《點到直線的距離》教學設計新人教版高二第二冊（上）第七章第三節第4小節浮山中學數學組李善飛【教材分析】.教材的地位和作用“點到直線的距離”是高中課本第二冊（上冊）第七章第三節“直線”的最后一節，其主要內容是：點到直線的距離公式的推導及應用。在此之前，學生已經學習了兩點間的距離公式、定比分點公式、直線方程、兩直線的位置關系，同時也學習了用代數方程研究曲線性質的“以數論形，數形結合”的數學思想方法。在這個基礎上，教材在第一章的最后安排了這一節。點到直線的距離公式是解決理論和實際問題的重要工具，它使學生對點與直線的位置關系的認識從定性的認識上升到定量的認識。點到直線的距離公式可用于研究曲線的性質如求兩條平行線間的距離，求三角形的高，求圓心到直線的距離等等，借助它也可以求點的軌跡方程，如角平分線的方程，拋物線的方程等等。.教材的內容安排和處理教參安排“點到直線的距離”這部分內容的授課時間為2個課時。第一課時：側重于公式的推導及記憶。第二課時：側重于公式的應用。本節為第一課時。【教學目的】1、知識目標：掌握點到直線距離的公式的推導及其運用；2、能力目標：培養學生觀察、思考、分析、歸納等數學能力，數形結合、轉化（或化歸）、等數學思想、特殊與一般的方法以及數學應用意識與能力；3、德育目標：引導學生用聯系與轉化的觀點看問題，了解和感受探索問題的方式方法，在探索問題的過程中獲得成功的體驗。【教學重點】公式的推導及其結論以及簡單的應用。【教學難點】發現點到直線距離公式的推導方法。【教學方法】啟導法、討論法。【教學過程】一、創設情景給出定義師：同學們到學校要到公路上乘車，怎么走到村邊的公路上，才使所走的路最短？生：垂直于公路走最短。［板書］點到直線的距離二、提出問題初探思路“求點P（-1,2）到直線l：2x+y-10=0的距離。”提問學生解題思路，估計學生的思路：先求過點的1的垂線11的方程；再聯立l、l,求垂足Q,最后用兩點間距離公式求Pq|。［使學生鞏固已學過的知識和方法，同

時也為問題二的解決作鋪墊。］三、自主探索推導公式已知點P（x0，y0）,直線l：Ax+By+C=0,求點P到直線l的距離.怎樣求點到直線距離呢？學生思考，做垂線找垂足Q，求線段PQ的長度.怎樣用點的坐標和直線方程求和表示點到直線距離呢？教師提示在解決問題時先可以考慮特殊情況，再考慮一般情況.學生提出平行于x軸和y軸的特殊情況.學生解決.板書:l:By+C=0,|PQ|=卜0-yl:Ax+C=0,|PQ|=|x-x當AB中0時，如何求p^Q|?學生思考回答下列想法：思路一：［學生類比問題一，容易有思路］過P作0—

|A|P(x0,y0)PQ11于0—

|A|P(x0,y0)由PQ與l聯立方程組解得Q點坐標，然后利用兩 \點距離公式求得.教師繼續提出問題：（1）求線段長度可以構造圖形嗎？（2）什么圖形？如何構造？⑶第三個頂點在什么位置？ （4）特殊情況與一般情況有聯系嗎？學生探討得到：構造三角形，把線段放在直角三角形中. 鳥1項）［老師引導學生觀察圖形，抓住直角特征，構造以垂線段為一直角邊的直角三 \角形。］思路二:過P點做x,y軸的平行線與直線l的交點R、S.在直角△PQR,或直角△PQS中，求邊長與角（角與直線傾斜角有關，但分情況），用余弦值.思路三：在直角△PRS中，求線段PR、PS、RS,利用等面積法（不涉及角和分情況），求得線段PQ長.學生分組練習，教師巡視，根據學生情況演示探索過程.（思路一）解：直線PQ:=OQ-x)Qwx),§PBx-Ay=Bx-Ay

Aoo ooBx-Ay=Bx-Ay*ooAx+By+C=OB2x-ABy-ACX= 9 9 Q 4+和（思路一）解：直線PQ:=OQ-x)Qwx),§PBx-Ay=Bx-Ay

Aoo ooBx-Ay=Bx-Ay*ooAx+By+C=OB2x-ABy-ACX= 9 9 Q 4+和B2X-ABy-AC-A^x一B?xx—x= e e e e-Q0 M+B2—A(^Ax+By+C)

0 0

M+B?_B( \Ax+By+Cy-y——vx—x)=—B—o--q e0Ao A2+B21A2+B2Ax+By+c\=0 0IAx+By+C\——Q- 0._L7A2+B2（思路二）解：在RtAPSQ中，已知IPSI、0,要求帆q|,只需求cos。。而已知/的方程，就知道tga（當B關0時，tga=—2）,也就知道tg0,也B就知道sec0，就可以求出cos0；*.*0<90°,AJl+tg2。'A2YA2+B2

\!+B?在RtAPSQ中，已知|PS|,cosZQPS即COS0，則IPQI=IPSIcos。IAx+By+C

0 Q IB|IBX-1JA2+B2VA2+B2（思路三）解：設兒。，八），。\,/我\），火工）Ax+By+C=0,x=_色+。

R0 R A4n?? A.x+CAx+By+C=0?y=——o 0s sb因尸|=-xI

i)RAx+By+C——0 0 AAx+By+C

——00BRS\由I尸妹皮|=|pr|-ps|,pel=RS\而RS|=.f|Rp|2+1Psl2=代十小°7A^A^x+By+C? =-__°———0 AA2+B2lABl???pel=1Ax02B02CAA2+B2教師又提出：點到直線的距離是點與直線上的點距離的最小值嗎？那么能不能用不等式的知識解決呢？思路四：使用柯西不等式（師生共同）解：（A2+B2）[（x-x）2+（y-y）2]>[A（x一x）+B（y一y）]2TOC\o"1-5"\h\z0 0 0 0\o"CurrentDocument"=[(Ax+By)-(Ax+By)]2=[(Ax+By+C)-(Ax+By+C)]200 00=(Ax+By+C)2 ( Ax+By+C=0)0 0兩邊開方后可得：\：,(x-x)2+(y-y)2>1Ax0+By0+C^0 0 v1A2+B2問：等號什么時候成立呢?x一xy一y y-yB答：當 a=二甘即2―=:時等號成立。AB x一xA0教師繼續引導學生思考，不構造三角形可以求嗎？（在前面學習的向量知識中，有向量的模.由于在證明兩直線垂直時已經用到向量知識，且也提出過直線的法向量的概念.）能否用向量知識求解呢？思路五：已知直線/的法向量n，則PQ=九n,元=?九in，如何選取法向量？直線的方向向量fl,-A]，則法向量為fl,B],或（A,B），或其IB） IA）它.由師生一起分析得出取n=（A,B）.教師板演：PQ=1一x,y一y),九n=6A,九B)

yQ｛一.yQxxTQ0Ax0+By0+CA2+B2yQ—y0Ax0+By0+CA2+B2A（x+九A）+B（y+九B）+C—0,解得.?.九??.「QI—k|口―1Ax0+B0+C以F——0+B0+CA2+B2 AA2+B2教師評析：向量是新教材內容，是一種很好的數學工具，和解析幾何結合應用是現在新教材知識的交匯點.而且上述方法在今后解析幾何與向量結合的題目中，用坐標聯系轉化是常用方法.四、掌握公式學會應用例1：求點P0（—1,2）到下列直線的距離：①3x=2 ②5y=3 ③2x+y=10 ④y=-4x+1例2：點（4,m）到直線4x-3y-1=0的距離為3,求m。師生共同總結出公式的結構特征、公式的適用范圍、使用公式時應注意的問題等等，即如下幾點：.公式的結構特征：分子是將點的坐標代入直線方程一般式的左邊得到的代數式加絕對值，分母是<A2+B2。.公式的適用范圍：①該公式對于任何位置的點P（包括直線上的點）及任意直線都適合。②當A=0或B=0時，公式仍成立，計算時常用圖形直接求解也可套用公式。.使用公式時應注意的問題：使用點到直線距離的公式時，應先將直線方程化為一般式。.用方程的觀點理解公式：該公式是含有6個量的方程，知道其中5個量可以求第6個量。五、學生小結教師點評①知識：點到直線的距離的公式推導以及應用.②數學思想方法：類比、轉化（或化歸）、數形結合、特殊與一般的方法.六、課外練習鞏固提高①課本習題7.3的第13題----14題；②總結寫出推導點到直線距離公式的多種方法.七、課后思《點到直線的距離》教學設計說明一、教材分析我主要從三方面：教材的地位和作用、教學目標分析、教學重點和難點來說明的.教學目標包括：知識、能力、德育等方面的內容.我確定教學目標的依據有教學大綱、考試大綱的要求、新教材的特點、所教學生的實際情況.二、教學方法1、指導思想：“以生為本”的理念，在課堂中充分體現“教師為主導，學生為主體”.“授人以魚，不如授人以漁。”我體會到，必須在傳授知識給學生的同時，教給他們好的學習方法，就是讓他們“會學習”。2、教學方法：啟導法、討論法.啟導法屬于啟發式教學，它符合辯證唯物主義內因和外因相互作用的觀點，符合教學論中的自覺性、積極性、鞏固性、可接受性，教學與發展相結合，教師的主導作用與學生的主體地位相統一等原則。啟導法的關鍵是通過教學中的引導、啟發、充分調動學生學習的主動性。在教學中，我采用啟導法，引導學生探索公式推導的思路并完成公式推導，培養學生思維的靈活性、嚴密性、批判性等，滲透數學思想。三、教學過程這節課在：“創設情景提出問題——提出問題初探思路——自主探索推導公式一一掌握公式學會應用一一學生小結教師點評一一課外練習鞏固提高”六個環節中，始終以學生為本.教師主導，學生自主探究，將問題解決.首先提出學生自己親歷的問題，引發學生的學習的興趣和求知欲望，從而引出數學問題.通過一系列問題引導學生通過圖形觀察，進而思考、分析、歸納總結選擇較好的方法具體實施.學生分組練習，落實計算能力，培養合作學習能力.關于思路五，在課本中沒有出現這樣的證法，我在課堂上選取這樣的證法.主要是考慮到：向量是新教材內容，是一種很好的數學工具，和解析幾何結合應用是現在新教材知識的交匯點.而且上述方法在今后解析幾何與向量結合的題目中，用坐標聯系轉化是常用方法，這樣思路五的給出不僅符合新教材的要求，也為今后的學習方法奠定了基礎.我選擇練習目的：熟悉公式結構，記憶并簡單應用公式，主要通過學生口答完成.我強調注意在公式中直線方程的一般式.例1的選取來自課本，但是課本只有一種特殊點的解法.我把本例題進行挖掘，引導學生多角度考慮問題.例2是公式的逆應用。在整個過程中讓學生注意體會解題方法中的靈活性.在整節課的處理中，采取了知識、方法來源于課本，挖掘其深度、廣度，符合現代教學要求.四、教學評價學生在學習點到直線的距離公式時，經常會出現以下兩個問題：.使用公式時，未將直線方程寫成一般式，隨意改寫方程；.遇到A=0或B=0的情形，不會套公式或用數形結合沒有加絕對值算出的結果是負的；課堂上，老師可以通過巡堂，或提問等方式來發現學生的錯誤，而采取直接講解，或采取實物投影學生的錯誤解答，組織學生集體討論，并