關于三垂線定理及其典型例題第一頁，共十五頁，2022年，8月28日復習提問：1。直線與平面垂直的定義。2。直線與平面垂直的判定定理。3。證明線面垂直的方法。4。證明線線垂直的方法。第二頁，共十五頁，2022年，8月28日一、射影的概念定義：自一點P向平面α引垂線，垂足P1

叫做P在平面α內的正射影（簡稱射影）。.Pα如果圖形F上的所有點在一平面內的射影構成圖形F1，則F1叫做圖形F在這個平面內的射影。思考：1。兩條異面直線在同一平面內的射影的位置關系如何？2。一個三角形在另一平面中的射影可能是什么圖形？第三頁，共十五頁，2022年，8月28日二、平面的斜線、垂線、射影如果aα,a⊥AO，思考a與PO的位置關系如何？∪aAPoα

PO是平面α的斜線,O為斜足;PA是平面α的垂線,A為垂足;AO是PO在平面α內的射影.三垂線定理第四頁，共十五頁，2022年，8月28日性質定理判定定理性質定理線面垂直①線線垂直②線面垂直③線線垂直PO平面PAO∪a⊥PO③結論：a⊥PO二、三垂線定理：在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。為什么呢？PA⊥αaα∪①PA⊥aAO⊥a②a⊥平面PAO三垂線定理PaAoα第五頁，共十五頁，2022年，8月28日

1、三垂線定理描述的是PO(斜線)、AO(射影)、a(直線)之間的垂直關系。

2、a與PO可以相交，也可以異面。

3、三垂線定理的實質是平面的一條斜線和平面內的一條直線垂直的判定定理。對三垂線定理的說明：三垂線定理用法：∵PA⊥α，aα，AO是斜線PO在平面α內的射影，a⊥AO∴a⊥POPaAoα思考：如果把定理中的條a⊥AO與結論a⊥PO互換，命題是否成立？第六頁，共十五頁，2022年，8月28日PaAoα三垂線定理的逆定理：在平面內的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在這個平面內的射影垂直。用法：∵PA⊥α，aα，AO是斜線PO在平面α內的射影，a⊥PO∴a⊥AO說明：三垂線定理及其逆定理是證明線線垂直的重要方法。第七頁，共十五頁，2022年，8月28日例題分析：

1、判定下列命題是否正確

(1)若a是平面α的斜線、直線b垂直于a在平面α內的射影，則a⊥b。()

2°定理的關鍵找“平面”這個參照學。強調：1°四線是相對同一個平面而言(2)若a是平面α的斜線，b是平面α內的直線，且b垂直于a在β內的射影，則a⊥b。()××三垂線定理第八頁，共十五頁，2022年，8月28日

2、如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，連結BD1，AC，CB1，B1A，求證：BD1⊥平面AB1C∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD

又DD1⊥平面ABCD∴BD是斜線D1B在平面ABCD上的射影∵AC在平面AC內，∴BD1⊥ACA1D1C1B1ADCB而AB1，AC相交于點A且都在平面AB1C內∴BD1⊥平面AB1C證明：連結BD，請同學思考：如何證明D1B⊥AB1

連結A1B三垂線定理第九頁，共十五頁，2022年，8月28日關于三垂線定的應用，關鍵是找出平面(基準面)的垂線。至于射影則是由垂足、斜足來確定的，因而是第二位的。從三垂線定理的證明得到證明a⊥b的一個程序：一垂、二射、三證。即第一、找平面(基準面)及平面垂線第二、找射影線，這時a、b便成平面上的一條直線與一條斜線。三垂線定理第三、證明射影線與直線a垂直，從而得出a與b垂直。第十頁，共十五頁，2022年，8月28日例3.如果一個角所在平面外一點到角的兩邊的距離相等，那么這點在平面內的射影在這個角的平分線上。αABCOPEF已知：∠BAC在平面α內，點在α外，PE⊥AB，PF⊥AC，PO⊥α，垂足分別是E、F、O，PE=PF求證：∠BAO=∠CAO證明：連接PA，OE，OF∵PE⊥AB，PF⊥AC，PO⊥α，∴AB⊥OE，AC⊥OF（三垂線定理的逆定理）∵PE=PF，PA=PA，∴RtPAE≌RtPAF。∴AE=AF又AO=AO∴，∴RtAOE≌RtAOF。∴∠BAO=∠CAO第十一頁，共十五頁，2022年，8月28日例4、道旁有一條河，彼岸有電塔AB，高15m，只有測角器和皮尺作測量工具，能否求出電塔頂與道路的距離？解：在道邊取一點C，使BC與道邊所成水平角等于90°，再在道邊取一點D，使水平角CDB等于45°，測得C、D的距離等于20cmBAC90°D⌒45°三垂線定理第十二頁，共十五頁，2022年，8月28日BAC90°D⌒45°∵BC是AC的射影且CD⊥BC∴CD⊥AC∵∠CDB=45°，CD⊥BC，CD=20cm∴BC=20m，在直角三角形ABC中

AC2=AB2+BC2，AC=152+202=25(cm)答：電塔頂與道路的距離是25m。因此斜線AC的長度就是電塔頂與道路的距離。三垂線定理第十三頁，共十五頁，2022年，8月28日三垂線定理：在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，