2022-2023學年湖北省仙桃市田家炳實驗高二上學期期中數學試題一、單選題1．已知、，則直線的傾斜角等于（

）A． B． C． D．C【分析】求出直線的斜率，進而可求得直線的傾斜角.【詳解】設直線的傾斜角為，則，所以，，故.故選：C.2．同時擲兩個均勻骰子，向上的點數之和是7的概率是（

）A． B． C． D．C【分析】求出同時擲兩個均勻骰子出現的所有基本事件數，及點數和為7的所有基本事件數，然后可計算概率．【詳解】同時擲兩個均勻骰子，基本事件有種，其中點數和為7的有16,25,34,43,52,61共6種，所以概率為．故選：C．本題考查古典概型，解題關鍵是求出基本事件的個數．可用列舉法．3．已知，，如果與為共線向量，則（

）A． B． C． D．D【分析】根據空間共線向量的性質進行求解即可.【詳解】因為與為共線向量，所以，故選：D4．如圖所示的電路圖，同時閉合兩個開關能形成閉合電路的概率是（

）A． B． C． D．1B【分析】列舉出所有可能的結果，利用古典概型計算概率即可.【詳解】根據題意，閉合兩個開關所有的可能為，其中能形成閉合電路的為，所以同時閉合兩個開關能形成閉合電路的概率為．故選：B．5．已知，，且，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．D【分析】根據向量數量積列出方程，求出x＝1，利用向量夾角公式計算出答案.【詳解】∵∴x＝1，∴，∴，又∵，∴向量與的夾角為故選：D.6．在一個實驗中，某種豚鼠被感染A病毒的概率均為40%，現采用隨機模擬方法估計三只豚鼠中被感染的概率：先由計算機產生出[0，9]之間整數值的隨機數，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示沒有被感染.經隨機模擬產生了如下20組隨機數：192

907

966

925

271

932

812

458

569

683

257

393

127

556

488

730

113

537

989

431據此估計三只豚鼠中至少一只被感染的概率為（）.A．0.25 B．0.4 C．0.6 D．0.75D【分析】根據題意分析隨機數中沒有1，2，3，4中的數的個數，再根據對立事件的概率求解即可【詳解】由題意，事件三只豚鼠中至少一只被感染的對立事件為三只豚鼠都沒被感染，隨機數中滿足三只豚鼠都沒被感染的有907，966，569，556，989共5個，故三只豚鼠都沒被感染的概率為，則三只豚鼠中至少一只被感染的概率為故選：D7．直線，當變動時，所有直線都通過定點（

）A． B． C． D．A【分析】將直線的一般式化成點斜式即可求解.【詳解】直線可以為，表示過點，斜率為的直線，所以所有直線都通過定點為.故選：A.8．如圖，棱長為3的正方體中，為正方體表面上的一個動點，分別為的三等分點，則的最小值為（

）A． B．C． D．A【分析】利用對稱關系轉化為兩點之間線段最短即可.【詳解】過點作關于對稱的點，連接交平面于點,所以,因為棱長為3，所以,因為,且在直角三角形中，,所以,在中，由余弦定理，所以的最小值為.故選:A.二、多選題9．從甲袋中摸出一個紅球的概率是，從乙袋中摸出一個紅球的概率是，從兩袋各摸出一個球，下列結論正確的是（

）A．個球都是紅球的概率為 B．個球中恰有個紅球的概率為C．至少有個紅球的概率為 D．個球不都是紅球的概率為BCD【分析】利用獨立事件的概率乘法公式和對立事件的概率公式求出各選項中事件的概率，由此可得出正確的選項.【詳解】對于A選項，個球都是紅球的概率為，A選項錯誤；對于B選項，個球中恰有個紅球的概率為，B選項正確；對于C選項，至少有個紅球的概率為，C選項正確；對于D選項，個球不都是紅球的概率為，D選項正確.故選：BCD.10．已知向量，，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．AC【分析】根據空間向量加減法的坐標運算、空間向量的數量積的坐標表示、空間向量的模長公式計算可得結果.【詳解】因為，，所以，故A正確；，故B不正確；，故C正確；，故D不正確.故選：AC11．下列說法正確的是（

）A．直線必過定點B．直線在軸上的截距為C．直線的傾斜角為D．過，兩點的所有直線的方程為AB【分析】求出直線恒過的定點判斷A；求出直線在y軸上的截距判斷B；求出直線的斜率進而得傾斜角判斷C；利用兩點式方程表示的直線情況判斷D作答.【詳解】對于A，直線中，當時，恒成立，即直線必過定點，A正確；對于B，直線中，當時，，即直線在軸上的截距為，B正確；對于C，直線的斜率為，傾斜角為鈍角，C不正確；對于D，當時，過，兩點的直線方程為，式子無意義，D不正確.故選：AB12．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列結論正確的是（

）A．直線BD與A1D所成的角為45°B．異面直線BD與AD1所成的角為60°C．二面角A-B1C-C1的正弦值為D．二面角A-B1C-C1的正弦值為BD【分析】先利用幾何法找出題目中異面直線所成的角和二面角的平面角，再借助幾何知識求出角度及正弦值，驗證選項.【詳解】正方體中，為等邊三角形，直線BD與A1D所成的角為60°，選項A錯誤；，異面直線BD與AD1所成的角等于BD與BC1所成的角，為等邊三角形，∴異面直線BD與AD1所成的角為60°，選項B正確；BC1與CB1相交于點O，連接AO、AC1，如圖所示：正方體中，，O為B1C的中點，∴，，二面角A-B1C-C1的平面角為，不妨設正方體棱長為2，，，，由余弦定理，，∴，則二面角A-B1C-C1的正弦值為，選項C錯誤，選項D正確.故選：BD三、填空題13．已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為和.假定兩球是否落入盒子互不影響，則甲、乙兩球至少有一球落入盒子的概率為__________.【分析】利用獨立事件的概率乘法公式以及對立事件的概率公式可求得結果.【詳解】甲、乙兩球都沒落入盒子的概率為，由對立事件的概率公式可知，甲、乙兩球至少有一球落入盒子的概率為.故答案為.14．設直線的方向向量為，平面的一個法向量為，若直線平面，則實數的值為________．【分析】由線面平行可得，由向量垂直的坐標表示可構造方程求得的值.【詳解】直線平面，，即，解得.故答案為.15．直線，為直線l上動點，則的最小值為___________.【分析】根據點到直線的距離即可求解.【詳解】可看成是直線上一點到點的距離的平方，當時，距離最小.故點到直線的距離為，所以的最小值為故16．如圖，銳二面角的棱上有，兩點，直線，分別在這個二面角的兩個半平面內，且都垂直于.已知，，，則銳二面角的平面角的余弦值是___________.【分析】根據題意得，兩邊平方，利用向量的數量積運算，即可得到答案；【詳解】設銳二面角的平面角為，，則，則.故四、解答題17．求直線L的方程：(1)求過點且與直線平行的直線的一般式方程；(2)求過點且與直線垂直的直線的一般式方程.(1)(2)【分析】(1)根據兩直線平行斜率相等即可求解；(2)根據兩直線垂直斜率之積等于即可求解；【詳解】（1）因為直線的斜率為，所以所求直線的斜率也為，由點斜式得整理得,所以直線L的方程.（2）因為直線的斜率為，所以所求直線的斜率為，由點斜式得整理得,所以直線L的方程.18．如圖，正四面體（所有棱長均相等）的棱長為1，E，F，G，H分別是正四面體中各棱的中點，設，，.(1)用，，表示，并求的長；(2)求與的夾角.(1)；；(2).【分析】（1）根據給定條件，利用空間向量基底表示，再利用向量數量積的運算律求出的長作答.（2）用空間向量基底表示，再求出與的數量積即可作答.【詳解】（1）因分別為棱的中點，而，，，所以，因正四面體的棱長為1，則，所以.（2）依題意，，因正四面體的棱長為1，有，因此，所以，即與的夾角為.19．某班名學生某次數學成績（單位：分）的頻率分布直方圖如圖：(1)求這次數學學生成績的眾數和平均數；(2)從成績在的學生中任選人，求此人的成績都在中的概率.(1)眾數為；平均數為(2)【分析】（1）由頻率和為可求得；根據頻率分布直方圖估計眾數和平均數的方法直接計算可得結果；（2）根據頻率可求得成績在和的人數，列舉出所有基本事件，并找出滿足題意的基本事件個數，由古典概型概率公式可求得結果.【詳解】（1），；由頻率分布直方圖可知：這次數學學生成績的眾數為；平均數為.（2）由（1）得：成績在的人數為，記為；成績在的人數為，記為；從上述人中，任選人，則有，，，，，，，，，，共種情況；其中人的成績都在中的情況有：，，，共種；人的成績都在中的概率.20．如圖，在直棱柱的底面中，，，棱，以為原點，分別以，，所在直線為軸建立如圖的空間直角坐標系(1)求平面的一個法向量；(2)求點到平面的距離．(1)(2)【分析】（1）依題意求得，設為平面的法向量，由可求得結果；（2）由題知，再結合（1），根據點面距的向量公式求解即可.【詳解】（1）解：由題意可知，則.設為平面的法向量，所以，，令，則,所以平面的法向量為.（2）解：由（1）知，，平面的法向量為所以，，所以，點到平面的距離為21．過點作直線交軸、軸的正半軸于兩點，為坐標原點．（1）當的面積為時，求直線的方程；（2）當的面積最小時，求直線的方程．（1）或（2）【分析】（1）根據條件寫出直線方程：，再由直線方程求得直線與軸的截距，利用直角三角形的面積公式利用已知得求得第一問，（2）建立關于面積的目標函數，求目標函數的最小值4，取等號的條件是，故此時直線方程為【詳解】（1）設直線方程為，分別令得，，故三角形的面積為，解得或，故所求直線為或；（2）由（1）知，因為,,故,當且僅當時等號成立，此時，的方程為．22．如圖，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的對角線交于點F，G為的中點，，.(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)在線段上是否存在一點H，使得與平面所成角的大小為？若存在，求出的長；若不存在，說明理由.(1)證明見解析；(2)；(3)存在，.【分析】（1）利用線面平行的判定定理即可證明；（2）證明出，.利用向量法求解；（3）利