關于不定積分公式大全第一頁，共三十九頁，2022年，8月28日例1求下列函數的一個原函數：⑴f(x)＝2x⑵f(x)＝cosx解：⑴∵(x2)'＝2x∴x2是函數2x的一個原函數⑵∵(sinx)'＝cosx∴sinx是函數cosx的一個原函數這里為什么要強調是一個原函數呢?因為一個函數的原函數不是唯一的。例如在上面的⑴中，還有(x2＋1)'＝2x，

(x2－1)'＝2x

所以x2、x2＋1、x2－1、x2＋C(C為任意常數)都是函數f(x)＝2x的原函數。第二頁，共三十九頁，2022年，8月28日[定理5.1]

設F(x)是函數f(x)在區間I上的一個原函數，C是一個任意常數，那么，⑴F(x)＋C也是f(x)

在該區間I上的原函數⑵f(x)該在區間I上的全體原函數可以表示為F(x)＋C證明：⑴∵[F(X)＋C]'＝F'(x)＋(C)'＝f(x)∴F(x)＋C也是f(x)的原函數⑵略第三頁，共三十九頁，2022年，8月28日

這說明函數f(x)如果有一個原函數F(x)，那么它就有無窮多個原函數，它們都可以表示為F(x)＋C的形式。[定義5.2]

函數f(x)的全體原函數叫做函數f(x)的不定積分，記作∫f(x)dx，其中∫叫做積分號，f(x)叫做被積函數，x叫做積分變量。求函數f(x)的不定積分就是求它的全體原函數，因此，∫f(x)dx＝F(x)＋C

其中C是任意常數，叫做積分常數。第四頁，共三十九頁，2022年，8月28日例2求下列不定積分⑴∫x5dx⑵∫sinxdx解：⑴∵是x5的一個原函數∴⑵∵－cosx是sinx的一個原函數∴第五頁，共三十九頁，2022年，8月28日二、不定積分的幾何意義

設F(x)是函數f(x)的一個原函數，則曲線y＝F(x)稱為f(x)的一條積分曲線，曲線y＝F(x)＋C表示把曲線y＝F(x)上下平移所得到的曲線族。因此，不定積分的幾何意義是指由f(x)的全體積分曲線組成的積分曲線族。例4求斜率為2x且經過點(1,0)的曲線。解：設所求曲線為y＝f(x)，則f’(x)＝2x，故y＝x2＋C，∵曲線過點(1,0)∴以x＝1、y＝0代入得0＝12＋C，解得C＝－1，因此，所求曲線為y＝x2－1。第六頁，共三十九頁，2022年，8月28日三、基本積分公式由于積分運算是求導運算的逆運算，所以由基本求導公式反推，可得基本積分公式⑴∫dx＝x＋C⑵∫xαdx＝(α≠-1)⑶

⑷⑸∫exdx＝ex＋C⑹∫sinxdx＝－cosx＋C⑺∫cosxdx＝sinx＋C⑻∫sec2xdx＝tanx＋C⑼∫csc2xdx＝－cotx＋C⑽⑾第七頁，共三十九頁，2022年，8月28日說明：冪函數的積分結果可以這樣求，先將被積函數的指數加1，再把指數的倒數放在前面做系數。[注意]

不能認為arcsinx＝－arccosx，他們之間的關系是arcsinx＝π／2－arccosx第八頁，共三十九頁，2022年，8月28日四、不定積分的性質⑴[∫f(x)dx]'＝f(x)

該性質表明，如果函數f(x)先求不定積分再求導，所得結果仍為f(x)⑵∫F'(x)dx＝F(x)＋C

該性質表明，如果函數F(x)先求導再求不定積分，所得結果與F(x)相差一個常數C⑶∫kf(x)dx＝k∫f(x)dx(k為常數)

該性質表明，被積函數中不為零的常數因子可以提到積分號的前面⑷∫[f(x)±g(x)]dx＝∫f(x)dx±∫g(x)dx

該性質表明，兩個函數的和或差的不定積分等于這兩個函數的不定積分的和或差第九頁，共三十九頁，2022年，8月28日五、基本積分公式的應用例7求∫(9x2＋8x)dx解：∫(9x2＋8x)dx＝∫9x2dx＋∫8xdx

＝3∫3x2dx＋4∫2xdx＝3x3＋4x2＋C例11求∫3xexdx第十頁，共三十九頁，2022年，8月28日5.2不定積分的計算一、直接積分法對被積函數進行簡單的恒等變形后直接用不定積分的性質和基本積分公式即可求出不定積分的方法稱為直接積分法。運用直接積分法可以求出一些簡單函數的不定積分。第十一頁，共三十九頁，2022年，8月28日

第十二頁，共三十九頁，2022年，8月28日一、第一換元法(湊微分法)

如果被積函數的自變量與積分變量不相同，就不能用直接積分法。例如求∫cos2xdx，被積函數的自變量是2x，積分變量是x。這時，我們可以設被積函數的自變量為u，如果能從被積式中分離出一個因子u’(x)來，那么根據∫f(u)u'(x)dx＝∫f(u)du＝F(u)＋C就可以求出不定積分。這種積分方法叫做湊微分法。第十三頁，共三十九頁，2022年，8月28日[講解例題]例2求∫2sin2xdx解：設u＝2x，則du＝2dx∫2sin2xdx＝∫sin2x·2dx＝∫sinudu

＝－cosu＋C＝－cos2x＋C注意：最后結果中不能有u，一定要還原成x。解：設u＝x2＋1，則du＝2xdx第十四頁，共三十九頁，2022年，8月28日

解：設u＝x2，則du＝2xdx

設u＝cosx，則du＝-sinxdx第十五頁，共三十九頁，2022年，8月28日

當計算熟練后，換元的過程可以省去不寫。例求∫sin3xcosxdx

解：∫sin3xcosxdx＝∫sin3xd(sinx)＝sin4x＋C第十六頁，共三十九頁，2022年，8月28日二、第二換元積分法例如，求，把其中最難處理的部分換元，令則原式＝，再反解x＝u2＋1，得dx＝2udu，代入這就是第二換元積分法。第十七頁，共三十九頁，2022年，8月28日

(1)如果被積函數含有，可以用x＝asint換元。

(2)如果被積函數含有，可以用x＝atant換元。第十八頁，共三十九頁，2022年，8月28日

(3)如果被積函數含有，可以用x＝asect換元。第十九頁，共三十九頁，2022年，8月28日以下結果可以作為公式使用：⑿∫tanxdx＝ln|secx|＋C⒀∫cotdx＝－ln|cscx|＋C⒁∫secxdx＝ln|secx＋tanx|＋C⒂∫cscxdx＝－ln|cscx＋cotx|＋C⒃⒄⒅第二十頁，共三十九頁，2022年，8月28日5.3分部積分法一、分部積分公式考察函數乘積的求導法則：

[u(x)·v(x)]'＝u'(x)·v(x)＋u(x)·v'(x)兩邊積分得

u(x)·v(x)＝∫u'(x)v(x)dx＋∫u(x)v'(x)dx于是有∫u(x)·v'(x)dx＝u(x)·v(x)－∫u'(x)·v(x)dx或表示成∫u(x)dv(x)＝u(x)·v(x)－∫v(x)du(x)這一公式稱為分部積分公式。第二十一頁，共三十九頁，2022年，8月28日二、講解例題例1求∫xexdx解:令u(x)＝x，v'(x)＝ex

則原式為∫u(x)·v'(x)dx的形式∵(ex)'＝ex∴v(x)＝ex，由分部積分公式有∫xexdx＝x·ex－∫exdx＝xex－ex＋C例2求∫xcos2xdx解：令u(x)＝x，v'(x)＝cos2x，則v(x)＝sin2x

于是∫xcos2xdx＝xsin2x－∫sin2xdx

＝xsin2x＋cos2x＋C第二十二頁，共三十九頁，2022年，8月28日

有時，用分部積分法求不定積分需要連續使用幾次分部積分公式才可以求出結果。例5：求∫x2e-2xdx解：令u(x)＝x2，v'(x)＝e-2x，則v(x)＝于是第二十三頁，共三十九頁，2022年，8月28日由此可見：作一次分部積分后，被積函數中冪函數的次數可以降低一次。如果所得到的積分式還需要用分部積分法解，那么，可以再用分部積分公式做下去。為了簡化運算過程，下面介紹:三、分部積分法的列表解法例如：求∫x2sinxdxx2sinx

求導↓+↓積分

2x--cosx∫x2sinxdx＝-x2cosx-∫2x(-cosx)dx第二十四頁，共三十九頁，2022年，8月28日

[分部積分法的列表解法]例如：求∫x2sinxdxx2sinx求導↓↓積分2x-cosx∫x2sinxdx＝-x2cosx＋∫2xcosxdx＝-x2cosx＋2xsinx-∫2sinxdx求導↓

２↓積分-sinx＝-x2cosx＋2xsinx＋2cosx＋C求導↓

０↓積分+cosx

＋－

－＋＋第二十五頁，共三十九頁，2022年，8月28日例4：求∫xlnxdxxlnx

求導↓↓積分

1?這說明把lnx放在右邊用分部積分法解不下去。把lnx放在左邊用分部積分法解：

lnxx

求導↓+↓積分

-第二十六頁，共三十九頁，2022年，8月28日[一般原則]對數函數、反三角函數、冪函數應放在左邊，指數函數、三角函數應放在右邊。有些單獨一個函數的不定積分也要用分部積分法解。例3：求∫lnxdxlnx1

求導↓+↓積分

-x=xlnx－∫dx=xlnx－x＋C第二十七頁，共三十九頁，2022年，8月28日例6求∫arcsinxdxarcsinx

1

求導↓+↓積分

-x例71

求導↓↓積分

x第二十八頁，共三十九頁，2022年，8月28日例8求∫exsin3xdx解：∫exsin3xdx＝exsin3x－3∫excos3xdx

＝exsin3x－3excos3x－9∫exsin3xdx移項得∫exsin3xdx＝ex(si3nx－3cos3x)＋C5.4有理函數積分法一、有理函數的定義有理函數是指分子、分母都是多項式的分式函數，形如第二十九頁，共三十九頁，2022年，8月28日二、真分式的部分分式分解設分子的次數為n，分母的次數為m。當n＜m時，該分式稱為真分式；當n≥m時，該分式稱為假分式。假分式可以寫成多項式與真分式的和。這里主要講解真分式的部分分式分解。例 分解成部分分式解：因為分母含有(x－1)的三重因式，所以設第三十頁，共三十