(完滿word版)高中物理八大解題方法之五極值法(完滿word版)高中物理八大解題方法之五極值法14/14(完滿word版)高中物理八大解題方法之五極值法高中物理解題方法之極值法江蘇省特級教師戴儒京高中物理中的極值問題，是物理授課研究中的活躍話題。本文經(jīng)過例題歸納綜合出極值問題的四種主要解法。一、二次函數(shù)求極值二次函數(shù)yax2bxca(xb)2b24ac，當xb2a4a2a

時，y有極值4acb2，若a>0，為極小值，若a<0，為極大值。ym4a例1試證明在非彈性碰撞中，完滿非彈性碰撞(碰撞后兩物體粘合在一起)動能損失最大。設第一個物體的質量為m1，速度為V1。第二個物體的質量為m2，速度為V2。碰撞今后的速度分別為V1和V2。若是這四個速度都在一條直線上。依照動量守恒定律有：m1V1m2V2m1V1m2V2（1）假如是完整非彈性碰撞，兩物體粘合在一起，（1）則變?yōu)閙1V1m2V2(m1m2)V，即Vm1V1m2V2（2）m1m2現(xiàn)在就是要證明，在滿足（1）式的碰撞中，動能損失最大的情況是（2）式。碰撞中動能損失為22Ek=(m1v12m2v22)(m1v1m2v2)（3）2222轉變?yōu)閿?shù)學問題：Ek為v的二次函數(shù):(m1v1m2v2m1v1)（4）由（1）得：v2ˊ=m2將（4）代入（3）得：Ek=m1(m1m2)v1'2m1(m1v1m2v2)v1'[m1v12m2v22(m1v1m2v2)2]2mm2222m2二次函數(shù)求極值,-1-當v1ˊ=(m1v1m2v2)（5）時(m1m2)Ek有極大值?；氐轿锢韱栴},將（5）代入（4）得v2ˊ=(m1v1m2v2)(m1m2)此兩式表示,m12碰后速度相等,即粘合在一起k和m,此時動能損失(E)最大。二、由公式(ab)20得a2b22ab當ab時，a2b2有極小值2ab，若a1，此時極小值為2。b同理，ab的極大值為a2b2。2例2求彈性正碰中m1所傳達給m2的動能最大或最小的條件。設一個質量為m1，動能為Ek的物體與一個質量為m2的不動的物體正碰，假定發(fā)生的是彈性碰撞，試談論m1傳達給m2動能最大或最小的條件。設m1原來的速度為V1，碰撞后兩物體的速度分別為V1和V2，依照彈性正碰中的動量守恒和動能守恒，有方程組：m1V1m1V1m2V212121'2m1V1m1V12m2V222解此方程得：V1m1m2V1，V22m1V1m1m2m1m2m1傳達給m2動能，即為m2獲得的動能：Ek21m2V221m2(2m1V1)24m1m22Ek。22m1m2(m1m2)現(xiàn)在求Ek2的極值條件和極值。Ek24m1m2m22Ek4Ekm122m1m2m12m2m2m1當m1=m2時m1m2有極小值2，因此當m1=m2時，Ek2有極大值Ek，即m1m2m1-2-傳達給m2動能最大的條件是二者質量相等。此時m1的全部動能傳達給m2，也就是說：碰撞此后V1=0，V2V1。這在物理學史上有一段趣聞，在建立不久的英國皇家學會的一次例會上，一位工程師的表演引起了與會者的極大興趣：兩個質量相同的鋼球A和B，分別吊在細繩上，靜止時緊靠在一起，使A球偏開一個角度后松開，它回到原來的地址時撞上B球，碰撞后A球靜止下來，B球擺到與A求原來高度幾乎相等的高度。惠斯通經(jīng)過對此現(xiàn)象的研究和講解中確定了動能的定義。此問題可擴大到第二個物體原來不靜止的情況。設m2碰前的速度為V2，則方程組變?yōu)椋簃1V1m2V2m1V2'm2V21m1V121m2V221m1V121m2V222222其解為：V1'm1m2V12m2V2m1m2m1m2V22m1V1m2m1V2m1m2m1m2則EkEk2Ek21'212的表達式代入此式，并且以Ek12m2V2m2V2，將V2112代入222m1V1，以Ek2代入2m2V2，得：Ek4m1m2(Ek1Ek2)2m1m2(m1m2)12(m1m2)2(m1m2)2V1V2，當m=m時，因后項為零，前項取最大值，故Ek取最大值。此時，m1把原來m2多的那部分動能全部傳達給m2。三、三角函數(shù)求極值：三角函數(shù)ysinx，當x0時，y取最小值0，當x時，y取最大值1，（x在20到2范圍內(nèi)），同理，ycosx,x0時，y取最大值1，x時，y取最小值0。2例3在傾角=300的斜面上，放置一個重量為200牛頓的物體，物體與斜面間的滑動摩擦系數(shù)為3，要使物體沿斜面勻速向上搬動，所加的力最少要多大？方向怎樣？3設所加的外力F與斜面夾角為a，物體受力情況以下列圖。NF-3-fG因為物體作勻速直線運動，依照共點力的平衡條件，有方程組：Fcosamgsinf0NFsinamgcos0fN解此方程組，消去N，得：mg(sincos)Fsina，cosa因為為已知，故分子為定值，分母是變量為a的三角函數(shù)，令ycosasina12(1cosasin)121212(sincoscossina)12sin(a)其中，sin1，cos12即tg121當a900時，即a900時，y取最大值1

，2，F(xiàn)最小值為mg(sincos)，因為3，即tg3，因此600將mg200N，123300，3，代入上式得：當a900600300時，F(xiàn)最小值為1003N，約為3173N。四、導數(shù)法求極值：一般的函數(shù)yf(x)，求一階導數(shù)yf(x)，令其為零時的x值x0，即為y取極值的條件；再求二階導數(shù)yf(x)，當xx0時，若y0，則上述極值為極小值；若y0，則為極大值。-4-例4在用滑線式電橋測電阻的實驗中，觸頭在滑線中點周邊平衡時，實驗誤差較小。RIgRxGl1l2證明：設滑線長為l，觸點一邊長為l1，則另一邊長為l2ll1。當電橋平衡時，待測電阻Rx的計算式是：RxRl2，求其全微分為：l1l2RRl2dRxl1dRl1dl2l12dl1Rxl2Rl2Rl2l1l1Rl12l1兩邊同除以RxRl2，得：l1RxRl2l1，這就是待測電阻的相對誤差的表達式。RxRl1l2因R與滑線長度的讀數(shù)誤差沒關，故此項不再考慮，將l2ll1代入，并考慮到Rl1l2（同一尺上的讀數(shù)誤差），得上式中后兩項之和（設為r）為：rll1，設l1的系數(shù)為Rl1，ll1(ll1)l1求R對l1的導數(shù)：dRll(2l1l)l，dl1(ll)2l1(ll1)2=2l1)2l1(l-5-l當l1時，值為0，此時R有極值，再求二階導數(shù)：2d2R2ll12(ll1)2(2l1l)l[2l1(ll1)2l12(ll1)]dl12=l14(ll1)4l當l1時，大于0，故此時R有極小值，即說明滑動觸頭在中點平衡時，實驗誤差最2小。除了上述四種基本方法以外，還可以夠用不等式求極值，也能夠依照物理中的臨界條件求極值，等等。從上述例題能夠看出：用求極值方法解決物理問題的要點在于：把物理問題轉變?yōu)閿?shù)學問題，第一要正確地解析物理過程，建立正確的物理模型或物理圖景，合適地運用物理規(guī)律和物理公式，正確地把物理問題轉變?yōu)閿?shù)學問題，爾后才能用極值方法去解。五、平拋運動中的極值問題1．一探險隊員在探險時遇到一山溝，山溝的一側豎直，另一側的坡面呈拋物線形狀。此隊員從山溝的豎直一側，以速度v0沿水平方向跳向另一側坡面。以下列圖，以溝底的O點為原點建立坐標系Oxy。已知：山溝豎直一側的高度為2h，坡面的拋物線方程為y=1x2，探險隊員2h的質量為m。人視為質點，忽略空氣阻力，重力加速度為g。（1）求此人落到坡面時的動能；（2）此人水平跳出的速度為多大時，他落在坡面時的動能最?。縿幽艿淖钚≈禐槎嗌伲俊窘馕觥?6-（1）平拋運動的分解：xv0t，y2h1gt2（注意：此處不能夠像平時那樣寫12成ygt2，因為本題是以圖中的O點為坐標原點，以向上為正方向。而21gt2是以拋出點為原點、以向下為正方向獲得的），得平平時的公式y(tǒng)2拋運動的軌跡方程y2hg2x2，此方程與坡面的拋物線方程為2v0222hv2y=1，y0x2的交點為x4hv0v2gh。2hv02gh0依照機械能守恒，mg2h1mv02mgyEk2124g2h2解得Ekm（v0）2v02gh（2）【解法1：配方法求極值】動能公式可改寫為Ek1m（v02gh2gh}23gh，當v0gh時，括號內(nèi)的值為0，2v02gh平方項取極小值，這時，動能取極小值Ekmin3mgh。2【解法2：求導法求極值】求Ek2mgh1mv022mg2h2關于v0的導數(shù)2v02ghEk(v0)'mv04mg2h2v0并令其等于0，解合適此人水平跳出的速度為2gh)2(v0v0gh時，他落在坡面時的動能最小，動能的最小值為Ekmin3mgh。22.在游樂節(jié)目中，選手需要借助懸掛在高處的繩飛越到水面的浮臺上，小明和小陽觀看后對此進行了談論。以下列圖，他們將選手簡化為質量m=60kg的質點，選手抓住繩由靜止開始搖動，此時繩與豎直方向夾角=530，繩的懸掛點O距水面的高度為H=3m不.考慮空氣阻力和繩的質量，浮臺露出水面的高度不計，水足夠深。取重力加速度g10m/s2，sin53o0.8，cos53o0.6o1）求選手擺到最低點時對繩拉力的大小F；2）若繩長l=2m,選手擺到最高點時松手落下手中。設水對選手的平均浮力-7-f1800N，平均阻力f2700N，求選手落入水中的深度d；3）若選手擺到最低點時松手，小明認為繩越長，在浮臺上的落點距岸邊越遠；小陽認為繩越短，落點距岸邊越遠，請經(jīng)過計算說明你的看法?！窘馕觥浚ǎC械能守恒mg（－cos）＝1mv2①1l12圓周運動v2F′－mg＝ml解得F′＝（－2cos）mg3依照牛頓第三定律，人對繩的拉力F＝F′F＝1080N（2）動能定理mgHdf1f2d（－lcos＋）－（＋）＝0則dmg(Hlcos)f1f2mg解得(3)選手從最低點開始做平拋運動x=vtH-l=1gt22且有①式解得x=2l(Hl)(1cos)【解法1】配方法：令yl(Hl)l2Hl(lH)2H224-8-當l=H時，y有最大值H2,即解得l=1.5m時，選手在浮臺上的落點距岸24邊越遠為x61m。10【解法2】求導法：令yl(Hl)l2Hl，求導y(l)'2lH,當l=H2時，y(l)'0，此時y有最大值H2,即解得l時，選手在浮臺上的落點距4岸邊越遠為x61m。10因此，兩人的看法均不正確.當繩長越湊近1.5m時，落點距岸邊越遠.3.以下列圖，長為L、內(nèi)壁圓滑的直管與水平川面成30°角固定放置。將一質量為m的小球固定在管底，用一輕質圓滑細線將小球與質量為M=km的小物塊相連，小物塊懸掛于管口?，F(xiàn)將小球釋放，一段時間后，小物塊落地靜止不動，小球連續(xù)向上運動，經(jīng)過管口的轉向裝置后做平拋運動，小球在轉向過程中速率不變。（重力加速度為g）1）求小物塊下落過程中的加速度大小；2）求小球從管口拋出時的速度大?。?）試證明小球平拋運動的水平位移總小于【解析】（1）設細線中的張力為T，依照牛頓第二定律：，，且。解得：（2）【解法1】用牛頓定律和運動學公式解。分兩個階段研究，第一階段到M落地，設M落地時的速度大小為，勻變速直線運動。第-9-二階段到m射出管口，設m射出管口時速度大小為，M落地后m的加速度大小為，依照牛頓第二定律mgsin300ma0，v02v22a0L(1sin300)。解得k>2）【解法2】用動能定理解：在物塊M下落過程中，設M落地時的速度大小為，依照動能定理MgLsin300mgLsin3001(Mm)v2，將Mkm代入，解得22k12k12gLv2(kgL.在物塊M落地后，小物塊m上滑到頂端的過程中，k11)設m射出管口時速度大小為，依照動能定理：mgLsin3001mv021mv2，222解得。（3）平拋運動，。解得因為，因此，得證?！咀⒁狻康冢?）問中要分M落地前和落地后兩段計算，因為兩段的加速度不相等。在用動能定理時，也要分兩個階段，有的同學企圖畢其功于一役，寫出動能定理MgLsinmgLsin1mv02，解得v0(k1)gL是錯誤的，錯2誤的原因在于認為M落地后速度為0，這個速度為0，是M與地面碰撞今后的結果，其實不是M下落和m上滑的結果?！菊務摗勘绢}觀察牛頓第二定律，勻加速運動的公式及平拋運動規(guī)律。難度：中等偏難。例4.水上滑梯可簡化成以下列圖的模型：傾角為θ=37°斜滑道AB和水圓滑道BC圓滑連接（設經(jīng)過B點前后速度大小不變），起點A距水面的高度，BC長，端點C距水面的高度．一質量m=50kg的運動員從滑道起點A無初速地自由滑下，運動員與AB、BC間的動摩擦因數(shù)均為μ=0.1．（取重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，運動員在運動過程中可視為質點）-10-1）求運動員沿AB下滑時加速度的大小a；2）求運動員從A滑到C的過程中戰(zhàn)勝摩擦力所做的功W和到達C點時速度的大小v；（3）保持水圓滑道端點在同一豎直線上，調治水圓滑道高度h和長度d到圖中B′C′地址時，運動員從滑梯平拋到水面的水平位移最大，求此時滑道B′C′距水面的高度h′．【解析】運動員沿AB下滑時，受力情況以下列圖Ff=μFN=μmgcosθ依照牛頓第二定律：mgsin-μmgcosθ=ma得運動員沿AB下滑時加速度的大小為：a=gsinθ-μgcosθ=5.2m/s2（2）運動員從A滑到C的過程中，戰(zhàn)勝摩擦力做功為：Wf=μmgcosθHhμμ（H-h）sin+mgd=mg[d+cotθ]=0.15010×10=500J12由動能定理得：mg（H-h）-Wf=mv2解得運動員滑到C點時速度的大小v=10m/s（3）在從C’點滑出至落到水面的過程中，運動員做平拋運動的時間為t，h’=1gt2，t=2h’2g下滑過程中戰(zhàn)勝摩擦做功保持不變Wf=500J-11-依照動能定理得：mg（H-h’）-Wf=1mv’2，解得v’=2g(H1h')2運動員在水平方向的位移：x=v’t═2g(H1-h')2h'=4(H1-h')h'g【解法1】配方法：令y(H1-h')h'(h'H1)2(H1)224h’=H1═3m時，水平位移最大為x6m。2【解法2】求導法：令y(H1-h')h'h'2(H1)h，求導y(h')'2h'H1,h’=H1═3m時，水平位移最大為x6m。。2答：（1）運動員沿AB下滑時加速度的大小a為2；（2）運動員從A滑到C的過程中戰(zhàn)勝摩擦力所做的功W為500J，到達C點時速度的大小為10m/s；（3）滑道B′C′距水面的高度h′為3m．【注意】為什么說下滑過程中戰(zhàn)勝摩擦做功保持不變呢？因為戰(zhàn)勝摩擦做功Wf=μmgcosθLμmgd=μmg[Lcos+d],其大小只與水平方向的總長度有關，而與水圓滑道高度h沒關。歸納總結：平拋運動中的極值問題，一般解法以下：第一依照平拋運動分解的原理列出平拋運動的方程：xv0t，y1gt2，然2后依照其他條件結合以上兩個公式，把物理問題轉變?yōu)榍髽O值的數(shù)學問題。此后，用數(shù)學方法求極值。方法1：配方法。對形如yax2bxc的二次函數(shù)，配方為ya(xb)24acb2，則當xb時，y有最小值ymin4acb2。2a4a2a4a方法2:求導法。對形如yax2bxc的二次函數(shù)，求其導數(shù)y(x)'2axb，令其等于0，合適xb時，代入得y的最小值ymin4acb2。2a4a最后研究極值的物理意義，把數(shù)學問題回歸到物理問題。六、小船渡河問題-12-位移最小問題。設河寬為d，小船在靜水中的速度為V船，水流速度為V水，小船怎樣渡河到達對岸的位移最小，最小位移是多少？分兩種情況研究：（1）當v船v水時【解析】求位移最小問題。在小船渡河過程中，將船對水的速度沿平行河岸方向和垂直河岸方向正交分解，如圖2。當小船沿平行河岸方向的分速度與水速大小相等，方向相反時，即V1=V水，小船的合速度（V2）就沿垂直河岸方向，這時渡河到達對岸的位移最小，Smin=d。而渡河時間ddt==。v2vsin2河寬60m,小船在靜水中的速度為5m/