2022-2023學年江蘇省鹽城市阜寧中學高二上學期期中數學試題一、單選題1．已知直線經過點，，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．B【分析】由斜率公式，傾斜角與斜率的關系求解，【詳解】由題意得，則的傾斜角為，故選：B2．已知直線在軸與軸上的截距相等，則實數的值為（

）A． B． C．或 D．或C【分析】分和兩種情況討論，分別求出坐標軸上的截距，從而可得出答案.【詳解】解：當時，直線，在軸上沒有截距，不符題意，當時，令，則，令，則，則，解得或，綜上或.故選：C.3．已知數列滿足，若，則（

）A． B． C． D．B【分析】由遞推公式結合逐項求解即可.【詳解】由，得，，，，故選：B4．已知雙曲線，則當實數變化時，這些雙曲線有（

）A．相同的焦點 B．相同的實軸長 C．相同的離心率 D．相同的漸近線D【分析】分別求與時雙曲線的的值，由此判斷各選項的對錯.【詳解】當時，方程可化為，∴，，，焦點坐標在x軸，實軸長為，離心率為，漸近線為，當時，方程可化為，∴，，，焦點坐標在y軸，實軸長為，離心率為，漸近線為，所以這些雙曲線有相同的漸近線.故選：D.5．阿基米德是古希臘著名的數學家、物理學家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．已知在平面直角坐標系中，橢圓的面積為，兩焦點與短軸的一個端點構成等邊三角形，則橢圓的方程為（

）A． B．C． D．B【分析】由橢圓面積公式求得關于的關系式，結合等邊三角形性質可得的基本關系，聯立方程即可求解.【詳解】由橢圓面積公式可得，當時，①，如圖，當為等邊三角形時，②，聯立①②得：，故橢圓的方程為.故選：B6．設等比數列的前項和為，公比，且，則（

）A． B． C． D．A【分析】考慮，兩種情況，代入公式化簡得到，再計算得到答案.【詳解】當時，，不成立；當時，，即，解得，.故選：A7．拋物線有如下光學性質：經過拋物線焦點的光線經拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線，一條平行于軸的光線從點射出，經過拋物線上的點反射后，與拋物線交于點，若的面積是，則的值為（

）A． B． C． D．D【分析】根據軸知點縱坐標為，代入拋物線方程可求點橫坐標，利用和求出直線的方程，代入拋物線方程消去可得根與系數關系，根據拋物線焦點弦長公式可求長度，利用點到直線距離公式可求到直線的距離，根據即可求出．【詳解】解：由題知拋物線焦點為，軸，將代入得，則為，由題可知、、三點共線，所以方程為：，即，代入拋物線方程消去得，，設方程兩根為、，則，則，又到：的距離，∴由得，解得或（舍去）．故選：D．8．設點是橢圓上一點，分別是橢圓的左、右焦點，若的內切圓半徑的最大值為（為橢圓的半焦距），則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．C【分析】由等面積法列出表達式，將所有變量全部代換為和，齊次化可求解.【詳解】如圖所示，結合橢圓第一定義，，則，，要使最大，則，即，整理得：，同時平方得，整理得，同時除以得：，解得或1（舍去），故.故選：C二、多選題9．已知直線，下列說法正確的是（

）A．若直線與直線平行，則B．當時，直線與直線垂直C．當時，點到直線的距離為D．存在實數，使得直線與兩坐標軸圍成的三角形面積為BD【分析】由直線的位置關系，點到直線的距離公式對選項逐一判斷，【詳解】對于A，若與直線，則，得或，經檢驗兩直線平行，故A錯誤，對于B，當時，與直線垂直，故B正確，對于C，當時，，點到直線的距離為，故C錯誤，對于D，直線過定點，當直線過或時，直線與兩坐標軸圍成的三角形面積為，由或解得或，故D正確，故選：BD10．已知直線，圓，則（

）A．直線恒過定點B．當直線與圓相切時，C．當時，直線被圓截得的弦長為D．當時，直線上存在點，使得以為圓心，為半徑的圓與圓相交ACD【分析】由直線的方程，直線與圓，圓與圓的位置關系對選項逐一判斷，【詳解】對于A，方程可化為，由得，故直線恒過定點，故A正確，對于B，當與圓相切時，則圓心到直線距離，解得，故B錯誤，對于C，當時，直線方程為，圓心到直線距離，則直線被圓截得的弦長為，故C正確，對于D，當時，直線方程為，圓心到直線的距離，則直線上存在點使得以為圓心，為半徑的圓與圓相交，故D正確，故選：ACD11．已知橢圓的左、右焦點分別為，點為橢圓的一個動點，點，則下列結論正確的是（

）A．的周長為 B．的面積最大值為C．存在點，使得 D．的最大值為ABD【分析】利用橢圓的定義及幾何性質逐項判斷即可.【詳解】對A，由橢圓，可得的周長為：，故A正確；對B，當P為橢圓短軸頂點時，的面積最大，且最大面積為：，故B正確；對C，當P為橢圓短軸頂點時，為最大，此時，即為銳角，所以不存在點P使得，故C錯誤；對D，由橢圓，所以，又，所以，所以，故D正確.故選：ABD.12．設等差數列的前項和為，若，且，則（

）A．數列為遞增數列 B．和均為的最小值C．存在正整數，使得 D．存在正整數，使得ACD【分析】A選項，由得到，結合，得到，求出，A正確；由得到，從而求出，得到，，求出為的最小值，B錯誤；，解方程，求出，C正確；求出，，列出方程，求出，D正確.【詳解】設等差數列的公差為，因為時，，即，故，因為，所以，即，因為恒成立，所以，故等差數列為遞增數列，A正確；則，即，故，由A選項知，故，，所以，故為的最小值，B錯誤；，因為，故當時，，所以存在正整數，使得，C正確；，，令，因為，解得：存在正整數，使得，D正確.故選：ACD三、填空題13．過兩條直線與的交點，且斜率為的直線的方程為_________．【分析】聯立直線方程得交點坐標，求點斜式方程，【詳解】由解得，故的方程為，即，故14．已知拋物線的準線方程為，則實數_________．【分析】將拋物線化為標準形式，則其準線為.【詳解】由可得，則其準線為：，得.故15．在平面直角坐標系中，過雙曲線的右頂點作軸的垂線，與的一條漸近線相交于點，若以的右焦點為圓心、半徑為的圓經過兩點，則雙曲線的標準方程為_________．【分析】由雙曲線的性質求解，【詳解】由題意得，雙曲線的漸近線為，設，，則，，而，解得雙曲線的標準方程為，故四、雙空題16．已知數列的前項和為，且滿足，，則數列的通項_________；設，數列的前項和為，則_________．

【分析】先由題設條件得到是等差數列，從而求得，由此可得，進而得到，再利用裂項相消法即可求得.【詳解】因為，且，則，所以是以為首項，為公差的等差數列，則，則，當時，，當時，滿足，所以，所以，故.故；.五、解答題17．已知圓．(1)若點在圓的外部，求實數的取值范圍；(2)若圓與圓相切，求實數的值．(1)(2)或【分析】（1）根據點與圓的位置關系求解（2）根據圓與圓相切求解.【詳解】（1）圓的方程為∵點在圓的外部，

∴，解得∴實數的取值范圍為．（2），，若圓與圓相外切，則，解得：若圓與圓相內切，則，解得：∴當圓與圓相切時，實數的值為或18．已知直線分別與軸、軸相交于兩點，圓．(1)已知直線與直線垂直，且與圓相切，求直線的方程；(2)若點是圓上的一個動點，求的面積的取值范圍．(1)或(2)【分析】（1）先根據垂直設出直線方程，再根據相切即可求出；（2）求出點到直線的距離的最大值和最小值即可求出面積的范圍.【詳解】（1）由直線與直線垂直，設直線的方程為，∵直線與圓相切，∴，解得或，∴直線的方程為或．（2）由題意得，，，又圓心到直線的距離為，∴點到直線的距離的最大值為，最小值為，設點到的距離為，則又的面積，所以.∴的面積的取值范圍為．19．已知數列是等差數列，數列是各項均為正數的等比數列，且，，．(1)求數列和的通項公式；(2)設，求數列的前項和．(1)，(2)【分析】（1）由等差數列與等比數列的性質列式求解，（2）由分組求和法求解，【詳解】（1）設等差數列的公差為，等比數列的公比為，且由題意得：，又，，解得：，∴，．（2）∴．20．已知雙曲線的一條漸近線方程是，焦距為．(1)求雙曲線的標準方程；(2)過點的直線與雙曲線在軸右側相交于兩點，線段的垂直平分線與軸相交于點，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．(1)(2)是定值，定值為【分析】（1）根據，，以及，求解即可；（2）設直線的方程為與橢圓聯立，利用弦長公式表示，表示出垂直平分線方程，得到，再表示，作比值即得解.【詳解】（1）由題意得：，，，解得：，，∴雙曲線的標準方程為．（2）由題意可知，直線的斜率一定存在，且不為0設直線的方程為，，.聯立方程組，消去整理得，則，整理得．

∴，

，∴線段的垂直平分線的方程為：，令得：，即，

∴．∴，

∴是定值，且該定值為．21．已知等差數列的前項和為，且，，設數列的前項和為．(1)求數列和的通項公式；(2)設，數列的前項和為，且不等式對任意恒成立，求正整數的最大值．(1)，(2)【分析】（1）由等差數列的通項公式與前項和公式列列方程組求解，由與的關系求解，（2）轉化為最值問題求解，【詳解】（1）設等差數列的公差為，則，解得：

∴．由得：當時，又適合上式，所以．（2）不等式對任意恒成立則，顯然，則為單調遞增數列，，正整數的最大值為．22．如圖，已知橢圓經過點，離心率為，圓以橢圓的短軸為直徑．過橢圓的右頂點作兩條互相垂直的直線，且直線交橢圓于另一點，直線交圓于兩點．(1)求橢圓和圓的標準方程；(2)當的面積最大時，求直線的方程．(1)橢圓的方程為，圓的方程為(2)【分析】（1）采用待定系數法，結合橢