2.8

函數與方程2.8函數與方程-2-知識梳理考點自診1.函數的零點(1)函數零點的定義對于函數y=f(x)(x∈D),把使

成立的實數x叫做函數y=f(x)(x∈D)的零點.

(2)與函數零點有關的等價關系方程f(x)=0有實數根?函數y=f(x)的圖像與

有交點?函數y=f(x)有

.

(3)函數零點的判定(零點存在性定理)f(x)=0x軸

零點

連續不斷的

f(a)·f(b)<0f(x0)=0-2-知識梳理考點自診1.函數的零點f(x)=0x軸零點-3-知識梳理考點自診2.二次函數y=ax2+bx+c(a>0)的圖像與零點的關系(x1,0),(x2,0)(x1,0)2103.二分法函數y=f(x)的圖像在區間[a,b]上連續不斷,且

,通過不斷地把函數f(x)的零點所在的區間

,使區間的兩個端點逐步逼近

,進而得到零點近似值的方法叫做二分法.

f(a)·f(b)<0一分為二

零點

-3-知識梳理考點自診2.二次函數y=ax2+bx+-4-知識梳理考點自診1.若y=f(x)在閉區間[a,b]上的圖像連續不斷,且有f(a)·f(b)<0,則函數y=f(x)一定有零點.2.f(a)·f(b)<0是y=f(x)在閉區間[a,b]上有零點的充分不必要條件.3.若函數f(x)在[a,b]上是單調函數,且f(x)的圖像連續不斷,則f(a)·f(b)<0?函數f(x)在區間[a,b]上只有一個零點.-4-知識梳理考點自診1.若y=f(x)在閉區間[a,b]上-5-知識梳理考點自診1.判斷下列結論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)函數f(x)=x2-1的零點是(-1,0)和(1,0).(

)(2)二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0時沒有零點.(

)(3)只要函數有零點,我們就可以用二分法求出零點的近似值.(

)(4)已知函數f(x)在(a,b)內圖像連續且單調,若f(a)·f(b)<0,則函數f(x)在[a,b]上有且只有一個零點.(

)(5)函數y=2sinx-1的零點有無數多個.(

)×√×√√-5-知識梳理考點自診1.判斷下列結論是否正確,正確的畫“√-6-知識梳理考點自診2.已知函數y=x2-2x+m無零點,則m的取值范圍為(

)A.m<1 B.m<-1C.m>1 D.m>-1C解析:由Δ=(-2)2-4m<0,得m>1,故選C.3.函數f(x)=lnx+2x-6的零點所在的區間是(

)A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3) D.(3,4)C解析:∵y=ln

x與y=2x-6在(0,+∞)內都是增函數,∴f(x)=ln

x+2x-6在(0,+∞)內是增函數.又f(1)=-4,f(2)=ln

2-2<ln

e-2<0,f(3)=ln

3>0,∴零點在區間(2,3)內,故選C.-6-知識梳理考點自診2.已知函數y=x2-2x+m無零點,-7-知識梳理考點自診4.方程2x+3x=k的解都在[1,2)內,則k的取值范圍為(

)A.5≤k<10 B.5<k≤10C.5≤k≤10 D.5<k<10A解析:令函數f(x)=2x+3x-k,則f(x)在R上是增函數.當方程2x+3x=k的解在(1,2)內時,f(1)·f(2)<0,即(5-k)(10-k)<0,解得5<k<10.當f(1)=0時,k=5,故選A.2解析:當x≤0時,由f(x)=x2+2x-3=0,得x1=1(舍去),x2=-3;當x>0時,由f(x)=-2+ln

x=0,得x=e2,所以函數f(x)的零點個數為2.-7-知識梳理考點自診4.方程2x+3x=k的解都在[1,2-8-考點1考點2考點3判斷函數零點所在的區間例1(1)如圖是二次函數f(x)=x2-bx+a的部分圖像,則函數g(x)=ex+f'(x)的零點所在的大致區間是(

)A.(-1,0) B.(0,1)C.(1,2) D.(2,3)(2)已知函數f(x)=logax+x-b(a>0,且a≠1).當2<a<3<b<4時,函數f(x)的零點x0∈(n,n+1),n∈N+,則n=

.

B2-8-考點1考點2考點3判斷函數零點所在的區間B2-9-考點1考點2考點3所以g(0)g(1)<0.故選B.(2)∵2<a<3<b<4,∴f(1)=loga1+1-b=1-b<0,f(2)=loga2+2-b<0,f(3)=loga3+3-b,又∵loga3>1,-1<3-b<0,∴f(3)>0,即f(2)f(3)<0,故x0∈(2,3),即n=2.-9-考點1考點2考點3所以g(0)g(1)<0.故選B.-10-考點1考點2考點3思考判斷函數y=f(x)在某個區間上是否存在零點的常用方法有哪些?解題心得判斷函數y=f(x)在某個區間上是否存在零點,常用以下方法:(1)解方程:當對應方程易解時,可通過解方程,觀察方程是否有根落在給定區間上.(2)利用函數零點的存在性定理進行判斷:首先看函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖像是否連續,然后看是否有f(a)·f(b)<0.若有,則函數y=f(x)在區間(a,b)內必有零點;若沒有,則不一定有零點.(3)通過畫函數圖像,觀察圖像與x軸在給定區間上是否有交點來判斷.-10-考點1考點2考點3思考判斷函數y=f(x)在某個區間-11-考點1考點2考點3對點訓練1(1)函數f(x)=πx+log2x的零點所在的區間為(

)(2)(2017浙江嘉興模擬)已知函數y=x3與

的圖像的交點為(x0,y0).若x0∈(n,n+1),n∈N,則x0所在的區間是

.

A(1,2)-11-考點1考點2考點3對點訓練1(1)函數f(x)=πx-12-考點1考點2考點3-12-考點1考點2考點3-13-考點1考點2考點3判斷函數零點的個數例2(1)函數f(x)=2x|log0.5x|-1的零點個數為

(

)A.1 B.2 C.3 D.4(2)(2018湖南長郡中學一模,11)已知函數y=f(x)是定義域為R的周期為3的奇函數,且當

時,f(x)=ln(x2-x+1),則方程f(x)=0在區間[0,6]上解的個數是(

)A.5 B.6C.7 D.9BD-13-考點1考點2考點3判斷函數零點的個數BD-14-考點1考點2考點3-14-考點1考點2考點3-15-考點1考點2考點3(2)∵當x∈(0,1.5)時,f(x)=ln(x2-x+1),令f(x)=0,則x2-x+1=1,解得x=1.∵函數f(x)是定義域為R的奇函數,∴在[-1.5,1.5]內,f(-1)=f(1)=0,f(0)=0,f(1.5)=f(-1.5+3)=f(-1.5)=-f(1.5),∴f(1.5)=0.∴f(-1)=f(1)=f(0)=f(1.5)=0,∵函數f(x)是周期為3的周期函數,則方程f(x)=0在區間[0,6]上的解有0,1,1.5,2,3,4,4.5,5,6共9個,故選D.-15-考點1考點2考點3(2)∵當x∈(0,1.5)時,f-16-考點1考點2考點3思考判斷函數零點個數的常用方法有哪些?解題心得判斷函數零點個數的方法:(1)解方程法:若對應方程f(x)=0可解時,通過解方程,有幾個解就有幾個零點.(2)零點存在性定理法:利用定理不僅要判斷函數的圖像在區間[a,b]上是連續不斷的曲線,且f(a)·f(b)<0,還必須結合函數的圖像與性質(如單調性、奇偶性、周期性、對稱性)才能確定函數有多少個零點.(3)數形結合法:轉化為兩個函數的圖像的交點個數問題.先畫出兩個函數的圖像,再看其交點的個數,其中交點的個數就是函數零點的個數.-16-考點1考點2考點3思考判斷函數零點個數的常用方法有哪-17-考點1考點2考點3對點訓練2(1)函數f(x)=sin(πcosx)在區間[0,2π]上的零點個數是(

)A.3 B.4 C.5 D.6(2)(2018河北衡水中學十模,10)設函數f(x)為定義域為R的奇函數,且f(x)=f(2-x),當x∈[0,1]時,f(x)=sinx,則函數g(x)=|cos(πx)|-f(x)在區間

上的所有零點的和為(

)A.6 B.7C.13 D.14CA-17-考點1考點2考點3對點訓練2(1)函數f(x)=si-18-考點1考點2考點3解析:(1)令f(x)=0,得πcos

x=kπ(k∈Z),即cos

x=k(k∈Z),故k=0,1,-1.則x=π,故零點個數為5.(2)由題意,函數f(-x)=-f(x),f(x)=f(2-x),則-f(-x)=f(2-x),可得f(x+4)=f(x),即函數的周期為4,且y=f(x)的圖像關于直線x=1對稱.即方程|cos(πx)|=f(x)的零點,分別畫出y=|cos(πx)|與y=f(x)的大致圖像,∵兩個函數的圖像都關于直線x=1對稱,∴方程|cos(πx)|=f(x)的零點關于直線x=1對稱,由圖像可知交點個數為6個,可得所有零點的和為6,故選A.-18-考點1考點2考點3解析:(1)令f(x)=0,得π-19-考點1考點2考點3函數零點的應用(多考向)考向1

已知函數零點所在區間求參數例3若函數f(x)=log2x+x-k(k∈Z)在區間(2,3)內有零點,則k=

.4解析:由題意可得f(2)f(3)<0,即(log22+2-k)·(log23+3-k)<0,整理得(3-k)(log23+3-k)<0,解得3<k<3+log23,而4<3+log23<5.因為k∈Z,所以k=4.思考已知函數零點所在的區間,怎樣求參數的取值范圍?-19-考點1考點2考點3函數零點的應用(多考向)4解析:由-20-考點1考點2考點3考向2

已知函數零點個數求參數問題

例4(2018全國1,理9)已知函數

,若g(x)存在2個零點,則a的取值范圍是(

)A.[-1,0) B.[0,+∞)

C.[-1,+∞) D.[1,+∞)C解析:要使得方程g(x)=f(x)+x+a有兩個零點,等價于方程f(x)=-x-a有兩個實根,即函數y=f(x)的圖像與直線y=-x-a的圖像有兩個交點,從圖像可知,必須使得直線y=-x-a位于直線y=-x+1的下方,所以-a≤1,即a≥-1.故選C.-20-考點1考點2考點3考向2已知函數零點個數求參數問題-21-考點1考點2考點3思考已知函數有零點(方程有根),求參數的取值范圍常用的方法有哪些?解題心得已知函數有零點(方程有根),求參數的取值范圍常用的方法:(1)直接法:直接根據題設條件構建關于參數的不等式,再通過解不等式確定參數范圍.(2)分離參數法:先將參數分離,再轉化成求函數值域問題加以解決.(3)數形結合法:先對解析式變形,在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖像,再數形結合求解.-21-考點1考點2考點3思考已知函數有零點(方程有根),求-22-考點1考點2考點3對點訓練3(1)已知函數f(x)=2ax-a+3,若存在x0∈(-1,1),f(x0)=0,則實數a的取值范圍是(

)A.(-∞,-3)∪(1,+∞) B.(-∞,-3)C.(-3,1) D.(1,+∞)(2)(2018山東師大附中一模,12)函數f(x)是定義在R上的偶函數,且滿足f(x+2)=f(x),當x∈[0,1]時,f(x)=2x,若在區間[-2,3]上方程ax+2a-f(x)=0恰有四個不相等的實數根,則實數a的取值范圍是(

)AD-22-考點1考點2考點3對點訓練3(1)已知函數f(x)=-23-考點1考點2考點3解析:(1)函數f(x)=2ax-a+3,若存在x0∈(-1,1),f(x0)=0,可得(-3a+3)(a+3)<0,解得a∈(-∞,-3)∪(1,+∞).(2)若在區間[-2,3]上方程ax+2a-f(x)=0恰有四個不相等的實數根,等價于f(x)=a(x+2)有四個不相等的實數根,即函數y=f(x)和g(x)=a(x+2)有四個不同的交點,∵f(x+2)=f(x),∴函數f(x)的周期為2,當-1≤x≤0時,0≤-x≤1,此時f(-x)=-2x.∵f(x)是定義在R上的偶函數,∴f(-x)=-2x=f(x),即f(x)=-2x,-1≤x≤0.作出函數f(x)和g(x)的圖像,-23-考點1考點2考點3解析:(1)函數f(x)=2ax-24-考點1考點2考點3-24-考點1考點2考點3-25-考點1考點2考點31.函數零點的常用判定方法:(1)零點存在性定理;(2)數形結合;(3)解方程f(x)=0.2.研究方程f(x)=g(x)的解,實質就是研究G(x)=f(x)-g(x)的零點.3.轉化思想:方程解的個數問題可轉化為兩個函數圖像交點的個數問題;已知方程有解求參數范圍問題可轉化為函數值域問題.1.函數f(x)的零點是一個實數,是方程f(x)=0的根,也是函數y=f(x)的圖像與x軸交點的橫坐標.2.函數零點存在性定理是零點存在的一個充分條件,而不是必要條件;判斷零點個數還要根據函數的單調性、對稱性或結合函數圖像等綜合考慮.-25-考點1考點2考點31.函數零點的常用判定方法:1.函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

56384866666gjfdghmghm

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56384866666gjfdghmghm

56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm563848666￥1111111111111111111111111111111222222222222222222222222222222222222222222222222222222223333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333344444＄§|β↓×√㎜ɡ?≥≧ɑ←‰?↓←≠￥θ￥?÷㎝??￥＄§|β↓×√㎜②￥◎…ɡ?≥≧ɑ←‰?ɡ?≥≧￥◎…ɡ?≥≧ɑ←‰?ɡ?≥≧－￥???￥＄§|β↓×√㎜??￥＄§|β↓×√㎜↓←≠￥θ￥?÷㎝②￥◎…ɡ?≥≧ɑ←‰???￥＄§|β↓×√㎜ɡ?≥≧ɑ←‰?↓←≠￥θ￥?÷㎝??￥＄§|β↓×√㎜②￥◎…ɡ?≥≧ɑ←‰?ɡ?≥≧￥◎…ɡ?≥≧ɑ←‰?ɡ?≥≧－￥???￥＄§|β↓×√㎜??￥＄§|β↓×√㎜≧ɑ←‰ɡ?≥←‰???↓←≠￥θ￥?÷㎝②￥◎…ɡ?≥≧ɑ←‰???￥＄§|β↓×√㎜ɡ?≥≧ɑ←‰?↓←≠￥θ￥?÷㎝??￥＄§|β↓×√㎜②￥◎…ɡ?≥≧ɑ←‰?ɡ?≥≧￥◎…ɡ?≥≧ɑ←‰?ɡ?≥≧－￥???￥＄§|β↓×√㎜??￥＄§|β↓×√㎜￥＄§|β↓×√㎜??￥＄§|β↓×√㎜￥＄§|β↓×√㎜??￥＄§|β↓×√㎜↓×√㎜↓←②￥←‰???←‰???←‰???←‰???←‰???←‰??↓←≠￥θ￥?÷㎝②￥◎…ɡ?≥≧ɑ←‰???￥＄§|β↓×√㎜ɡ?≥≧ɑ←‰?↓←≠￥θ￥?÷㎝??￥＄§|β↓×√㎜②￥◎…ɡ?≥≧ɑ←‰?ɡ?≥≧￥◎…ɡ?≥≧ɑ←‰?ɡ?≥≧－￥???￥＄§|β↓×√㎜??￥＄§|β↓×√㎜￥＄§|β↓×√㎜??￥＄§|β↓×√㎜￥＄§|β↓×√㎜??￥＄§|β↓×√㎜↓×√㎜↓←②￥←‰???←‰???←‰???←‰???←‰???←‰???↓←≠￥θ￥?÷㎝②￥◎…ɡ?≥≧ɑ←‰???￥＄§|β↓×√㎜ɡ?≥≧ɑ←‰?↓←≠￥θ￥?÷㎝??￥＄§|β↓×√㎜②￥◎…ɡ?≥≧ɑ←‰?ɡ?≥≧￥◎…ɡ?≥≧ɑ←‰?ɡ?≥≧－￥???￥＄§|β↓×√㎜??￥＄§|β↓×√㎜￥＄§|β↓×√㎜??￥＄§|β↓×√￥111111111111111111111111111112.8

函數與方程2.8函數與方程-30-知識梳理考點自診1.函數的零點(1)函數零點的定義對于函數y=f(x)(x∈D),把使

成立的實數x叫做函數y=f(x)(x∈D)的零點.

(2)與函數零點有關的等價關系方程f(x)=0有實數根?函數y=f(x)的圖像與

有交點?函數y=f(x)有

.

(3)函數零點的判定(零點存在性定理)f(x)=0x軸

零點

連續不斷的

f(a)·f(b)<0f(x0)=0-2-知識梳理考點自診1.函數的零點f(x)=0x軸零點-31-知識梳理考點自診2.二次函數y=ax2+bx+c(a>0)的圖像與零點的關系(x1,0),(x2,0)(x1,0)2103.二分法函數y=f(x)的圖像在區間[a,b]上連續不斷,且

,通過不斷地把函數f(x)的零點所在的區間

,使區間的兩個端點逐步逼近

,進而得到零點近似值的方法叫做二分法.

f(a)·f(b)<0一分為二

零點

-3-知識梳理考點自診2.二次函數y=ax2+bx+-32-知識梳理考點自診1.若y=f(x)在閉區間[a,b]上的圖像連續不斷,且有f(a)·f(b)<0,則函數y=f(x)一定有零點.2.f(a)·f(b)<0是y=f(x)在閉區間[a,b]上有零點的充分不必要條件.3.若函數f(x)在[a,b]上是單調函數,且f(x)的圖像連續不斷,則f(a)·f(b)<0?函數f(x)在區間[a,b]上只有一個零點.-4-知識梳理考點自診1.若y=f(x)在閉區間[a,b]上-33-知識梳理考點自診1.判斷下列結論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)函數f(x)=x2-1的零點是(-1,0)和(1,0).(

)(2)二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0時沒有零點.(

)(3)只要函數有零點,我們就可以用二分法求出零點的近似值.(

)(4)已知函數f(x)在(a,b)內圖像連續且單調,若f(a)·f(b)<0,則函數f(x)在[a,b]上有且只有一個零點.(

)(5)函數y=2sinx-1的零點有無數多個.(

)×√×√√-5-知識梳理考點自診1.判斷下列結論是否正確,正確的畫“√-34-知識梳理考點自診2.已知函數y=x2-2x+m無零點,則m的取值范圍為(

)A.m<1 B.m<-1C.m>1 D.m>-1C解析:由Δ=(-2)2-4m<0,得m>1,故選C.3.函數f(x)=lnx+2x-6的零點所在的區間是(

)A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3) D.(3,4)C解析:∵y=ln

x與y=2x-6在(0,+∞)內都是增函數,∴f(x)=ln

x+2x-6在(0,+∞)內是增函數.又f(1)=-4,f(2)=ln

2-2<ln

e-2<0,f(3)=ln

3>0,∴零點在區間(2,3)內,故選C.-6-知識梳理考點自診2.已知函數y=x2-2x+m無零點,-35-知識梳理考點自診4.方程2x+3x=k的解都在[1,2)內,則k的取值范圍為(

)A.5≤k<10 B.5<k≤10C.5≤k≤10 D.5<k<10A解析:令函數f(x)=2x+3x-k,則f(x)在R上是增函數.當方程2x+3x=k的解在(1,2)內時,f(1)·f(2)<0,即(5-k)(10-k)<0,解得5<k<10.當f(1)=0時,k=5,故選A.2解析:當x≤0時,由f(x)=x2+2x-3=0,得x1=1(舍去),x2=-3;當x>0時,由f(x)=-2+ln

x=0,得x=e2,所以函數f(x)的零點個數為2.-7-知識梳理考點自診4.方程2x+3x=k的解都在[1,2-36-考點1考點2考點3判斷函數零點所在的區間例1(1)如圖是二次函數f(x)=x2-bx+a的部分圖像,則函數g(x)=ex+f'(x)的零點所在的大致區間是(

)A.(-1,0) B.(0,1)C.(1,2) D.(2,3)(2)已知函數f(x)=logax+x-b(a>0,且a≠1).當2<a<3<b<4時,函數f(x)的零點x0∈(n,n+1),n∈N+,則n=

.

B2-8-考點1考點2考點3判斷函數零點所在的區間B2-37-考點1考點2考點3所以g(0)g(1)<0.故選B.(2)∵2<a<3<b<4,∴f(1)=loga1+1-b=1-b<0,f(2)=loga2+2-b<0,f(3)=loga3+3-b,又∵loga3>1,-1<3-b<0,∴f(3)>0,即f(2)f(3)<0,故x0∈(2,3),即n=2.-9-考點1考點2考點3所以g(0)g(1)<0.故選B.-38-考點1考點2考點3思考判斷函數y=f(x)在某個區間上是否存在零點的常用方法有哪些?解題心得判斷函數y=f(x)在某個區間上是否存在零點,常用以下方法:(1)解方程:當對應方程易解時,可通過解方程,觀察方程是否有根落在給定區間上.(2)利用函數零點的存在性定理進行判斷:首先看函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖像是否連續,然后看是否有f(a)·f(b)<0.若有,則函數y=f(x)在區間(a,b)內必有零點;若沒有,則不一定有零點.(3)通過畫函數圖像,觀察圖像與x軸在給定區間上是否有交點來判斷.-10-考點1考點2考點3思考判斷函數y=f(x)在某個區間-39-考點1考點2考點3對點訓練1(1)函數f(x)=πx+log2x的零點所在的區間為(

)(2)(2017浙江嘉興模擬)已知函數y=x3與

的圖像的交點為(x0,y0).若x0∈(n,n+1),n∈N,則x0所在的區間是

.

A(1,2)-11-考點1考點2考點3對點訓練1(1)函數f(x)=πx-40-考點1考點2考點3-12-考點1考點2考點3-41-考點1考點2考點3判斷函數零點的個數例2(1)函數f(x)=2x|log0.5x|-1的零點個數為

(

)A.1 B.2 C.3 D.4(2)(2018湖南長郡中學一模,11)已知函數y=f(x)是定義域為R的周期為3的奇函數,且當

時,f(x)=ln(x2-x+1),則方程f(x)=0在區間[0,6]上解的個數是(

)A.5 B.6C.7 D.9BD-13-考點1考點2考點3判斷函數零點的個數BD-42-考點1考點2考點3-14-考點1考點2考點3-43-考點1考點2考點3(2)∵當x∈(0,1.5)時,f(x)=ln(x2-x+1),令f(x)=0,則x2-x+1=1,解得x=1.∵函數f(x)是定義域為R的奇函數,∴在[-1.5,1.5]內,f(-1)=f(1)=0,f(0)=0,f(1.5)=f(-1.5+3)=f(-1.5)=-f(1.5),∴f(1.5)=0.∴f(-1)=f(1)=f(0)=f(1.5)=0,∵函數f(x)是周期為3的周期函數,則方程f(x)=0在區間[0,6]上的解有0,1,1.5,2,3,4,4.5,5,6共9個,故選D.-15-考點1考點2考點3(2)∵當x∈(0,1.5)時,f-44-考點1考點2考點3思考判斷函數零點個數的常用方法有哪些?解題心得判斷函數零點個數的方法:(1)解方程法:若對應方程f(x)=0可解時,通過解方程,有幾個解就有幾個零點.(2)零點存在性定理法:利用定理不僅要判斷函數的圖像在區間[a,b]上是連續不斷的曲線,且f(a)·f(b)<0,還必須結合函數的圖像與性質(如單調性、奇偶性、周期性、對稱性)才能確定函數有多少個零點.(3)數形結合法:轉化為兩個函數的圖像的交點個數問題.先畫出兩個函數的圖像,再看其交點的個數,其中交點的個數就是函數零點的個數.-16-考點1考點2考點3思考判斷函數零點個數的常用方法有哪-45-考點1考點2考點3對點訓練2(1)函數f(x)=sin(πcosx)在區間[0,2π]上的零點個數是(

)A.3 B.4 C.5 D.6(2)(2018河北衡水中學十模,10)設函數f(x)為定義域為R的奇函數,且f(x)=f(2-x),當x∈[0,1]時,f(x)=sinx,則函數g(x)=|cos(πx)|-f(x)在區間

上的所有零點的和為(

)A.6 B.7C.13 D.14CA-17-考點1考點2考點3對點訓練2(1)函數f(x)=si-46-考點1考點2考點3解析:(1)令f(x)=0,得πcos

x=kπ(k∈Z),即cos

x=k(k∈Z),故k=0,1,-1.則x=π,故零點個數為5.(2)由題意,函數f(-x)=-f(x),f(x)=f(2-x),則-f(-x)=f(2-x),可得f(x+4)=f(x),即函數的周期為4,且y=f(x)的圖像關于直線x=1對稱.即方程|cos(πx)|=f(x)的零點,分別畫出y=|cos(πx)|與y=f(x)的大致圖像,∵兩個函數的圖像都關于直線x=1對稱,∴方程|cos(πx)|=f(x)的零點關于直線x=1對稱,由圖像可知交點個數為6個,可得所有零點的和為6,故選A.-18-考點1考點2考點3解析:(1)令f(x)=0,得π-47-考點1考點2考點3函數零點的應用(多考向)考向1

已知函數零點所在區間求參數例3若函數f(x)=log2x+x-k(k∈Z)在區間(2,3)內有零點,則k=

.4解析:由題意可得f(2)f(3)<0,即(log22+2-k)·(log23+3-k)<0,整理得(3-k)(log23+3-k)<0,解得3<k<3+log23,而4<3+log23<5.因為k∈Z,所以k=4.思考已知函數零點所在的區間,怎樣求參數的取值范圍?-19-考點1考點2考點3函數零點的應用(多考向)4解析:由-48-考點1考點2考點3考向2

已知函數零點個數求參數問題

例4(2018全國1,理9)已知函數

,若g(x)存在2個零點,則a的取值范圍是(

)A.[-1,0) B.[0,+∞)

C.[-1,+∞) D.[1,+∞)C解析:要使得方程g(x)=f(x)+x+a有兩個零點,等價于方程f(x)=-x-a有兩個實根,即函數y=f(x)的圖像與直線y=-x-a的圖像有兩個交點,從圖像可知,必須使得直線y=-x-a位于直線y=-x+1的下方,所以-a≤1,即a≥-1.故選C.-20-考點1考點2考點3考向2已知函數零點個數求參數問題-49-考點1考點2考點3思考已知函數有零點(方程有根),求參數的取值范圍常用的方法有哪些?解題心得已知函數有零點(方程有根),求參數的取值范圍常用的方法:(1)直接法:直接根據題設條件構建關于參數的不等式,再通過解不等式確定參數范圍.(2)分離參數法:先將參數分離,再轉化成求函數值域問題加以解決.(3)數形結合法:先對解析式變形,在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖像,再數形結合求解.-21-考點1考點2考點3思考已知函數有零點(方程有根),求-50-考點1考點2考點3對點訓練3(1)已知函數f(x)=2ax-a+3,若存在x0∈(-1,1),f(x0)=0,則實數a的取值范圍是(

)A.(-∞,-3)∪(1,+∞) B.(-∞,-3)C.(-3,1) D.(1,+∞)(2)(2018山東師大附中一模,12)函數f(x)是定義在R上的偶函數,且滿足f(x+2)=f(x),當x∈[0,1]時,f(x)=2x,若在區間[-2,3]上方程ax+2a-f(x)=0恰有四個不相等的實數根,則實數a的取值范圍是(

)AD-22-考點1考點2考點3對點訓練3(1)已知函數f(x)=-51-考點1考點2考點3解析:(1)函數f(x)=2ax-a+3,若存在x0∈(-1,1),f(x0)=0,可得(-3a+3)(a+3)<0,解得a∈(-∞,-3)∪(1,+∞).(2)若在區間[-2,3]上方程ax+2a-f(x)=0恰有四個不相等的實數根,等價于f(x)=a(x+2)有四個不相等的實數根,即函數y=f(x)和g(x)=a(x+2)有四個不同的交點,∵f(x+2)=f(x),∴函數f(x)的周期為2,當-1≤x≤0時,0≤-x≤1,此時f(-x)=-2x.∵f(x)是定義在R上的偶函數,∴f(-x)=-2x=f(x),即f(x)=-2x,-1≤x≤0.作出函數f(x)和g(x)的圖像,-23-考點1考點2考點3解析:(1)函數f(x)=2ax-52-考點1考點2考點3-24-考點1考點2考點3-53-考點1考點2考點31.函數零點的常用判定方法:(1)零點存在性定理;(2)數形結合;(3)解方程f(x)=0.2.研究方程f(x)=g(x)的解,實質就是研究G(x)=f(x)-g(x)的零點.3.轉化思想:方程解的個數問題可轉化為兩個函數圖像交點的個數問題;已知方程有解求參數范圍問題可轉化為函數值域問題.1.函數f(x)的零點是一個實數,是方程f(x)=0的根,也是函數y=f(x)的圖像與x軸交點的橫坐標.2.函數零點存在性定理是零點存在的一個充分條件,而不是必要條件;判斷零點個數還要根據函數的單調性、對稱性或結合函數圖像等綜合考慮.-25-考點1考點2考點31.函數零點的常用判定方法:1.函dsfdbsy384y982ythb3oibt4oy39y409705923y09y53b2lkboi2y58wy0ehtoibwoify98wy049ywh4b3oiut89u983yf9ivh98y98sv98hv98ys9f698y9v698yv98x98tb98fyd98gyd98h98ds98nt98d8genklgb4klebtlkb5ktkeirh893y89ey698vhkrnelkh