+ff(x,y)dx在［竝-兒心+力］上的連續解.J心命題1設y=＜p(x)是方程(3.1)定義于區間兀＜尤＜如+力.匕滿足初始條件俠兀)=兒的解，則y=0(0是積分方程x^<x<x^+h(3.5)的定義于心＜兀＜兀0+〃上的連續解?反之亦然.命題2對于所有的"，(3.6)中的函數?(X)在如＜大＜心+/?上有定義，連續且滿足不等式(3.6)命題3函數序列｛%（-<））在兀<%<無+力上是一致收斂的?記lim烏（X）=從X）,兀0<X<大0+〃命題4 0（0是積分方程（3.5）的定義在扯<大<心+力上的連續解.命題5設^/（欠）是積分方程（3?5）的定義在斗）<X<+/rh的一個連續解，則0（兀）三以X），斗）<x<Xo+力?1、近似計算和誤差估計求方程近似解的方法一一Picard的逐次逼近法%（x）=兒久W=>0+ryexo<A-<Ay+hL(3.7)對方程的第"次近似解％Cv）和真正解0（x）在\x-x,\<h內的誤差佔計?式(3.7)詠5）佔〃例1討論初值問題y(o)=0（iy*> y(o)=0子=兀?+八ax解的存在唯一性區間，并求在此區間上與真正解的誤差不超過0.05的近似解,其中,解M=maxI/(X,y1=2,a= =l,/i= }=—,山于I—1=12>'1<2=￡,根據誤差估計式gwR M2 dy(3.16)935）醫焉/宀侖"a可知?=3?于是久(x)=0卩（X）=[[宀號WHzy込⑴=J3+心曲=y+右F2 2/ ，X? y朋)=￡［兀+卩2u)kX=亍+反+2079+595350（0就是所求的近似解，在區間--<x<-_h,這個解與真正解得誤差不超過0.05.§3.2 解的延拓2、局部利普希茨條件定義2若函數/（矩刃在區域G內連續，且對G內每一點P,都存在以P點為中心，完全含在G內的

閉矩形域心，使得在/?p上/（X』）關于y滿足利普希茨條件（對于不同的點，閉矩形域心的大小和利普希茨常數厶可能不同），則稱f（x.y）在G上關于y滿足局部利普希茨條件.定理3（延拓定理）如果方程^=/（x,y）的右端函數/（x,y）在（有界或無界）區域Ge用上連續，dxdx且在關于y滿足局部利普希茨條件，則對任意一點（兀，兒）eG,方程—=/（X,y）以（旺,兒）為初值的解僅尤）均可以向左右延展，直到點（xw（x））任意接近區域G的邊界.dx以向X增大的一方來說，如果y=<p（x）只能延拓到區間上，則當XTW時，（血0（欠））趨于區域G的邊界。其中（兀,兒）wG推論1對定義在平面區域G其中（兀,兒）wG?ax丿0=Wo）若f（x.y）在區域G內連續且關于y滿足局部厶ipschtiz條件,則它的任一非飽和解均可延拓為飽和解.推論3如果G是無界區域，在上面解的延拓定理的條件下，方程（3.1）通過（心」0）點的解）90（燈可以延拓,以向X增大（減小）一方的延拓來說，有以下兩種悄況：（1）解y=0Cv）可以延拓到區間［心*0）（或（Y比］）；⑵解）,=0（兀）只可延拓到區間兇沖）（或⑷心］），其中為有限數，則當犬TW時，或者y=無界,或者點(x.0(;v))t6G?例】討論方程學耳1分別通過點㈣）和點W2T的解的存在區間.解此方程右端函數/（A-,y）=^在整個巧平面上滿足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的條件?易知方程的通解為i+ce"y= 1一0故通過點（0.0）的解為y=（1-0丫）/（1+?*）,這個解的存在區間為-oo<x<+oo；通過點（In2,-3）的解為y=（l+K）/（l-K）,這個解的存在區間為0<x<R5（如圖所示）?注嵐過點（ln2?-3）的解為y=（l+K）/（l-R）向右方可以延拓到+00,但向左方只能延拓到0,因為當犬TO*時，y—F.

例2討論方程冬=l+lnx過（1,0）點的解的存在區間.dx解方程右端函數/（x,>'）=l+lnx在右半平面%>0上滿足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的條件?區域G（右半平面）是無界開域，y軸是它的邊界?易知問題的解為>=xlnx,它于區間0<牙<2上有定義、連續且當XT0時，vtO,即所求問題的解向右方可以延拓到七0,但向左方只能延拓到0,且當XTO時積分曲線上的點（兒y）趨向于區域G的邊界上的點§3.3解對初值的連續性和可微性定理1、解關于初值的對稱性設方程（3.1）滿足初始條件y（扯）=兒的解是唯一的，記為y=俠兀,心九），則在此關系式中，（衛刃與Cb）b）可以調換其相對位置?即在解的存在范W內成立關系式證明在方程（3.1）滿足初始條件『（人>）=兒的解的存在區間內任取一點片，顯然）1=0（心兀,兒），則山解的唯一性知，過點C0”）的解與過點（％」。）的解是同一條積分曲線，即此解也可寫為并且，有>0=0（心西？］）?乂ill（%,,>■,）是積分曲線上的任一點，因此關系式兒=0（心圮y）對該積分曲線上的任意點均成立.2、解對初值的連續依賴性山于實際問題中初始條件一般是山實驗測量得到的，肯定存在誤差.有的時候誤差比較大，有的時候誤差比較小，在實際應用中我們當然希望誤差較小，也就是說當（丸*0）變動很小的時候，相應的方程的解也只有微小的變動，這就是解對初值的連續依賴性所要研究的問題：在討論這個問題之前，我們先來看一個引理：引理：如果函數/（X,y）于某域￡）內連續，且關于y滿足Lipschtiz條件（Lipschtiz常數為厶），貝ij對方程（3.1）的任意兩個解0（x）及Xx）,在它們公共存在的區間內成立著不等式<3.17)I<p（x）一0（切1<10（兀））-以兀）1<3.17)其中X。為所考慮區域內的某一值.證明設0（x）,肖（X）于區間a<x<b上均有定義，令V{%)=[(p{x)-,a<x<h“>)=2[俠人?)一0>)][/50)-/匕0)]于是V\x)?y\x)1=21(p(x)-0(x)IIf(x.(p}—f(%,0)l<2LV(X)于是W(x)嚴-2"(x)嚴<0從而所以，對色/儀上］,有卩(x)<V(勺))/0<兀</?對于區間mH。，令一x</,并記-Xo<d則方程（3.1）變為字Uy）dx而且己知它有解y=仇-f）和y=0（-f）?類似可得VCv）<V（Xo）嚴z衛Uo因此,V（x）<^（/。”口-如衛<x<h.a<x^<b因此,兩邊開平方即得（3.17）.利用此引理我們可以證明解對初值的連續依賴性：解對初值的連續依賴定理假設f（x.y）在區域G內連續，且關于y滿足局部李普希茲條件，如果（心yJiG,初值問題d\dx幾2）有解），=0（兒心兒），它于區間a<x<b±有定義（u<心S）,則對任意￡>0，.兒=y（心）為=嘆￡衛"）>0,使得當（io-心）2+（齊-兒）*/時,方程（3.1）滿足條件y（和=%的解卩=卩（乙和％）在區間a<x<h上也有定義，并且有僅X?忌9%)-俠兒如*0)<s,a<x<h.證明記積分曲線段S:y=<p{x,Xo,>0）=<p{x\a<x<h是q平面上一個有界閉集.第一步:找區域D,使SuD,而且f{x,y）在D上關于y滿足Lipschitz條件.由已知條件，對▽（不y）eS,存在以它為中心的開圓C,CuG,使/（%,y）在其內關于y滿足Lipschitz條件.因此，根據有限覆蓋定理，可以找到有限個具有這種性質的圓Cf（i=12…2（不同的G，其半徑斥和

NLipschitz.常數&的大小可能不同），它們的全體覆蓋了整個積分曲線段S,令G=Ug，則SuGuG,對Vf>0.記Q=d（5d,S）?〃=min6Q/2）t=max（5???￡J,則以S上的點為中心，以//為半徑的圓的全體及其邊界構成包含S的有界閉域DuGuG、且/（X,y）在D上關于y滿足Lipschitz條件,Lipschitz常數為厶.第二步:證明33=5{s,ajy}>0（J<//），使得當（兀-/。尸+（%-兒尸彳滬時,解y=0（x）=0（x,兀齊）在區間a<x<h±.也有定義.曲于Q是一個有界閉域，且/Uo'）在其內關于y滿足Lipschitz條件，由解的延拓定理可知，解y=^（x）=0（x.心開）必能延拓到區域D的邊界上?設它在D的邊界上的點為（c\0（c））和c<￡h這時必有c<a.d>b.否則設c>a.d<h,山引理有|0（X）-肖（X）兇0（劑一皆區）1『4叫0</<〃利用0（x）的連續性，對+"嚴7,必有①>0存在，使當Ix-aJSQ時有10（兀）-0（兀）lvq,取厶J=min（Q,①），則當（喬-心）2+（齊-兒）2<32時就有I卩⑴-警⑴I匕卩（元0）-警（元0）I-^2山-耐-(3.18)<（|0（鬲）一卩號）1+1俠丸）一肖（兀）1）2嚴F<2（1卩（元0）-0（心）|2+10（兒）一0（兀）|'”"耐<2何+1兒-耳|2）嚴(3.18)<4J：嚴 （c<x<d}于是對一切xe［c, lv〃成立，特別地有1卩（<:）一肖（0）1<〃，10（〃）一刃〃）1<〃即點（cw（c））和（〃"（〃））均落在域D的內部，這與假設矛盾，故解y=0（x）在區間［“上］上有定義?第三步證^\<p(x)-y/(x)1<￡,a<x<b.在不等式（3.18）中將區間［cd］換成［a.h］,可知當一扯）'+（齊一兒）2<32時，就有僅假xcSAo）<q"a￡x<b?根據方程解對初值的連續依賴定理及解對自變量的連續性有3、解對初值的連續性定理若函數/（x,y）在區域G內連續，且關于y滿足局部李普希茲條件，則方程（3.1）的解y=卩（血心y。）作為兀x”兒的函數在它的存在范B內是連續的.

證明對Dg,兒）wG,方程（3.1）過（如』0）的飽和解）9卩（/，心兒）定義于<2（兀」0）3^0（%兒）上,令卩={0?心兒）匕（無,兒）sx<0ap兒）,（心兒）€G}下證y=0（尤.無」0）在V上連續.對▽（￡心凡）eV,5aG],使解y=卩（兒喬凡）在[仏方]上有定義，其中無■兀€[",/?]?|0（X,兀,Ji））-0（x,Xo，yo）對w>o,3q>o,使得當（壬。一心）2+（兀一兒|0（X,兀,Ji））-0（x,Xo，yo）2乂y=0（/芻』0）在上對X連續，故3^2>0>使得當lx--vl<J,時有0（兀兀，兒）-0（兒兀』0）|<彳，疋X€[a切厶取5=min（qV2）,則只要（工一x）2+（耳-/。尸+仇一兒）*滬就有0（疋兀，凡）-卩（兀,如,兒）兀,％）-0（局心」u）l+l僅局心,兒）一0（XJd）b）l￡￡<—-—=￡22從而得知y=0（兀.扯」0）在V上連續.§3.4奇解包絡：設方程的通解的積分曲線族為e（f，兀6=0,如果有一條曲線，在這曲線上各個點與積分曲線族中各個不同的曲線相切，就稱這曲線為該曲線族的包絡.顯然這包絡就是奇解的積分曲線.另一方面，若一曲線是一奇解的積分曲線，則按照奇解的定義，在這曲線上的每一點至少與另一條積分曲線相切，所以這曲線是積分曲線的包絡.C,包絡的求法：對于固定的任意常數r,對積分曲線①伉兀c）=0的兩邊求微分得積分曲線應滿足微分方程C,Gf（：xQdZ+睞9天工）&=0而在包絡上C是f和X的函數c（f，x）,設包絡方程為①伉兀crR）=0對兩邊求微分得包絡應滿足的微分方程①fCx,c）di+ x,c}<ix+<f>^（t,x^c）6c=0比較所得的兩個微分方程得山于包絡上C不是常數，de"、所以應有①衛￡￡）兀R此，我們得到包絡必須滿足的聯立方程組（稱為C判別式）①5）=0

第四章高階微分方程§44線性微分方程的一般理論4丄1引言n階線性微分方程Fxcr'x+4,）肪+以）戈*⑴Fxcr'x+4,）肪+以）戈*⑴(4.1)其中q⑴（i=12???n及/（f）都是區間a<t<b上的連續函數(4.2)如果幾）三0,則方程（4.1）變為：窖+M磐+…+如⑴牛+M）x=0at at at(4.2)稱它為“階齊線性微分方程，而稱一般的方程（4」）為畀階非齊線性微分方程，并且通常把方程（4.2）叫對應于方程（4.1）的齊次線性方程。定理1如果?//）（/=1,2,???,/?）及/（Z）都是區間a<t<b±的連續函數，則對于任一Zqe[?,/?]X。,?球匕???，對心!），方程（4?1）存在唯一解x=0（f）,定義于區間a</<b上，且滿足初始條件:也）=心警=/化…，匸樂=鏟）(43)也）=心警=/化…，匸樂=鏟）(43)4丄2齊線性方程的解的性質與結構定理2（疊加原理）如果X|（f）,X2（F）,???K（r）是方程（4.2）的￡個解，則它們的線性組合(4.4)qxQ+c?七（f）+…+5耳⑴也是（4.2）的解，這里C|心，…心是任意常數。特別地，當時，即方程（4?2）(4.4)有解：大=6石（0+勺七（f）+???+q￡（f）它含有”個任意常數。設西⑴*2⑴,…內⑴是定義在區間a<t<h上的函數，如果存在不全為零的常數54…心，使得恒等式：勺*]（/）+?2兀2（『） C/&a）=0對于所有te[a.h]都成立，稱這些函數是線性相關的，否則稱這些函數在所給區間上線性無關■即當且僅當C\=y=5=0時■上述恒等式才成立，稱這些函數在所給區間上線性無關。山此定義不難推出如下的兩個結論:1）在函數組…兒中如果有一個函數為零，則…兒在（40）上線性相關.2）如果兩個函數比』2之比丸在（"上）有定義，則它們在（"上）上線性無關等價于比式衛在⑺上）上不『2『2恒等于常數.定理3若函數和f）7（"…心⑴在區間a<t<h上線性相關，則在[4切上它們的伏朗斯基行列式W⑴三0。推論1如果函數組和f）宀◎…心⑴的朗斯基行列式W（f）在區間[a.h]±某一點九處不等于零，即用（旺）工0,則該函數組在上線性無關.但是，如果西（『人乂2（『）八…?乞）是齊線性方程（4.2）的解，那么就有下面的定理:定理4如果方程（4.2）的解石（『人乂2（『）八??9&”（卩）在區間a<t<b±線性無關，則（7）*2（/）,???,￡（『）］在這個區間的任何點上都不等于零，即vva）HOa<t<h）推論2設召⑴心（f）,…心⑴是方程（4.2）定義在"切上的"個解，如果存在兀€［伙切，使得它的IM斯基行列式wg）三0,則該解組在上線性相先推論3方程（4.2）的畀個解xQ」2（f），???7（f）在其定義區間儀少］上線性無關的充要條件是，存在心€［“上］,使得它的朗斯基行列武W（心）H0.定理5畀階齊線性方程（4.2）—定存在“個線性無關的解。定理6（通解結構定理）如果旳（門,％2（門，...，乂“（0是方程（4.2）的?個線性無關的解，則方程（4.2）的通解可表為J%=巧召（7）+&2*2（『）+???+^兀0(4.5)其中，5902廠?.5是任意常數，且通解（4.5）包括了方程（4.2）的所有解。4丄3非齊線性方程與常數變易法性質1如果x（f）是方程（4.1）的解，而x（0是方程（4.2）的解，則x（t）+x⑴也是方程（4.1）的解。性質2方程（4?1）的任意兩個解之差必為方程（4.2）的解。定理7設x,（Z）,x,⑴為方程（4.2）的基本解組，而亍（0是方程（4.1）的某一解，則方程（4.1）的通解可表為：%=巧力］（『）+<?2*2（『） 6占（0+元（F）(4.6)其中為任意常數。而且這個通解（4.6）包括了方程（4.1）的所有解。現在我們引進線性方程的復值解的定義。定義于區間a<t<h上的實變量復值函數x=z{t）稱為方程（4.1〉的復值解，如果：弩+竹⑴弓黑1+…+%（f）響+5（少⑴*⑴對于a<t<h恒成立。定理8如果方程（4.2）中所有系數糾⑴（212…/）都是實值函數，而x=z（0=^0+W）是方程的復值解，則Z（0的實部0（0、虛部肖（f）和共覘復值函數￡（/）也都是方程（4.2）的解。d"rd'ljv定理9若方程養+糾⑴討+ H?dx?_)(0 + =?(/)+/V(/)有復值解x=U(/)+fV(f),這里q（M=i2…屮）及"（0，W0都是實函數，那么這個解的實部"（f）和虛部y（f）分別是方程等+M）緒+…+g⑴務+WQ等+坷⑴+…+%⑴務+""⑴X=叩）的解。§4.2常系數線性方程的解法422常系數齊線性方程和歐拉方程設齊線性方程中所有系數都是常數，即方程有如下形狀4 a(4.7)其中即①，…，綣為常數■稱（4.7）為n階常系數齊線性方程。其指數函數形式的解為：戈?=/(4.8)（4.8）為方程（4.7）的解的充要條件是：A是代數方程：尸（兄）=兄"4 5?1幾+5=0(4.9)的根。1）特征根是單根的情形設/^入?…是特征方程（4.9）的《個彼此不相等的根，則相應地方程（4.7）有如下"個解:e引.8如，???，憶召‘，且這"個解在區間a<t<h上線性無關，從而組成方程的基本解組。2）特征根有重根的情形設特征方程有￡重根人=人,先設人=0,即特征方程有因子幾"，于是："”=畑=???=勺i+]=0易見它有￡個解",凡…屮=而且它們是線性無關的（見4丄2）。423非齊線性方程-比較系數法與拉普拉斯變換法現在討論常系數非齊線性方程：L\x](4.10)的求解問題，這里即①，…是常數，而/（f）為連續函數。（一〉比較系數法類型I設/（『）=（”『"+如心+…+饑』+饑）/,其中兄及M=12…為實常數，那么方程（4.10）有形如:+印心+???+3』+Bj疋的特解，其中￡為特征方程F（/t）=0的根幾的重數（單根相當于kJ當2不是特征根時，取《=0）,而B。局…心是待定的常數。類型n設/⑴=[A⑴+ 其中◎,0為常數，而A（O,〃⑴是帶實系數的[的多項式，其中一個的次數為用，而另一個的次數不超過加，那么我們有如下結論：方程（4.W）有形如%=/*[P（Z）cos+Q（f）sin的特解，這里k為特征方程FU）=0的根a+i/3的重數，而P（f）,e（f）均為待定的帶實系數的次數不高于加的f的多項武，可以通過比較系數的方法來確定。附注：類型附注：類型H的特殊情形: f(t)=A(f)0制cos0f或/(z)=B(f)嚴sinpt可用另一更簡便的方法-（二）拉普拉斯變換法常系數線性微分方程（組）還可以應用拉普拉斯變換法進行求解，山積分：F（$）=『嚴7?⑴山所謂復數法求解。所定義的確定與復平面（Res>b）上的復變數$的函數FG）,稱為函數/⑴的拉普拉斯變換，其中/（f）于f>0有定義，且滿足不等武：/⑴<M?6,這里M,<7為某兩個正常數。§4.3高階方程的降階和幕級數解法43.1可降階的一些方程類型”階微分方程一般地可寫為:共有三類特殊方程的降階問題:1）方程不顯含未知函數I或更一般地，設方程不含X,玖…■兀即方程呈形狀:(4.11)若令/“）=廠即可求出方程（4.11）的通解。2）不顯含自變量f的方程:(4.12)只需令V=y.并以它為新未知函數，而視X為新自變量，則方程就可降低一階。3）齊線性方程:/、dx,、C+…+%]")防+"”(f)x=0(4.2)43.2二階線性方程的幕級數解法考慮二階齊線性方程:竽+PW考慮二階齊線性方程:竽+PW字+＜心)嚴0dx' dx(4.13)及初始條件）仇）=兒及=>0的悄況。定理10若方程（4.13）中系數p（x）和9（x）都能展開成X的幕級數，且收斂區間為x<R，則方程（4.13）有形如：y=有形如：y=的特解，也以I“■0x<R為級數的收斂區間。定理11若方程（4?⑶中系數"（X）,q（x）具有這樣的性質，即刃心）和Fq⑴均能展成X的幕級數，且收斂區間為\x\<R.則方程（4?13）有形如：y=/I-0即：y= 嚴"的特解，這里5嚴°，◎是一個待定的常數。級數（4.14）也以為收斂區間。n-u第五章線性微分方程組§5.1存在唯一性定理(5J)(5J)5丄1記號和定義X；=如(Z)X,+“12⑴吃+?■?+?)?⑴兀+fi⑴X；=d2i(f)X|+“220)X2+???+d2”(')Xn+/2(')X=（5（如+%（“+???+?”）￡+/；（0的一階線性微分方程組，其中已知函數呦⑴（m=12…和/；（M=12…/）在區間a<t<h上上是連續的。方程組（5.1）關于再宀?…心及珀X；,…衛是線性的.如(f)?12(0-? ?In(0勾⑴如(f)--吆(f)訕）晞⑴??%(f)?A{t)=(5,2)這里A（0是"X"矩陣，它的元素是"2個函數嗎⑴（jj=h2,???/）?川）??x=%2???jv'=X;??ax_f(f)=(53)這里TV）,%，*是沁1矩陣或《維列向量。方程組:“必）x+/a）(5.4)在某區間a<t<p（這里[z0]uS上]）的解就是向量嗆），它的導數"‘⑴在區間a<t<p上連續且滿足h\z)= +/(/)?a<t<p初值問題(5.5)的解就是方程組（54）在包含G的區間a<t<p上的解“（0，使得“仏）=〃。5丄2存在唯一性定理V=A(Z)x+/(0，x(Zo)=//(5.6)的解的存在唯一性定理。對于矩陣A=[_a..和"維向量欠=初,我們定義它的范數為IMI=Zw=zwr-l設人設人B是HX?矩陣，天， y是"維向量，這時容易驗證下面兩個性質:命題命題4 0(f)是積分方程(5.8)的定義在區間a<t<h\\的連續解。1)||AB||<||A|P||B|| ||Av||<||A||-||Aj|2)||A+B||<||A||+||B|| ||x+y||<||%||+||y向量序列｛忑｝, =,稱為收斂的，如果對每一個妝=12…丿)數列仇｝都是收斂的。E」判別通常的函數級數的一致收斂性的維氏判別法對于向量函數級數也是成立的，這就是說，如果k(f)||w，a<t<h而級數是收斂的，則￡兀*⑴在區間a<t<b上是一致收斂的。Jt-1 2積分號下取極限的定理對于向量函數也成立，這就是說，如果連續向量函數序列｛無⑴｝在區間a<t<b上是一致收斂的，則limf=flimx*(r)dfA—>00 上TOO定理1(存在唯一性定理)如果4(/)是Fix"矩陣。/⑴是"維列向量，它們都在區間a<t<h上連續，則對于區間a<t<b上的任何數r。及任一常數向量方程組(5.7)存在唯一解0(0,定義于整個區間a<t<bh.且滿足初始條件0仏)=力類似于第三章，我們分成五個小命題來證明.命題1設0(0是方程組(5.4)的定義與區間a<t<hh且滿足初始條件0(厶)=〃的解，則0(0是積分方程%(/)=Z7+J[A($)x($)+/($)M,a<t<b的定義于a<t<h上的連續解，反之亦然。命題2對于所有的正整數k,向量函數在區間a<t<b上有定義且連續。(5.8)命題3向量函數序列倫(/)｝在區間a<t<hh是一致收斂的。(5.9)(5.9)命題5設肖⑴是積分方程(5,8)的定義于n<Z<Z?±的一個連續解，則似f)三0(0(a<t<h)o§5.2線性微分方程組的一般理論現在討論線性微分方程組y=/i(/)x+/(o的一般理論，主要是研究它的解的結構問題。如果/⑴X0,則(5.9)稱為非齊線性的。如果/(f)三0,則方程的形式為y=A(t)x(5.10)稱(5.10)為齊線性方程組，通常(5.10)稱為對應于(5.9)的齊線性方程組。5.2.1齊線性微分方程組定理2(疊加原理)如果“(0和叩)是(5.10)的解，則它們的線性組合如(f)+0”(f)也是(5.10)的解,這里a,0是任意常數。定理3如果向量函數內⑴宀⑴，…心⑴在區間a<t<b上線性相關，則它們的伏朗斯基行列式W(f)三0,a<t<ha定理4如果(5.10)的解申小和小…心⑴線性無關9那么，它們的伏朗斯基行列式Wa)H0,a<t<b.定理5<5-10)一定存在八個線性無關的解年"大2(0,…心(f)?定理6如果召(0,2⑴?…，兀⑴是(5?10)的"個線性無關的解，則(5」0)的任一解班0均可表為x(F)=時⑴+牡(0+…+q兀(r)這里wg是相應的確定常數。定理1* (5.15)一定存在一個基解矩陣①⑴。如果肖⑴是(5.15)的任一解，那么0(r)=e(r)c(5.22)這里C是確定的"維常數列向量。定理2*(5.15)的一個解矩陣①⑴是基解矩陣的充要條件是det0(/)^0(?</</?)o而且，如果對某一個foe[tz7?]，de2(f0)HO,則det<!>(/)5^=0?a<t<bo(det<!>(/)表示矩陣e⑴的行列式)。要注意：行列式恒等于零的矩陣的列向量未必是線性相關的。推論1*如果e(f)是(5.10)在區間a<t<h上的基解矩陣，C是非奇異HX"常數矩陣，那么，e(r)C也是(5?10)在區間a<t<h上的基解矩陣。推論2*如果①⑴，肖(f)在區間a<t<b上是y=A(t}x的兩個基解矩陣，那么，存在一個非奇異”><“常數矩陣C,使得在區間“</</?上必)三①(r)C°(5,11)(5,11)522非齊線性微分方程組本段討論非齊線性微分方程組性質1如果0（0是（5.11）的解，肖⑴是（5?11）對應的齊線性方程組（5.10）的解，則仇f）+0（f）是（5.11）的解。性質2如果諷0和0（f）是（5.11）的兩個解，則丙）-?（0是（5.10）的解。定理7設①⑴是（5.10）的基解矩陣，0（f）是（5.11）的某一解，則（5.14）的任一解0（0都可表為0a）=e（f）c+0（r）(5J2)這里（?是確定的常數列向量。0(0=e(f)c+0(f)常數變易法:山定理嚴可知，如果C?是常數列向量，則兇）=e（/）c是（5.11）的解，它不可能是（5.10）的解。因此,將C變易為f的向量函數，而試圖尋求（5.10）的形如(5.13)的解。這里褲0是待定的向量函數。假設（5.14）存在形如（5.24）的解，這時，將（5.24）代入（5.14）得到es（f）+ea）“）=?）①（少⑴+“）因為e⑴是（5?15）的基解矩陣，所以e'a）=4⑴①⑴，山此上式中含有人⑴①⑴「⑴的項消去了。因而比）必須滿足關系式e（f）c（o=/（f）(5.14)因為在區間a<f<h±^（t）是非奇異的，所以①5）存在。用①“⑴左乘（5?14）兩邊，得到c(f)=J；^~\s)f(s)ds,Zo,；€[?,/?]其中c（z?）=0o這樣，（5.13）變為僅f)=◎(『)[①7($)/($)〃$,bf已[0上(5.15)因此，如果（5.10）有一個形如（5?13）的解0（f）,則X）山公