高考專題訓練(八)平面向量級——基礎牢固組一、選擇題1．已知向量→→→→→OA＝(3，－4)，OB＝(6，－3)，OC＝(2m，m＋1)．若AB∥OC，則實數m的值為()1A．－3B．－733C．－5D.5剖析→→→→→AB＝OB－OA＝(3,1)，因為AB∥OC，因此3(m＋1)－2m＝0，解得m＝－3.答案A2．已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，則a與b的夾角為()ππA.6B.3π2πC.2D.3剖析由(a＋2b)·(a－b)＝|a|2＋a·b－2|b|2＝－2，得a·b＝2，即|a||b|cos〈a，b〉＝2，cos〈a，b〉＝1π2.故〈a，b〉＝.3答案B3．(2014四·川卷)平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c與a的夾角等于c與b的夾角，則m＝()A．－2B．－1C．1D．2剖析∵a＝(1,2)，b＝(4,2)，∴c＝m(1,2)＋(4,2)＝(m＋4,2m＋2)．又∵c與a的夾角等于c與b的夾角，∴cos〈c，a〉＝cos〈c，b〉．∴c·a＝c·b5m＋8＝8m＋20，解得m＝|c||a||c||b|.即5|c|25|c|2.答案D4．(2014全·國大綱卷)若向量a，b滿足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，則|b|＝()A．2B.22C．1D.2剖析∵(a＋b)⊥a，|a|＝1，∴(a＋b)·a＝0，∴|a|2＋a·b＝0，∴a·b＝－1.又∵(2a＋b)⊥b，∴(2a＋b)·b＝0.2a·b＋|b|2＝0.∴|b|2＝2.|b|＝2，選B.答案

B5．設△

ABC

的三個內角為

A，B，C，向量

m＝(3sinA，sinB)，n＝(cosB，

3cosA)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，則

C＝(

)π

πA.6

B.32πC.3

5πD.6剖析

依題意得

3sinAcosB＋

3cosAsinB＝1＋cos(A＋B)，3sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)，3sinC＋cosC＝1，ππ1ππ7π2sinC＋6＝1，sinC＋6＝2.又6<C＋6<6，π5π2π因此C＋＝，C＝，選C.663答案C→→→→→→→→1→6．在平面上，AB1⊥AB2，|OB1|＝|OB2|＝1，AP＝AB1＋AB2.若|OP|<2，則|OA|的取值范圍是()A.5B.5，70，2225D.7C.2，22，2剖析由題意得點B1，B2在以O為圓心，半徑為1的圓上，點P在以O為圓心半徑為1→→→→→P與O點重2的圓內，又AB1⊥AB2，AP＝AB1＋AB2，因此點A在以B1B2為直徑的圓上，當→1→7→7.合時，|OA|最大為2，當P在半徑為2的圓周上，|OA|最小為，22.∵P在圓內，∴|OA|∈2答案D二、填空題7．(2014·京卷北)已知向量a，b滿足|a|＝1，b＝(2,1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，則|λ|＝________.剖析|b|＝22＋12＝5，由λa＋b＝0，得b＝－λa，故|b|＝|－λa|＝|λ||a|，因此|λ|＝|b|＝5＝5.|a|1答案5→→→→→1→8．如圖，在△ABC中，BO為邊AC上的中線，BG＝2GO，若CD∥AG，且AD＝5AB＋→λAC(λ∈R)，則λ的值為________．剖析→→→→→→→1→→因為CD∥AG，因此存在實數k，使得CD＝kAG.CD＝AD－AC＝AB＋(λ－1)AC，5又由BO是△ABC的邊→→→1→AC上的中線，BG＝2GO，得點G為△ABC的重心，因此AG＝(AB31k→1→→k→→5＝3，解得λ＋AC)，因此AB＋(λ－1)AC＝(AB＋AC)，由平面向量基本定理可得k53λ－1＝3，＝6.5答案65→→→→與△ABC的面積9．在△ABC所在的平面上有一點P滿足PA＋PB＋PC＝AB，則△PBC之比是________．剖析→→→→→→→→→→因為PA＋PB＋PC＝AB，因此PA＋PB＋PC＋BA＝0，即PC＝2AP，因此點P是S△PBCPC2CA邊上湊近A點的一個三均分點，故＝＝.S△ABCAC3答案

23三、解答題→→10．已知向量AB＝(3,1)，AC＝(－1，a)，a∈R.→(1)若D為BC中點，AD＝(m,2)，求a，m的值；(2)若△ABC是直角三角形，求a的值．→→解(1)因為AB＝(3,1)，AC＝(－1，a)，→1→→1＋a.因此AD＝(AB＋AC)＝1，22→m＝1，a＝3，又AD＝(m,2)，因此1＋a＝2×2，解得m＝1.(2)因為△ABC是直角三角形，因此A＝90°或B＝90°或C＝90°.→→當A＝90°時，由AB⊥AC，得3×(－1)＋1·a＝0，因此a＝3；當B＝90°時，因為→→→BC＝AC－AB＝(－4，a－1)，→→因此由AB⊥BC，得3×(－4)＋1·(a－1)＝0，因此a＝13；→→當C＝90°時，由BC⊥AC，得－1×(－4)＋a·(a－1)＝0，即a2－a＋4＝0，因為a∈R，因此無解．綜上所述，a＝3或a＝13.→→11．在△ABC中，已知2AB·AC＝3|AB|解設BC＝a，AC＝b，AB＝c.由→→→→2AB·AC＝3|AB|·|AC|，得2bccosA＝

→→2，求角A、B、C的大小．|AC·|＝3BC3bc，因此cosA＝23.π又A∈(0，π)，因此A＝6.→→→2，得cb＝2由3|AB||AC·|＝3BC3a.于是sinC·sinB＝3sin2＝3A4.5π3因此sinC·sin－C＝4.6133，sinC·2cosC＋2sinC＝4因此2sinC·cosC＋23sin2C＝3，sin2C－3cos2C＝0，π即2sin2C－3＝0.π5π由A＝6知0<C<6，因此－ππ4π3<2C－<3，3ππ從而2C－3＝0，或2C－3＝π，π2π即C＝或C＝，63π2ππππ2π故A＝，B＝，C＝，或A＝，B＝，C＝3.63666級——能力提高組1.已知正三角形ABC的邊長為→1，點P是AB邊上的動點，點Q是AC邊上的動點，且AP→→→→→)＝λAB，AQ＝(1－λ)AC，λ∈R，則BQ·CP的最大值為(33A.2B．－233C.8D．－8剖析→→→→→→→→→→→→→如圖，BQ·CP＝(BA＋AQ)·(CA＋AP)＝[BA＋(1－λ)AC]·(CA＋λAB)＝AB·AC－λAB2→2→→21＝－1λ－123，0≤λ≤1，因此－(1－λ)AC＋λ(1－λ)AB·AC＝(λ－λ＋1)×cos60°－λ＋λ－2－281→→3，選D.當λ＝時，BQ·CP的最大值為－82答案D2．(2014安·徽卷)已知兩個不相等的非零向量a，b，兩組向量x1，x2，x3，x4，x5和y1，y2，y3，y4，y5均由2個a和3個b排列而成．記S＝x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4＋x5·y5，Smin表示S所有可能取值中的最小值．則以下命題正確的選項是________(寫出所有正確命題的編號)．①S有5個不同樣的值；②若a⊥b，則Smin與|a|沒關；③若a∥b，則Smin與|b|沒關；④若|b|>4|a|，則Smin>0；⑤若|b|＝2|a|，Smin＝8|a|2，則a與b的夾角為π4.剖析對于①，若a，b有0組對應乘積，則S1＝2a2＋3b2，若a，b有2組對應乘積，則S2＝a2＋2b2＋2a·b，若a，b有4組對應乘積，則S3＝b2＋4a·b，因此S最多有3個不同樣的值，①錯誤；因為a，b是不等向量，因此S1－S3＝2a2＋2b2－4a·b＝2(a－b)2>0，S1－S2＝a2＋b2－2a·b＝(a－b)22－S3＝(a－b)2321，故Smin＝S3＝b2＋4a·b，對>0，S>0，因此S<S<S于②，當a⊥b時，Smin＝b2與|a|沒關，②正確；對于③，顯然Smin與|b|有關，③錯誤；對于④，設a，b的夾角為θ，則Smin＝b2＋4a·b>16|a|2＋16|a|2cosθ＝16|a|2(1＋cosθ)≥0，故Smin>0，④正確；對于⑤，|b|＝2|a|，Smin＝4|a|2＋8|a|2cosθ＝8|a|2，因此cosθ＝12，又θ∈[0，π]，因此πθ＝3，⑤錯誤．因此正確命題是②④.答案②④3．已知向量m＝xx2x.3sin，1，n＝cos，cos4442π(1)若m·n＝1，求cos3－x的值；(2)記f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足(2a－c)cosB＝bcosC，求函數f(A)的取值范圍．解(1)m·n＝3sinxx2x4cos＋cos44＝3x1x1x＋π12sin＋2·cos＋＝sin6＋.22222xπ1又∵m·n＝1，∴sin2＋6＝2.π＝1－2sin2x＋π＝1，cosx＋32622ππ1cos3－x＝－cosx＋3＝－2.(2)∵(2a－c)cosB＝bcosC，由正弦定理得(2sinA－sinC)cosB＝sinBc