中考數學

（福建專用）§2.2分式方程中考數學

（福建專用）§2.2分式方程12016—2020年全國中考題組考點一分式方程及其解法1.(2019四川成都,7,3分)分式方程

+

=1的解為

()A.x=-1

B.x=1C.x=2

D.x=-2答案

A原方程去分母得x(x-5)+2(x-1)=x(x-1),解得x=-1,檢驗:當x=-1時,x(x-1)≠0,所以x=-1是原分式方

程的解,故選A.2016—2020年全國中考題組考點一分式方程及其解法1.22.(2020內蒙古呼和浩特,13,3分)分式

與

的最簡公分母是

,方程

-

=1的解是

.答案

x(x-2);x=-4解析∵x2-2x=x(x-2),∴兩個分式的最簡公分母是x(x-2).

-

=1,去分母得2x2-8=x2-2x,整理得x2+2x-8=0,解得x=-4或x=2,經檢驗,x=-4是原方程的解,x=2是原方程的增根.∴原方程的解為x=-4.2.(2020內蒙古呼和浩特,13,3分)分式?與?的最簡公33.(2019黑龍江齊齊哈爾,14,3分)關于x的分式方程

-

=3的解為非負數,則a的取值范圍為

.答案

a≤4且a≠3解析方程兩邊同乘(x-1),得2x-a+1=3(x-1),解得x=4-a,由題意得x≥0且x≠1,∴

解得a≤4且a≠3.思路分析先解關于x的分式方程,求得x的值,再依據“解為非負數,分母不為0”建立不等式組求a的取

值范圍.3.(2019黑龍江齊齊哈爾,14,3分)關于x的分式方程?44.(2016寧德,13,4分)方程

=

的解是

.答案

x=1解析去分母得,1+x=2x,移項、合并同類項得,x=1,檢驗:把x=1代入2x(x+1),得2×2=4≠0,∴x=1是原方程的解.4.(2016寧德,13,4分)方程?=?的解是

5x+x-x=-2+3,③(2017四川成都,9,3分)已知x=3是分式方程?-?=2的解,那么實數k的值為?()答案

A甲船航行的速度為(x+6)km/h,航行180km用時?h,乙船航行的速度為(x-6)km/h,航行了(1)當m+1=0,即m=-1時,5m-1≠0,方程①無解;檢驗:當x=2時,x(x-1)=2≠0,?(7分)(2016莆田,22,8分)甲車從A地駛往B地,同時乙車從B地駛往A地,兩車相向而行,勻速行駛,甲車距B地的

距離y(km)與行駛時間x(h)之間的函數關系如圖所示,乙車的速度是60km/h.去括號,移項,合并同類項,得(m+1)x=5m-1①,整理得x2+2x-8=0,解得x=-4或x=2,180km時與從B地逆流航行的乙船相遇,水流的速度為6km/h,若甲、乙兩船在靜水中的速度均為xkm/h,系數化為1,得x=1,答案

A原方程去分母得x(x-5)+2(x-1)=x(x-1),解得x=-1,檢驗:當x=-1時,x(x-1)≠0,所以x=-1是原分式方

程的解,故選A.(1)求甲、乙兩種樹苗每棵的價格各是多少元;解析方程兩邊同乘x(x-1)得x2-2(x-1)=x(x-1),?(4分)答案

D將“籃球單價比足球單價貴16元”作為等量關系,則方程左邊的?表示足球的單價,右邊解析去分母,得x+4+m(x-4)=m+3,選慶慶所列的方程(選第二個方程),冰冰:?=?慶慶:?-?=20∴x=1是原方程的解.(2)在實際幫扶中,他們決定再次購買甲、乙兩種樹苗共50棵.甲隊修路400米與乙隊修路600米所用時間相等.5.(2018黑龍江齊齊哈爾,14,3分)若關于x的方程

+

=

無解,則m的值為

.答案-1或5或-

解析去分母,得x+4+m(x-4)=m+3,去括號,移項,合并同類項,得(m+1)x=5m-1①,因為分式方程無解,所以分下面三種情況:(1)當m+1=0,即m=-1時,5m-1≠0,方程①無解;(2)當x=4時,解方程①得m=5;(3)當x=-4時,解方程①得m=-

.綜上,m的值為-1或5或-

.x+x-x=-2+3,③5.(2018黑龍江齊齊哈爾,1466.(2020陜西,16,5分)解分式方程:

-

=1.解析由原方程,得(x-2)2-3x=x(x-2).?(2分)x2-4x+4-3x=x2-2x.-5x=-4.x=

.

(4分)經檢驗,x=

是原方程的根.

(5分)易錯警示解分式方程一定要檢驗.可將整式方程的根代入最簡公分母進行檢驗,也可代入各分母進行

檢驗.6.(2020陜西,16,5分)解分式方程:?-?=1.解析77.(2016南平,18,8分)解分式方程:

=

.解析去分母,得3(1+x)=4x,?(3分)去括號,得3+3x=4x,?(4分)移項,得3x-4x=-3,?(5分)合并同類項,得-x=-3,?(6分)系數化為1,得x=3,?(7分)檢驗:當x=3時,x(x+1)≠0,∴原分式方程的解為x=3.(8分)7.(2016南平,18,8分)解分式方程:?=?.解析去88.(2016三明,18,8分)解方程:

=1-

.解析方程兩邊同乘(x-2),得1-x=x-2-3,解得x=3.檢驗:當x=3時,x-2≠0,故原分式方程的解是x=3.8.(2016三明,18,8分)解方程:?=1-?.解析方9考點二分式方程的應用1.(2020福建,8,4分)我國古代著作《四元玉鑒》記載“買椽多少”問題:“六貫二百一十錢,倩人去買幾

株椽.每株腳錢三文足,無錢準與一株椽.”其大意為:現請人代買一批椽,這批椽的價錢為6210文.如果每

株椽的運費是3文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢,試問6210文能買多少株

椽?設這批椽的數量為x株,則符合題意的方程是?()A.3(x-1)=

B.

=3C.3x-1=

D.

=3答案

A根據題意可列出方程

=3(x-1).故選A.考點二分式方程的應用1.(2020福建,8,4分)我102.(2018云南昆明,13,4分)甲、乙兩船從相距300km的A,B兩地同時出發相向而行,甲船從A地順流航行180km時與從B地逆流航行的乙船相遇,水流的速度為6km/h,若甲、乙兩船在靜水中的速度均為xkm/h,則可列方程為?()A.

=

B.

=

C.

=

D.

=

答案

A甲船航行的速度為(x+6)km/h,航行180km用時

h,乙船航行的速度為(x-6)km/h,航行了300-180=120km,用時

h,易知,兩船航行時間相同,故可列方程為

=

,故選A.2.(2018云南昆明,13,4分)甲、乙兩船從相距300113.(2017新疆烏魯木齊,7,4分)2017年,在創建文明城市的進程中,烏魯木齊市為美化城市環境,計劃種植樹

木30萬棵,由于志愿者的加入,實際每天植樹比原計劃多20%,結果提前5天完成任務,設原計劃每天植樹x

萬棵,可列方程是?()A.

-

=5

B.

-

=5C.

+5=

D.

-

=5答案

A原計劃每天植樹x萬棵,則實際每天植樹(1+20%)x萬棵,根據“實際比原計劃提前5天完成”可列方程:

-

=5,故選A.3.(2017新疆烏魯木齊,7,4分)2017年,在創建文明12解析(1)設今年產品甲每件售價為x元,?(1分)-?=5

B.(2016四川南充,6,3分)某次列車平均提速20km/h.(2)當x=4時,解方程①得m=5;經檢驗,x=300是原分式方程的解,且符合題意.合題意,故a的值是75.(2016莆田,22,8分)甲車從A地駛往B地,同時乙車從B地駛往A地,兩車相向而行,勻速行駛,甲車距B地的

距離y(km)與行駛時間x(h)之間的函數關系如圖所示,乙車的速度是60km/h.經檢驗,x=300是原分式方程的解,且符合題意.去括號,移項,合并同類項,得(m+1)x=5m-1①,經檢驗,x=30是原方程的解且符合題意,(2020吉林,17,5分)甲、乙二人做某種機械零件.所以,x=1是原分式方程的解.去括號,移項,合并同類項,得(m+1)x=5m-1①,甲隊修路400米與乙隊修路600米所用時間相等.答案

x(x-2);x=-4易錯警示此類問題容易出錯的地方是不能從題目中找出等量關系,不能建立方程.檢驗:當x=1時,x-2≠0,答案

A提速前列車的平均速度為xkm/h,則提速后列車的平均速度為(x+20)km/h,提速前行駛400km

需要?h,提速后行駛(400+100)km需要?h,根據時間相等可得?=?,故選A.3x-1=?

D.設原計劃每小時植樹x棵,依據題意,可列方程為?()4.(2020吉林,17,5分)甲、乙二人做某種機械零件.已知甲每小時比乙多做6個,甲做90個所用的時間與乙

做60個所用的時間相等.求乙每小時做零件的個數.解析設乙每小時做x個零件.?(1分)根據題意,得

=

.

(3分)解得x=12.?(4分)檢驗:當x=12時,x(x+6)≠0,所以,原分式方程的解為x=12.答:乙每小時做12個零件.?(5分)思路分析設乙每小時做x個零件,則甲每小時做(x+6)個零件,根據“時間=總工作量÷工作效率”和

“甲做90個所用的時間與乙做60個所用的時間相等”即可得出關于x的分式方程,解之并檢驗后得解.解析(1)設今年產品甲每件售價為x元,?(1分)4.(20135.(2016莆田,22,8分)甲車從A地駛往B地,同時乙車從B地駛往A地,兩車相向而行,勻速行駛,甲車距B地的

距離y(km)與行駛時間x(h)之間的函數關系如圖所示,乙車的速度是60km/h.

(1)求甲車的速度;(2)當甲乙兩車相遇后,乙車速度變為a(km/h),并保持勻速行駛,甲車速度保持不變,結果乙車比甲車晚38

分鐘到達終點,求a的值.5.(2016莆田,22,8分)甲車從A地駛往B地,同時乙車14解析(1)由圖象可得,甲車的速度為

=80km/h,故甲車的速度是80km/h.(2)相遇時間為

=2h,由題意可得

+

=

,解得a=75,經檢驗,a=75是原分式方程的解,且符合題意,故a的值是75.解析(1)由圖象可得,甲車的速度為?=80km/h,故甲156.(2018吉林,19,7分)下圖是學習分式方程應用時,老師板書的問題和兩名同學所列的方程.15.3分式方程甲、乙兩個工程隊,甲隊修路400米與乙隊修路600米所用時間相等,乙隊每天比甲隊多修20米,求甲隊每

天修路的長度.冰冰:

=

慶慶:

-

=20根據以上信息,解答下列問題.(1)冰冰同學所列方程中的x表示

,慶慶同學所列方程中的y表示

;(2)兩個方程中任選一個,寫出它的等量關系;(3)解(2)中你所選擇的方程,并回答老師提出的問題.6.(2018吉林,19,7分)下圖是學習分式方程應用時,老16解析(1)甲隊每天修路的長度;甲隊修路400米所用的天數(乙隊修路600米所用的天數).?(2分)(2)選冰冰所列的方程(選第一個方程),甲隊修路400米與乙隊修路600米所用時間相等.?(3分)選慶慶所列的方程(選第二個方程),乙隊每天修路長度與甲隊每天修路長度的差等于20米.(3分)(3)選第一個方程

=

.解方程,得x=40.?(5分)經檢驗:x=40是原分式方程的解,且符合題意.∴x=40.?(6分)答:甲隊每天修路的長度為40米.?(7分)選第二個方程

-

=20.解方程,得y=10.?(5分)經檢驗:y=10是原分式方程的解,且符合題意.∴

=40.

(6分)答:甲隊每天修路的長度為40米.?(7分)解析(1)甲隊每天修路的長度;甲隊修路400米所用的天數(177.(2019內蒙古包頭,23,10分)某出租公司有若干輛同一型號的貨車對外出租,每輛貨車的日租金實行淡

季、旺季兩種價格標準,旺季每輛貨車的日租金比淡季上漲

.據統計,淡季該公司平均每天有10輛貨車未租出,日租金總收入為1500元;旺季所有的貨車每天能全部租出,日租金總收入為4000元.(1)該出租公司這批對外出租的貨車共有多少輛?淡季每輛貨車的日租金是多少元?(2)經市場調查發現,在旺季如果每輛貨車的日租金每上漲20元,每天租出去的貨車就會減少1輛,不考慮

其他因素,每輛貨車的日租金上漲多少元時,該出租公司的日租金總收入最高?7.(2019內蒙古包頭,23,10分)某出租公司有若干輛同18解析(1)設該出租公司這批對外出租的貨車共有x輛.根據題意,得

·

=

,解得x=20.經檢驗,x=20是所列方程的解.1500÷(20-10)=150(元).答:該出租公司這批對外出租的貨車共有20輛,淡季每輛貨車的日租金是150元.?(5分)(2)設當旺季每輛貨車的日租金上漲a元時,該出租公司的日租金總收入為w元.根據題意,得w=

·

,∴w=-

a2+10a+4000,∴w=-

(a-100)2+4500.∵-

<0,∴當a=100時,w有最大值.答:當旺季每輛貨車的日租金上漲100元時,該出租公司的日租金總收入最高.?(10分)思路分析(1)以淡季和旺季貨車日租金的關系建立等量關系;(2)先根據題意列出貨車出租公司的日租

金總收入w元與旺季每輛貨車的日租金上漲a元的關系式,然后根據二次函數的性質求解.解析(1)設該出租公司這批對外出租的貨車共有x輛.思路分析19教師專用題組考點一分式方程及其解法1.(2020海南,8,3分)分式方程

=1的解是

()A.x=-1

B.x=1

C.x=5

D.x=2答案

C方程兩邊都乘(x-2)得3=x-2,解得x=5.經檢驗,x=5是原分式方程的解,故選C.教師專用題組考點一分式方程及其解法1.(2020海南,8,202.(2018四川成都,8,3分)分式方程

+

=1的解是

()A.x=1

B.x=-1

C.x=3

D.x=-3答案

A

+

=1,(x+1)(x-2)+x=x(x-2),x2-x-2+x=x2-2x,x=1,檢驗,當x=1時,x(x-2)≠0.所以x=1是原分式方程的解.故選A.2.(2018四川成都,8,3分)分式方程?+?=1的解是?213.(2017四川成都,9,3分)已知x=3是分式方程

-

=2的解,那么實數k的值為

()A.-1

B.0

C.1

D.2答案

D把x=3代入分式方程得

-

=2,解得k=2.故選D.3.(2017四川成都,9,3分)已知x=3是分式方程?-?224.(2017重慶A卷,12,4分)若數a使關于x的分式方程

+

=4的解為正數,且使關于y的不等式組

的解集為y<-2,則符合條件的所有整數a的和為

()A.10

B.12

C.14

D.164.(2017重慶A卷,12,4分)若數a使關于x的分式方程23答案

A解分式方程

+

=4得x=

.∵分式方程的解為正數,∴

>0且

≠1.∴a<6且a≠2.

解不等式①,得y<-2.解不等式②,得y≤a.∵不等式組的解集為y<-2,∴a≥-2.∴-2≤a<6且a≠2.∵a為整數,∴a=-2,-1,0,1,3,4,5,∴符合條件的所有整數a的和為10.故選A.答案

A解分式方程?+?=4得x=?.∴a=-2,-24已知乙種樹苗的價格比甲種樹苗貴10元,用480元購買乙種樹苗的棵數恰好與用360元購買

甲種樹苗的棵數相同.(2016莆田,22,8分)甲車從A地駛往B地,同時乙車從B地駛往A地,兩車相向而行,勻速行駛,甲車距B地的

距離y(km)與行駛時間x(h)之間的函數關系如圖所示,乙車的速度是60km/h.甲、乙兩個工程隊,甲隊修路400米與乙隊修路600米所用時間相等,乙隊每天比甲隊多修20米,求甲隊每

天修路的長度.(2)選冰冰所列的方程(選第一個方程),經檢驗:x=4000是原分式方程的解.∴w=-?a2+10a+4000,∴w=-?(a-100)2+4500.x-3+x=x-2,②評析本題考查分式方程的應用,根據題意正確找出等量關系是關鍵.∴兩個分式的最簡公分母是x(x-2).∴原方程的解為x=-4.選慶慶所列的方程(選第二個方程),根據“原計劃加工的天數-

實際加工的天數=5”列出方程求解.去括號,得3+3x=4x,?(4分)整理得x2+2x-8=0,解得x=-4或x=2,B組2018—2020年模擬·提升題組方案②利潤:(4000-3500)×9+(3600-3000)×6=8100元,答案

A提速前列車的平均速度為xkm/h,則提速后列車的平均速度為(x+20)km/h,提速前行駛400km

需要?h,提速后行駛(400+100)km需要?h,根據時間相等可得?=?,故選A.-?=5

B.(2016三明,18,8分)解方程:?=1-?.設剩余玩具每套的售價為y元,則5.(2018內蒙古呼和浩特,17,5分)解方程:

+1=

.解析去分母,得x-3+x-2=-3,移項、合并同類項,得2x=2,系數化為1,得x=1,檢驗:當x=1時,x-2≠0,所以,x=1是原分式方程的解.已知乙種樹苗的價格比甲種樹苗貴10元,用480元購買乙種樹苗25考點二分式方程的應用1.(2016四川南充,6,3分)某次列車平均提速20km/h.用相同的時間,列車提速前行駛400km,提速后比提速

前多行駛100km.設提速前列車的平均速度為xkm/h,下列方程正確的是?()A.

=

B.

=

C.

=

D.

=

答案

A提速前列車的平均速度為xkm/h,則提速后列車的平均速度為(x+20)km/h,提速前行駛400km

需要

h,提速后行駛(400+100)km需要

h,根據時間相等可得

=

,故選A.評析本題考查分式方程的應用,根據題意正確找出等量關系是關鍵.考點二分式方程的應用1.(2016四川南充,6,3分262.(2019吉林長春,17,6分)為建國70周年獻禮,某燈具廠計劃加工9000套彩燈.為盡快完成任務,實際每天

加工彩燈的數量是原計劃的1.2倍,結果提前5天完成任務.求該燈具廠原計劃每天加工這種彩燈的數量.解析設該燈具廠原計劃每天加工這種彩燈的數量為x套.由題意,得

-

=5,解得x=300,經檢驗,x=300是原分式方程的解,且符合題意.答:該燈具廠原計劃每天加工這種彩燈的數量為300套.思路分析設原計劃每天加工這種彩燈的數量為x套,則實際每天加工1.2x套.根據“原計劃加工的天數-

實際加工的天數=5”列出方程求解.易錯警示此類問題容易出錯的地方是不能從題目中找出等量關系,不能建立方程.此外,解分式方程時

易漏掉檢驗而致錯.2.(2019吉林長春,17,6分)為建國70周年獻禮,某燈273.(2018貴州貴陽,19,10分)某青春黨支部在精準扶貧活動中,給結對幫扶的貧困家庭贈送甲、乙兩種樹

苗讓其栽種.已知乙種樹苗的價格比甲種樹苗貴10元,用480元購買乙種樹苗的棵數恰好與用360元購買

甲種樹苗的棵數相同.(1)求甲、乙兩種樹苗每棵的價格各是多少元;(2)在實際幫扶中,他們決定再次購買甲、乙兩種樹苗共50棵.此時,甲種樹苗的售價比第一次購買時降低

了10%,乙種樹苗的售價保持不變.如果此次購買兩種樹苗的總費用不超過1500元,那么他們最多可購買

多少棵乙種樹苗?3.(2018貴州貴陽,19,10分)某青春黨支部在精準扶貧28解析(1)設甲種樹苗每棵的價格是x元,則乙種樹苗每棵的價格是(x+10)元.根據題意,得

=

,解得x=30.經檢驗,x=30是原方程的解且符合題意,當x=30時,x+10=40.答:甲、乙兩種樹苗每棵的價格分別是30元、40元.(2)設他們再次購買乙種樹苗y棵,則購買甲種樹苗(50-y)棵.由題意得30×(1-10%)(50-y)+40y≤1500,解得y≤

.∵y是整數,∴他們最多可以購買11棵乙種樹苗.解析(1)設甲種樹苗每棵的價格是x元,則乙種樹苗每棵的價格29A組2018—2020年模擬·基礎題組時間:15分鐘分值:28分一、選擇題（每小題4分，共8分）1.(2018漳州質檢,5)如圖,在解分式方程的4個步驟中,利用等式的基本性質的是?()解分式方程:

-

=1.解:x-(3-x)=x-2,①x-3+x=x-2,②x+x-x=-2+3,③x=1.④經檢驗:x=1是原方程的解.A.①②

B.②④C.①③

D.③④A組2018—2020年模擬·基礎題組一、選擇題（每小題430答案

C①利用等式的基本性質2;③利用等式的基本性質1.故選C.思路分析①是去分母,方程兩邊同乘x-2,依據等式的性質2;②是去括號,依據乘法分配律;③是移項,依

據等式的性質1;④是合并同類項.答案

C①利用等式的基本性質2;③利用等式的基本性質312.(2018南平質檢,8)某學校為綠化環境,計劃植樹220棵,實際勞動中每小時植樹的數量比原計劃多10%,

結果提前2小時完成任務.設原計劃每小時植樹x棵,依據題意,可列方程為?()A.

=

+2

B.

=

-2C.

-

=2

D.

=

-2答案

B按原計劃植樹,需用時

小時,實際每小時植樹(1+10%)x棵,用時

小時.根據“實際比原計劃提前2小時完成任務”,可得方程

=

-2.2.(2018南平質檢,8)某學校為綠化環境,計劃植樹22032二、填空題（共4分）3.(2018廈門質檢,14)A,B兩種機器人都被用來搬運化工原料,A型機器人比B型機器人每小時多搬運30

kg.A型機器人搬運900kg所用時間與B型機器人搬運600kg所用時間相等.設B型機器人每小時搬運xkg

化工原料,依題意,可列方程為

.答案

=

解析

由B型機器人每小時搬運xkg化工原料,得A型機器人每小時搬運(x+30)kg化工原料,根據“A型機

器人搬運900kg所用時間與B型機器人搬運600kg所用時間相等”可列方程為

=

.二、填空題（共4分）3.(2018廈門質檢,14)A,B兩種33三、解答題（共16分）4.(2020龍巖二檢,17)解方程:

-

=0.解析原方程可化為

-

=0,

(2分)等號兩邊同乘(x+2)(x-2),得4-x-2=0,?(5分)所以,x=2,?(6分)經檢驗,x=2是原方程的增根,?(7分)所以,原分式方程無解.?(8分)三、解答題（共16分）4.(2020龍巖二檢,17)解方程:345.(2019龍巖二檢,17)解方程:

-

=1.解析方程兩邊同乘x(x-1)得x2-2(x-1)=x(x-1),?(4分)整理得-x=-2,解得x=2.?(6分)檢驗:當x=2時,x(x-1)=2≠0,?(7分)所以x=2是原方程的解.?(8分)5.(2019龍巖二檢,17)解方程:?-?=1.解析方程35B組2018—2020年模擬·提升題組時間:15分鐘分值:24分一、選擇題（共4分）1.(2018寧德質檢,9)某校為進一步開展“陽光體育”活動,購買了一批籃球和足球,已知購買足球數量是

籃球數量的2倍,購買足球用了4000元,購買籃球用了2800元,籃球單價比足球單價貴16元,若可用方程

=

-16表示題中的等量關系,則方程中x表示

()A.足球的單價

B.籃球的單價C.足球的數量

D.籃球的數量答案

D將“籃球單價比足球單價貴16元”作為等量關系,則方程左邊的

表示足球的單價,右邊的

表示籃球的單價,故方程中x表示“籃球的數量”.B組2018—2020年模擬·提升題組一、選擇題（共4分）36二、解答題（共20分）2.(2020南平二檢,23)某公司經銷產品甲,受國際經濟形勢的影響,價格不斷下降.預計今年的售價比去年

同期每件降價1000元,如果售出相同數量的產品,去年銷售額為10萬元,今年銷售額只有8萬元.(1)今年產品甲每件售價為多少元?(2)為了增加收入,公司決定再經銷產品乙,已知產品甲每件進價為3500元;產品乙每件進價為3000元,售

價為3600元,公司預計用不多于5萬元且不少于4.9萬元的資金購進這兩種產品共15件,列出具體方案,并

說明哪種方案獲利更高.二、解答題（共20分）2.(2020南平二檢,23)某公司經37解析(1)設今年產品甲每件售價為x元,?(1分)依題意得

=

,

(2分)解得x=4000.?(3分)經檢驗:x=4000是原分式方程的解.?(4分)答:今年產品甲每件售價為4000元.?(5分)(2)設購進產品甲a件,則購進產品乙(15-a)件,?(6分)依題意得

(7分)解得8≤a≤10.?(8分)因此有三種方案:方案①:購進產品甲8件,購進產品乙7件;方案②:購進產品甲9件,購進產品乙6件;方案③:購進產品甲10件,購進產品乙5件.?(9分)方案①利潤:(4000-3500)×8+(3600-3000)×7=8200元,解析(1)設今年產品甲每件售價為x元,?(1分)38方案②利潤:(4000-3500)×9+(3600-3000)×6=8100元,方案③利潤:(4000-3500)×10+(3600-3000)×5=8000元.∵8200>8100>8000,∴方案①獲利更高.?(10分)方案②利潤:(4000-3500)×9+(3600-3393.(2019三明二檢,22)惠好商場用24000元購進某種玩具進行銷售,由于深受顧客喜愛,很快脫銷,惠好商

場又用50000元購進這種玩具,所購數量是第一次購進數量的2倍,但每套進價比第一次多了10元.(1)惠好商場第一次購進這種玩具多少套?(2)惠好商場以每套300元的價格銷售這種玩具,當第二次購進的玩具售出

時,出現了滯銷,商場決定降價促銷,若要使第二次購進的玩具銷售利潤率不低于12%,剩余的玩具每套售價至少要多少元?3.(2019三明二檢,22)惠好商場用24000元購進某40解析(1)設惠好商場第一次購進這種玩具x套,依題意,得

=

-10,

(2分)解得x=100.?(3分)經檢驗,x=100是該方程的根.?(4分)答:惠好商場第一次購進這種玩具100套.?(5分)(2)第二次進價為50000÷200=250(元/套).設剩余玩具每套的售價為y元,則(300-250)×

×200+

×200×(y-250)≥50000×12%,

(8分)解得y≥200.?(9分)答:剩余玩具每套售價至少要200元.?(10分)解析(1)設惠好商場第一次購進這種玩具x套,41

中考數學

（福建專用）§2.2分式方程中考數學

（福建專用）§2.2分式方程422016—2020年全國中考題組考點一分式方程及其解法1.(2019四川成都,7,3分)分式方程

+

=1的解為

()A.x=-1

B.x=1C.x=2

D.x=-2答案

A原方程去分母得x(x-5)+2(x-1)=x(x-1),解得x=-1,檢驗:當x=-1時,x(x-1)≠0,所以x=-1是原分式方

程的解,故選A.2016—2020年全國中考題組考點一分式方程及其解法1.432.(2020內蒙古呼和浩特,13,3分)分式

與

的最簡公分母是

,方程

-

=1的解是

.答案

x(x-2);x=-4解析∵x2-2x=x(x-2),∴兩個分式的最簡公分母是x(x-2).

-

=1,去分母得2x2-8=x2-2x,整理得x2+2x-8=0,解得x=-4或x=2,經檢驗,x=-4是原方程的解,x=2是原方程的增根.∴原方程的解為x=-4.2.(2020內蒙古呼和浩特,13,3分)分式?與?的最簡公443.(2019黑龍江齊齊哈爾,14,3分)關于x的分式方程

-

=3的解為非負數,則a的取值范圍為

.答案

a≤4且a≠3解析方程兩邊同乘(x-1),得2x-a+1=3(x-1),解得x=4-a,由題意得x≥0且x≠1,∴

解得a≤4且a≠3.思路分析先解關于x的分式方程,求得x的值,再依據“解為非負數,分母不為0”建立不等式組求a的取

值范圍.3.(2019黑龍江齊齊哈爾,14,3分)關于x的分式方程?454.(2016寧德,13,4分)方程

=

的解是

.答案

x=1解析去分母得,1+x=2x,移項、合并同類項得,x=1,檢驗:把x=1代入2x(x+1),得2×2=4≠0,∴x=1是原方程的解.4.(2016寧德,13,4分)方程?=?的解是

46x+x-x=-2+3,③(2017四川成都,9,3分)已知x=3是分式方程?-?=2的解,那么實數k的值為?()答案

A甲船航行的速度為(x+6)km/h,航行180km用時?h,乙船航行的速度為(x-6)km/h,航行了(1)當m+1=0,即m=-1時,5m-1≠0,方程①無解;檢驗:當x=2時,x(x-1)=2≠0,?(7分)(2016莆田,22,8分)甲車從A地駛往B地,同時乙車從B地駛往A地,兩車相向而行,勻速行駛,甲車距B地的

距離y(km)與行駛時間x(h)之間的函數關系如圖所示,乙車的速度是60km/h.去括號,移項,合并同類項,得(m+1)x=5m-1①,整理得x2+2x-8=0,解得x=-4或x=2,180km時與從B地逆流航行的乙船相遇,水流的速度為6km/h,若甲、乙兩船在靜水中的速度均為xkm/h,系數化為1,得x=1,答案

A原方程去分母得x(x-5)+2(x-1)=x(x-1),解得x=-1,檢驗:當x=-1時,x(x-1)≠0,所以x=-1是原分式方

程的解,故選A.(1)求甲、乙兩種樹苗每棵的價格各是多少元;解析方程兩邊同乘x(x-1)得x2-2(x-1)=x(x-1),?(4分)答案

D將“籃球單價比足球單價貴16元”作為等量關系,則方程左邊的?表示足球的單價,右邊解析去分母,得x+4+m(x-4)=m+3,選慶慶所列的方程(選第二個方程),冰冰:?=?慶慶:?-?=20∴x=1是原方程的解.(2)在實際幫扶中,他們決定再次購買甲、乙兩種樹苗共50棵.甲隊修路400米與乙隊修路600米所用時間相等.5.(2018黑龍江齊齊哈爾,14,3分)若關于x的方程

+

=

無解,則m的值為

.答案-1或5或-

解析去分母,得x+4+m(x-4)=m+3,去括號,移項,合并同類項,得(m+1)x=5m-1①,因為分式方程無解,所以分下面三種情況:(1)當m+1=0,即m=-1時,5m-1≠0,方程①無解;(2)當x=4時,解方程①得m=5;(3)當x=-4時,解方程①得m=-

.綜上,m的值為-1或5或-

.x+x-x=-2+3,③5.(2018黑龍江齊齊哈爾,14476.(2020陜西,16,5分)解分式方程:

-

=1.解析由原方程,得(x-2)2-3x=x(x-2).?(2分)x2-4x+4-3x=x2-2x.-5x=-4.x=

.

(4分)經檢驗,x=

是原方程的根.

(5分)易錯警示解分式方程一定要檢驗.可將整式方程的根代入最簡公分母進行檢驗,也可代入各分母進行

檢驗.6.(2020陜西,16,5分)解分式方程:?-?=1.解析487.(2016南平,18,8分)解分式方程:

=

.解析去分母,得3(1+x)=4x,?(3分)去括號,得3+3x=4x,?(4分)移項,得3x-4x=-3,?(5分)合并同類項,得-x=-3,?(6分)系數化為1,得x=3,?(7分)檢驗:當x=3時,x(x+1)≠0,∴原分式方程的解為x=3.(8分)7.(2016南平,18,8分)解分式方程:?=?.解析去498.(2016三明,18,8分)解方程:

=1-

.解析方程兩邊同乘(x-2),得1-x=x-2-3,解得x=3.檢驗:當x=3時,x-2≠0,故原分式方程的解是x=3.8.(2016三明,18,8分)解方程:?=1-?.解析方50考點二分式方程的應用1.(2020福建,8,4分)我國古代著作《四元玉鑒》記載“買椽多少”問題:“六貫二百一十錢,倩人去買幾

株椽.每株腳錢三文足,無錢準與一株椽.”其大意為:現請人代買一批椽,這批椽的價錢為6210文.如果每

株椽的運費是3文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢,試問6210文能買多少株

椽?設這批椽的數量為x株,則符合題意的方程是?()A.3(x-1)=

B.

=3C.3x-1=

D.

=3答案

A根據題意可列出方程

=3(x-1).故選A.考點二分式方程的應用1.(2020福建,8,4分)我512.(2018云南昆明,13,4分)甲、乙兩船從相距300km的A,B兩地同時出發相向而行,甲船從A地順流航行180km時與從B地逆流航行的乙船相遇,水流的速度為6km/h,若甲、乙兩船在靜水中的速度均為xkm/h,則可列方程為?()A.

=

B.

=

C.

=

D.

=

答案

A甲船航行的速度為(x+6)km/h,航行180km用時

h,乙船航行的速度為(x-6)km/h,航行了300-180=120km,用時

h,易知,兩船航行時間相同,故可列方程為

=

,故選A.2.(2018云南昆明,13,4分)甲、乙兩船從相距300523.(2017新疆烏魯木齊,7,4分)2017年,在創建文明城市的進程中,烏魯木齊市為美化城市環境,計劃種植樹

木30萬棵,由于志愿者的加入,實際每天植樹比原計劃多20%,結果提前5天完成任務,設原計劃每天植樹x

萬棵,可列方程是?()A.

-

=5

B.

-

=5C.

+5=

D.

-

=5答案

A原計劃每天植樹x萬棵,則實際每天植樹(1+20%)x萬棵,根據“實際比原計劃提前5天完成”可列方程:

-

=5,故選A.3.(2017新疆烏魯木齊,7,4分)2017年,在創建文明53解析(1)設今年產品甲每件售價為x元,?(1分)-?=5

B.(2016四川南充,6,3分)某次列車平均提速20km/h.(2)當x=4時,解方程①得m=5;經檢驗,x=300是原分式方程的解,且符合題意.合題意,故a的值是75.(2016莆田,22,8分)甲車從A地駛往B地,同時乙車從B地駛往A地,兩車相向而行,勻速行駛,甲車距B地的

距離y(km)與行駛時間x(h)之間的函數關系如圖所示,乙車的速度是60km/h.經檢驗,x=300是原分式方程的解,且符合題意.去括號,移項,合并同類項,得(m+1)x=5m-1①,經檢驗,x=30是原方程的解且符合題意,(2020吉林,17,5分)甲、乙二人做某種機械零件.所以,x=1是原分式方程的解.去括號,移項,合并同類項,得(m+1)x=5m-1①,甲隊修路400米與乙隊修路600米所用時間相等.答案

x(x-2);x=-4易錯警示此類問題容易出錯的地方是不能從題目中找出等量關系,不能建立方程.檢驗:當x=1時,x-2≠0,答案

A提速前列車的平均速度為xkm/h,則提速后列車的平均速度為(x+20)km/h,提速前行駛400km

需要?h,提速后行駛(400+100)km需要?h,根據時間相等可得?=?,故選A.3x-1=?

D.設原計劃每小時植樹x棵,依據題意,可列方程為?()4.(2020吉林,17,5分)甲、乙二人做某種機械零件.已知甲每小時比乙多做6個,甲做90個所用的時間與乙

做60個所用的時間相等.求乙每小時做零件的個數.解析設乙每小時做x個零件.?(1分)根據題意,得

=

.

(3分)解得x=12.?(4分)檢驗:當x=12時,x(x+6)≠0,所以,原分式方程的解為x=12.答:乙每小時做12個零件.?(5分)思路分析設乙每小時做x個零件,則甲每小時做(x+6)個零件,根據“時間=總工作量÷工作效率”和

“甲做90個所用的時間與乙做60個所用的時間相等”即可得出關于x的分式方程,解之并檢驗后得解.解析(1)設今年產品甲每件售價為x元,?(1分)4.(20545.(2016莆田,22,8分)甲車從A地駛往B地,同時乙車從B地駛往A地,兩車相向而行,勻速行駛,甲車距B地的

距離y(km)與行駛時間x(h)之間的函數關系如圖所示,乙車的速度是60km/h.

(1)求甲車的速度;(2)當甲乙兩車相遇后,乙車速度變為a(km/h),并保持勻速行駛,甲車速度保持不變,結果乙車比甲車晚38

分鐘到達終點,求a的值.5.(2016莆田,22,8分)甲車從A地駛往B地,同時乙車55解析(1)由圖象可得,甲車的速度為

=80km/h,故甲車的速度是80km/h.(2)相遇時間為

=2h,由題意可得

+

=

,解得a=75,經檢驗,a=75是原分式方程的解,且符合題意,故a的值是75.解析(1)由圖象可得,甲車的速度為?=80km/h,故甲566.(2018吉林,19,7分)下圖是學習分式方程應用時,老師板書的問題和兩名同學所列的方程.15.3分式方程甲、乙兩個工程隊,甲隊修路400米與乙隊修路600米所用時間相等,乙隊每天比甲隊多修20米,求甲隊每

天修路的長度.冰冰:

=

慶慶:

-

=20根據以上信息,解答下列問題.(1)冰冰同學所列方程中的x表示

,慶慶同學所列方程中的y表示

;(2)兩個方程中任選一個,寫出它的等量關系;(3)解(2)中你所選擇的方程,并回答老師提出的問題.6.(2018吉林,19,7分)下圖是學習分式方程應用時,老57解析(1)甲隊每天修路的長度;甲隊修路400米所用的天數(乙隊修路600米所用的天數).?(2分)(2)選冰冰所列的方程(選第一個方程),甲隊修路400米與乙隊修路600米所用時間相等.?(3分)選慶慶所列的方程(選第二個方程),乙隊每天修路長度與甲隊每天修路長度的差等于20米.(3分)(3)選第一個方程

=

.解方程,得x=40.?(5分)經檢驗:x=40是原分式方程的解,且符合題意.∴x=40.?(6分)答:甲隊每天修路的長度為40米.?(7分)選第二個方程

-

=20.解方程,得y=10.?(5分)經檢驗:y=10是原分式方程的解,且符合題意.∴

=40.

(6分)答:甲隊每天修路的長度為40米.?(7分)解析(1)甲隊每天修路的長度;甲隊修路400米所用的天數(587.(2019內蒙古包頭,23,10分)某出租公司有若干輛同一型號的貨車對外出租,每輛貨車的日租金實行淡

季、旺季兩種價格標準,旺季每輛貨車的日租金比淡季上漲

.據統計,淡季該公司平均每天有10輛貨車未租出,日租金總收入為1500元;旺季所有的貨車每天能全部租出,日租金總收入為4000元.(1)該出租公司這批對外出租的貨車共有多少輛?淡季每輛貨車的日租金是多少元?(2)經市場調查發現,在旺季如果每輛貨車的日租金每上漲20元,每天租出去的貨車就會減少1輛,不考慮

其他因素,每輛貨車的日租金上漲多少元時,該出租公司的日租金總收入最高?7.(2019內蒙古包頭,23,10分)某出租公司有若干輛同59解析(1)設該出租公司這批對外出租的貨車共有x輛.根據題意,得

·

=

,解得x=20.經檢驗,x=20是所列方程的解.1500÷(20-10)=150(元).答:該出租公司這批對外出租的貨車共有20輛,淡季每輛貨車的日租金是150元.?(5分)(2)設當旺季每輛貨車的日租金上漲a元時,該出租公司的日租金總收入為w元.根據題意,得w=

·

,∴w=-

a2+10a+4000,∴w=-

(a-100)2+4500.∵-

<0,∴當a=100時,w有最大值.答:當旺季每輛貨車的日租金上漲100元時,該出租公司的日租金總收入最高.?(10分)思路分析(1)以淡季和旺季貨車日租金的關系建立等量關系;(2)先根據題意列出貨車出租公司的日租

金總收入w元與旺季每輛貨車的日租金上漲a元的關系式,然后根據二次函數的性質求解.解析(1)設該出租公司這批對外出租的貨車共有x輛.思路分析60教師專用題組考點一分式方程及其解法1.(2020海南,8,3分)分式方程

=1的解是

()A.x=-1

B.x=1

C.x=5

D.x=2答案

C方程兩邊都乘(x-2)得3=x-2,解得x=5.經檢驗,x=5是原分式方程的解,故選C.教師專用題組考點一分式方程及其解法1.(2020海南,8,612.(2018四川成都,8,3分)分式方程

+

=1的解是

()A.x=1

B.x=-1

C.x=3

D.x=-3答案

A

+

=1,(x+1)(x-2)+x=x(x-2),x2-x-2+x=x2-2x,x=1,檢驗,當x=1時,x(x-2)≠0.所以x=1是原分式方程的解.故選A.2.(2018四川成都,8,3分)分式方程?+?=1的解是?623.(2017四川成都,9,3分)已知x=3是分式方程

-

=2的解,那么實數k的值為

()A.-1

B.0

C.1

D.2答案

D把x=3代入分式方程得

-

=2,解得k=2.故選D.3.(2017四川成都,9,3分)已知x=3是分式方程?-?634.(2017重慶A卷,12,4分)若數a使關于x的分式方程

+

=4的解為正數,且使關于y的不等式組

的解集為y<-2,則符合條件的所有整數a的和為

()A.10

B.12

C.14

D.164.(2017重慶A卷,12,4分)若數a使關于x的分式方程64答案

A解分式方程

+

=4得x=

.∵分式方程的解為正數,∴

>0且

≠1.∴a<6且a≠2.

解不等式①,得y<-2.解不等式②,得y≤a.∵不等式組的解集為y<-2,∴a≥-2.∴-2≤a<6且a≠2.∵a為整數,∴a=-2,-1,0,1,3,4,5,∴符合條件的所有整數a的和為10.故選A.答案

A解分式方程?+?=4得x=?.∴a=-2,-65已知乙種樹苗的價格比甲種樹苗貴10元,用480元購買乙種樹苗的棵數恰好與用360元購買

甲種樹苗的棵數相同.(2016莆田,22,8分)甲車從A地駛往B地,同時乙車從B地駛往A地,兩車相向而行,勻速行駛,甲車距B地的

距離y(km)與行駛時間x(h)之間的函數關系如圖所示,乙車的速度是60km/h.甲、乙兩個工程隊,甲隊修路400米與乙隊修路600米所用時間相等,乙隊每天比甲隊多修20米,求甲隊每

天修路的長度.(2)選冰冰所列的方程(選第一個方程),經檢驗:x=4000是原分式方程的解.∴w=-?a2+10a+4000,∴w=-?(a-100)2+4500.x-3+x=x-2,②評析本題考查分式方程的應用,根據題意正確找出等量關系是關鍵.∴兩個分式的最簡公分母是x(x-2).∴原方程的解為x=-4.選慶慶所列的方程(選第二個方程),根據“原計劃加工的天數-

實際加工的天數=5”列出方程求解.去括號,得3+3x=4x,?(4分)整理得x2+2x-8=0,解得x=-4或x=2,B組2018—2020年模擬·提升題組方案②利潤:(4000-3500)×9+(3600-3000)×6=8100元,答案

A提速前列車的平均速度為xkm/h,則提速后列車的平均速度為(x+20)km/h,提速前行駛400km

需要?h,提速后行駛(400+100)km需要?h,根據時間相等可得?=?,故選A.-?=5

B.(2016三明,18,8分)解方程:?=1-?.設剩余玩具每套的售價為y元,則5.(2018內蒙古呼和浩特,17,5分)解方程:

+1=

.解析去分母,得x-3+x-2=-3,移項、合并同類項,得2x=2,系數化為1,得x=1,檢驗:當x=1時,x-2≠0,所以,x=1是原分式方程的解.已知乙種樹苗的價格比甲種樹苗貴10元,用480元購買乙種樹苗66考點二分式方程的應用1.(2016四川南充,6,3分)某次列車平均提速20km/h.用相同的時間,列車提速前行駛400km,提速后比提速

前多行駛100km.設提速前列車的平均速度為xkm/h,下列方程正確的是?()A.

=

B.

=

C.

=

D.

=

答案

A提速前列車的平均速度為xkm/h,則提速后列車的平均速度為(x+20)km/h,提速前行駛400km

需要

h,提速后行駛(400+100)km需要

h,根據時間相等可得

=

,故選A.評析本題考查分式方程的應用,根據題意正確找出等量關系是關鍵.考點二分式方程的應用1.(2016四川南充,6,3分672.(2019吉林長春,17,6分)為建國70周年獻禮,某燈具廠計劃加工9000套彩燈.為盡快完成任務,實際每天

加工彩燈的數量是原計劃的1.2倍,結果提前5天完成任務.求該燈具廠原計劃每天加工這種彩燈的數量.解析設該燈具廠原計劃每天加工這種彩燈的數量為x套.由題意,得

-

=5,解得x=300,經檢驗,x=300是原分式方程的解,且符合題意.答:該燈具廠原計劃每天加工這種彩燈的數量為300套.思路分析設原計劃每天加工這種彩燈的數量為x套,則實際每天加工1.2x套.根據“原計劃加工的天數-

實際加工的天數=5”列出方程求解.易錯警示此類問題容易出錯的地方是不能從題目中找出等量關系,不能建立方程.此外,解分式方程時

易漏掉檢驗而致錯.2.(2019吉林長春,17,6分)為建國70周年獻禮,某燈683.(2018貴州貴陽,19,10分)某青春黨支部在精準扶貧活動中,給結對幫扶的貧困家庭贈送甲、乙兩種樹

苗讓其栽種.已知乙種樹苗的價格比甲種樹苗貴10元,用480元購買乙種樹苗的棵數恰好與用360元購買

甲種樹苗的棵數相同.(1)求甲、乙兩種樹苗每棵的價格各是多少元;(2)在實際幫扶中,他們決定再次購買甲、乙兩種樹苗共50棵.此時,甲種樹苗的售價比第一次購買時降低

了10%,乙種樹苗的售價保持不變.如果此次購買兩種樹苗的總費用不超過1500元,那么他們最多可購買

多少棵乙種樹苗?3.(2018貴州貴陽,19,10分)某青春黨支部在精準扶貧69解析(1)設甲種樹苗每棵的價格是x元,則乙種樹苗每棵的價格是(x+10)元.根據題意,得

=

,解得x=30.經檢驗,x=30是原方程的解且符合題意,當x=30時,x+10=40.答:甲、乙兩種樹苗每棵的價格分別是30元、40元.(2)設他們再次購買乙種樹苗y棵,則購買甲種樹苗(50-y)棵.由題意得30×(1-10%)(50-y)+40y≤1500,解得y≤

.∵y是整數,∴他們最多可以購買11棵乙種樹苗.解析(1)設甲種樹苗每棵的價格是x元,則乙種樹苗每棵的價格70A組2018—2020年模擬·基礎題組時間:15分鐘分值:28分一、選擇題（每小題4分，共8分）1.(2018漳州質檢,5)如圖,在解分式方程的4個步驟中,利用等式的基本性質的是?()解分式方程:

-

=1.解:x-(3-x)=x-2,①x-3+x=x-2,②x+x-x=-2+3,③x=1.④經檢驗:x=1是原方程的解.A.①②

B.②④C.①③

D.③④A組2018—2020年模擬·基礎題組一、選擇題（每小題471答案

C①利用等式的基本性質2;③利用等式的基本性質1.故選C.思路分析①是去分母,方程兩邊同乘x-2,依據等式的性質2;②是去括號,依據乘法分配律;③是移項,依

據等式的性質1;④是合并同類項.答案

C①利用等式的基本性質2;③利用等式的基本性質722.(2018南平質檢,8)某學校為綠化環境,計劃植樹220棵,實際勞動中每小時植樹的數量比原計劃多10%,

結果提前2小時完成任務.設原計劃每小時植樹x棵,依據題意,可列方程為?()A.

=

+2

B.

=

-2C.

-

=2

D.

=

-2答案

B按原計劃植