第二章保險(xiǎn)需求：基礎(chǔ)理論

第二章保險(xiǎn)需求：基礎(chǔ)理論

學(xué)習(xí)目的通過(guò)本章學(xué)習(xí)，熟悉保險(xiǎn)需求模型，學(xué)會(huì)分析保險(xiǎn)需求模型中的收入效應(yīng)和替代效應(yīng)，了解保險(xiǎn)需求模型的一些擴(kuò)展形式；了解保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)分散的機(jī)制，掌握帕累托最優(yōu)保單的分析方法，學(xué)會(huì)分析再保險(xiǎn)市場(chǎng)價(jià)格及保險(xiǎn)市場(chǎng)的均衡。學(xué)習(xí)目的2第一節(jié)保險(xiǎn)需求模型一、簡(jiǎn)單保險(xiǎn)需求模型保險(xiǎn)作為一種商品，可以給個(gè)人消費(fèi)者帶來(lái)效用，但由于保險(xiǎn)金的給付是不確定的，因此保險(xiǎn)消費(fèi)的效用是一種期望效用。從期望效用角度探討個(gè)人和企業(yè)的保險(xiǎn)需求。

第一節(jié)保險(xiǎn)需求模型一、簡(jiǎn)單保險(xiǎn)需求模型（一）個(gè)人的保險(xiǎn)需求1.個(gè)人購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)的原因

假設(shè)一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)厭惡的消費(fèi)者初始財(cái)富為200，其中房屋的價(jià)值是150，若房屋遭遇火災(zāi)后被完全燒毀，則消費(fèi)者災(zāi)后的財(cái)富變?yōu)?0。假設(shè)發(fā)生火災(zāi)的可能性為0.3，則損失的期望值為45(0.3*150)。該消費(fèi)者在沒(méi)有購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)的情況下，其期望效用是：如果一家保險(xiǎn)公司以公平保費(fèi)提供保險(xiǎn)，即收取的保費(fèi)為45，在發(fā)生火災(zāi)時(shí)進(jìn)行全額賠付，消費(fèi)者在購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)后，無(wú)論發(fā)生火災(zāi)還是不發(fā)生火災(zāi)，最終財(cái)富效用都為：（一）個(gè)人的保險(xiǎn)需求20015550財(cái)富效用U(200)U(50)CBDEA圖2-1消費(fèi)者購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)的效用比較20015550財(cái)富效用U(200)U(50)CBDEA圖2假設(shè)一個(gè)消費(fèi)者具有項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)A１，…，Ai，面臨風(fēng)險(xiǎn)的概率分別為P１，…，Pi，在購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)的情況下，消費(fèi)者期望效用為：

未購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)的情況下，消費(fèi)者效用的期望為：

根據(jù)詹森不等式，有，即消費(fèi)者購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)后得到了更大的效用。i假設(shè)一個(gè)消費(fèi)者具有項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)A１，…，Ai，2．個(gè)人的最優(yōu)保險(xiǎn)購(gòu)買(mǎi)假設(shè)一個(gè)消費(fèi)者具有初始財(cái)富，風(fēng)險(xiǎn)事故的損失額是，風(fēng)險(xiǎn)事故發(fā)生的概率是，則該消費(fèi)者購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)支付的保費(fèi)為，為保險(xiǎn)金額，在購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)的情況下，消費(fèi)者的期望效用為：（2-1）2．個(gè)人的最優(yōu)保險(xiǎn)購(gòu)買(mǎi)（2-1）

對(duì)（2-1）式求一階導(dǎo)數(shù)，令其為零，可得：

這說(shuō)明在不存在附加保費(fèi)的條件下，一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)厭惡的消費(fèi)者，購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)的數(shù)量（以保額表示）和其風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)相等，即購(gòu)買(mǎi)全額保險(xiǎn)。（2-2）對(duì)（2-1）式求一階導(dǎo)數(shù)，令其為零，可得：（2-2）若存在風(fēng)險(xiǎn)附加保費(fèi)，設(shè)其比例為，消費(fèi)者需要支付的保費(fèi)增加額為，則消費(fèi)者在購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)后的期望效用為：

根據(jù)最優(yōu)條件，對(duì)（2-3）式求一階導(dǎo)數(shù)，令其為零，可得：（2-3）（2-4）若存在風(fēng)險(xiǎn)附加保費(fèi)，設(shè)其比例為，消費(fèi)者需（由于，則，進(jìn)一步可得：由于效用函數(shù)為凹函數(shù)，得到即該消費(fèi)者的最優(yōu)選擇為部分保險(xiǎn)。由于，則利用圖２－２可以直觀地說(shuō)明為什么消費(fèi)者會(huì)選擇部分保險(xiǎn)：圖2-2投保人最優(yōu)保險(xiǎn)購(gòu)買(mǎi)有損失發(fā)生時(shí)的財(cái)富無(wú)損失發(fā)生時(shí)的財(cái)富BDCAOPMN利用圖２－２可以直觀地說(shuō)明為什么消費(fèi)者會(huì)選擇部分保險(xiǎn)：圖2-（二）企業(yè)的保險(xiǎn)需求企業(yè)購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)的動(dòng)機(jī)遠(yuǎn)比個(gè)人消費(fèi)者復(fù)雜，除考慮風(fēng)險(xiǎn)分散因素外，還考慮了稅收效應(yīng)、專(zhuān)業(yè)化優(yōu)勢(shì)及破產(chǎn)約束等原因。1.稅收效應(yīng)一個(gè)企業(yè)的邊際稅率一般隨著收入的增加而增加，企業(yè)為降低稅率會(huì)用支出抵扣稅前收入，例如保險(xiǎn)費(fèi)就屬于可以扣減的費(fèi)用。下面的例子說(shuō)明了企業(yè)購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)后稅收是降低的。（二）企業(yè)的保險(xiǎn)需求若一家公司的收益面臨風(fēng)險(xiǎn)，如果未投保且收益發(fā)生損失的情況下，其收益為OA；未投保且沒(méi)有發(fā)生損失的情況下收益為OC。現(xiàn)假設(shè)損失發(fā)生的概率為50%，則該公司的期望收益為OB（OB=0.5*OA+0.5*OC）。如果該公司購(gòu)買(mǎi)了保險(xiǎn)，對(duì)發(fā)生概率為0.5的損失額AC提供保障，采用公平保費(fèi)，則保費(fèi)為0.5AC=BC。在購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)后，公司可以得到確定性收益OB，則該公司應(yīng)稅額為T(mén)（OB）。如果不購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)，則期望納稅額為T(mén)（OA）與T（OC）的加權(quán)平均值，即圖中E（Tax）。顯然，E(Tax)大于T(OB)，也就是說(shuō)，購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)后，企業(yè)降低了應(yīng)納稅額，從而減少稅收。若一家公司的收益面臨風(fēng)險(xiǎn)，如果未投保且收益發(fā)生圖2-3企業(yè)購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)的稅收效應(yīng)BCAOT(OA)T(OB)T(OC)E(TAX)圖2-3企業(yè)購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)的稅收效應(yīng)BCAOT(OA)T

2.專(zhuān)業(yè)化優(yōu)勢(shì)

保險(xiǎn)公司的優(yōu)勢(shì)在于理賠及防災(zāi)防損的專(zhuān)業(yè)性。保險(xiǎn)公司分布廣泛的理賠網(wǎng)絡(luò)及專(zhuān)業(yè)人才使其能夠在企業(yè)出現(xiàn)損失后較快地完成理賠，從而能夠使企業(yè)盡早恢復(fù)生產(chǎn)。專(zhuān)業(yè)化的防災(zāi)防損技術(shù)也可以幫助企業(yè)降低發(fā)生損失的概率，而從間接提高了企業(yè)的生產(chǎn)效益。

3.破產(chǎn)的約束

由于在公司破產(chǎn)后，公司的剩余資產(chǎn)優(yōu)先償還債權(quán)人，所以股東會(huì)千方百計(jì)降低公司破產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)，購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)就是方式之一。2.專(zhuān)業(yè)化優(yōu)勢(shì)若一個(gè)企業(yè)的價(jià)值V，可以用未來(lái)資產(chǎn)F的貼現(xiàn)值減去破產(chǎn)成本B的貼現(xiàn)值表示。假設(shè)某企業(yè)在第年破產(chǎn)的概率為，則第年后被清算的概率是：

該企業(yè)的價(jià)值可以用（2-4）式表示：

企業(yè)購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)后，是降低的，即企業(yè)通過(guò)購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)降低了破產(chǎn)概率，間接增大了企業(yè)的價(jià)值。（2-4）若一個(gè)企業(yè)的價(jià)值V，可以用未來(lái)資產(chǎn)F的貼現(xiàn)值減去破（二、保險(xiǎn)需求模型中的收入效應(yīng)與替代效應(yīng)（一）保險(xiǎn)的財(cái)富效應(yīng)

保險(xiǎn)的財(cái)富效應(yīng)是指隨著投保人的財(cái)富增加，其最優(yōu)保險(xiǎn)購(gòu)買(mǎi)量如何變化。絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)：

其中，Y代表財(cái)富水平二、保險(xiǎn)需求模型中的收入效應(yīng)與替代效應(yīng)經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)遞減，最優(yōu)保險(xiǎn)購(gòu)買(mǎi)量隨著財(cái)富增加而減少；絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)遞增，最優(yōu)保險(xiǎn)購(gòu)買(mǎi)量隨著財(cái)富增加而增加；絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)不變，最優(yōu)保險(xiǎn)購(gòu)買(mǎi)量不隨財(cái)富增加而變化。經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：證明：絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)遞增時(shí)，投保人的最優(yōu)保險(xiǎn)購(gòu)買(mǎi)量隨著財(cái)富的增加而增加，即保險(xiǎn)為正常品（其他部分證明方法類(lèi)似）。

——風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)

——無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)

——保險(xiǎn)保額

——費(fèi)率

——損失X——實(shí)際賠付

——最終財(cái)富證明：絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)遞增時(shí)，投保人的最優(yōu)保險(xiǎn)購(gòu)買(mǎi)量則：

期望效用函數(shù)最大化。其一階條件為：對(duì)（2-6）式求微分，將期望與微分互換，得到

將（2-5式）代入，進(jìn)一步可得

整理得：

（2-7）（2-5）（2-6）則：（2-7）（2-5）（2-6）若分母為負(fù)，該式的符號(hào)就與分子相同。將式（2-5）改寫(xiě)為：若由于，則即：由于在（2-10）式兩邊同時(shí)乘，并求期望可得：（2-8）（2-9）（2-10）（2-11）若分母為負(fù)，該式的符號(hào)就與分子相同。將式（2-5）（因?yàn)椋?-6）式，進(jìn)一步可得：，即.證畢。若的情況,（2-9）式符號(hào)改變，兩邊同時(shí)乘，（2-10）符號(hào)同時(shí)改變，式（2-11）仍然成立。即如果投保人的個(gè)人絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)遞增，則最優(yōu)保險(xiǎn)購(gòu)買(mǎi)量隨著其財(cái)富的增加而增加，保險(xiǎn)是正常品。因?yàn)椋?-6）式，進(jìn)一步可得：（二）收入效應(yīng)與替代效應(yīng)的圖形分析圖2-4保險(xiǎn)的替代效用與收入效應(yīng)

有損失發(fā)生時(shí)的財(cái)富BECAOPMND無(wú)損失發(fā)生時(shí)的財(cái)富總效應(yīng)替代效應(yīng)收入效應(yīng)L（二）收入效應(yīng)與替代效應(yīng)的圖形分析圖2-4保險(xiǎn)的替代效用1.替代效應(yīng)保險(xiǎn)商品的替代效應(yīng)是指保險(xiǎn)價(jià)格的變化所引起的購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)與不購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)的相互替代引起的保險(xiǎn)購(gòu)買(mǎi)量的變化。當(dāng)保險(xiǎn)價(jià)格下降時(shí)，投保人的實(shí)際財(cái)富發(fā)生變化，為單純考察替代效應(yīng)，引入在消費(fèi)者理論中使用的補(bǔ)償預(yù)算線，使得投保人的實(shí)際財(cái)富保持不變。也就是說(shuō)，保險(xiǎn)價(jià)格下降使得投保人的實(shí)際財(cái)富增加時(shí)，假設(shè)可以取走一部分財(cái)富，使投保人的實(shí)際財(cái)富保持不變，維持在原有的效用水平上。1.替代效應(yīng)

從圖2-4看，當(dāng)保費(fèi)下降時(shí)，投保人的預(yù)算線CD沿著無(wú)差異曲線轉(zhuǎn)動(dòng)，假設(shè)變?yōu)椋藭r(shí)消費(fèi)者的最優(yōu)選擇變?yōu)镋點(diǎn)。從圖2-4看，E點(diǎn)的消費(fèi)者實(shí)際上購(gòu)買(mǎi)了超額保險(xiǎn)（位于45度線以上）。由C點(diǎn)到E點(diǎn)保險(xiǎn)購(gòu)買(mǎi)量的變化即縱軸上OL的長(zhǎng)度表示替代效應(yīng)。

2.收入效應(yīng)

由于補(bǔ)償預(yù)算線是為了剔除實(shí)際收入水平而將真實(shí)的預(yù)算線AB進(jìn)行平移的，現(xiàn)在將重新恢復(fù)到AB的水平，相應(yīng)增加的保險(xiǎn)購(gòu)買(mǎi)量LK就是收入效應(yīng)。2.收入效應(yīng)

三、簡(jiǎn)單保險(xiǎn)需求模型的擴(kuò)展

本部分只介紹投保人如何選擇最優(yōu)免賠額。設(shè)保險(xiǎn)公司支付的金額是隨機(jī)變量W，免賠為S，賠付為X，有：假定保費(fèi)是免賠額的一個(gè)函數(shù)，即，為保費(fèi)，為附加系數(shù)。A為當(dāng)前財(cái)富，在保險(xiǎn)合同下的最終財(cái)富為隨機(jī)變量Y：假定隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為,則：（2-12）（2-13）三、簡(jiǎn)單保險(xiǎn)需求模型的擴(kuò)展（2-12）（2-13）消費(fèi)者最終財(cái)富的期望效用為：求一階導(dǎo)數(shù)：求二階導(dǎo)數(shù)為：（2-14）（2-16）（2-15）消費(fèi)者最終財(cái)富的期望效用為：（2-14）（2若E[U(Y)]單調(diào)遞增，則二階導(dǎo)數(shù)恒為負(fù)。最優(yōu)解S無(wú)窮大，即不購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)；若E[U(Y)]在S取得特定值時(shí)達(dá)到最大，在該點(diǎn)有：即若E[U(Y)]在某個(gè)有限值S處有極值點(diǎn)，則該點(diǎn)一定是最大值點(diǎn)。在S的最優(yōu)解是有限值的情況下，對(duì)（2-17）式求微分，進(jìn)一步得到：其中D是表達(dá)式中第二項(xiàng)的大括號(hào)里的系數(shù)。令（2-17）（2-18）若E[U(Y)]單調(diào)遞增，則二階導(dǎo)數(shù)恒為負(fù)。最優(yōu)解S則當(dāng)時(shí)，有，如果為絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)，有：則

因而（2-19）（2-21）（2-20）則當(dāng)時(shí)，有，進(jìn)一步可以得到

最后一個(gè)表達(dá)式為零，故為正。也就是說(shuō)，具有遞減的風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)的投保人，最優(yōu)免賠額隨著他的財(cái)富增加而增大。（2-22）進(jìn)一步可以得到（2-22）第二節(jié)風(fēng)險(xiǎn)有效分散與保險(xiǎn)市場(chǎng)均衡

一、風(fēng)險(xiǎn)分散和帕累托最優(yōu)

如何分?jǐn)傦L(fēng)險(xiǎn)才能使保險(xiǎn)人和被保險(xiǎn)人達(dá)到帕累托最優(yōu)？

Borch（1960）最先提出運(yùn)用內(nèi)生方法推導(dǎo)出最優(yōu)保單，介紹了存在多個(gè)風(fēng)險(xiǎn)厭惡者承擔(dān)損失下的帕累托最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)分擔(dān)。Arrow（1971，1973）曾沿用Borch（1960）的框架得出了兩種情況下的帕累托最優(yōu)保單。在本章中，我們將引用Arrow（1973）的內(nèi)容來(lái)對(duì)帕累托最優(yōu)保單進(jìn)行介紹。

第二節(jié)風(fēng)險(xiǎn)有效分散與保險(xiǎn)市場(chǎng)均衡一、風(fēng)險(xiǎn)分散和帕累托最（一）最優(yōu)保險(xiǎn)合同的條件假設(shè)保險(xiǎn)購(gòu)買(mǎi)者面臨著損失為的風(fēng)險(xiǎn)（，T表示標(biāo)的的全部?jī)r(jià)值），是損失的概率密度函數(shù)（）1.供給的必要條件其中，是指支付函數(shù)。（2-23）（一）最優(yōu)保險(xiǎn)合同的條件（2-23）由于管理和其他費(fèi)用的存在，保險(xiǎn)公司在提供保險(xiǎn)時(shí)是有成本的，這一成本對(duì)保險(xiǎn)人和被保險(xiǎn)人而言是一個(gè)“純損失”。通常用表示賠付支出為I時(shí)的保險(xiǎn)成本函數(shù)，其滿足如下關(guān)系：其中，表示賠付為零時(shí)的固定保險(xiǎn)成本部分。

（2-24）由于管理和其他費(fèi)用的存在，保險(xiǎn)公司在提供保險(xiǎn)時(shí)是其中假定保險(xiǎn)人是追求期望效用最大化的理性人，屬于風(fēng)險(xiǎn)厭惡型。定義保險(xiǎn)人財(cái)富的效用函數(shù)為，對(duì)于所有的都有，，。

假設(shè)保險(xiǎn)人的初始財(cái)富是，保險(xiǎn)人初始效用為。在售出了保單后收取的保費(fèi)為P，如果發(fā)生損失x，他的財(cái)富變?yōu)椤t承保后的期望效用為

因?yàn)楸ｋU(xiǎn)人是理性的，其承保的動(dòng)機(jī)是希望增加期望效用，則其提供保單的必要條件為：（2-25）假定保險(xiǎn)人是追求期望效用最大化的理性人，屬于風(fēng)險(xiǎn)（22．需求的必要條件對(duì)于保險(xiǎn)需求方，假定投保人是追求其財(cái)富期望效用最大化的理性人。設(shè)被保險(xiǎn)人的財(cái)富效用函數(shù)用表示，且對(duì)任何有：假設(shè)被保險(xiǎn)人的初始財(cái)富水平為，為損失隨機(jī)變量，表示當(dāng)損失發(fā)生時(shí)保險(xiǎn)人的賠付，P為投保人支付的保費(fèi)。那么，投保人形成保險(xiǎn)需求的必要條件是什么？2．需求的必要條件當(dāng)損失發(fā)生時(shí)，被保險(xiǎn)人的最終財(cái)富為。如果不購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)，當(dāng)損失x發(fā)生時(shí)，財(cái)富減小為。這樣，購(gòu)買(mǎi)保障水平為的保險(xiǎn)并支付保費(fèi)P的必要條件是：為了使保險(xiǎn)雙方都接受這一合同，第（2-25）式和第（2-26）式應(yīng)同時(shí)滿足。接下來(lái)，我們將說(shuō)明滿足這些必要條件的可接受的保險(xiǎn)合同集合是非空的，并從中尋找帕累托最優(yōu)保單。我們要在保險(xiǎn)人的期望效用是常數(shù)的約束條件下，求出使被保險(xiǎn)人財(cái)富期望效用最大化的保費(fèi)和支付函數(shù)。（2-26）當(dāng)損失發(fā)生時(shí)，被保險(xiǎn)人的最終財(cái)富為即：使得對(duì)所有且：其中為常數(shù)，且。上述問(wèn)題可以通過(guò)兩步來(lái)解決。首先，假定P保費(fèi)為固定的，得出最優(yōu)保單的形式。其次，選擇最優(yōu)保費(fèi)P，得出帕累托最優(yōu)保單。

（2-28）（2-27）即：（2-28）（2-27）（二）帕累托最優(yōu)保單1．固定保費(fèi)下的最優(yōu)保單

定理1帕累托最優(yōu)保單的形式為如下兩種情形之一：有免賠額的保單。其中免賠額

是不予承保的最大損失值。有上限的保單。其中上限值是指保單能夠完全賠付的最大損失值。其中表示最優(yōu)保單。（2-29）（2-30）（二）帕累托最優(yōu)保單（2-29）（2-30）定義共同保險(xiǎn)的邊際保險(xiǎn)金額為。在（2-29）式和（2-30）式兩類(lèi)保單中，邊際保險(xiǎn)金額應(yīng)滿足以下關(guān)系：

其中；，定義為絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡指數(shù)，和是關(guān)于的導(dǎo)數(shù)。從上面的公式可以看出，共同保險(xiǎn)依賴(lài)于保險(xiǎn)人和被保險(xiǎn)人的風(fēng)險(xiǎn)偏好及成本函數(shù)。為了說(shuō)明函數(shù)是固定保費(fèi)P的最優(yōu)支付函數(shù)（即（2-31）式的解），必須對(duì)保險(xiǎn)人的期望效用函數(shù)與k的關(guān)系進(jìn)行考察。因此，可能出現(xiàn)以下三種情況：定義共同保險(xiǎn)的邊際保險(xiǎn)金額為。在（2-29）如果，則滿足（2-28）式，是恰當(dāng)?shù)倪吔鐥l件，從而是最優(yōu)支付函數(shù)。如果，不滿足（2-28）式，則不是方程（2-31）的解。為了提高保險(xiǎn)人的期望效用，對(duì)某些損失的賠付額要減少，則邊界條件在局部區(qū)域?yàn)樨?fù)。但由約束條件（2-23）式，有。因此，存在，使得時(shí)，。這時(shí)，存在免賠額的保單就為最優(yōu)保單。如果，在保險(xiǎn)人期望效用沒(méi)有違背約束條件（2-28）的前提下，保險(xiǎn)人可以適當(dāng)增加保險(xiǎn)金額（即增加了被保險(xiǎn)人的期望效用）。恰當(dāng)?shù)倪吔鐥l件就為和，且存在，當(dāng)時(shí)，。在此情況下，有上限的保單就為最優(yōu)保單。如果，則滿足（2-28）式，用表示第一種情況下的固定保費(fèi)，表示方程（2-31）的解函數(shù)。因此，并且保險(xiǎn)函數(shù)有這樣的特點(diǎn)：，即（）是沒(méi)有免賠額或者最高上限條款的保單。對(duì)于后兩種情況，我們定義：

用表示第一種情況下的固定保費(fèi)，表示引理1：當(dāng)，i=1,2,且時(shí)，最優(yōu)保單分別由（2-29）式、（2-31）式或（2-30）式、（2-31）式來(lái)決定。其中，。從引理1可以看出：當(dāng)時(shí)，最優(yōu)保險(xiǎn)金額為一免賠額保單；當(dāng)時(shí)，最優(yōu)保險(xiǎn)金額為一有上限保單。引理2：（1）如果，那么對(duì)于，（2）如果，那么對(duì)于，引理2說(shuō)明了當(dāng)時(shí)，變化對(duì)最優(yōu)保單的影響：對(duì)于免賠額的保單，其關(guān)于的導(dǎo)數(shù)為負(fù)，是遞減的；對(duì)于有上限的保單，是遞增的。

引理1：當(dāng)，i=1,2,且時(shí)，最優(yōu)保單2．帕累托最優(yōu)保單求解最優(yōu)保費(fèi)，得出帕累托最優(yōu)保單。定理2對(duì)所有的，定理2說(shuō)明了的保單優(yōu)于的保單。由引理2知，上限的增加會(huì)導(dǎo)致的增加，從而導(dǎo)致保險(xiǎn)成本的增加。對(duì)于保險(xiǎn)人和被保險(xiǎn)人來(lái)說(shuō)，保險(xiǎn)成本是“純損失”。因此，任何有上限的保單都是次優(yōu)的。定理3帕累托最優(yōu)保單免賠額為0的充分必要條件是，即對(duì)于所有，都有。定理3描述了最優(yōu)免賠額保單的一個(gè)非常重要的特征：當(dāng)且僅當(dāng)保險(xiǎn)成本大于零時(shí)，帕累托最優(yōu)保單才會(huì)有免賠額。如果，則（2-31）式小于1，表明隨著免賠額的增加，被保險(xiǎn)人愿意支付的保費(fèi)小于保險(xiǎn)人所要求的保費(fèi)。此時(shí)，最優(yōu)保單免賠額是否為零取決于的形式。2．帕累托最優(yōu)保單（三）有上限的保單實(shí)際中，絕大多數(shù)保險(xiǎn)合同是存在保險(xiǎn)金額上限的，如醫(yī)療保險(xiǎn)、責(zé)任保險(xiǎn)和財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)等都會(huì)設(shè)定一個(gè)保險(xiǎn)金額上限。那么，是什么原因?qū)е铝诉@種情況的產(chǎn)生？假設(shè)保險(xiǎn)人從自身利益出發(fā)設(shè)計(jì)了保險(xiǎn)合同，那么從理性人的角度分析，保險(xiǎn)人設(shè)計(jì)的保單一定是建立在使其最終財(cái)富的預(yù)期效用最大化基礎(chǔ)上的，即按保費(fèi)構(gòu)成的有關(guān)規(guī)定，保險(xiǎn)人收取的保費(fèi)是保單精算價(jià)格的函數(shù)。我們假設(shè)這個(gè)函數(shù)為以下形式（其中，是比率系數(shù)）：（2-32）（2-33）（三）有上限的保單（2-32）（2-33）定理4

在保險(xiǎn)賠付范圍為：和（2-33）式的約束條件下，（2-32）式的最優(yōu)解為，，則滿足以下關(guān)系：其中，，。

定理4表明：如果一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)厭惡的保險(xiǎn)人選擇一份保單來(lái)使他的預(yù)期效用最大化，那么他所提供的保單應(yīng)該為有上限的保單，該保單將對(duì)上限以內(nèi)的損失提供保障，而對(duì)超出部分不予保障。定理4在保險(xiǎn)賠付范圍為：和（2-33）下面我們討論最優(yōu)解的確定。投保人購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)的目的是通過(guò)保險(xiǎn)賠付使其財(cái)富在不確定的環(huán)境里仍然可以保持一定的水平。設(shè)被保險(xiǎn)人的最終財(cái)富期望效用為常數(shù)（設(shè)為），那么在約束條件下，其效用函數(shù)為：那么，所得到的保單即保險(xiǎn)人預(yù)期效用最大化的保單就是定理1所描述的保單形式。特別地，如果效用函數(shù)為線性的，保費(fèi)P為一固定值，則上述約束條件變?yōu)椋ㄆ渲校@與（2-33）式是等價(jià)的。當(dāng)時(shí)，可以得到相應(yīng)的解。下面我們討論最優(yōu)解的確定。二、再保險(xiǎn)與保險(xiǎn)市場(chǎng)均衡（一）再保險(xiǎn)市場(chǎng)模型

假設(shè)有n家保險(xiǎn)公司，每一家保險(xiǎn)公司都有一定數(shù)量的保險(xiǎn)合同。假設(shè)為隨機(jī)變量，則第（）家保險(xiǎn)公司的風(fēng)險(xiǎn)狀況由下面兩個(gè)要素決定：1）風(fēng)險(xiǎn)分布表示第家保險(xiǎn)公司風(fēng)險(xiǎn)組合中所支付賠款總額不超過(guò)的概率；2）表示第家保險(xiǎn)公司可用來(lái)支付賠款的資本數(shù)量。設(shè)保險(xiǎn)公司的效用函數(shù)為：

（2-34）二、再保險(xiǎn)與保險(xiǎn)市場(chǎng)均衡（2-34）這里，其中是由下式定義的退化概率分布：根據(jù)以上定義，可以看成具有基金數(shù)量S、無(wú)索賠概率為1時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)效用函數(shù)，稱(chēng)為“公司的貨幣效用”。假設(shè)是連續(xù)的并且其一階導(dǎo)數(shù)為正，即效用函數(shù)的值隨著S的增大而增大。假設(shè)在初始狀態(tài)，保險(xiǎn)公司i承諾的賠款總額為，且保險(xiǎn)公司的索賠與其他保險(xiǎn)公司所發(fā)生的索賠無(wú)關(guān)。那么，在再保險(xiǎn)市場(chǎng)上，n家保險(xiǎn)公司可以訂立再保險(xiǎn)協(xié)議，重新分配在初始條件下所承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)。這里，其中是由下式我們用以下函數(shù)來(lái)表示這類(lèi)合同：其中，是保險(xiǎn)公司按照i重新分配合同時(shí)索賠為時(shí)必須支付的賠款。由于所有的賠款都必須賠付，則有：因此保險(xiǎn)公司i的效用由

變?yōu)?/p>

（2-35）我們用以下函數(shù)來(lái)表示這類(lèi)合同：（2-35）其中R為n維空間（即（）經(jīng)作用后的值域空間），是的聯(lián)合概率分布。把相應(yīng)的向量（）和（）分別記為x和y。定理5

向量y是帕累托最優(yōu)的充分必要條件是函數(shù)滿足下述關(guān)系：其中是任意正常數(shù),其中。（2-36）（2-37）其中R為n維空間（即（）經(jīng)如果存在另一向量，使得對(duì)于所有i，不等式都成立，則稱(chēng)優(yōu)于，否則，稱(chēng)是帕累托最優(yōu)再保險(xiǎn)合同。即如果上述條件滿足，的變化不增加任何一家公司的效用，也就是說(shuō)，以上的條件為充分條件的。在（2-36）、（2-37）中，關(guān)于求微分，則有：（2-38）（2-39）如果存在另一向量，使得對(duì)于所有i，不等式在（2-38）式兩邊同時(shí)除以并對(duì)所有i的求和，聯(lián)立（2-39）式得到：那么，對(duì)于任何i和j有

在（2-38）式兩邊同時(shí)除以并對(duì)這表明向量函數(shù)是關(guān)于變量z的函數(shù)，其中。那么，我們可以得出：

上式意味著公司i支付僅取決于，即取決于保險(xiǎn)業(yè)的總賠付額。因此，任何帕累托最優(yōu)合同集合就相當(dāng)于一個(gè)共同基金配置。

（2-40）這表明向量函數(shù)是關(guān)于變量z的函數(shù)，其中（二）再保險(xiǎn)市場(chǎng)的價(jià)格

如果再保險(xiǎn)市場(chǎng)價(jià)格存在，就意味著可能存在一個(gè)關(guān)于價(jià)格P（）與分布（）的函數(shù)。

假設(shè)一家保險(xiǎn)公司接受了兩筆分別具有和風(fēng)險(xiǎn)分布的保險(xiǎn)責(zé)任，和為相互獨(dú)立的隨機(jī)自變量，并且具有概率分布為。無(wú)論公司是分別接受兩個(gè)組合，還是在同一筆交易中接受兩個(gè)組合，我們都有：我們引入累積量函數(shù)來(lái)表示相加性條件：（二）再保險(xiǎn)市場(chǎng)的價(jià)格其中是分布函數(shù)的特征函數(shù)：考慮到復(fù)函數(shù)運(yùn)算起來(lái)不方便，我們?cè)谙旅鎸⒉捎孟鄳?yīng)的實(shí)函數(shù)來(lái)表示價(jià)格的相加性條件：該累積量函數(shù)便由下式給出其中是分布函數(shù)的特征函數(shù)：對(duì)于任何非負(fù)值t，可以解釋為滿足相加條件的價(jià)格。對(duì)于下列形式的任意線性組合也同樣成立：其中都是常數(shù)。類(lèi)似的，包括的任何階導(dǎo)數(shù)也將滿足上述條件。由于這種概率分布函數(shù)的任何表達(dá)式都可以寫(xiě)成累積量函數(shù)和的形式，因此我們有：其中，都是常數(shù)。對(duì)于任何非負(fù)值t，可以解釋為滿足相加條件的價(jià)令為退化概率分布，可以看成是索賠額為m（以概率1）的風(fēng)險(xiǎn)分布，則與該分布相關(guān)的價(jià)格將是：因?yàn)閷?duì)于有。因此，對(duì)于連續(xù)條件，有。在既定的市場(chǎng)價(jià)格下，保險(xiǎn)公司處于風(fēng)險(xiǎn)（）下的效用函數(shù)為：如果保險(xiǎn)公司承擔(dān)賠款y的概率分布為，那么將得到數(shù)額為的收入。若x和y是獨(dú)立的隨機(jī)變量，則該公司的效用為：其中是和的卷積。令為退化概率分布，可以看如果保險(xiǎn)公司是理性的，就會(huì)選擇具有風(fēng)險(xiǎn)分布來(lái)使得其效用最大，則就可以看作是保險(xiǎn)公司在給定價(jià)格下愿意供給的再保險(xiǎn)金額。令和為和對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)。則的特征函數(shù)就是，假設(shè)可導(dǎo)，則有：如果保險(xiǎn)公司是理性的，就會(huì)選擇具有風(fēng)險(xiǎn)分布其中和都是和所對(duì)應(yīng)的累積量。因此再保險(xiǎn)市場(chǎng)的價(jià)格問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為使下列表達(dá)式最大化時(shí)的值：

因此，再保險(xiǎn)市場(chǎng)最優(yōu)供給的問(wèn)題就與某些生產(chǎn)模型在約束條件下的最大化問(wèn)題相類(lèi)似。其中和都是和所對(duì)應(yīng)的累積量。因此再（三）均衡價(jià)格的存在性問(wèn)題

我們將對(duì)再保險(xiǎn)的價(jià)格機(jī)制進(jìn)行分析，得出供給和需求達(dá)到均衡時(shí)的帕累托最優(yōu)分布。首先，我們從特殊情形開(kāi)始分析：假設(shè)對(duì)所有的保險(xiǎn)公司來(lái)說(shuō)，“貨幣效用”可以用下面的函數(shù)形式表示：其中，且足夠小，使得為增函數(shù)。在這里，可以看作對(duì)保險(xiǎn)公司風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度的度量。如果，表示該公司對(duì)風(fēng)險(xiǎn)不關(guān)注，其唯一目標(biāo)就是實(shí)現(xiàn)最大預(yù)期利潤(rùn)。反之，越大，公司對(duì)損失關(guān)注程度越高。（三）均衡價(jià)格的存在性問(wèn)題根據(jù)（2-40）式，有：即最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)配置就是公司i支付賠款z中的固定份額。因此，當(dāng)z=0時(shí)

（2-41）根據(jù)（2-40）式，有：（2-41）

用表示沒(méi)有賠款發(fā)生時(shí)公司i的支付（可以為負(fù)），即保險(xiǎn)公司購(gòu)買(mǎi)再保險(xiǎn)所支付的費(fèi)用與它出售再保險(xiǎn)所得到的收入之差。因?yàn)椋虼耍跏紬l件下保險(xiǎn)公司的效用為：其中和為的均值和方差。用表示沒(méi)有賠款發(fā)生時(shí)公司i的支付（可以為通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單情形的分析，我們得出：在分布確定的情況下，保險(xiǎn)公司的效用僅僅依賴(lài)于風(fēng)險(xiǎn)分布的兩個(gè)累積量（均值和方差）。那么，如果所有保險(xiǎn)公司的效用函數(shù)都相同，則高階累積量不會(huì)影響帕累托最優(yōu)分布。用m和V來(lái)分別代表的均值和方差，則再保險(xiǎn)的支付為：

現(xiàn)在我們考慮兩個(gè)保險(xiǎn)公司i和j，其風(fēng)險(xiǎn)的概率分布分別為和，其中和是隨機(jī)變量。因此，在再保險(xiǎn)合同的帕累托最優(yōu)集合中，兩個(gè)公司必須支付共同基金中的固定比例和。通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單情形的分析，我們得出：在分布確定的情況

如果兩個(gè)保險(xiǎn)公司達(dá)成合約，那么當(dāng)公司j的賠款為時(shí)，公司i須向公司j支付；同樣地，如果公司i的賠款額為時(shí)，公司j的支付為。當(dāng)所有的都相等時(shí)，即為帕累托最優(yōu)配置。設(shè)和分別為的均值和方差，則根據(jù)公司i與j公司的達(dá)成的再保險(xiǎn)合同中，公司i會(huì)得到大小的支付；類(lèi)似地，公司i必須支付給公司j的數(shù)量為。因此公司的凈支出將是：對(duì)所有的求和可得：即：（2-42）如果兩個(gè)保險(xiǎn)公司達(dá)成合約，那么當(dāng)公司j的賠款為又根據(jù)（2-41）式，公司i的支出為：因此我們有：

選擇不同的，可產(chǎn)生n個(gè)方程，聯(lián)立（2-43）可以得到n+1個(gè)方程，從而可以得出n+1個(gè)變量的解。所以可表示為p的函數(shù)。

（2-43）又根據(jù)（2-41）式，公司i的支出為：（2-43）當(dāng)時(shí)，將方程組關(guān)于p微分就得到當(dāng)時(shí)，假設(shè)函數(shù)是連續(xù)的，則當(dāng)p位于某個(gè)包含0的區(qū)間內(nèi)時(shí)，為正實(shí)數(shù)。其中p為價(jià)格水平，為保險(xiǎn)公司i愿意承擔(dān)的比例。上面的方程說(shuō)明了再保險(xiǎn)市場(chǎng)均衡條件下價(jià)格水平與風(fēng)險(xiǎn)分擔(dān)的關(guān)系。保險(xiǎn)經(jīng)濟(jì)學(xué)-第二章課件本章小結(jié)本章從期望效用角度，介紹了個(gè)人消費(fèi)者為什么會(huì)購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)及購(gòu)買(mǎi)何種形式的保險(xiǎn)；然后從稅收、專(zhuān)業(yè)化及破產(chǎn)成本等方面說(shuō)明了企業(yè)購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)與個(gè)人購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)行為的不同之處。文中證明：不存在附加保費(fèi)的條件下，一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)厭惡的消費(fèi)者，購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)的數(shù)量（以保額表示）和其風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)相等，即購(gòu)買(mǎi)全額保險(xiǎn)；若存在風(fēng)險(xiǎn)附加保費(fèi)，風(fēng)險(xiǎn)厭惡的消費(fèi)者效用最大化的選擇是部分保險(xiǎn)。企業(yè)購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)的動(dòng)機(jī)遠(yuǎn)比個(gè)人消費(fèi)者復(fù)雜，除考慮風(fēng)險(xiǎn)分散因素外，還考慮了稅收效應(yīng)、專(zhuān)業(yè)化優(yōu)勢(shì)及破產(chǎn)約束等原因。本章小結(jié)本章從期望效用角度，介紹了個(gè)人消費(fèi)者為什么會(huì)購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)在投保人絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)遞減的情況下，最優(yōu)保險(xiǎn)購(gòu)買(mǎi)量隨著財(cái)富增加而減少；在投保人絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)遞增的情況下，最優(yōu)保險(xiǎn)購(gòu)買(mǎi)量隨著財(cái)富增加而增加；而當(dāng)絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)不變時(shí)，最優(yōu)保險(xiǎn)購(gòu)買(mǎi)量也不隨財(cái)富增加而變化。保險(xiǎn)的替代效應(yīng)是指保險(xiǎn)價(jià)格的變化所引起的購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)與不購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)（自我保險(xiǎn)）的相互替代引起的保險(xiǎn)購(gòu)買(mǎi)量的變化。收入效應(yīng)是指保險(xiǎn)價(jià)格的變化使消費(fèi)者實(shí)際財(cái)富發(fā)生變動(dòng)從而引起的保險(xiǎn)購(gòu)買(mǎi)量的變化。本章小結(jié)在投保人絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)遞減的情況下，最優(yōu)保險(xiǎn)購(gòu)買(mǎi)量隨著財(cái)富本章小結(jié)對(duì)期望效用模型附加一些約束條件，比如免賠額的設(shè)置、風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度變化或增加其他風(fēng)險(xiǎn)的情況，討論投保人的選擇如何變化，即可得到保險(xiǎn)需求模型的一些擴(kuò)展形式。對(duì)投保人購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)的必要條件和保險(xiǎn)人承保的必要條件的分析，討論帕累托最優(yōu)保單的形式，以及有上限保單產(chǎn)生的理論分析。在瓦爾拉斯——卡塞爾方程體系靜態(tài)均衡的基礎(chǔ)上，對(duì)再保險(xiǎn)市場(chǎng)的均衡模型進(jìn)行了介紹。本章小結(jié)對(duì)期望效用模型附加一些約束條件，比如免賠額的設(shè)置、風(fēng)第二章保險(xiǎn)需求：基礎(chǔ)理論

第二章保險(xiǎn)需求：基礎(chǔ)理論

學(xué)習(xí)目的通過(guò)本章學(xué)習(xí)，熟悉保險(xiǎn)需求模型，學(xué)會(huì)分析保險(xiǎn)需求模型中的收入效應(yīng)和替代效應(yīng)，了解保險(xiǎn)需求模型的一些擴(kuò)展形式；了解保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)分散的機(jī)制，掌握帕累托最優(yōu)保單的分析方法，學(xué)會(huì)分析再保險(xiǎn)市場(chǎng)價(jià)格及保險(xiǎn)市場(chǎng)的均衡。學(xué)習(xí)目的73第一節(jié)保險(xiǎn)需求模型一、簡(jiǎn)單保險(xiǎn)需求模型保險(xiǎn)作為一種商品，可以給個(gè)人消費(fèi)者帶來(lái)效用，但由于保險(xiǎn)金的給付是不確定的，因此保險(xiǎn)消費(fèi)的效用是一種期望效用。從期望效用角度探討個(gè)人和企業(yè)的保險(xiǎn)需求。

第一節(jié)保險(xiǎn)需求模型一、簡(jiǎn)單保險(xiǎn)需求模型（一）個(gè)人的保險(xiǎn)需求1.個(gè)人購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)的原因

假設(shè)一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)厭惡的消費(fèi)者初始財(cái)富為200，其中房屋的價(jià)值是150，若房屋遭遇火災(zāi)后被完全燒毀，則消費(fèi)者災(zāi)后的財(cái)富變?yōu)?0。假設(shè)發(fā)生火災(zāi)的可能性為0.3，則損失的期望值為45(0.3*150)。該消費(fèi)者在沒(méi)有購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)的情況下，其期望效用是：如果一家保險(xiǎn)公司以公平保費(fèi)提供保險(xiǎn)，即收取的保費(fèi)為45，在發(fā)生火災(zāi)時(shí)進(jìn)行全額賠付，消費(fèi)者在購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)后，無(wú)論發(fā)生火災(zāi)還是不發(fā)生火災(zāi)，最終財(cái)富效用都為：（一）個(gè)人的保險(xiǎn)需求20015550財(cái)富效用U(200)U(50)CBDEA圖2-1消費(fèi)者購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)的效用比較20015550財(cái)富效用U(200)U(50)CBDEA圖2假設(shè)一個(gè)消費(fèi)者具有項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)A１，…，Ai，面臨風(fēng)險(xiǎn)的概率分別為P１，…，Pi，在購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)的情況下，消費(fèi)者期望效用為：

未購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)的情況下，消費(fèi)者效用的期望為：

根據(jù)詹森不等式，有，即消費(fèi)者購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)后得到了更大的效用。i假設(shè)一個(gè)消費(fèi)者具有項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)A１，…，Ai，2．個(gè)人的最優(yōu)保險(xiǎn)購(gòu)買(mǎi)假設(shè)一個(gè)消費(fèi)者具有初始財(cái)富，風(fēng)險(xiǎn)事故的損失額是，風(fēng)險(xiǎn)事故發(fā)生的概率是，則該消費(fèi)者購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)支付的保費(fèi)為，為保險(xiǎn)金額，在購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)的情況下，消費(fèi)者的期望效用為：（2-1）2．個(gè)人的最優(yōu)保險(xiǎn)購(gòu)買(mǎi)（2-1）

對(duì)（2-1）式求一階導(dǎo)數(shù)，令其為零，可得：

這說(shuō)明在不存在附加保費(fèi)的條件下，一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)厭惡的消費(fèi)者，購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)的數(shù)量（以保額表示）和其風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)相等，即購(gòu)買(mǎi)全額保險(xiǎn)。（2-2）對(duì)（2-1）式求一階導(dǎo)數(shù)，令其為零，可得：（2-2）若存在風(fēng)險(xiǎn)附加保費(fèi)，設(shè)其比例為，消費(fèi)者需要支付的保費(fèi)增加額為，則消費(fèi)者在購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)后的期望效用為：

根據(jù)最優(yōu)條件，對(duì)（2-3）式求一階導(dǎo)數(shù)，令其為零，可得：（2-3）（2-4）若存在風(fēng)險(xiǎn)附加保費(fèi)，設(shè)其比例為，消費(fèi)者需（由于，則，進(jìn)一步可得：由于效用函數(shù)為凹函數(shù)，得到即該消費(fèi)者的最優(yōu)選擇為部分保險(xiǎn)。由于，則利用圖２－２可以直觀地說(shuō)明為什么消費(fèi)者會(huì)選擇部分保險(xiǎn)：圖2-2投保人最優(yōu)保險(xiǎn)購(gòu)買(mǎi)有損失發(fā)生時(shí)的財(cái)富無(wú)損失發(fā)生時(shí)的財(cái)富BDCAOPMN利用圖２－２可以直觀地說(shuō)明為什么消費(fèi)者會(huì)選擇部分保險(xiǎn)：圖2-（二）企業(yè)的保險(xiǎn)需求企業(yè)購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)的動(dòng)機(jī)遠(yuǎn)比個(gè)人消費(fèi)者復(fù)雜，除考慮風(fēng)險(xiǎn)分散因素外，還考慮了稅收效應(yīng)、專(zhuān)業(yè)化優(yōu)勢(shì)及破產(chǎn)約束等原因。1.稅收效應(yīng)一個(gè)企業(yè)的邊際稅率一般隨著收入的增加而增加，企業(yè)為降低稅率會(huì)用支出抵扣稅前收入，例如保險(xiǎn)費(fèi)就屬于可以扣減的費(fèi)用。下面的例子說(shuō)明了企業(yè)購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)后稅收是降低的。（二）企業(yè)的保險(xiǎn)需求若一家公司的收益面臨風(fēng)險(xiǎn)，如果未投保且收益發(fā)生損失的情況下，其收益為OA；未投保且沒(méi)有發(fā)生損失的情況下收益為OC。現(xiàn)假設(shè)損失發(fā)生的概率為50%，則該公司的期望收益為OB（OB=0.5*OA+0.5*OC）。如果該公司購(gòu)買(mǎi)了保險(xiǎn)，對(duì)發(fā)生概率為0.5的損失額AC提供保障，采用公平保費(fèi)，則保費(fèi)為0.5AC=BC。在購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)后，公司可以得到確定性收益OB，則該公司應(yīng)稅額為T(mén)（OB）。如果不購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)，則期望納稅額為T(mén)（OA）與T（OC）的加權(quán)平均值，即圖中E（Tax）。顯然，E(Tax)大于T(OB)，也就是說(shuō)，購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)后，企業(yè)降低了應(yīng)納稅額，從而減少稅收。若一家公司的收益面臨風(fēng)險(xiǎn)，如果未投保且收益發(fā)生圖2-3企業(yè)購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)的稅收效應(yīng)BCAOT(OA)T(OB)T(OC)E(TAX)圖2-3企業(yè)購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)的稅收效應(yīng)BCAOT(OA)T

2.專(zhuān)業(yè)化優(yōu)勢(shì)

保險(xiǎn)公司的優(yōu)勢(shì)在于理賠及防災(zāi)防損的專(zhuān)業(yè)性。保險(xiǎn)公司分布廣泛的理賠網(wǎng)絡(luò)及專(zhuān)業(yè)人才使其能夠在企業(yè)出現(xiàn)損失后較快地完成理賠，從而能夠使企業(yè)盡早恢復(fù)生產(chǎn)。專(zhuān)業(yè)化的防災(zāi)防損技術(shù)也可以幫助企業(yè)降低發(fā)生損失的概率，而從間接提高了企業(yè)的生產(chǎn)效益。

3.破產(chǎn)的約束

由于在公司破產(chǎn)后，公司的剩余資產(chǎn)優(yōu)先償還債權(quán)人，所以股東會(huì)千方百計(jì)降低公司破產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)，購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)就是方式之一。2.專(zhuān)業(yè)化優(yōu)勢(shì)若一個(gè)企業(yè)的價(jià)值V，可以用未來(lái)資產(chǎn)F的貼現(xiàn)值減去破產(chǎn)成本B的貼現(xiàn)值表示。假設(shè)某企業(yè)在第年破產(chǎn)的概率為，則第年后被清算的概率是：

該企業(yè)的價(jià)值可以用（2-4）式表示：

企業(yè)購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)后，是降低的，即企業(yè)通過(guò)購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)降低了破產(chǎn)概率，間接增大了企業(yè)的價(jià)值。（2-4）若一個(gè)企業(yè)的價(jià)值V，可以用未來(lái)資產(chǎn)F的貼現(xiàn)值減去破（二、保險(xiǎn)需求模型中的收入效應(yīng)與替代效應(yīng)（一）保險(xiǎn)的財(cái)富效應(yīng)

保險(xiǎn)的財(cái)富效應(yīng)是指隨著投保人的財(cái)富增加，其最優(yōu)保險(xiǎn)購(gòu)買(mǎi)量如何變化。絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)：

其中，Y代表財(cái)富水平二、保險(xiǎn)需求模型中的收入效應(yīng)與替代效應(yīng)經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)遞減，最優(yōu)保險(xiǎn)購(gòu)買(mǎi)量隨著財(cái)富增加而減少；絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)遞增，最優(yōu)保險(xiǎn)購(gòu)買(mǎi)量隨著財(cái)富增加而增加；絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)不變，最優(yōu)保險(xiǎn)購(gòu)買(mǎi)量不隨財(cái)富增加而變化。經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：證明：絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)遞增時(shí)，投保人的最優(yōu)保險(xiǎn)購(gòu)買(mǎi)量隨著財(cái)富的增加而增加，即保險(xiǎn)為正常品（其他部分證明方法類(lèi)似）。

——風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)

——無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)

——保險(xiǎn)保額

——費(fèi)率

——損失X——實(shí)際賠付

——最終財(cái)富證明：絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)遞增時(shí)，投保人的最優(yōu)保險(xiǎn)購(gòu)買(mǎi)量則：

期望效用函數(shù)最大化。其一階條件為：對(duì)（2-6）式求微分，將期望與微分互換，得到

將（2-5式）代入，進(jìn)一步可得

整理得：

（2-7）（2-5）（2-6）則：（2-7）（2-5）（2-6）若分母為負(fù)，該式的符號(hào)就與分子相同。將式（2-5）改寫(xiě)為：若由于，則即：由于在（2-10）式兩邊同時(shí)乘，并求期望可得：（2-8）（2-9）（2-10）（2-11）若分母為負(fù)，該式的符號(hào)就與分子相同。將式（2-5）（因?yàn)椋?-6）式，進(jìn)一步可得：，即.證畢。若的情況,（2-9）式符號(hào)改變，兩邊同時(shí)乘，（2-10）符號(hào)同時(shí)改變，式（2-11）仍然成立。即如果投保人的個(gè)人絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)遞增，則最優(yōu)保險(xiǎn)購(gòu)買(mǎi)量隨著其財(cái)富的增加而增加，保險(xiǎn)是正常品。因?yàn)椋?-6）式，進(jìn)一步可得：（二）收入效應(yīng)與替代效應(yīng)的圖形分析圖2-4保險(xiǎn)的替代效用與收入效應(yīng)

有損失發(fā)生時(shí)的財(cái)富BECAOPMND無(wú)損失發(fā)生時(shí)的財(cái)富總效應(yīng)替代效應(yīng)收入效應(yīng)L（二）收入效應(yīng)與替代效應(yīng)的圖形分析圖2-4保險(xiǎn)的替代效用1.替代效應(yīng)保險(xiǎn)商品的替代效應(yīng)是指保險(xiǎn)價(jià)格的變化所引起的購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)與不購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)的相互替代引起的保險(xiǎn)購(gòu)買(mǎi)量的變化。當(dāng)保險(xiǎn)價(jià)格下降時(shí)，投保人的實(shí)際財(cái)富發(fā)生變化，為單純考察替代效應(yīng)，引入在消費(fèi)者理論中使用的補(bǔ)償預(yù)算線，使得投保人的實(shí)際財(cái)富保持不變。也就是說(shuō)，保險(xiǎn)價(jià)格下降使得投保人的實(shí)際財(cái)富增加時(shí)，假設(shè)可以取走一部分財(cái)富，使投保人的實(shí)際財(cái)富保持不變，維持在原有的效用水平上。1.替代效應(yīng)

從圖2-4看，當(dāng)保費(fèi)下降時(shí)，投保人的預(yù)算線CD沿著無(wú)差異曲線轉(zhuǎn)動(dòng)，假設(shè)變?yōu)椋藭r(shí)消費(fèi)者的最優(yōu)選擇變?yōu)镋點(diǎn)。從圖2-4看，E點(diǎn)的消費(fèi)者實(shí)際上購(gòu)買(mǎi)了超額保險(xiǎn)（位于45度線以上）。由C點(diǎn)到E點(diǎn)保險(xiǎn)購(gòu)買(mǎi)量的變化即縱軸上OL的長(zhǎng)度表示替代效應(yīng)。

2.收入效應(yīng)

由于補(bǔ)償預(yù)算線是為了剔除實(shí)際收入水平而將真實(shí)的預(yù)算線AB進(jìn)行平移的，現(xiàn)在將重新恢復(fù)到AB的水平，相應(yīng)增加的保險(xiǎn)購(gòu)買(mǎi)量LK就是收入效應(yīng)。2.收入效應(yīng)

三、簡(jiǎn)單保險(xiǎn)需求模型的擴(kuò)展

本部分只介紹投保人如何選擇最優(yōu)免賠額。設(shè)保險(xiǎn)公司支付的金額是隨機(jī)變量W，免賠為S，賠付為X，有：假定保費(fèi)是免賠額的一個(gè)函數(shù)，即，為保費(fèi)，為附加系數(shù)。A為當(dāng)前財(cái)富，在保險(xiǎn)合同下的最終財(cái)富為隨機(jī)變量Y：假定隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為,則：（2-12）（2-13）三、簡(jiǎn)單保險(xiǎn)需求模型的擴(kuò)展（2-12）（2-13）消費(fèi)者最終財(cái)富的期望效用為：求一階導(dǎo)數(shù)：求二階導(dǎo)數(shù)為：（2-14）（2-16）（2-15）消費(fèi)者最終財(cái)富的期望效用為：（2-14）（2若E[U(Y)]單調(diào)遞增，則二階導(dǎo)數(shù)恒為負(fù)。最優(yōu)解S無(wú)窮大，即不購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)；若E[U(Y)]在S取得特定值時(shí)達(dá)到最大，在該點(diǎn)有：即若E[U(Y)]在某個(gè)有限值S處有極值點(diǎn)，則該點(diǎn)一定是最大值點(diǎn)。在S的最優(yōu)解是有限值的情況下，對(duì)（2-17）式求微分，進(jìn)一步得到：其中D是表達(dá)式中第二項(xiàng)的大括號(hào)里的系數(shù)。令（2-17）（2-18）若E[U(Y)]單調(diào)遞增，則二階導(dǎo)數(shù)恒為負(fù)。最優(yōu)解S則當(dāng)時(shí)，有，如果為絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)，有：則

因而（2-19）（2-21）（2-20）則當(dāng)時(shí)，有，進(jìn)一步可以得到

最后一個(gè)表達(dá)式為零，故為正。也就是說(shuō)，具有遞減的風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)的投保人，最優(yōu)免賠額隨著他的財(cái)富增加而增大。（2-22）進(jìn)一步可以得到（2-22）第二節(jié)風(fēng)險(xiǎn)有效分散與保險(xiǎn)市場(chǎng)均衡

一、風(fēng)險(xiǎn)分散和帕累托最優(yōu)

如何分?jǐn)傦L(fēng)險(xiǎn)才能使保險(xiǎn)人和被保險(xiǎn)人達(dá)到帕累托最優(yōu)？

Borch（1960）最先提出運(yùn)用內(nèi)生方法推導(dǎo)出最優(yōu)保單，介紹了存在多個(gè)風(fēng)險(xiǎn)厭惡者承擔(dān)損失下的帕累托最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)分擔(dān)。Arrow（1971，1973）曾沿用Borch（1960）的框架得出了兩種情況下的帕累托最優(yōu)保單。在本章中，我們將引用Arrow（1973）的內(nèi)容來(lái)對(duì)帕累托最優(yōu)保單進(jìn)行介紹。

第二節(jié)風(fēng)險(xiǎn)有效分散與保險(xiǎn)市場(chǎng)均衡一、風(fēng)險(xiǎn)分散和帕累托最（一）最優(yōu)保險(xiǎn)合同的條件假設(shè)保險(xiǎn)購(gòu)買(mǎi)者面臨著損失為的風(fēng)險(xiǎn)（，T表示標(biāo)的的全部?jī)r(jià)值），是損失的概率密度函數(shù)（）1.供給的必要條件其中，是指支付函數(shù)。（2-23）（一）最優(yōu)保險(xiǎn)合同的條件（2-23）由于管理和其他費(fèi)用的存在，保險(xiǎn)公司在提供保險(xiǎn)時(shí)是有成本的，這一成本對(duì)保險(xiǎn)人和被保險(xiǎn)人而言是一個(gè)“純損失”。通常用表示賠付支出為I時(shí)的保險(xiǎn)成本函數(shù)，其滿足如下關(guān)系：其中，表示賠付為零時(shí)的固定保險(xiǎn)成本部分。

（2-24）由于管理和其他費(fèi)用的存在，保險(xiǎn)公司在提供保險(xiǎn)時(shí)是其中假定保險(xiǎn)人是追求期望效用最大化的理性人，屬于風(fēng)險(xiǎn)厭惡型。定義保險(xiǎn)人財(cái)富的效用函數(shù)為，對(duì)于所有的都有，，。

假設(shè)保險(xiǎn)人的初始財(cái)富是，保險(xiǎn)人初始效用為。在售出了保單后收取的保費(fèi)為P，如果發(fā)生損失x，他的財(cái)富變?yōu)椤t承保后的期望效用為

因?yàn)楸ｋU(xiǎn)人是理性的，其承保的動(dòng)機(jī)是希望增加期望效用，則其提供保單的必要條件為：（2-25）假定保險(xiǎn)人是追求期望效用最大化的理性人，屬于風(fēng)險(xiǎn)（22．需求的必要條件對(duì)于保險(xiǎn)需求方，假定投保人是追求其財(cái)富期望效用最大化的理性人。設(shè)被保險(xiǎn)人的財(cái)富效用函數(shù)用表示，且對(duì)任何有：假設(shè)被保險(xiǎn)人的初始財(cái)富水平為，為損失隨機(jī)變量，表示當(dāng)損失發(fā)生時(shí)保險(xiǎn)人的賠付，P為投保人支付的保費(fèi)。那么，投保人形成保險(xiǎn)需求的必要條件是什么？2．需求的必要條件當(dāng)損失發(fā)生時(shí)，被保險(xiǎn)人的最終財(cái)富為。如果不購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)，當(dāng)損失x發(fā)生時(shí)，財(cái)富減小為。這樣，購(gòu)買(mǎi)保障水平為的保險(xiǎn)并支付保費(fèi)P的必要條件是：為了使保險(xiǎn)雙方都接受這一合同，第（2-25）式和第（2-26）式應(yīng)同時(shí)滿足。接下來(lái)，我們將說(shuō)明滿足這些必要條件的可接受的保險(xiǎn)合同集合是非空的，并從中尋找帕累托最優(yōu)保單。我們要在保險(xiǎn)人的期望效用是常數(shù)的約束條件下，求出使被保險(xiǎn)人財(cái)富期望效用最大化的保費(fèi)和支付函數(shù)。（2-26）當(dāng)損失發(fā)生時(shí)，被保險(xiǎn)人的最終財(cái)富為即：使得對(duì)所有且：其中為常數(shù)，且。上述問(wèn)題可以通過(guò)兩步來(lái)解決。首先，假定P保費(fèi)為固定的，得出最優(yōu)保單的形式。其次，選擇最優(yōu)保費(fèi)P，得出帕累托最優(yōu)保單。

（2-28）（2-27）即：（2-28）（2-27）（二）帕累托最優(yōu)保單1．固定保費(fèi)下的最優(yōu)保單

定理1帕累托最優(yōu)保單的形式為如下兩種情形之一：有免賠額的保單。其中免賠額

是不予承保的最大損失值。有上限的保單。其中上限值是指保單能夠完全賠付的最大損失值。其中表示最優(yōu)保單。（2-29）（2-30）（二）帕累托最優(yōu)保單（2-29）（2-30）定義共同保險(xiǎn)的邊際保險(xiǎn)金額為。在（2-29）式和（2-30）式兩類(lèi)保單中，邊際保險(xiǎn)金額應(yīng)滿足以下關(guān)系：

其中；，定義為絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡指數(shù)，和是關(guān)于的導(dǎo)數(shù)。從上面的公式可以看出，共同保險(xiǎn)依賴(lài)于保險(xiǎn)人和被保險(xiǎn)人的風(fēng)險(xiǎn)偏好及成本函數(shù)。為了說(shuō)明函數(shù)是固定保費(fèi)P的最優(yōu)支付函數(shù)（即（2-31）式的解），必須對(duì)保險(xiǎn)人的期望效用函數(shù)與k的關(guān)系進(jìn)行考察。因此，可能出現(xiàn)以下三種情況：定義共同保險(xiǎn)的邊際保險(xiǎn)金額為。在（2-29）如果，則滿足（2-28）式，是恰當(dāng)?shù)倪吔鐥l件，從而是最優(yōu)支付函數(shù)。如果，不滿足（2-28）式，則不是方程（2-31）的解。為了提高保險(xiǎn)人的期望效用，對(duì)某些損失的賠付額要減少，則邊界條件在局部區(qū)域?yàn)樨?fù)。但由約束條件（2-23）式，有。因此，存在，使得時(shí)，。這時(shí)，存在免賠額的保單就為最優(yōu)保單。如果，在保險(xiǎn)人期望效用沒(méi)有違背約束條件（2-28）的前提下，保險(xiǎn)人可以適當(dāng)增加保險(xiǎn)金額（即增加了被保險(xiǎn)人的期望效用）。恰當(dāng)?shù)倪吔鐥l件就為和，且存在，當(dāng)時(shí)，。在此情況下，有上限的保單就為最優(yōu)保單。如果，則滿足（2-28）式，用表示第一種情況下的固定保費(fèi)，表示方程（2-31）的解函數(shù)。因此，并且保險(xiǎn)函數(shù)有這樣的特點(diǎn)：，即（）是沒(méi)有免賠額或者最高上限條款的保單。對(duì)于后兩種情況，我們定義：

用表示第一種情況下的固定保費(fèi)，表示引理1：當(dāng)，i=1,2,且時(shí)，最優(yōu)保單分別由（2-29）式、（2-31）式或（2-30）式、（2-31）式來(lái)決定。其中，。從引理1可以看出：當(dāng)時(shí)，最優(yōu)保險(xiǎn)金額為一免賠額保單；當(dāng)時(shí)，最優(yōu)保險(xiǎn)金額為一有上限保單。引理2：（1）如果，那么對(duì)于，（2）如果，那么對(duì)于，引理2說(shuō)明了當(dāng)時(shí)，變化對(duì)最優(yōu)保單的影響：對(duì)于免賠額的保單，其關(guān)于的導(dǎo)數(shù)為負(fù)，是遞減的；對(duì)于有上限的保單，是遞增的。

引理1：當(dāng)，i=1,2,且時(shí)，最優(yōu)保單2．帕累托最優(yōu)保單求解最優(yōu)保費(fèi)，得出帕累托最優(yōu)保單。定理2對(duì)所有的，定理2說(shuō)明了的保單優(yōu)于的保單。由引理2知，上限的增加會(huì)導(dǎo)致的增加，從而導(dǎo)致保險(xiǎn)成本的增加。對(duì)于保險(xiǎn)人和被保險(xiǎn)人來(lái)說(shuō)，保險(xiǎn)成本是“純損失”。因此，任何有上限的保單都是次優(yōu)的。定理3帕累托最優(yōu)保單免賠額為0的充分必要條件是，即對(duì)于所有，都有。定理3描述了最優(yōu)免賠額保單的一個(gè)非常重要的特征：當(dāng)且僅當(dāng)保險(xiǎn)成本大于零時(shí)，帕累托最優(yōu)保單才會(huì)有免賠額。如果，則（2-31）式小于1，表明隨著免賠額的增加，被保險(xiǎn)人愿意支付的保費(fèi)小于保險(xiǎn)人所要求的保費(fèi)。此時(shí)，最優(yōu)保單免賠額是否為零取決于的形式。2．帕累托最優(yōu)保單（三）有上限的保單實(shí)際中，絕大多數(shù)保險(xiǎn)合同是存在保險(xiǎn)金額上限的，如醫(yī)療保險(xiǎn)、責(zé)任保險(xiǎn)和財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)等都會(huì)設(shè)定一個(gè)保險(xiǎn)金額上限。那么，是什么原因?qū)е铝诉@種情況的產(chǎn)生？假設(shè)保險(xiǎn)人從自身利益出發(fā)設(shè)計(jì)了保險(xiǎn)合同，那么從理性人的角度分析，保險(xiǎn)人設(shè)計(jì)的保單一定是建立在使其最終財(cái)富的預(yù)期效用最大化基礎(chǔ)上的，即按保費(fèi)構(gòu)成的有關(guān)規(guī)定，保險(xiǎn)人收取的保費(fèi)是保單精算價(jià)格的函數(shù)。我們假設(shè)這個(gè)函數(shù)為以下形式（其中，是比率系數(shù)）：（2-32）（2-33）（三）有上限的保單（2-32）（2-33）定理4

在保險(xiǎn)賠付范圍為：和（2-33）式的約束條件下，（2-32）式的最優(yōu)解為，，則滿足以下關(guān)系：其中，，。

定理4表明：如果一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)厭惡的保險(xiǎn)人選擇一份保單來(lái)使他的預(yù)期效用最大化，那么他所提供的保單應(yīng)該為有上限的保單，該保單將對(duì)上限以內(nèi)的損失提供保障，而對(duì)超出部分不予保障。定理4在保險(xiǎn)賠付范圍為：和（2-33）下面我們討論最優(yōu)解的確定。投保人購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)的目的是通過(guò)保險(xiǎn)賠付使其財(cái)富在不確定的環(huán)境里仍然可以保持一定的水平。設(shè)被保險(xiǎn)人的最終財(cái)富期望效用為常數(shù)（設(shè)為），那么在約束條件下，其效用函數(shù)為：那么，所得到的保單即保險(xiǎn)人預(yù)期效用最大化的保單就是定理1所描述的保單形式。特別地，如果效用函數(shù)為線性的，保費(fèi)P為一固定值，則上述約束條件變?yōu)椋ㄆ渲校@與（2-33）式是等價(jià)的。當(dāng)時(shí)，可以得到相應(yīng)的解。下面我們討論最優(yōu)解的確定。二、再保險(xiǎn)與保險(xiǎn)市場(chǎng)均衡（一）再保險(xiǎn)市場(chǎng)模型

假設(shè)有n家保險(xiǎn)公司，每一家保險(xiǎn)公司都有一定數(shù)量的保險(xiǎn)合同。假設(shè)為隨機(jī)變量，則第（）家保險(xiǎn)公司的風(fēng)險(xiǎn)狀況由下面兩個(gè)要素決定：1）風(fēng)險(xiǎn)分布表示第家保險(xiǎn)公司風(fēng)險(xiǎn)組合中所支付賠款總額不超過(guò)的概率；2）表示第家保險(xiǎn)公司可用來(lái)支付賠款的資本數(shù)量。設(shè)保險(xiǎn)公司的效用函數(shù)為：

（2-34）二、再保險(xiǎn)與保險(xiǎn)市場(chǎng)均衡（2-34）這里，其中是由下式定義的退化概率分布：根據(jù)以上定義，可以看成具有基金數(shù)量S、無(wú)索賠概率為1時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)效用函數(shù)，稱(chēng)為“公司的貨幣效用”。假設(shè)是連續(xù)的并且其一階導(dǎo)數(shù)為正，即效用函數(shù)的值隨著S的增大而增大。假設(shè)在初始狀態(tài)，保險(xiǎn)公司i承諾的賠款總額為，且保險(xiǎn)公司的索賠與其他保險(xiǎn)公司所發(fā)生的索賠無(wú)關(guān)。那么，在再保險(xiǎn)市場(chǎng)上，n家保險(xiǎn)公司可以訂立再保險(xiǎn)協(xié)議，重新分配在初始條件下所承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)。這里，其中是由下式我們用以下函數(shù)來(lái)表示這類(lèi)合同：其中，是保險(xiǎn)公司按照i重新分配合同時(shí)索賠為時(shí)必須支付的賠款。由于所有的賠款都必須賠付，則有：因此保險(xiǎn)公司i的效用由

變?yōu)?/p>

（2-35）我們用以下函數(shù)來(lái)表示這類(lèi)合同：（2-35）其中R為n維空間（即（）經(jīng)作用后的值域空間），是的聯(lián)合概率分布。把相應(yīng)的向量（）和（）分別記為x和y。定理5

向量y是帕累托最優(yōu)的充分必要條件是函數(shù)滿足下述關(guān)系：其中是任意正常數(shù),其中。（2-36）（2-37）其中R為n維空間（即（）經(jīng)如果存在另一向量，使得對(duì)于所有i，不等式都成立，則稱(chēng)優(yōu)于，否則，稱(chēng)是帕累托最優(yōu)再保險(xiǎn)合同。即如果上述條件滿足，的變化不增加任何一家公司的效用，也就是說(shuō)，以上的條件為充分條件的。在（2-36）、（2-37）中，關(guān)于求微分，則有：（2-38）（2-39）如果存在另一向量，使得對(duì)于所有i，不等式在（2-38）式兩邊同時(shí)除以并對(duì)所有i的求和，聯(lián)立（2-39）式得到：那么，對(duì)于任何i和j有

在（2-38）式兩邊同時(shí)除以并對(duì)這表明向量函數(shù)是關(guān)于變量z的函數(shù)，其中。那么，我們可以得出：

上式意味著公司i支付僅取決于，即取決于保險(xiǎn)業(yè)的總賠付額。因此，任何帕累托最優(yōu)合同集合就相當(dāng)于一個(gè)共同基金配置。

（2-40）這表明向量函數(shù)是關(guān)于變量z的函數(shù)，其中（二）再保險(xiǎn)市場(chǎng)的價(jià)格

如果再保險(xiǎn)市場(chǎng)價(jià)格存在，就意味著可能存在一個(gè)關(guān)于價(jià)格P（）與分布（）的函數(shù)。

假設(shè)一家保險(xiǎn)公司接受了兩筆分別具有和風(fēng)險(xiǎn)分布的保險(xiǎn)責(zé)任，和為相互獨(dú)立的隨機(jī)自變量，并且具有概率分布為。無(wú)論公司是分別接受兩個(gè)組合，還是在同一筆交易中接受兩個(gè)組合，我們都有：我們引入累積量函數(shù)來(lái)表示相加性條件：（二）再保險(xiǎn)市場(chǎng)的價(jià)格其中是分布函數(shù)的特征函數(shù)：考慮到復(fù)函數(shù)運(yùn)算起來(lái)不方便，我們?cè)谙旅鎸⒉捎孟鄳?yīng)的實(shí)函數(shù)來(lái)表示價(jià)格的相加性條件：該累積量函數(shù)便由下式給出其中是分布函數(shù)的特征函數(shù)：對(duì)于任何非負(fù)值t，可以解釋為滿足相加條件的價(jià)格。對(duì)于下列形式的任意線性組合也同樣成立：其中都是常數(shù)。類(lèi)似的，包括的任何階導(dǎo)數(shù)也將滿足上述條件。由于這種概率分布函數(shù)的任何表達(dá)式都可以寫(xiě)成累積量函數(shù)和的形式，因此我們有：其中，都是常數(shù)。對(duì)于任何非負(fù)值t，可以解釋為滿足相加條件的價(jià)令為退化概率分布，